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初中数学解题模型专题讲解
专题28 直角三角形与勾股定理
【知识梳理知识梳理】】
一、直角三角形的判定直角三角形的判定：：
1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理
二、直角三角形的性质
1、直角三角形两锐角互余．
2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．
3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；
4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2
＋b2
＝c2
．5.
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2
＋b2
＝c2
．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
(1)若c2
＝a2
＋b2
，则∠C＝90°；
(2)若c2
＜a2
＋b2
，则∠C＜90°；
(3)若c2
＞a2
＋b2
，则∠C＞90°．
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多
边形)的问题中有着广泛的应用．
5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2
＋b2
＝c2
那么这个三
角形是直角三角形．
6、勾股数的定义：如果三个正整数a、b、c满足等式a2
＋b2
＝c2
，那么这三个正整数 2 / 6
a、b、c叫做一组勾股数。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；
8，15，17； 9，40，41。
【典例精析典例精析】】
◆例1：在△ABC中，∠BAD＝90°，AB＝3，BC＝5，现将它们折叠，使B点与C
点重合，求折痕DE的长。
【巩固巩固】】
1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，
使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
2、四边形ABCD中，∠DAB＝60o，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2；求对角线
AC的长？
A
BC
D
EA
BD
- 1 - 河道三维水流数学模型计算及应用
河流是地球表面最为宽泛存在的水体，同时也是一种重要的水资源。为了更好地分析河流中的水流特征，人们研发了三维水流数学模型，以便更好地利用河流的水力潜力。本文将介绍三维水流数学模型的基本原理、计算方法以及对其进行应用的研究现状。
一、三维水流数学模型的基本原理
三维水流数学模型是将河流的水流运动分解成单独的平面和空间分量，以研究水流的空间分布特征和性质。三维水流模型是基于流场速度场定义和描述的：当河流流速不变时，河流所拥有的冲刷力与曲率、地形、河网特征等其他因素有关。在三维水流模型中，通过分析河流曲率、地形、河网特征等元素，可以得出河流流动的沿岸、横向（两个轴）和纵向（一个轴）的分量，即可以分析河流的水流特征。
二、三维水流数学模型的计算方法
为了获得准确可靠的数据，科学家们需要对河流中的水流进行多维分析。首先，通过实验收集大量的水流数据，并使用诸如水位和流速等数据对河流中的水动力进行模拟，以确定流场速度场的空间分布特征。其次，根据上述研究结果，结合河流流速、曲率、地形、河网特征等因素，建立计算模型，计算河流水流的空间分布特征。最后，对模型进行详细验证，进而确定河流水流的特征。
三、三维水流数学模型的应用研究
三维水流数学模型在河流研究中有着重要的意义，它可以为河流水流特征的研究、水力发电和水文预测等活动提供可靠精确的数据。 - 2 - 在过去的多年中，三维水流数学模型在河流水力学、泥沙运动、水文气象等研究中被广泛应用。例如，在研究堤坝护坡防护措施时，利用三维水流数学模型来确定护坡的设计参数；在河流水质监测中，可以利用三维水流模型来预测河流的污染物运移趋势；在河流洪水管理中，可以借助三维水流数学模型来优化河流洪水管理方案等。
综上所述，三维水流数学模型可以帮助我们更好地理解河流的水流特征，为河流水资源的开发和管理提供精准的依据，并且在过去的多年中已得到广泛的应用。然而，在实际应用中仍存在许多不足之处，如对若干因素的建模不完善以及计算量庞大等，这些问题需要科学家们进行深入的研究，以实现更完善的三维水流数学模型。
1 / 5 初中数学解题模型专题讲解 专题10 “将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型模型【【1】一定直线、异侧两定点 直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小
2 / 5 解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点 模型模型【【2】一定直线、同侧两定点 直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A'（根据“翻折运动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题） 第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短 模型模型【【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB最小即AP+PB最小
3 / 5 模型模型【【4】一定点、两定直线 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小 解答： 策略：两次翻折 第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2 第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B （根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短） 拓展 如果两定点、两定直线呢？ “如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点 A，B。使四边形PAQB的周长最小” 问题升级问题升级：： 问题：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值
初中数
模型模型 倍长中线或类中线倍长中线或类中线倍长中线或类中线（
已知如图： ∠2=12∠AOB，OA=OB。
连接FB，将△FOB绕点O旋转
至△F′OA的位置，连接F′
可得△OEF′≌△OEF。
基本模型（1）——正方形
如图，在正方形ABCD
EF=BE+DF。
1 / 21 F'4123O
AEFBFEBA321O初中数学解题模型专题讲解初中数学解题模型专题讲解
专题14 14 半角模型半角模型半角模型
（与中点有关的线段与中点有关的线段））构造全等三角形构造全等三角形
旋转
′E、FE，
正方形内含半角
CD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EA
EAF=45°，求证：
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基本模型（2）——等边三角形内含半角
基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角
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模型分析模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
核心母题 如图，在正方形
求证：EF=BE+DF.
4 / 21 正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD
边上的点
上的点，∠EAF=45°，
变式一：如图，E、F分别
的周长是2，求∠EAF
的度数
5 / 21 分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD
度数?
CD
上的点,若△ECF
变式二：如图，在正方形
AG⊥EF，求证：AG=AB.
6 / 21 正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD
边上的点
的点，∠EAF=45°，
综合：在正方形ABCD中
求证：①.∠MAN=
②o45
7 / 21 中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足
②.③.AM、AN分别平分∠BMN
ABCCMN2=∆ 且满足MN=BM +DN，
和
∠DNM.
练习
1、如图，在四边形
BC上的点，若△BKN的周长是2、已知：正方形
