八年级下平行四边形难题全面专题复习(最全面的平行四边形)

八年级下册复习---平行四边形一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形、梯形的性质与判定，能利用它们进行计算或证明 、学习重难点 重点：性质与判定的运用； 难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图i 平行四边形是特殊的 ________ ；特殊的平行四边形包括 ________ 、 ______ 、 _______ 。

2•梯形 _______ (是否)特殊平行四边形， __________ (是否)特殊四边形。

3•特殊的梯形包括 _________ 梯形和 ________ 梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 _______________________________________________;属于中心对称图形的有 ___________________________________________ 。

四、复习过程(一)知识要点1:平行四边形的性质与判定1. 平行四边形的性质：(1) ______________________ 从边看：对边 _ ，对边 ； (2) ______________________ 从角看：对角 ，邻角 ;(3) ___________________________________ 从对角线看：对角线互相 ___________________________________________ ; (4) 从对称性看：平行四边形是 _____________ 图形。

2、 平行四边形的判定：(1) ___________________________ 判定1:两组对边分别 的四边形是平行四边形。

(定义) (2) ___________________________ 判定2:两组对边分别 的四边形是平行四边形。

(3) ______________________ 判定3： 一组对边 且 的四边形是平行四边形。

(4) ___________________________ 判定4:两组对角分别 的四边形是平行四边形。

初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为n(n-3)/2.二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法。

2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的。

1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；4）面积：①S=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形。

3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）。

3.矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角。

②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等。

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点:1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。

3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。

C 6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形; ⑵对角线相等的平行四边形是矩形。

7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

8菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角S菱形=1/2 x ab （a、b为两条对角线长）10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

（矩形+菱形二正方形）常考题：一•选择题（共14小题）1 •矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C•对角线互相平分D•两组对角分别相等2 •平行四边形ABCD中，AC BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）第1页（共41页）A. AB=BC B . AC=BD C. AC 丄 BD D . AB 丄 BD3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A .当AB=BC 寸，它是菱形B .当AC 丄BD 时，它是菱形C.当/ ABC=90时，它是矩形D.当AC=BD 时，它是正方形4. 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）A .平行四边形B.矩形 C .菱形 D .正方形5. 在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的顶点A ，B, D 的坐标分别是（0， 0），（5, 0），（2, 3），则顶点C 的坐标是（ ）(7, 3) D. (8, 2) AC 与BD 相交于点O , AB 丄AC,若AB=4, AC=6,则117. 如图，把矩形ABCD 沿 EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B 处，若AE=2, DE=6, / EFB=60,则矩形ABCD 的面积是（AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F , ）A . （3，7） B. （5，3） C.6.如图，？ABCD 的对角线D. 16/38. 如图，在菱形ABCD中，/ BAD=80, 垂足为E,连接DF,则/ CDF等于（A. 50°B. 60°C. 70°D. 809. 如图，在?ABCD 中，用直尺和圆规作/ BAD 的平分线AG交BC 于点E.若BF=6, AB=5,贝U AE 的长为（ ）A. 14B. 15C. 16 D . 1711. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4,Z BAD 的平分线与BC 的延长线交于 点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点，DG 丄AE,垂足为G,若DG=1, 则AE 的边长为（ ）A. 2 二B. 4 二C. 4 D . 812. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别 为S, 则0+Q 的值为（ ）13.如图，正方形 ABCD 的边长为4，点E 在对角10/ B=60°, AB=4,则以AC 为边长的正方形 ACEF 的周D . 19长为（ )18线BD上，且/ BAE=22.5, EF 丄AB,垂足为F,则EF的长为（）A. 1B. 「C. 4 - 2「D. 3 - - 414•如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE, AC BE相交于点F,则二.填空题(共13小题)15. __________________________________________________________ 已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为 __________________ c m2.o16. 如图，在？ABCD中，BE平分/ ABC, BC=6DE=2则?ABCD的周长等于____17. _______________________________________________________ 如图，？ABCD的对角线AC, BD相交于点0,点E, F分别是线段AO，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△ 0AB的周长是18厘米，则EF= _______________ 厘米. 18. ____________________________________________________ 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,过点0的直线分别交AD 和BC于点E、F, AB=2, BC=3则图中阴影部分的面积为 _______________________________ .E DB F C19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A, B的坐标分别为(-3, 0), (2, 0),点D在y轴上，则点C 的坐标是20•如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若/ CBF=20, 则/AED等于度.21.如图，？ABCD中，/ ABC=60, E F分别在CD和BC的延长线上，AE// BD, EF丄BC, EF="i，贝U AB 的长是_______ .22.如图所示，菱形ABCD的边长为4,且AE±BC于E, AF丄CD于F，Z B=60°, 则菱形的面积为__________ .23 .如图，D 是厶ABC内一点，BD丄CD, AD=6, BD=4, CD=3, E、F、G、H 分别是AB AC CD BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____________ .24. ________________________ 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A (10, 0), C (0, 4), D为OA的中点，P为BC边上一点.若△ POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为.C B第6页（共41页）25. 如图，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （- 2, 0）, B （ - 1, 2）, C （2,D 的坐标 _______26. __________________________________________________________ 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4cm,/ ADC=120,点E 、F 同时由A 、C 两点 出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s , 点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒厶DEF 为等边三角形，则t 的值为 _____________________________ .27. 如图，四边形 ABCD 中, / A=90°, AB=3 二,AD=3,点 M , N 分别为线段 BC, AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点B 重合），点E , F 分别为DM , MN 的中 点，则EF 长度的最大值为 __________. 三.解答题（共13小题） 28. 如图，已知：AB// CD, BEX AD ,垂足为点 E, CF 丄AD ,垂足为点 F ,并且AE=DF求证：四边形BECF 是平行四边形.0）.请直接写出以A , B, C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 C A X B29. 已知：如图，在△ ABC中，AB=AC AD丄BC,垂足为点D, AN是厶ABC外角/CAM的平分线，CEL AN,垂足为点E,(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当厶ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.30. 如图，分别以Rt A ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ ACD及等边△ABE 已知/ BAC=30, EF L AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF31. 如图，矩形ABCD中, AC与BD交于点O, BE L AC, CF L BD,垂足分别为E, F. 求证：BE=CF32. 如图，在△ ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当厶ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.B D C33. 如图，在△ ABC中，D、E分别是AB AC的中点，BE=2DE延长DE到点F, 使得EF=BE连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4 / BCF=120,求菱形BCFE的面积.34. 如图，在正方形ABCD中, E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE则GE=BEGD成立吗？为什么?(1)求证：CE=CF35. 如图，在△ ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN // BC, 设MN交/ BCA的角平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=F0(2)当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.36. 如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC CD DA 上, AE=CG AH=CF 且EG平分/ HEF 求证：(AEH^A CGF(2)四边形EFGH是菱形.HEG37. 如图，四边形ABCD 中，AD// BC, BA 丄AD, BC=DC BEL CD 于点E. (1) 求证：△ ABMA EBD(2) 过点E作EF// DA,交BD于点F,连接AF.求证：四边形AFED是菱形.38. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB(1)求证：△ BCP^A DCP(2)求证：/ DPE=/ ABC(3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变(如图②)，若/ ABC=58，贝CDPE= ____ 度.图①圏②39. 在数学活动课中，小辉将边长为•:和3的两个正方形放置在直线I上，如图1，他连结AD、CF,经测量发现AD=CF(1)他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断AD与CF第14页(共41页)还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转，使点E旋转至直线I上，如图3,请你求出CF的长.F图140. 数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC 的中点./ AEF=90°,且EF交正方形外角/ DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF图1 图2经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M，连接ME,则AM=EC 易证△AME^A ECF 所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”其它条件不变，那么结论“AE=E«然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=Ef5然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.初二平行四边形所有知识点总结和常考题提咼难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一•选择题（共14小题）1. （2013?宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A、两组对边分别平行B.对角线相等C•对角线互相平分D.两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键.2. （2014?可池）平行四边形ABCD中，AC BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A、AB=BC B. AC=BD C. AC丄BD D. AB丄BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断.【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断.故选B.【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.3. （2008?扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）卫---------------- nA.当AB=BC时，它是菱形B.当AC丄BD时，它是菱形C.当/ ABC=90时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形.【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC寸，它是菱形，故A选项正确；B、t四边形ABCD是平行四边形，二BO=OD, T AC丄BD,：AB^Bb+AO2,AD2=DO2+AO2,A AB=AD,二四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D.【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错.4. （2011?张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B•矩形C•菱形D.正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.【解答】解：连接BD,已知任意四边形ABCD, E、F、G、H分别是各边中点.•••在△ ABD 中，E、H 是AB、AD 中点，••• EH// BD, EH= BD.2•••在△ BCD中，G、F是DC、BC中点，••• GF/ BD, GF= BD,2••• EH=GF EH// GF,•••四边形EFGH为平行四边形.【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.5. （2006?南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A, B, D的坐标分别是（0, 0）, （5, 0）, （2, 3）,则顶点C的坐标是（）C. (7, 3)D. (8, 2)【分析】因为D点坐标为（2, 3）,由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3,又由D点相对于A点横坐标移动了2,故可得C点横坐标为2+5=7,即顶点C的坐标（7, 3）.【解答】解：已知A, B, D三点的坐标分别是（0, 0）, （5, 0）, （2, 3）, ••• AB在x轴上，•••点C与点D的纵坐标相等，都为3,又T D点相对于A点横坐标移动了 2 -0=2,• C点横坐标为2+5=7,•即顶点C的坐标（7, 3）.故选：C.【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查.同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高.6. （2014?河南）如图，？ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB丄AC,若AB=4, AC=6,贝U BD的长是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长. 【解答】解：：?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,•BO=DO AO=CO••• AB丄AC, AB=4, AC=6,•B°=-；〜_=5,•BD=2BO=10故选：C.【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单.7. （2013?南充）如图,把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若AE=2, DE=6, / EFB=60 ,则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12 ；D. 16 :【分析】在矩形ABCD中根据AD// BC得出/ DEF=Z EFB=60,由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B'处，所以/ EFB W DEF=60, / B=Z A B' F=90Z A=Z A =90° AE=A E=2 AB=A B 在厶EFB 中可知/ DEF= EFB= EB卩=6故厶EFB是等边三角形，由此可得出/ A B' E=960°30°根据直角三角形的性质得出A B' =AB=2然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.【解答】解：在矩形ABCD中，••• AD// BC,•••/ DEF=/ EFB=60,•••把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B处，•••/ DEF=/ EFB=60, / B=/ A B' F=90/ A=/ A =90° AE=A E=2AB=A ,在厶EFB中，v/ DEF=/ EFB=/ EB F=60°•••△ EFB是等边三角形，Rt A A E中，v/ A B' E=9060°=30°,••• B E=2A 而A E=2••• B' E=4••• A B' =2,g卩AB=2 二，v AE=2 DE=6••• AD=AE^DE=26=8, _ _•••矩形ABCD的面积=AB?AD=2= X 8=16 二.故选D.【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补, 两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键.8. （2013?扬州）如图，在菱形ABCD中，/ BAD=80 , AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则/ CDF等于（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【分析】连接BF,根据菱形的对角线平分一组对角求出/ BAC, / BCF=/ DCF, 四条边都相等可得BC=DC再根据菱形的邻角互补求出/ ABC,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF根据等边对等角求出/ ABF=/ BAC,从而求出/ CBF再利用边角边”证明A BCF和A DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/ CDF/ CBF【解答】解：如图，连接BF,在菱形ABCD 中,/ / BAC=- / BAD寺X 80°=40°, / BCF/ DCF, BC=DC/ ABC=180-/ BAD=180 - 80°100°,••• EF是线段AB的垂直平分线，••• AF=BF / ABF=/ BAC=40,•••/ CBF/ ABC- / ABF=100 - 40°60°,•••在△ BCF 和ADCF 中，'BC=DCZBCF=ZDCF,.OF二CF•••△ BCF^A DCF( SAS ,•••/ CDF=/ CBF=60.【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键.9. （2015?可南）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作/ BAD的平分线AG交BC 于点E.若BF=6, AB=5,贝U AE的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【分析】由基本作图得到AB=AF,加上AO平分/ BAD,则根据等腰三角形的性质得到AO丄BF, BO=FO= BF=3再根据平行四边形的性质得AF// BE,所以/仁 / 3,于是得到/ 2=/ 3,根据等腰三角形的判定得AB=EB然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE最后利用勾股定理计算出AO,从而得到AE的长.【解答】解：连结EF, AE与BF交于点O,如图，••• AB=AF AO 平分/ BAD,••• AO丄BF, BO=FO= BF=32•••四边形ABCD为平行四边形,••• AF/ BE,•••/仁/ 3 ,•••/ 2=/ 3 ,• AB=EB而BO丄AE,••• AO=OE在Rt A AO B 中，AO=.卜..二=j M4, ••• AE=2AO=8 故选C.【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分.也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图.10. （2013?凉山州）如图，菱形ABCD中，/ B=60°, AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF勺周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 17【分析】根据菱形得出AB=BC得出等边三角形ABC,求出AC,长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4求出即可.【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，••• AB=BCvZ B=60°,•••△ ABC是等边三角形，••• AC=AB=4•••正方形ACEF的周长是AC+CE F EF+AF=4X 4=16 , 故选C.【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长.11. （2013?泰安）如图,在平行四边形ABCD中,AB=4, Z BAD的平分线与BC 的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点，DG丄AE,垂足为G, 若DG=1,贝U AE的边长为（）第23页（共41页）A. 2 7B. 4 二C. 4D. 8【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD 与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得至U AD=DF,由F为DC中点，AB=CD求出AD与DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD 与DG 的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF 全等，得出AF=EF即可求出AE的长.【解答】解：TAE为/ DAB的平分线，•••/ DAE=/ BAE,•••DC// AB，•••/ BAE=/ DFA•••/ DAE=/ DFA••• AD=FD又F为DC的中点，••• DF=CF••• AD=DF= D C= AB=2,2 2在RtAADG中，根据勾股定理得：AG=则AF=2AG=2 二，••平行四边形ABCD••• AD// BC,•••/ DAF=/ E，/ ADF=/ ECF在厶ADF和厶ECF中,'ZDAF=ZE“ ZADF=ZECF,HF 二CF•••△ ADF^A ECF（ AAS ,••• AF=EF则AE=2AF=4 二.故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.12. （2013?菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si, S2,则S i+Q的值为（）第仃页（共41页）18 D. 19 S的边长为3，由ACV^BC,BC=CE匪CD,可得AC=2CDCD=2 EC=匚；然后，分别算出S、5的面积，即可解答.【解答】解：如图，设正方形的边长为x, _根据等腰直角三角形的性质知，AC=：x, x=匚CD, ••• AC=2CD CD晋=2, ••• EC=22+22，即EC^2;二S2 的面积为E&=, 「: _-8;••• S的边长为3, 0的面积为3 X 3=9,Si+S2=8+9=17.故选：B.A C DE考查了学生的读图【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质, 能力.13. （2013?连云港）如图，正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上，且 / BAE=22.5, EF丄AB,垂足为F,贝U EF的长为（）A. 1B.匚C. 4 - 2 匚D. 3 匚—4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得/ ABD=/ ADB=45，再求出/ DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求/ AED,从而得到/ DAE=ZAED,再根据等角对等边的性质得到AD=DE然后求出正方形的对角线BD,再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的莎倍计算即可得解.【解答】解：在正方形ABCD中,/ ABD=/ ADB=45 , •••/ BAE=22.5,• / DAE=90 -/ BAE=90 - 22.5 =67.5 ；在厶 ADE 中，/ AED=180 - 45° 67.5=67.5；•••/ DAE=/ AED,••• AD=DE=4•••正方形的边长为4,••• BD=4 匚,BE=BD- DE=4 ■: - 4,••• EF± AB,/ ABD=45 ,•△ BEF是等月腰直角三角形，•EF= BE= X（4 匚一4）=4- 2 匚.2 2故选：C.【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点.14. （2014?畐州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE, AC BE【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出/ ABE=15, / BAC=45，再求/ BFC【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，•AB=AD,又•••△ ADE是等边三角形，•AE=AD=DE/ DAE=60,•AB=AE•/ ABE=/ AEB / BAE=90+60°=150°,•/ ABE=（ 180°- 150° - 2=15°,又•••/ BAC=45,•/ BFC=4°15°=60°.故选：C.【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出/ ABE=15.二.填空题（共13小题）15. （2008?恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24 cm2.【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6X 8-2=24cm2. 故答案为：24.【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半.16. （2015?梅州）如图，在？ABCD 中，BE 平分/ ABC, BC=6 DE=2 则？ABCD 的周长等于20 .【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE// BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出/ ABE=Z AEB继而可得AB=AE然后根据已知可求得结果.【解答】解：•••四边形ABCD为平行四边形,••• AE/ BC, AD=BC AB=CD•••/ AEB=/ EBC••• BE平分/ ABC,•••/ ABE=/ EBC•••/ ABE=/ AEB••• AB=AE••• AE+DE=AD=BC=6••• AE+2=6 ,••• AE=4••• A B=CD=4••• ?ABCD 的周长=4+4+6+6=20 ,故答案为：20.【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出/ ABE=Z AEB.17. （2013?厦门）如图，?ABCD的对角线AC, BD相交于点O,点E, F分别是线段AO , BO的中点,若AC+BD=24厘米,△ OAB的周长是18厘米,贝U EF= 3 厘米.【分析】根据AC+BD=24厘米,可得出出OA+OB=12cm,继而求出AB,判断EF 是厶OAB的中位线即可得出EF的长度.【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形,•••OA=OC OB=OD又••• AOBD=24 厘米,二OA+OB=12cm,•••△ OAB的周长是18厘米，••• AB=6cm,•••点E, F分别是线段AO, BO的中点，•丘卩是厶OAB的中位线，• EF= AB=3cm.2故答案为：3.【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质.18. （2007?临夏州）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2, BC=3则图中阴影部分的面积为 3 .E DB F C【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△ AOE^A COF图中阴影部分的面积就是厶BCD的面积.【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，•OA=OC / AEO=Z CFO又•••/ AOE=/ COF,在厶AOE和厶COF中，'ZAE0=ZCF0PARC ,L ZA0E=ZC0F•△AOE^A COF,•S AOE=S^COF,•图中阴影部分的面积就是△ BCD的面积.S^BC[= BC X CD= X 2 X 3=3.2 2故答案为：3.【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键.19. （2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A, B,则点C的坐标是（5,4）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标.【解答】解：•••菱形ABCD的顶点A, B的坐标分别为（-3, 0）, （2, 0）,点D 在y轴上，AB=5,••• D0=4,•••点C的坐标是：（5, 4）.故答案为：（5, 4）.【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键.20. （2015?黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若/ CBF=20,则/ AED等于65 度.【分析】根据正方形的性质得出/ BAE=/ DAE再利用SAS证明△ ABE与厶ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可.【解答】解：•••正方形ABCD,• AB=AD / BAE=/ DAE 在厶ABE与△ ADE中，应二AD* ZBAE^ZDAE,AE=AEt•△ABE^A ADE （SAS ,•/ AEB=/ AED, / ABE=Z ADE,•••/ CBF=20,•/ ABE=70 ,•/ AED=/ AEB=180 - 45°- 70°=65°,故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质,关键是根据正方形的性质得出/ BAE=/ DAE,再利用全等三角形的判定和性质解答.21. （2013?十堰）如图,?ABCD中,/ ABC=60 , E、F分别在CD和BC的延长线上,AE// BD, EF丄BC, EF=「，贝U AB 的长是 1 .【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD AB//CD,得出平行四边形ABDE推出DE=DC=AB根据直角三角形性质求出CE长,即可求出AB的长.【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AB// DC, AB=CD••• AE// BD,•••四边形ABDE是平行四边形，••• AB=DE=CD即D为CE中点，••• EF丄BC,•••/ EFC=9°••• AB// CD,•••/ DCF=/ A BC=60,•••/ CEF=3°•- EF=「,••• CE==2,cos30••• AB=1,故答案为：1.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目.22. （2013?黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4,且AE± BC于E, AF 丄CD于F,Z B=60°,则菱形的面积为—墜_.【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底X高计算即可.【解答】解：•••菱形ABCD的边长为4,••• AB=BC=4••• AE丄BC于E,Z B=60°,•sinB亠二-,AB 2•AE=2「, _ _•••菱形的面积=4X2二=8故答案为8二.【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用.23. （2013?鞍山）如图，D 是厶ABC内一点，BD丄CD, AD=6, BD=4, CD=3, E、F、G、H分别是AB、AC CD BD的中点，则四边形EFGH的周长是11 .【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG= AD, EF=GH= BC,然后代入数据进行计算2 2即可得解.【解答】解：：BD丄CD, BD=4, CD=3二BC= Hr厂「= ■一•：广=5，••• E、F、G、H 分别是AB AC CD BD 的中点，EH=FG= AD, EF=GH= BC,2 2.四边形EFGH的周长=EF+GF+FG+EF=AD H BC,又T AD=6,.四边形EFGH的周长=6+5=11. 故答案为：11.【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.24. （2015?攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A （10, 0）, C （0, 4）, D为OA的中点，P为BC边上一点.若△ POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5, 4）,或（3, 4），或（2, 4）, 或（8, 4） .【分析】由矩形的性质得出/ OCB=90, OC=4, BC=OA=10求出OD=AD=5分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标.【解答】解：•••四边形OABC是矩形，•••/ OCB=90 , OC=4 BC=OA=10T D为OA的中点，.OD=AD=5①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，•••点P的坐标为：（2.5, 4）;②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5 PC^_42=3,•••点P的坐标为：（3, 4）;③当DP=DO时，作PEL OA于E,贝U/ PED=90, DE= - =3;分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5- 3=2,•点P的坐标为：（2, 4）;当E在D的右侧时，如图3所示：OE=f+3=8,•点P的坐标为：（8, 4）;综上所述：点P的坐标为：（2.5, 4）,或（3, 4）,或（2, 4），或（8, 4）; 故答案为：（2.5, 4），或（3, 4）,或（2, 4）,或（8, 4）.<yc p BA0 D E A X闺3闺1【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果.25. （2013?阜新）如图，已知△ ABC的三个顶点的坐标分别为A （-2, 0）, B（-1, 2）, C （2 , 0）.请直接写出以A , B, C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标（3 , 2）（-5 , 2）（1,二2）.【解答】解：如图：以A , B , C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标分26. （2014?丹东）如图，在菱形 ABCD 中, AB=4cm,/ ADC=120,点 E 、F 同时 由A 、C 两点出发，分别沿AB CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的 速度为1cm/s ,点F 的速度为2cm/s ,经过t 秒厶DEF 为等边三角形，则t 的值为 4 【分析】延长AB 至 M ，使BM=AE,连接FM ,证出△ DAE ^EMF,得到△ BMF 是等边BC, AB, AC 为对角线作平行四边形, 即可求得答案. 别为：(3, 2), (-5, 2), (1,- 2). 故答案为：(3, 2), (- 5, 2), (1,- 2).。

平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.平行四边形的定义 (2)2.平行四边形的性质 (3)3.平行四边形的判定定理 (7)4.三角形中位线定理 (10)三、重难点题型 (14)1.平行四边形的共性 (14)2.平行四边形间距离的应用 (16)3.与平行四边形有关的计算 (17)4.与平行四边形有关的证明 (19)二、基础知识点1.平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

平行四边形ABCD记作“□ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形例1.如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE=DF．答案：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥CB，AD=CB∵DE⊥AB，BF⊥CD∴∠DEA=∠CFB∴△ADE≌△CFB∴AE=CF∵DC=AB∴BE=DF例2.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。

（3解）答案：如下图，有三种情况，坐标分别为：（0，－1）；（2,1）；（－2,1）2.平行四边形的性质性质1（边）：平行四边形的对边相等（AB=CD，AC=BD）证明：∵∠CAD=∠ADB ∠DAB=∠ADC AD=AD ∴△ACD≌△DBA（ASA）∴AB=CD AC=BD性质2（角）：平行四边形对角相等，邻角互补（∠A=∠D，∠C=∠B；∠A+∠C=∠B+∠D=180°）证明：∵△ACD≌△DBA（ASA）又∵∠CAB=∠CAD+∠DAB ∠CDB=∠CDA+∠ADB∴∠CAB=∠CDB∵AB∥CD∴∠B+∠BDC=180°性质3（对角线）：平行四边形对角线互相平分（AO=OC；BO=OD）证明：∵AD=BC ∠OAD=∠OCB ∠ODA=∠OBC∴△AOD≌△COB（ASA）∴AO=OC OB=OD注1：平行四边形对角线互相平分，但两对角线不一定相等解析：假设平行四边形对角线相等∴∠OAD=∠ADO=∠OBC=∠OCB∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠CDO又∵∠DAB+∠CBA=180°∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∴仅在平行四边形的四个角为直角时（即矩形），对角线相等注2：对角线不一定平分角解析：假设平行四边形对角线平分角，则∠ADB=∠BDC ∠ACD=∠ACB ∵∠DCB=∠BAD∴∠ACD=∠CAD又∵OD=OD∴△AOD≌△COD（AAS）∴AD=DC=BC=AB∴仅当平行四边形四条边相等时（即菱形），对角线平分角性质4：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。

专题18.1 平行四边形一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·厦门市湖里中学初二月考）一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°2．（2020·全国初二课时练习）下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等3．（2019·贵州初二期末）如图，EF为△ABC的中位线，若AB=6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．54．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）A．B．C．D．5．（2020·陕西西北工业大学附属中学初三月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A ．6B ．12C ．18D ．246．（2020·全国初二课时练习）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种7．（2017·湖北初二期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．（2020·广东初三期末）如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．16B ．13C ．11D ．109．（2019·河南初二期中）在ABCD 中，已知76A C ∠+∠=︒，则下列正确的是（ ）A ．28A ∠=︒B ．142B ∠=︒C ．48C ∠=︒D ．152D ∠=︒10．（2019·河北初二期末）如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是( )A ．2B ．1C D11．（2019·曲阜师范大学附属实验学校初二月考）如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm212．（2019·浙江初二期末）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2019·河北金华中学初三开学考试）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试了一种辅助线，如图1，图2所示，其中辅助线做法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线做法都可以B．小丽和小亮的辅助线做法都不可以C．小丽的辅助线做法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线做法可以，小丽的不可以14．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校初二期末）如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为l cm，AB＝2cm，∠B＝60°，则拉开部分的面积（即阴影面积）是（）A ．1cm 2B ．2cm 2C 2D ．2二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·民勤县新河乡中学初二月考）已知ABCD 中一条对角线分A ∠为35°和45°，则B ∠=________度．16．（2019·厦门市湖里中学初二月考）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为______17．（2019·福建初三）如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，若BF ＝10，则AB 的长为____．18．（2020·全国初二课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国初二课时练习）已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 中BD 上的点，且BE ＝DF ，试说明，四边形AECF是平行四边形。

平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为2)3(-n n 。

二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法． 2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ⑤方法4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2. 矩形性质①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．3. 矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．4. 矩形的面积① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．四、菱形 1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

第6讲 平行四边形单元整体分类总复习考点一 多边形的内角和、外角和知识点睛：1. n 边形的内角和为()()31802≥︒⨯-n n ，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数2. 对角线公式从n 边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形，n 边形的对角线共有()23-n n 条 类题训练1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形【分析】设这个多边形为n 边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：设这个多边形为n 边形，它的外角分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则对应的内角分别为4x 1+30°，4x 2+30°，⋯，4x n +30°，根据题意得，x 1+x 2+⋯+x n ＝360°，（4x 1+30°）+（4x 2+30°）+⋯+（4x n +30°）＝（n ﹣2）×180°，∴4×（x 1+x 2+⋯+x n ）+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴4×360°+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴1440°+30°n ＝180°n ﹣360°，∴150°n ＝1800°，∴n ＝12，故选：C ．2．（2021秋•黄冈期末）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n 边形从一个顶点出发可引出（n ﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D ．3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n−2＜7，∵n为正整数，∴n＝9，∴这个多边形的边数n的值是9．故选：C．4．（2021秋•丹东期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，∴多边形的边数为5+3＝8，故选：B．5．（2021秋•天元区期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．6．（2021春•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（）A．90°B．85°C．80°D．70°【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故选：D．考点二平行四边形的性质知识点睛：1.平行四边形的性质定理∶（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.（3）平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.类题训练1．（2021秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD 【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∴AD∥BC，故B正确；∴AD＝BC，故C正确；故选：D．2．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故选：A．3．（2022春•秀英区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝5，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，∴EF＝2；故选：A．4．（2021秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C 点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．5．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．6．（2021秋•九江期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB ＝5cm，则它的面积为．【分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．在直角三角形ABE中，∠BAC＝30°，AB＝5cm，∴BE＝AB•sin∠CAB＝5×＝2.5（cm），S△ABC＝AC•BE÷2＝10（cm2），∴S▱ABCD＝2S△ABC＝20cm2．故答案为：20cm2．7．（2021秋•鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×6＝3，∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，∴5﹣3＜m＜5+3，∴m的取值范围是：2＜m＜8．故答案为：2＜m＜8．8．（2021秋•桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到BM＝AB＝×2＝1，根据勾股定理得到AM＝＝＝，得到S平行四边形ABCD＝BC•AM ＝3，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S＝S△DOF，于是得到结论．△BOE【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．9．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．10．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF 并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，∵∠EF A＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝31°，∴∠AFE＝∠E＝31°，∴∠DAB＝2∠E＝62°．11．（2021秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADE＝∠CBF，∵OE＝OF，∴DE＝BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥HC，∵AH∥CG，∴四边形AHCG是平行四边形，∴AH＝CG．考点三平行四边形的判定知识点睛：1.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）. ；2）. ；3）. ；2、三角形中位线定理3、平行四边形的判定1）.边的判定；；；2）. 从角的判定；；3）.从对角线判定二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019·陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE ＝∠ADC．（1）若∠AFE ＝70°，∠DEC ＝40°，求∠DAF 的大小；（2）若DE ＝AD ，求证：△AFD ≌△DCE方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理. 巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD=5cm ，AB=3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于 （ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm2．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，若AB ＝6，EF ＝2，则BC 的长为( )A ．8B ．10C ．12D ．143．（2020·广东初三期末）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE V 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )A ．14B ．16C ．20D ．184．（2018·山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ．（1）求证：CD=BE ；（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．5．（2019·河北初二期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF．考点2：平行四边形的判定典例：（2020·湖南初三期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为．方法或规律点拨本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．巩固练习1．（2018·广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A ．AB//CD ，AD=BCB ．A BCD ∠∠∠∠==， C ．AO=OC ，DO=OB D ．AB=AD ，CB=CD2．（2020·全国初二课时练习）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ＝DC ，AD ＝BCB ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OD ＝OB3．（2019·商南县富水初级中学初三）如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能．．判定四边形ABCD 一定是平行四边形的是（ ）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB//CD ，AD=BC C ．AB//CD ，AB=CD D ．AB//CD ，AD//BC 5．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，G 是边CD 上一点，BG 的延长线交AD 的延长线于点E ，AF ＝CG ．（1）求证：四边形DFBG 是平行四边形．（2）若∠DGE ＝105°，求∠AFD 的度数．考点3：平行四边形存在性判定典例：．（2019·温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （-1，-3），P 是x轴上的一点，Q 是y 轴上的一点，若以点A ，B ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB 的长分别确定P ，Q 的位置是解决问题的关键．巩固练习1．（2020·山东初三期末）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A ．8cm 和3cmB ．8cm 和4cmC ．8cm 和5cmD ．8cm 和20cm3．（2019·河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）A ．8和16B ．10和16C ．8和14D ．8和124．（2019·广东省英德市英城街中学初二期末）如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0).(1)画出把△ABC 向下平移4个单位后的图形．(2)画出将△ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形．(3)写出符合条件的以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．考点4：三角形中位线性质典例：．（2020·南通市启秀中学初二期末）()1如图，在已知ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证12DE BC =.()2利用第()1题的结论，解决下列问题:如图，在四边形ABCD 中，90,3A AB AD ∠===o ，点,M N 分别在,AB BC 上，点,E F 分别为,MN DN 的中点，连接EF ，求EF 长度的最大值.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒2．（2018·山东初二期末）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33．（2018·广东初二期中）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 ．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为_____．考点5：平行四边形与折叠问题典例：．（2018·浙江初二期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.方法或规律点拨 本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1（2019·广西初三）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o2．（2019·郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点 E 、F 分别是边 AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．3．（2020·山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在'C 处，'BC 与AD 相交于点E .（1）求证：EB ED =；（2）连接'AC ，求证：'//AC BD .专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）.平行四边形的边：对边平行且相等；2）.平行四边形的角：对角相等、邻角互补；3）.平行四边形的对角线互相平分；2、三角形中位线定理三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3、平行四边形的判定1）.边的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2）. 从角的判定邻角互补的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3）.从对角线判定对角线互相平分的四边形是平行四边形；二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019·陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE＝∠ADC．（1）若∠AFE＝70°，∠DEC＝40°，求∠DAF的大小；（2）若DE＝AD，求证：△AFD≌△DCE【答案】（1）∠DAF＝30°；（2）见解析．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC＝40°．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝110°，∴∠DAF＝180°﹣∠AD F﹣∠AFD＝30°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DEC中，ADF DECAFD CAD DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFD≌△DCE（AAS）．方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解析】解：如图，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC-BE=5-3=2．故选B．2．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8B．10C．12D．14【答案】B【解析】根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.3．（2020·广东初三期末）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE V 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )A ．14B ．16C ．20D ．18【答案】C【解析】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OB OD =，OE BD ⊥Q ，BE DE ∴=，CDE QV 的周长为10，DE CE CD BE CE CD BC CD 10∴++=++=+=，∴平行四边形ABCD 的周长()2BC CD 20=+=；故选：C ．4．（2018·山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ．（1）求证：CD=BE ；（2）若AB=4，点F 为DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，且DG=1，求AE 的长．【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD//AB ，∴∠DAE=∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠EAB=∠E，∴CD=BE.（2）∵CD//AB.∴∠BAF=∠DFA.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAF=∠DFA.∴DA=DF.∵F为DC中点，AB=4，∴DF=CF=AD=2，∵DG⊥AE，DG=1，∴AG=GF=，∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.∴△ADF≌△ECF.∴AF=EF.∴AE=2AF=4.5．（2019·河北初二期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AD ∥BC ，∴∠OAF=∠OCE ，在△OAF 和△OCE 中，OAF OCE OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴OE=OF ；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD ，∵OE=OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴BE=DF ．考点2：平行四边形的判定典例：（2020·湖南初三期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点E ，点E 是BD 的中点，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AF ，（1）求证：AE ＝CE ；（2）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（3）若AB ＝2，AF ＝4，∠F ＝30°，则四边形ABCF 的面积为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】解：（1）证明：∵点E 是BD 的中点，∴BE ＝DE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBE ，在△ADE 和△CBE 中ADE CBE DE BEAED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CBE （ASA ），∴AE ＝CE ；（2）证明：∵AE ＝CE ，BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵DF ＝CD ，∴DF ＝AB ，即DF ＝AB ，DF ∥AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形；（3）解：过C 作CH ⊥BD 于H ，过D 作DQ ⊥AF 于Q ，∵四边形ABCD 和四边形ABDF 是平行四边形，AB ＝2，AF ＝4，∠F ＝30°，∴DF ＝AB ＝2，CD ＝AB ＝2，BD ＝AF ＝4，BD ∥AF ，∴∠BDC ＝∠F ＝30°，∴DQ ＝12DF ＝122⨯＝1，CH ＝12DC ＝122⨯＝1， ∴四边形ABCF 的面积S ＝S 平行四边形BDFA +S △BDC ＝AF×DQ+1BD CH 2⨯⨯＝4×1+1412⨯⨯＝6， 故答案为：6．方法或规律点拨 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 巩固练习1．（2018·广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB//CD ，AD=BCB ．A BCD ∠∠∠∠==， C ．AO=OC ，DO=OBD ．AB=AD ，CB=CD【答案】C【解析】 解：A 、由AB ∥CD ，AD=BC 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、由∠A=∠B ，∠C=∠D 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、由OA=OC ，OD=OB 能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB=AD ，BC=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．2．（2020·全国初二课时练习）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ＝DC ，AD ＝BCB ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BCD ．OA ＝OC ，OD ＝OB【答案】C【解析】A. AB ＝DC ，AD ＝BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意；B. AD ∥BC ，AD ＝BC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意；C. AB ∥DC ，AD ＝BC ，一组对边平行，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故符合题意；D. OA ＝OC ，OD ＝OB ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意，故选C.3．（2019·商南县富水初级中学初三）如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB＝S△BGP，同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．∵CG＝2BG，S△BPG＝1，∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝4×1＝4，故选：B．4．（2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能．．判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB//CD，AD=BC C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD//BC【答案】B【解析】A、AB=CD，AD=BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B、AD=CB，AB∥DC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；C、AB=CD，AB∥CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB∥CD，AD∥BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B．5．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG．（1）求证：四边形DFBG是平行四边形．（2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数．【答案】（1）见解析;（2）105°.【解析】证明：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴//,AB CD AB CD =又AF ＝CG ，∴BF DG =∴四边形DFBG 是平行四边形（2）∵四边形DFBG 是平行四边形//,//DE BG BF DG ∴∴∠AFD ＝∠ABE ＝∠DGE ＝105°考点3：平行四边形存在性判定典例：．（2019·温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （-1，-3），P 是x 轴上的一点，Q 是y 轴上的一点，若以点A ，B ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】符合题意的点Q 的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）．【解析】如图所示，当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，∵点A（4，2），B（-1，-3），∴，则OP2=OQ2=5，∴Q2点的坐标是：（0，-5），②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，∴Q点的坐标是：（0，5），③当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，∴Q1点的坐标是：（0，-1）．综上所述：符合题意的点Q的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）．方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键．巩固练习1．（2020·山东初三期末）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选C．2．（2019·武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．8cm和3cm B．8cm和4cm C．8cm和5cm D．8cm和20cm【答案】C【解析】如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm，A、∵AC=8cm，BD=3cm，∴OA=12AC=4cm，OB=1.5cm，∵4+1.5=5.5＜6，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、∵AC=8cm，BD=4cm，∴OA=12AC=4cm，OB=2cm，∵4+2=6，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、∵AC=8cm，BD=5cm，∴OA=12AC=4cm，OB=2.5cm，∵4+2.5=6.5＞6，∴能组成三角形，故本选项正确；D、∵BD=8cm，AC=20cm，∴OB=12BD=4cm，OA=10cm，∵4+6=10∴不能组成三角形，故本选项错误．故选C．3．（2019·河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（）A．8和16B．10和16C．8和14D．8和12【答案】B【解析】A、两对角线的一半分别为4、8，∵4+8=12，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、两对角线的一半分别为5、8，∵5+8>12，∴能组成三角形，故本选项正确；C、两对角线的一半分别为4、7，∵4+7=11<12，∴不能组成三角形，故本选项错误；D、两对角线的一半分别为4、6，∵4+6=10<12，∴不能组成三角形，故本选项错误，故选B．4．（2019·广东省英德市英城街中学初二期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0).(1)画出把△ABC向下平移4个单位后的图形．(2)画出将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形．(3)写出符合条件的以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)D 1(3，3)、D 2(-7，3)、D 3(-5，-3).【解析】（1）如图所示，△A B C '''即为所求作；（2）如图所示，△DEF 即为所求作；（3）D 1(3，3)、D 2(-7，3)、D 3(-5，-3).考点4：三角形中位线性质典例：．（2020·南通市启秀中学初二期末）()1如图，在已知ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证12DE BC =.()2利用第()1题的结论，解决下列问题:如图，在四边形ABCD 中，90,3A AB AD ∠===o ，点,M N 分别在,AB BC 上，点,E F 分别为,MN DN 的中点，连接EF ，求EF 长度的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】(1)延长DE 到F,使得EF=DE,连接CF.∵D 、E 是AB 、AC 的中点,∴AD=BD,AE=CE.∵∠AED=∠CEF,EF=DE,∴△ADE ≌△CFE(SAS)∴CF=AD,∠DAE=∠FCE∴BD=CD,AB ∥CF,∴四边形DBCF 为平行四边形,∴DF=BC, ∵12DE DF =∴12DE BC =. (2)连接DM,∵点E,F 分别为MN,DN 的中点,∴EF=12DM, ∴DM 最大时,EF 最大,∵M 与B 重合时DM 最大,此时6=,∴EF 的最大值为3.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【答案】C【解析】∵P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴PF=12BC ，PE=12AD ， ∵AD BC =，∴PF=PE ，∵136EPF ∠=︒，∴∠EFP=∠PFE=180136222︒-︒=︒ ． 故选C ．2．（2018·山东初二期末）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=12DE=52．故选：C．3．（2018·广东初二期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．【答案】11．【解析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=1 2AD，EF=GH=12BC，然后代入数据进行计算即可得解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC5===．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=12AD，EF=GH=12BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．【答案】1【解析】在△AGF和△ACF中，{GAF CAFAF AF AFG AFC∠=∠=∠=∠，∴△AGF ≌△ACF ，∴AG=AC=4，GF=CF ，则BG=AB−AG=6−4=2.又∵BE=CE ，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF=12BG=1. 故答案是：1考点5：平行四边形与折叠问题典例：．（2018·浙江初二期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.【答案】（1）2；（2）22x ≤≤【解析】解：（1）∵折叠，∴'BAE B AE ∠=∠.∵AD BC ∥，∴'B AE AEB ∠=∠，∴BAE AEB ∠=∠，∴4AB BE ==，∴2CE BC BE =-=.（2）当'B 落在DE 上时，过点A 作AH DE ⊥于点H .∵'60AB H B ∠=∠=︒，'4==AB AB ， ∴1''22HB AB ==，∴AH =在Rt ADH ∆中，DH =，∴''2DB DH HB =-=.∵AD BC ∥，∴DAE AEB AED ∠=∠=∠，∴6DE AD ==.∴()'628EB BE ==-=-，∴(682EC BC BE =-=--=，∴22x ≤≤.方法或规律点拨本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1（2019·广西初三）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o【答案】B【解析】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ，故选B ．2．（2019·郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点 E 、F 分别是边 AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．【答案】143或285【解析】设点A 落在BC 边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′M 垂直于AB ，交AB 延长线于M 点，在Rt △A′BM 中，∠A′BM=60°，∴BM=2，在Rt △A′EM 中，利用勾股定理可得：x 2=（10-x ）2+12，解得x=285． 即AE=285； ②如图2，当A′B=13BC=2时， 设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′N 垂直于AB ，交AB 延长线于N 点，在Rt △A′BN 中，∠A′BN=60°，∴BN=1，．在Rt △A′EN 中，利用勾股定理可得：x 2=（9-x ）2+3，解得x=143． 即AE=143； 所以AE 的长为5.6或143． 故答案为5.6或143． 3．（2020·山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在'C 处，'BC 与AD 相交于点E .（1）求证：EB ED =；（2）连接'AC ，求证：'//AC BD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】证明：（1）由折叠可知：CBD EBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC∴CBD EDB ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠∴EB ED（2）如图，由（1）知BE=DE，∴AE=C'E，∴∠DAC'=12（180°-∠AEC'）=90°-12∠AEC'，同理：∠ADB=90°-12∠BED，∵∠AEC'=∠BED，∴∠DAC'=∠ADB，∴AC'∥BD.31/ 31。