新高考数学二轮复习考点知识专题讲解3---三角函数及解三角形的综合问题
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1 / 26 新高考数学二轮复习考点知识专题讲解
三角函数及解三角形的综合问题
【考点一】三角函数的图象与性质的应用
【典例1】(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝fx＋π2 2 的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)fx－π4 在0，π2 上的最大值．
【变式训练】
1.(2021·银川三模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0
(1)求函数f(x)的解析式； 2 / 26 (2)若方程f(x)＝m在－π12，13π12 上有两个不同的实根，求m的取值范围．
2.已知函数f(x)＝4sin (x－π3 )cos x＋3 .
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在0，π2 上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan (x1＋x2)的值．
【考点二】利用正弦定理、余弦定理求三角形的边与角
【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
【变式训练】
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，且A＝C＋π2 ，5c－4a＝15cos A，求c. 3 / 26 【变式1】若把本题条件“5c－4a＝15cos A”改为“△ABC的面积S＝3”，其他条件不变，求c.
【变式2】若把本题条件“A＝C＋π2 ”改为“△ABC的面积S＝3”，其他条件不变，求c.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.
(1)求A；
(2)若2 a＋b＝2c，求sin C．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＋c cos A＋2b cos B＝0.
(1)求B；
(2)若b＝6，求△ABC面积S的最大值．
【考点三】三角函数与解三角形知识的交汇
【典例3】已知函数f(x)＝3 sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2 . 4 / 26 (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝3 ，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值．
【变式训练】
1.将函数f(x)＝sin x＋3 cos x图象上所有点向右平移π6 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin (π3 －B)cos (π6 ＋B)＝14 ，c＝g(π6 )，b＝23 ，求△ABC的面积．
2.已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2(ωx－π6 )(x∈R，ω为常数且12 ＜ω＜1)，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f(35 A)＝14 ，求△ABC面积的最大值． 5 / 26 【考点四】正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用
【典例4】
如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．
【变式训练】
1.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距
12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以14 n mile/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
2.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶6 / 26 A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
参考答案
【考点一】三角函数的图象与性质的应用
【典例1】(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝fx＋π2 2 的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)fx－π4 在0，π2 上的最大值．
【解析】(1)由辅助角公式得
f(x)＝sin x＋cos x＝2 sin x＋π4 ，
则y＝fx＋π2 2＝2sin x＋3π4 2 7 / 26 ＝2sin 2x＋3π4 ＝1－cos 2x＋3π2 ＝1－sin 2x，
所以该函数的最小正周期T＝2π2 ＝π；
(2)由题意，y＝f()x fx－π4
＝2 sin x＋π4 ·2 sin x＝2sin x＋π4 sin x
＝2sin x·22sin x＋22cos x
＝2 sin 2x＋2 sin x cos x
＝2 ·1－cos 2x2 ＋22 sin 2x
＝22 sin 2x－22 cos 2x＋22 ＝sin 2x－π4 ＋22 ，
由x∈0，π2 可得2x－π4 ∈－π4，3π4 ，
所以当2x－π4 ＝π2 即x＝3π8
时，
函数取得最大值1＋22 .
【变式训练】
1.(2021·银川三模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝m在－π12，13π12 上有两个不同的实根，求m的取值范围．
【解析】(1)由题图可知A＝1，T2 ＝12 ·2πω ＝5π6 －π3 ，所以ω＝2.再根据五点法作图可得2·π3 ＋φ＝3π2 ＋2kπ，k∈Z，得φ＝5π6 ＋2kπ，k∈Z.
又0
(2)由(1)及题图知，方程f(x)＝sin (2x＋5π6 )＝m在－π12，13π12 上有两个不同的实根，
可得直线y＝m和f(x)的图象在－π12，13π12 上有两个不同的交点．
由于f(x)在－π12，π3 ，5π6，13π12 上单调递减，在π3，5π6 上单调递增，f(－π12 )＝32 ，f(13π12 )＝0， 9 / 26 所以m∈(－1，0)∪(32 ，1).
2.已知函数f(x)＝4sin (x－π3 )cos x＋3 .
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在0，π2 上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan (x1＋x2)的值．
【解析】(1)f(x)＝4sin (x－π3 ) cos x＋3
＝4(12 sin x－32 cos x)cos x＋3
＝2sin x cos x－23 cos2x＋3
＝sin 2x－3 cos 2x＝2sin (2x－π3 ).
所以f(x)的最小正周期T＝π.
由2kπ－π2 ≤2x－π3 ≤2kπ＋π2 (k∈Z)，
得kπ－π12 ≤x≤kπ＋5π12 (k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间为
kπ－π12，kπ＋5π12 (k∈Z). 10 / 26 (2)方程g(x)＝0等价于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin (2x－π3 )在0，π2 上的图象，如图所示，由图象可知，
当且仅当m∈[3 ，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×5π12 ＝5π6 ，
故tan (x1＋x2)＝tan 5π6 ＝－tan π6 ＝－33 .
【考点二】利用正弦定理、余弦定理求三角形的边与角
【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
【规范解答】(1)在△ABC中，
ACsin ∠ABC ＝ABsin C ①，
因为BD sin ∠ABC＝a sin C， 11 / 26 所以BDsin C ＝asin ∠ABC ②，……………………2分
联立①②得ABBD ＝ACa ，
即ac＝b·BD，
因为b2＝ac，所以BD＝b. ……………………4分
(2)若AD＝2DC，
在△ABC中，cos C＝a2＋b2－c22·a·b ③，
在△BCD中，cos C＝a2＋b32－b22·a·b3 ④，
因为③＝④，所以a2＋b2－c2
＝3a2＋b32－b2 ，
整理得a2＋b2－c2＝3a2＋b23 －3b2，
所以2a2－113 b2＋c2＝0，
