1 人口增长 连续模型

马尔萨斯生物定律与人口增长模型

马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数)(tN的变化率与生物总数成正比，其数学模型为

00)()()(NtNtrNdttdN（1）

其中r为常数. 方程（1）的解为

)(00)(ttreNtN（2）

因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。

英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。

事实上，将 0148.0,2000,19900rtt代入到（2）式得

45.133368.11)()19902000(0148.0etN（亿）

显然根据马尔萨斯人口方程预测2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。造成误差过大的主要原因是人口的增长率r不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明r是时变的。为此修改马尔萨斯人口方程为

000)()())(()(NtNtNttBAdttdN(3)

其中)()(0ttBAtrr为时变人口增长率，BA,为定常参数。求解微分方程（3），得其特解为

200)(21)(0)(ttBttAeNtN（4） 要利用（4）式对人口进行预测，首先应估计参数BA,。第三次人口普查结果（1982年）：我国人口总数为10.3188亿，人口增长率为2.10%；第四次人口普查结果（1990年）：我国人口总数为11.3368亿，人口增长率为1.48%；第五次人口普查结果（2000年）：我国人口总数12.9533亿，人口增长率为1.07%。根据上述数据，取19900t，由)()(0ttBAtrr得方程组

《数学模型》 实验报告

实验名称：如何预报人口的增长 成绩：___________

实 验 日 期 ： 2009 年 4 月 22 日

实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日

一、实验目的

预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。

二、实验内容

根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。

三、实验环境

MATLAB6.5

四、实验步骤

为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y=

rt+a。

根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果之间的图形，看结果如何。

利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下：

t=linspace(0,11,12);

x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];

p=polyfit(t,log(x),1);

r=p(1)

x0=exp(p(2)) plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')

利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下：

t=linspace(0,21,22);

x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];

人口增长模型

徐少宏 罗涛 张品芳

摘要

本文根据某个地区的人口统计数据，和画出人口增长的曲线图形。

模型一，假设人口平稳增长，建立起人口预报的一次函数增长模型battx，进行数据的拟合，利用此模型我们求得参数5.1a，7553.2b。并预报出2010年的人口数为283.1148百万人。

模型二，假设人口平稳增长，建立起人口预报的二次函数增长模型cbxaxtx2，进行数据的拟合，利用此模型我们求得参数0.006018a，1.2b，8.1894c。并预报出2010年的人口数为333.8668百万人

关键字

人口预报 一次函数增长模型 二次函数增长模型 数据拟合

问题重述

根据以下某个地区的人口从1800年到2000年间的人口数据（如下表），建立人口增长模型（比如一次函数增长模型或者二次函数增长模型），并确定其中的待定参数，估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

某地区人口统计数据

年 份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860

人口 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2

年 份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930

人口 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1

年 份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

人口 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3

用Matlab绘图功能把上表描点如下图：

【模型一：一次函数增长模型】

模型假设

1、假设有国家的相关生育政策下，人口的增长趋于平稳状态。

2、人口的变化规律与一次函数拟合。

模型变量和函数的定义

tx 表示t时刻的人口数，且()xt连续可微

ix ix是it时刻美国的人口数。

人口增长模型综述

一、引言

当前中国的人口正在以一个较快的速度增长，随着人口的增长，环境和社会的压力正在不断的加大，然而，环境的承载能力是有限的，人口不可能无限制的，故人口最后会趋于一个稳定的数字。世界上大多数国家的人口年龄结构，都是随着人口转变以及社会经济发展，逐渐从年轻型、成年型到老年型转变的。西方发达国家的人口转变是伴随着工业化和现代化逐步深化的渐进过程，经历了大约150多年的时间。我国则是在经济不发达的条件下进行的，且明显带有人为的痕迹，经历着更加迅速的人口转变，人口年龄结构也发生了比较快的变化，即从相对年轻型人口结构，直接转变为相对老年化的人口结构。因此，对于人口的未来趋势的预测将变得尤为重要，产业、服务、环境等方面都依赖于人员，只有对未来人口的发展趋势进行准确的把握，才能够及时地对社会各个部门进行调控，以缓解人口对于社会环境的压力！利用数学建模的知识建立人口增长模型，进而才能够得到较为准确的未来的人口数据。

然而，何为人口增长模型？人口增长模型[1]就是通过人口现状及对影响人口发展的各种因素的假设，对未来人口的规模、结构、变动和趋势所做的测算。当前人口老龄化，人口出生率以及人口死亡率等问题已经成为人口问题的焦点问题，同时，对于一个城市或国家的人口预测还必须考虑到移民率等。

二、中国人口增长研究的现状[6]

新中国成立60年来，中国人口发展经历了两个不同的时期：一是实行计划生育政策之前，人口发展处于无计划、自发的高增长时期；二是实行计划生育政策之后，人口发展逐步走向有计划、可控制的平稳增长时期。这两个不同发展时期的区别，不仅表现在出生率、死亡率的变化上，而且还表现在人口发展模式的转变，以及人口年龄结构的变化上。

现如今，中国面临着严峻的人口压力，我们的国家虽然地大物博，然而人均资源占有量确实相当的稀少，因此，解决人口增长问题已经变得迫在眉睫。中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。