2019年第5期 福建中学数学 35
力的达成水平；如何命制“有价值”的试题来分层次
培养学生形成数学核心素养；如何开发“有效”的试
题来强调学生对发现和提出问题、分析和解决问题
的体悟，将是未来数学教师一个值得研究的课题．
（本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题《核心
素养视角下的中考数学命题模式研究》（课题编号：DHA170351）的研
究成果）
例谈阿基米德三角形在高考解题中的应用
黄俊生 福建省泉州第一中学（362000）
阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学
家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体
静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美
称．阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，
他创造了“阿基米德原理”，创立了微积分学，发
明了“阿基米德螺旋”，同时还为战争发明了几项战
术武器．今天的高考学子也能在他证明的一些结论
中获益：近年无论是高考全国卷还是各地高考卷数
学文史类和理工类均考查了与阿基米德三角形相
关的知识，若考生对阿基米德三角形有所了解则可
轻松解出高考中的难题．
1 阿基米德三角形及其常用性质
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围
成的三角形叫做阿基米德三角形．以抛物线为例，
过任意抛物线焦点
F作抛物线的弦，与抛物线交于
AB，两点，分别过
AB，两点做抛物线的切线
12ll，相
交于
P点．那么
PAB∆称作阿基米德三角形，如图
1，该三角形具有以下性质：
性质1 若弦过抛物线焦点，则
P点必在抛物
线的准线上；
性质2 若
AB中点为
M，则
MP平行于抛物线
的对称轴；
性质3 若抛物线的动弦
AB过其焦点
F，则
PAB∆为直角三角形且
PFAB⊥．（符合射影定理）
另外，作为阿基米德三角形性质的推广有：
对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）
均有如下性质：
推论1 过某一焦点
F做弦与曲线交于
AB，两
点分别过
AB，两点做圆锥曲线的切线
12ll，相交于
P点．那么
P必在该焦点所对应的准线上．
推论2 过圆锥曲线的某准线上一点
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例谈阿基米德三角形在高考解题中的应用
作者：黄俊生
来源：《福建中学数学》2019年第05期
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阿基米德是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他创造了“阿基米德原理”，创立了微积分学，发明了“阿基米德螺旋”，同时还为战争发明了几项战术武器，今天的高考学子也能在他证明的一些结论中获益：近年无论是高考全国卷还是各地高考卷数学文史类和理工类均考查了与阿基米德三角形相關的知识，若考生对阿基米德三角形有所了解则可轻松解出高考中的难题。
２０１５年第１１期 物理通报 解题思路与技巧
均值不等式在高中物理解题中的应用
杨绍林 （云南师范大学物理与电子信息学院 云南昆明 ６５０５００； 昆明一中度假区分校金岸中学 云南昆明 ６５００３１） 彭朝阳 （云南师范大学物理与电子信息学院 云南昆明 ６５０５００） （收稿日期：２０１５—０５—２６）
摘要：运用数学工具解决物理问题，是高考考查学生能力的方式之一，而高中物理问题中常出现求极值问题， 如：最长、最大、最短、至少、最多等．这些问题渗透在物理中的运动学、力学、电磁学和电学等问题中．均值不等式是 求解极值问题有效的方法，分为定和求积与定积求和两种形式．在物理解题中有许多极值题可以构造出定和或定积 的形式，进而求出最大值或最小值． 关键词：极值问题 均值不等式 定和求积 定积求和
每年各种各样的高考模拟题、高考仿真卷、高 考试题中，出现用均值不等式解题的极值问题较多， 所以教师在平时的教学中应该多渗透用均值不等式 来求解，不仅省时省力，学生用数学工具解决物理问 题的能力也会得到提高． 但现在教师们多数停留在普通的数学求解和单 纯的解题，没有把物理思想和解题规律进行融合和 归纳总结，使得学生不得解极值问题的精髓．就这些 问题，下面例举一些均值不等式的应用，以期加深对 此类问题的理解．
１ 均值不等式在高考模拟题中的应用
【例１】如图１半径为Ｒ的半圆形光滑凹槽固定， 质量为ｍ的小球Ｑ，从最高点Ａ运动至Ｂ的过程中， 在什么位置重力做功的功率最大？最大值是多少？
图１
＊中学物理实验教学研究教学案例建设，编号：ＹＪＧ２Ｏｌ４一Ａ０５ 作者简介：杨绍林（１９８５一 ），男，在读硕士研究生． 通讯作者：彭朝阳（１９７１一 ），男，教授，主要从事物理教育教学研究 ６Ｏ一 解析：设小球Ｑ运动ｔｔＪＡ与Ｂ间某位置Ｐ时，半 径ＯＰ与水平方向成０角，此时瞬时速度为７３，则此
时重力的瞬时功率为 Ｐ—ｍｇｖｃｏｓ ０ （１） 由机械能守恒定律的
２０１２年第４期 福建中学数学 ４５
不可以运用比例性质．应根据等差数列的公式、性
质得毒＝寻 ＝鲁＝苦导＝百２８．也可设 ＝
ｋｎ（３ｎ＋１）， ＝ｋｎ（ｎ＋２），求得ａ５＝ 一 ：２８ｋ，
＝ 一 ＝１ｌｋ，可得正确结果． 防范对策：教学中应加强情境变化时同类知识 的比较，完善认知结构．及时列举反例，揭示差异，
防止知识负迁移的产生． １０误用逻辑关系 学生解题时误用逻辑关系导致谬误的现象也很
常见，而且这种错误不易被发现． 例１ｏ各项均为正数的等比数列｛ａ ｝，其前 项
和为 ，首项口。＝２，公比ｑ＝妄．若对任意正整数ｋ
以及正数ｃ（ｃ ３）都有 ＜２恒成立，求ｃ的取值 ．） 一Ｃ 范围．
错解：由题设得 ＝４×ｌ卜（ ）”Ｉ，化 兰 ＜２
为
Ｃ＞
成立． ＞０，则对任意正整数ｋ都有
（ ）成立或ｃ＜４－６￣／￣／ …（２） 欲使（１）式成立，得ｃ ４；欲使（２）式成立， ｃ＜１．又０＜Ｃ ３，所以Ｃ的取值范围是０＜ｃ＜１．
剖析：错因是误用了逻辑关系．从逻辑角度考 虑，命题“对于任意实数 ，ＰＶｇ恒成立”不等价于
命题“对于任意实数Ｘ，Ｐ恒成立或对于任意实数Ｘ，
ｑ恒成立”．以下实例清楚地说明了这一点．
（１）当ｋ＝１时，应有Ｃ＜１或ｃ＞２；
（２）当ｋ＝２时，应有０＜ｃ＜姜；
（３）当ｋ＝３时，应有ｃ＜ 或ｃ＞ ／；
当 ≥３时，４—４×（去） ，４—６×（ ） ≥ ．注
意到题设条件０＜Ｃ ３，则对于任意正整数ｋ，都有
生 ＜２恒成立的ｃ的范围是：０＜ｃ＜１或 一ｃ ２＜ｃ＜三． ２ 防范策略：这是一类极易出现的错误，教学中 应尽量从直观出发，列举具体实例，让学生感知错
因，防范失误． 以上是学生解题中的一些常见错误，有些错误
甚至是交织发生的．实践表明，探究导致解题错误 的原因，有针对性地改进课堂教学，从源头上铲除“祸 根”，才能切实防范错误，减少失误，提高教学效益．
导数在高考不等式中应用的新视角
