第五届北方数学奥林匹克邀请赛第一天一、(25分)设数列{xn}满足x1=1,xn=x2n-1+xn-1+xn-1(n\2).求数列{xn}的通项公式.(张 雷 供题)图1二、(25分)如图1,在锐角vABC中,已知AB>AC,cosB+cosC=1,E、F分别是AB、AC延长线上的点,且满足ABF=ACE=90b.(1)求证:BE+CF=EF;(2)设EBC的平分线与EF交于点P,求证:CP平分BCF.(刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题)三、(25分)已知有26个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少有两个数,一个数整除另一个数.证明:一定存在六个数,其中一个数能被另外五个数整除.(张同君 供题)四、(25分)船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配:水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为b1、b2、b3,满足b1\b2\b3,且b1+b2+b3=2009;船长在不知道水手写的数的情况下,将2009枚金币分成3堆,各堆数量分别为a1、a2、a3,且a1\a2\a3.对于水手k(k=1,2,3),当bk0,且x2+y2+z2=3.求证:x2009-2008(x-1)y+z\12(x+y+z).(杨海滨 贾应红 供题)七、(25分)记[m]为不超过实数m的最大整数.设x、y均为正实数,且对所有的正整数n,都有[x[ny]]=n-1成立.证明:xy=1,且y是大于1的无理数.(刘康宁 供题)八、(25分)求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.(张 雷 供题)参考答案第一天 一、易证xn是正数.注意到32中等数学1xn=1x2n-1+xn-1+xn-1=x2n-1+xn-1-xn-1xn-1=1+1xn-1-1,即 1xn+1=1+1xn-1=,=1+1x112n-1=212n-1=221-n.故xn=1221-n-1.二、(1)因为ABF=ACE=90b,所以,E、B、C、F四点共圆.于是,CFE=ABC,BEF=ACB.故cosCFE+cosBEF=cosABC+cosACB=1,即 CFEF+BEEF=1.因此,BE+CF=EF.图3(2)如图3,在线段EF上取一点Q,使EQ=EB.由(1)的结论知FQ=FC.因FQC=12(180b-CFQ)=12EBC=PBC,所以,B、C、P、Q四点共圆.故BCP=BQE=12(180b-BEQ)=12BCF.于是,CP平分BCF.三、将26个数由小到大按升幂排列.把最小数编号为1,对后续数的编号原则为:如果它前面的数都不能整除它,就将这个数编号为1;如果它前面的数有的能整除它,设能够整除它的数中最大编号为k,就将这个数编号为k+1.当将26个数全部编号后,可以证明这26个数中一定有编号为6的数.假设没有编号为6的数,即这26个数的编号只能是1,2,3,4,5.由抽屉原则知,一定有六个数编号相同,则这六个数必然不能相互整除,与已知矛盾.因此,这26个数中一定有编号为6的数.如果有一个数编号为6,这说明它有一个编号为5的因数.同理,这个数有一个编号为4的因数,,,这样,就得到由六个数组成的因数链,其中每一个数都能被下一个数整除.显然,这六个数中最大的一个能被其余五个数整除.问题得证.四、最大值是673.首先,船长可以确保得到不少于673枚金币.事实上,当船长把金币分成的3堆数目分别为671、670、668时,(1)若b1\671,则船长可得到不少于671+2=673枚;(2)若b1<671,则因b1[670,b1+b2+b3=2009,所以,只有b1=b2=670,b3=669,船长得到的金币数不少于1+670+668>673枚.其次,船长无法确保得到多于673枚金币.事实上,(1)若a1[671,则a2[671,a3\667.当b1=a1+2,b2=a2-1,b3=a3-1时,船长至多得到671+2=673枚;(2)若a1>671,则因a3[2009-a12[13372=66815,故a3[668.(i)当a2-a3\3时,若b1=a1-1,b2=a2-1,b3=a3+2,则船长至多可得a3+2[668+2=670枚;(ii)当a2-a3[2时,若a3=1,则a2[3,a1-a2\2002,当b1=a1-2,b2=a2+1,b3=a3+1时,船长至多可得2+3+1=6枚;若a3>1,则2a2=(a2+a3)+(a2-a3)332009年第10期[2009-672+2=1339]a2[669.所以,a1-a2\672-669=3,当b1=a1-1,b2=a2+2,b3=a3-1时,船长至多可得a2+2[671枚.第二天五、联结AB交OC于点M.由于BQMAP,则四边形APBQ是梯形.所以,SvAQM=SvBPM.故SOAQPB=SOAMPB+SvAQM=SOAMPB+SvBMP=SvOAB为定值,即五边形OAQPB的面积与点C、P的选取无关.六、因为x2+y2+z2\(x+y+z)23,所以,x+y+z[3.故只要证x2009-2008(x-1)y+z\32.而x2009+2008=x2009+1+1+,+12008个\2009x,同理,y2009+2008\2009y,z2009+2008\2009z.所以,只要证xy+z\32Zxy+z+1\92Zx+y+zy+z\92.¹而式¹左边12(x+y)1x+y\923(x+y)1y+z=92.综上,原不等式成立.七、由xny-11,还是xy<1,以上不等式组对任意的正整数都不能恒成立.因此,xy=1.故nyy=n-1Zn-1[nyy1时,显然成立;当0AC,点D、E分别在AB、AC上,且BD=CE.取BE、CD的中点M、N,直线MN分别交AB、AC于点P、Q.则( ).352009年第10期
