高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2抛物线教学案北师大版选修2_142
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1 §2 抛_物_线
2．1 抛物线及其标准方程
[对应学生用书P49]
抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？
提示：线段DA的长．
问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？
提示：线段DC的长．
问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？
提示：相等．
抛物线的定义
定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线
焦点 定点F
准线 定直线l
抛物线的标准方程
已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．
A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；
l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向． 2 提示：y2＝12x. 向右．
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：y2＝－12x. 向左．
问题3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：x2＝12y. 向上．
问题4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：x2＝－12y. 向下．
抛物线的标准方程
图像
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0) p2，0 x＝－p2
y2＝－2px(p＞0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py(p＞0) 0，p2 y＝－p2
x2＝－2py(p＞0) 0，－p2 y＝p2
1．平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．
[对应学生用书P50]
求抛物线的焦点坐标和准线方程
[例1] 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． 3 (1)y＝14x2；(2)x＝ay2(a≠0)．
[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程．
[精解详析] (1)抛物线y＝14x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝1ax，
∴2p＝1|a|.
①当a>0时，p2＝14a，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是14a，0，准线方程是x＝－14a；
②当a<0时，p2＝－14a，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是14a，0，准线方程是x＝－14a.
综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为14a，0，准线方程为x＝－14a.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．
[一点通]
1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p值．
2．抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标a2，0，准线x＝－a2，不必讨论a的正负．
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(4,0) D．(－4,0)
解析：由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.
答案：A 4 2．(北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为p2，0，准线方程为x＝－p2，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2 x＝－1
求抛物线的标准方程
[例2] 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.
[思路点拨] 确定p的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．
[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵过点(－3,2)，
∴4＝－2p1(－3)或9＝2p2·2.
∴p1＝23或p2＝94.
故所求的抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，p2＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
故所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y.
(3)由题意知，抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)且p＝3，∴抛物线标准方程为x2＝6y或x2＝－6y.
[一点通]
求抛物线标准方程的方法有：
(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程． 5 (2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
3．(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则拋物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
解析：由准线方程x＝－2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.
答案：B
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．
解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y2＝－2px，把(－5,25)代入得p＝2，故所求方程为y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
5．已知焦点在x轴上，且抛物线上横坐标为3的点A到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．
解：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－p2.
∵A到焦点的距离为5，∴A到准线的距离也是5，
即3－－p2＝5，解得p＝4.
故所求的抛物线标准方程为y2＝8x.
抛物线标准方程的实际应用
[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由．
[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断． 6 [精解详析] 建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
当x＝3时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．
代入得2p＝3，故抛物线方程为x2＝－3y.
已知集装箱的宽为3 m，
当x＝32时，y＝－34，而桥高为5 m，
所以5－34＝414>4.
故卡车可通过此隧道．
[一点通]
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．
6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m时，水面宽10 m，抛物线的方程可能是( )
A．x2＝－256y B．x2＝－2512y
C．x2＝－365y D．x2＝－2524y
解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(5，－6)在抛物线上．
∴25＝－2p(－6)，∴p＝2512.
∴抛物线方程为x2＝－256y.
答案：A
7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． 7 依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－425.
∴|AB|＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
2．求抛物线标准方程的方法：
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．
[对应课时跟踪训练十六
1．抛物线y＝－18x2的焦点坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，－2)
C．(－12，0) D．(－132，0)
解析：抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
答案：B
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为( )
