《两角和与差的正弦、余弦和正切公式-二倍角公式》说课稿

两角和与差余弦公式的说课稿两角和与差余弦公式的说课稿一、教材分析：㈠、地位和作用：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，它具有承上启下的作用.是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

㈡、教学重点难点教学重点：两角和与差余弦公式的推导及应用教学难点：两角差余弦公式的推导设计依据：由于“两角和与差余弦公式的推导及应用”对后几节内容是否掌握具有决定意义，因此它是本节课的一个重点。

由于“两角差余弦公式的推导”需要构造向量来解决，所以它是本节课的一个难点。

二、目标分析1、知识与技能：使学生理解两角和与差余弦公式的推导，并能初步应用它们进行简的三角函数式的化简，求值及恒等式的证明.2、过程与方法：经历由向量的数量积推导两角和与差的余弦过程，体验和感受数学发现和数学创造的过程，体会向量和三角函数的联系，体会一般到特殊和数形结合的思想.3、情感、态度、价值观①让学生在公式的推导和运用过程中体会成功的喜悦，培养学生不怕困难勇于探索的求知精神.②通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美，给学生以美的陶冶.三、教学方法分析本课时授课对象是对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求渴望的高一学生他们已经掌握了任意角的三角函数和向量的相关知识，但独立地运用向量的方法来推导公式存在的困难。

根据学生已有的知识储备和心理特征，确定教法为：自主探究、小组讨论、合作交流。

本节课是一节公式推导和应用课，应该采用启发式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用过程。

四、教学过程分析教学过程分为温故知新，引入新课、由特殊值探索公式结构、引导学生证明公式、通过例题体会公式的应用、通过练习题加深对本节内容的掌握、学生小结本节课的收获、布置作业几个环节。

Ⅰ、引入新课问题1 ：我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=55，α∈(0,2π)，cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=? ，能否推导出tan(α-β)=?的结构特征如何？ 教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+kπ(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsincos)2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53-,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πcosα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sinα=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号. 解：由sinα=32,α∈(2π,π),得 cosα=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tanα=552-. 又由cosβ=31-,β∈(π,23π). sinβ=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tanβ=7.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠C AB =α，则sinα=6730， 在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tanα. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sinα=6730,α∈(0,2π),∴cosα≈6760,tanα≈21.11+55又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-知能训练课本本节练习1—4.1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β;(3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.（2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). -. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x -θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=kπ(k∈Z ).∴θ=kπ-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsi nα)asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教学过程一引入回忆上节课的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosα，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=tanα±tanβ。

1∓tanαtanβ二新知探究问题如何借助S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式？（通过复习和引导，让学生自己动手完成推导过程。

）1.角2α与α的关系：2α=α+α，2.二倍角的正弦公式令S(α+β)公式中括号里的βα=，sin(α+α)=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα。

思考1：除了通过S(α+β)推导出sin2α的公式外，能不能借助S(α−β)推导出sin2α的公式？令S(α−β)公式中括号里的β=−α，借助诱导公式得到sin(α−(−α))=sinαcos(−α)−sin(−α)cosα=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα即sin2α=2sinαcosα.3.二倍角的余弦公式令C(α+β)中括号里的βα=，cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α，或令C(α−β)中括号里的β=−α，通过诱导公式得到cos(α−(−α))=cosαcos(−α)+sinαsin(−α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α。

思考2: 能不能根据同角三角函数的平方和关系表示出cos2α的其他形式呢？由平方和关系可知cos2α=1−sin2α，再代入回原来的式子，可得cos2α=1−sin2α−sin2α=1−2sin2α.或将sin2α=1−cos2α代入可得出cos2α=cos2α−(1−cos2α)=2cos2α−1。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。

本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。

二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。

2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。

3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。

并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。

四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。

五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。

《两角和与差的余弦》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是《两角和与差的余弦》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析1、教材的地位和作用“两角和与差的余弦”是三角函数中的重要内容，它是后续学习两角和与差的正弦、正切以及二倍角公式的基础，在三角函数的化简、求值、证明中有着广泛的应用。

通过对这一内容的学习，能够进一步加深学生对三角函数的理解，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。

2、教材内容的处理教材通过单位圆中的三角函数线以及向量的数量积两种方法来推导两角和与差的余弦公式。

在教学过程中，我将引导学生从不同的角度去思考问题，体会数学知识之间的内在联系，培养学生的创新意识和探究精神。

二、学情分析1、知识基础学生已经掌握了三角函数的基本定义、诱导公式以及向量的基本运算等知识，具备了一定的数学思维能力和运算能力。

2、学习能力高二的学生已经具备了一定的自主学习能力和探究能力，但对于抽象的数学公式的推导和理解还存在一定的困难。

3、心理特点学生对新鲜事物充满好奇心，喜欢探索未知的领域，但在学习过程中容易出现畏难情绪，需要教师给予适当的引导和鼓励。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解两角和与差的余弦公式的推导过程。

（2）掌握两角和与差的余弦公式，并能熟练运用公式进行化简、求值和证明。

2、过程与方法目标（1）通过对公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

（2）通过公式的应用，提高学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。

（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

四、教学重难点1、教学重点两角和与差的余弦公式的推导和应用。

2、教学难点两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是向量法的推导。

五、教法与学法1、教法根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我将采用启发式教学法、探究式教学法和讲练结合法相结合的教学方法。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。

本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。

二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。

2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。

3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。

并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。

四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。

五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。

第4节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)六个公式：①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； ②cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．(2)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)三个公式：①sin 2α＝2sin_αcos_α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan α．(2)公式S 2α、C 2α的变形： ①sin αcosα＝12sin_2α；②sin 2α＝12(1－cos_2α)；③cos 2α＝12(1＋cos_2α)．1．(人教A 版教材习题改编)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32【解析】 sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos 60°＝－12.【答案】 C 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215°【解析】 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 【答案】 B3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝( ) A.18 B ．－18 C.47 D ．－47【解析】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）·tan （α－β）＝3＋51－3×5＝－47.【答案】 D4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210【解析】 由题意知sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋(－45)×22＝－7210.【答案】 A5．(2012·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43【解析】 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 【答案】 B化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)（1＋sin θ＋cos θ）（sin θ2－cos θ2）2＋2cos θ(0＜θ＜π)．【思路点拨】 (1)切化弦，逆用两角和的正弦公式； (2)统一为θ2的三角函数，变形化简．【尝试解答】 (1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(cos 10°＋3sin 10°cos 10°)＝2sin 50°（12cos 10°＋32sin 10°）cos 10°＝2sin 50°sin （30°＋10°）cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cosθ2＞0.因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cosθ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cosθ2)＝(2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2) ＝2cosθ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ. 故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.,1．本题(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式． 2．三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，帮助我们找到变形的方向．化简：(1)2＋2cos 8＋21－sin 8；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan （π4－x ）sin 2（x ＋π4）.【解析】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝2（1＋cos 8）＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4) ＝－2sin 4.(2)原式＝2cos 2x （cos 2x －1）＋122tan （π4－x ）·cos 2（π4－x ）＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos （π4－x ）sin （π4－x ）＝1－sin 22x2sin （π2－2x ）＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．(2)(2013·烟台模拟)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)＝________． 【思路点拨】 (1)2α＋π12＝2(α＋π6)－π4，求出α＋π6的正弦、余弦，再代入求解；(2)先用两角差的余弦公式展开cos(α－π6)，再逆用公式合并，最后用诱导公式求sin(α＋76π)． 【尝试解答】 (1)∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. (2)cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin(α＋π6)＝453. ∴sin(α＋π6)＝45，∴sin(α＋76π)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.【答案】 (1)17250 (2)－45,给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示．(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号．已知0＜β＜π2＜α＜3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．【解析】 因为sin(3π4＋β)＝sin[π2＋(π4＋β)]＝cos(π4＋β)＝513，又因为0＜β＜π2＜α＜3π4，所以π4＜π4＋β＜3π4，－π2＜π4－α＜－π4，故sin(π4＋β)＝1－cos 2（π4＋β）＝1－（513）2＝1213，sin(π4－α)＝－1－cos 2（π4－α）＝－1－（35）2＝－45.所以sin(α＋β)＝sin[(π4＋β)－(π4－α)]＝sin(π4＋β)cos(π4－α)－cos(π4＋β)sin(π4－α)＝1213×35－513×(－45)＝5665.已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值． 着眼点由二倍角公式求tan α，由同角关系求sin α由β＝α＋（β－α），求cos β，进而求β的值.【尝试解答】 (1)由tanα2＝12，得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，∴cos α＝34sin α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①、②联立，得25sin 2α＝16， ∵0＜α＜π2，∴sin α＝45.(2)由(1)知，cos α＝35，sin α＝45又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2. ∴sin(β－α)＝9810＝7210， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)·sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.,1．第(2)问中，由sin β＝22易错误得出β＝π4，这些错误的原因都是忽视了角的范围． 2．“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小．其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，试求角β的值．【解析】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－（17）2＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 又0＜β＜π2，所以β＝π3.一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施． 两个技巧1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝ α＋β2－α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)． 2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等． 三种变化1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等． 3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．题型全面，难度中低档，源于教材，主要考查公式的灵活运用，三角恒等变换能力以及化归转化等数学思想．规范解答之五 三角函数的给值求值问题(12分)(2012·广东高考)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．【规范解答】 (1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，2分即A ·cos π4＝2，∴A ＝2.4分(2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f （4α＋43π）＝－3017，f （4β－23π）＝85，得⎩⎨⎧2cos （α＋π3＋π6）＝－3017，2cos （β－π6＋π6）＝85，6分解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.8分∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35.10分∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.12分【解题程序】 第一步：根据f (π3)＝2求A 的值；第二步： 根据f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求sin α、cos β；第三步：求cos α，sin β的值；第四步：根据两角和的余弦公式求cos(α＋β)．易错提示：(1)在利用诱导公式求sin α时，符号出错． (2)在利用两角和的余弦公式时，公式记忆不准确，导致失误．防范措施：(1)在利用诱导公式时，先判断角的范围，确定三角函数值的符号，再写出结果．(2)对于两角和与差的余弦公式，应特别注意符号的差别，防止出错．1．(2012·陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1 【解析】 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝0. 【答案】 C2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.【答案】 D。

精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校两角和与差的正弦、余弦、正切公式教课方案三维教课目的1.知识与技术能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，认识公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的相关应用的问题.2. 过程与方法经过层层研究领会数学思想的形成特色.3. 感情目标与价值观经过公式变形领会转变与化归的思想方法.教课要点 :推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能差别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．教课难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵巧运用．打破举措：学生在前方引诱公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．学情剖析：三角函数是高考的要点内容，本节主假如公式的推导和应用，难度不大，要让学生增强记忆，且娴熟应用．教课方案：复习回首１．几个诱导公式：熟记公式sin() __,cos()= ___, tan() ___.sin()_____,cos()= ________.22公式 C():______________________________________增强落实！cos15o_____情形导入有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有限，所以自然想获得两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐一进行研究，让希望成为现实 .新课研究二、自主学习，合作研究研究一：研究两角和的余弦公式思虑 1：注意与间的关系，联合两角差的余弦公式及引诱公式，推导 cos() 等于什么？利用公式仔细推导，cos() =_____________________学生独立达成 .思虑2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特色？怎样记忆？总结特色_____________________________________________________发现记忆方法试一试：求 cos75研究二：研究两角和与差的正弦公式思虑 3：引诱公式sincos() 能够实现由正弦到余弦2的转变，联合 C()和C() , 你能推导出sin() ，sin() 分别等于什么吗？仔细推导，并与同学沟通，sin() =________________________________得出结论 .sin() =_______________________________思虑 4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 S() ，S( )，这两个公式有什么特色？怎样记忆？总结特色发现记忆方法____________________________________________________练习：求 sin 15 , sin 75 .研究三：研究两角和与差的正切公式可否借助 tan sin及两角和与差的正余弦公式推导出costan(), tan() ？tan()___________________________. tan()____________________________.注：（１）公式合用范围：________________________分组议论，把自己的看法展示出来 .(2) 公式变形：tan tan____________.tan tan____________.精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan练习：tan 20tan 40 3 tan 20 tan 40______.2. 理论迁徙例1：已知 sin3,是第四象限角，求 sin(),54cos(), tan(4)的值 .4思虑：经过计算 sin()cos() ，能否关于随意的角44都建立？并说明原因．3,(, ), 求 sin()的值 .练习： 1.已知cos5232.已知 tan3,求 tan()的值 .4例 2. 公式的逆用利用和（差）角公式计算以下各式的值：（１）． sin 72o cos42o cos72o sin 42oo ）．cos 20o cos70o sin 20o sin 70o；（3）．1 tan15o1 tan15练习：求以下各式的值：学生自己剖析，要解决这个问题需做什么准备工作.学生直接回答cos()6发现式子的形式切合什么公式，从右向左利用公式.1 sin 72o cos18o cos72o sin18oo otan12 tan332o o1 tan12 tan333sin 34o sin 26o cos34 o cos26o4sin 20o cos40o cos 20o cos50o133 sin x化简 : 1 cos x sin x(2) cos x22思虑 :一般地 , a sin x b cosx 能否都能够化成Asin( x ) 的独立研究，发现规律 .形式 ?精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan稳固练习：1. 已知cos3,0, 求 cos()的值.512，62. 已知 cos(4)，求 sin的值 .13 42学生独立达成，稳固知识3. 已知 sin 5, sin10,且 ,0, , 5102求角的大小 .讲堂小结1.方法由公式 C()出发推导 C()，S()，S()的方法 .2.知识：公式及公式的记忆方法C() =_______________________________.C() =________________________________.仔细总结，在总结中提高对知识的认知S() =________________________________. S() =________________________________. T()___________________________. T()____________________________.部署作业：题案板书设计：板书设计 :课题 :例题解说两角和的余弦公式 :两角和与差的正弦公式：两角和与差的正切公式：。

两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。

3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。

二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。

2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。

三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。

2.学生准备：学习笔记、作业本。

四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。

Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。

2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。

Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。

2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。

Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。

2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。

Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。

2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。

Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。

2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。

五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。

2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。

3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。

4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。

两角和与差的正弦说课稿两角和与差的正弦说课稿在教学工作者实际的教学活动中，编写说课稿是必不可少的，说课稿有助于学生理解并掌握系统的知识。

怎样写说课稿才更能起到其作用呢？下面是小编为大家整理的两角和与差的正弦说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

一、大纲与教材：《两角和与差的正弦》是《三角函数》这一章的重要内容，起着承上起下的作用，本节课的学习既对前面的知识进行了应用又为后面公式的推导与学习打下了基础。

《三角函数》这一章对公式的要求是本章的重点，主要是明确各公式的作用，深化对各公式的理解，提高对公式的综合运用能力。

三角函数公式的作用是角、函数名称的各种变换转化计算的依据，因此要求对公式在实现转化过程中的应用应有足够的了解。

运用公式的要审查公式成立的条件，熟练掌握公式的顺用，逆用，变形用，要审查公式成立的条件，所以必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要求掌握各个公式的相互联系和运用条件。

二、重点、难点、关键：这一节课的重点是两角和与差公式的应用，由于这是概念课，所以对公式的应用从基本的入手，主要包括这样两个方面一是给角求值问题，要注意特殊的三角函数的应用。

第二类是给值求值的问题，要注意公式之间的相互运用，抓住了这些重点内容，就实现了教材对学生的基本要求。

这一节课的难点是公式运用中的给值求值问题，因为要涉及到前面公式的应用问题，所以在课前练习中我专门设置了这个方面的内容，为突破这个难点，作好了准备。

这一节课的关键，是对公式的灵活运用，要求学生善于观察满足公式的形式，然后创造条件运用公式。

三、说教学目的：这一节课的教学目的主要是两个，一是了解公式的推导过程，培养学生运用知识合理推理的能力。

在三角函数这一章中，多次出现公式的推导。

这种思想的培养得到了集中体现，这一节课的公式推导方法可以激发学生的数学思维。

二是掌握公式的应用，加强学生知识运用的能力，前面我们已学习了一部分三角函数的公式，公式的应用过程已在学生胸中形成了定式，这一节课应更强化这种思想，并灵活思考，灵活运用。

人教版高二数学必修四《两角和与差的正弦、余弦和正切公》说课稿一、说课背景与意义《两角和与差的正弦、余弦和正切公》是高中数学教材中的一章内容，主要介绍了两个角的和与差的正弦、余弦和正切的求解方法和推导过程。

这个章节是高二阶段的重要内容，也是数学学习过程中的基础知识之一。

通过学习这一章节，学生将能够掌握两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程，能够熟练运用这些公式解决相关问题。

这对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。

二、教学目标1.理解两个角的和与差的概念及其几何意义；2.掌握两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程；3.运用公式解决相关的练习题和实际问题。

三、教学重点1.理解两个角的和与差的概念及其几何意义；2.掌握两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程；3.运用公式解决相关的练习题和实际问题。

1. 两个角的和与差的概念及几何意义通过讲解两个角的和与差的概念及其几何意义，引导学生理解这些概念对于解决问题的重要性，并能够在实际问题中应用。

2. 两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程通过推导，引导学生了解两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式的由来，使学生明白公式的推导过程及其重要性，并能够熟练应用这些公式解决问题。

3. 运用公式解决相关的练习题和实际问题通过给学生提供一系列的练习题和实际问题，让学生能够运用所学的知识与公式解决问题，并培养学生的分析问题、解决问题的能力。

五、教学方法1. 案例引入法通过实际生活中的应用案例，引导学生对两个角的和与差的概念及其几何意义有更深入的理解，激发学生的学习兴趣。

2. 归纳总结法通过引导学生观察、归纳，总结两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。

3. 练习与应用结合法通过练习题和实际问题的解决过程，巩固学生的知识，培养学生的应用能力，拓展学生的思维。

1. 知识导入通过一个生活中的案例引入，例如两个角分别代表两车行驶的方向角度，引发学生思考两个角的和与差的概念及其几何意义。