专题3.7“六招”秒杀选择题 快得分(讲) 2018年高考数学(文)二轮复习讲练测Word版含解析

招式三数形结合法数形结合法就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的方法.数形结合法的应用大致可分为两种情形:第一,借助于数的精确性来阐明形的某些属性,第二,借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,即“以数解形”和“以形助数”.数形结合法可用于解决集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、线性规划问题、解析几何问题、立体几何问题等.典例1设变量x,y满足约束条件-则目标函数z=5x+y的最大值为()A.2B.3C.4D.5【解析】依题意,画出线性平面区域如图中的△ABC(包括边界),平移直线5x+y=0,当经过点C(1,0)时,直线在y轴的纵截距最大,此时z max=5×1+0=5.故选D.典例2若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为()A.B.9或1 C.10 D.18或10【解析】在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x M =OF+FG=9,∴M 的横坐标为9;在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M 的横坐标为1.故选B .典例3 (安徽卷)若函数f (x )=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8【解析】当a ≥2时,f (x )= -- -- - - - -如图可知,x=-时,f (x )min =f -=-1=3,可得a=8或a=-4(舍);当a<2时,f (x )= -- - - -- - - -如图可知,x=-时,f (x )min =f -=-1=3,可得a=8(舍)或a=-4;综上可知,答案为D .典例4 若0<x< ,则下列命题中正确的是 ( )A .sin x<xB .sin x>xC.sin x<x2D.sin x>x2【解析】在同一直角坐标系中分别作出y=x,y=sin x与y=x2的图象,如图所示,便可观察知D项正确.故选D.1.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=()A.[0,2]B.[1,2]C.[0,4]D.[1,4]2.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.0B.1C.2D.34.函数y=lg|x|()A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减5.使关于x的不等式+k<x有解的实数k的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)。

2018届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇 测试卷方法七 “六招”秒杀选择题——快得分总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______选择题（14*5=70分）1.已知直线l 1：x+2ay-1=0， l 2：（a+1）x-ay=0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为（ ） A. 32-B. 0C. 32-或0 D. 2 【答案】C【解析】∵直线l 1：x+2ay-1=0，l 2：（a+1）x-ay=0，l 1∥l 2，∴-a=2a （a+1）， ∴a=-32或0， 故选：C ．2. 【2018届二轮】某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A. 0.01B. 0.025C. 0.10D. 0.05 【答案】B 【解析】K 2＝≈5.059>5.024，因为P(K 2>5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.选B3.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月】已知全集U R =，集合{}2|60 A x x x =--≤，4|0 1x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，那么集合()A C B ⋃⋂=（ ）A. [)2,4-B. (]1,3-C. []2,1--D. []1,3- 【答案】D4．已知圆()22236x y ++=的圆心为M ，点()2,0N ，设A 为圆上任一点，线段AN 的垂直平分线交MA于点P ，则动点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】A【解析】由题意64PN PM MN +==>，因此P 点是以M 、N 为焦点的椭圆，故选A ．5.【2018届福建省福州市高三3月】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则( )A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意易得：，，故选：B.6.【2018届河北省沧州市普通高中高三上学期联考】已知等差数列{}n a ，且()()1569123248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前11项之和为（ ）A. 84B. 68C. 52D. 44 【答案】D7．定义在R 上的函数f(x)，若对任意x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)＋x 2f(x 2)＞x 1f(x 2)＋x 2f(x 1)，则称f(x)为“Z 函数”，给出下列函数：①y ＝13x 3－x 2＋x －2；②y ＝2x －(sinx ＋cosx) ③y ＝e x＋1 ④f(x)＝ln ,0{ 0,0x x x ≠=,其中是“Z 函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．因为()222110y x x x =-+=-≥'，则函数32123y x x x =-+- 在定义域上单调递增，即①符合题意；因为()π2cos sin 2204y x x x ⎛⎫=--=->> ⎪⎝⎭'，所以函数()2sin cos y x x x =-+单调递增，即②符合题意；易知e 1x y =+为增函数，即③符合题意；因为()(),0{0,0 ,0lnx x f x x ln x x >==-<在(),0-∞单调递减，即④不符合题意；故选C..8.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则233445201520169999a a a a a a a a ++++等于( )A. 20122013B.20132012C. 20142015D.20142013【答案】C9.【2018届湖南省（长郡中学、株洲市第二中学）、江西省（九江一中）等十四校高三第一次联考】如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连接，并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为，.则在下列命题中，正确命题的个数是（）①若记直线，的斜率分别为、，则的大小是定值为；②的面积是定值；③线段、长度的平方和是定值；④设，则.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】记M、N两点的坐标分别为，由抛物线焦点弦的性质可得，则，所以①正确；又设A、B两点的坐标分别为，由可得：，据此有：，所以.这样，，即②成立；而,③也正确；最后，，故④成立.综上所述，四个命题都是正确的， 本题选择A 选项.点睛：1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素. 2.“目标先行”是一个永远的话题3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.10．【2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ）A. 13B.C. 【答案】A11．【2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟】在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.12．【2018届山东省威海市高三上期末】边长为的菱形中，，对角线相交于点，将沿对角线折起，使得，此时点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该的中心为，则；的中心为，则，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于，则是外接球球心，连接，因为，由二倍角的余弦公式可得，，球半径为该球的表面积为，故选C.13. 如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C14．【2018届安徽省江南十校高三3月联考】已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对任意实数，都有，则，，分类讨论：①时，恒成立，在单调递减，.②时，恒成立，在单调递增，③时，在单调递增，单调递减，(Ⅰ)即时，(Ⅱ)即时，令恒成立，在恒成立，综上可得，实数的取值范围是本题选择D选项.。

2018届高考文科数学(通用版)选择填空题解题技巧选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是难度中低、小巧灵活、知识覆盖面广，解题只要结果不看过程。

解选择题的基本策略是充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”。

解答选择题主要有直接法和间接法两大类。

直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧。

直接法是最常用的解答选择题方法。

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择。

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。

特例法是解答选择题的间接法之一。

通过构造或寻找特殊情况，从而得到解题思路和答案。

特例法适用于一些比较抽象、比较难以直接运算的题目。

但需要注意的是，特例法只能得到部分答案，不能代表所有情况。

在解答选择题时，需要准确地把握题目的特点，提高用直接法解选择题的能力。

同时，在稳的前提下求快，避免“小题大做”，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握基础知识的基础上的。

特例法是解决数学题的一种方法，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足条件的特殊函数或图形位置，进行判断。

特殊化法适用于含有字母或一般性结论的选择题，特殊情况可能是特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等。

例如，对于已知O是锐角△XXX的外接圆圆心，∠A＝60°，·AB＋·AC＝2m·AO，求sinCsinB的值，我们可以选取△ABC为正三角形的情况，此时A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，AO＝AD，则有AB＋AC＝2m·AO，化简得到m＝3/2.因此，sinCsinB＝（√3/2）^2＝3/4，答案为A。

需要注意的是，取特例要尽可能简单，有利于计算和推理；若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解。

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

限时规范训练六 导数的简单应用 限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝2x －1x2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝08．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax2(a ＞0)．∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴ax －1≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x.当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x，则h ′(x )＝－x e x<0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，故e x≥x ＋1.当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0，故f (x 0)>ax 0＋1. 当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m ＞0时，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x ＞0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x ＞0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－x －x －m x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32＞0，F (4)＝－ln 4＜0，所以F (x )有唯一零点．当m ＞1时，0＜x ＜1或x ＞m 时，F ′(x )＜0；1＜x ＜m 时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12＞0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．当0＜m ＜1时，0＜x ＜m 或x ＞1时，F ′(x )＜0；m ＜x ＜1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m ＜0， 所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )＞0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 12．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 的图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，∴f ′(x )＝1x＋2a x －2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x x －2.∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)存在且唯一，证明如下：∵g (x )＝ln x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1 ①，设直线l 与曲线h (x )＝e x相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0②，由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1.证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增， 又f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，结合零点存在性定理，说明方程f (x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0.。

方法七 “六招”秒杀选择题——快得分选择题解法的特殊性在于可以“不讲道理”.常用方法分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧.其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”.在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝.但在复习过程中，要注意通过“小题大做”，深入挖掘小题考查的知识、技能、思想方法等，以充分发挥小题的复习功能.1．直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.． 例1【2018届河南省郑州市高三第一次质量检测（模拟）】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC 的面积为S =，则ab 的最小值为（ ）A. 28B. 36C. 48D. 56【答案】C 【解析】由条件及余弦定理的推理得222222222a c b a c b c a b ac a+-+-⋅==+， 整理得222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，可得23C π=．又12sin 234S ab ab π===，可得4ab c =． ∵2222222cos33c a b ab a b ab ab π=+-=++≥，当且仅当a b =时等号成立． ∴22316a b ab ≥，解得48ab ≥． 故ab 的最小值为48．选C ．【名师点睛】1.直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.2．特例法从题干(或选项)出发，通过选取符合条件的特殊情况（特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等）代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略. 例2. 【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】【另解】函数()f x x =-符合题意.所以由1(2)1x -≤--≤可得解.【名师点睛】1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.3．排除法排除法(淘汰法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.例3. 已知下列结论:①a·0=0;②0a=0;③0-AB BA =;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b 有a·b≠0;⑥若a·b =0,则a 与b 中至少有一个为0;⑦若a 与b 是两个单位向量,则a 2=b 2.则以上结论正确的是( )A. ①②③⑥⑦B. ③④⑦C. ②③④⑤D. ③⑦【答案】D【解析】对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②：应有0·a=0；对于④：由数量积定义有|a·b|=|a||b|·|cos θ|≤|a||b|，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，则有a·b=0；对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.故③⑦正确.【另解】由对①②的分析排除A ，C ；分析④排除B ，故选D.【名师点睛】1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.2.排除法常与特例法，数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能.4．数形结合法 有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.例4.如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =的图象在0x =处切线的斜率小于零；④函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在()2,2-恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D.【名师点睛】数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择.5．估算法选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.例5.已知正数,x y 满足24x y +<，则11y x ++的取值范围是（ ） A. 1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ()1,5,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. [)1,5,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】作出24{00x y x y +<>>表示的可行域为ABC ∆，解方程组24{ 0x y y +==，得()2,0B ，解方程组24{ 0x y x +==，得()0,4C ，设11y z x +=+ 表示点(),x y 与()1,1-- 连线的斜率；结合图象， ()0112,0,213B B z +∴==+ ； ()4110,4,5,011C y C z x ++∴==∴++ 的取值范围是1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A. 【另解】分析明确其几何意义：11y z x +=+ 表示点(),x y 与()1,1--连线的斜率.看连线倾斜情况知，选择A 或B ，又平面区域不含B 、C 两点，故选A.【名师点睛】1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.6.概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心.例6【2018届广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知集合1{|2,}2xA x x R ⎛⎫=≤∈ ⎪⎝⎭， 2{|3,}B x x x N =<∈，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1D. {}1,1-【答案】B【另解】集合B 中元素为自然数，排除A ，D ；将0代入检验，适合，选B.例7.若对于定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x ＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”.下列是关于“λ伴随函数”的结论： ①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x 是“λ伴随函数”；③f(x)＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点.其中正确的结论个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】由题意得，①正确，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x －1)－f(x)＝c －c ＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f(x)＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝x(1＋λ)＋λ＝0，对任意实数x 成立，所以1＋λ＝λ＝0，而找不到λ使此式成立，所以f(x)＝x 不是一个“λ伴随函数”；③不正确，若f(x)＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝(1＋λ)x 2＋2λx ＋λ2＝0对任意实数x 成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而找不到λ使此式成立，所以f(x)＝x 2不是一个“λ伴随函数”；④正确，若f(x)是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f(x)＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f(0)＝0，若f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f(x)有零点；若f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间内存在零点.因此①，④的结论正确.【名师点睛】1.创新命题是新课标高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本例中的“λ伴随函数”，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题.2.解决该类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决.【反思提升】从考试“快得分”的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因；另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速.事实上，高考命题中，有的选择题以考查计算能力为主，只有应用“直接法”.总之，解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选项的暗示，迅速地做出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.。

方法七“六招”秒杀选择题——快得分总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______选择题（14*5=70分）1.已知直线l1：x+2ay-1=0，l2：（a+1）x-ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A.32- B. 0 C.32-或0 D. 2【答案】C【解析】∵直线l1：x+2ay-1=0，l2：（a+1）x-ay=0，l1∥l2，∴-a=2a（a+1），∴a=-32或0，故选：C．2.【2018届二轮】某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：9若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )>k) 0.15 0.10 0.05A. 0.01B. 0.025C. 0.10D. 0.05【答案】B【解析】K2＝≈5.059>5.024，因为P(K2>5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.选B3.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月】已知全集U R =，集合{}2|60 A x x x =--≤，4|0 1x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，那么集合()A C B ⋃⋂=（ ）A. [)2,4-B. (]1,3-C. []2,1--D. []1,3- 【答案】D4．已知圆()22236x y ++=的圆心为M ，点()2,0N ，设A 为圆上任一点，线段AN 的垂直平分线交MA于点P ，则动点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】A【解析】由题意64PN PM MN +==>，因此P 点是以M 、N 为焦点的椭圆，故选A ．5.【2018届福建省福州市高三3月】【答案】B故选：B.6.【2018届河北省沧州市普通高中高三上学期联考】已知等差数列{}n a ，且()()1569123248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前11项之和为（ ）A. 84B. 68C. 52D. 44 【答案】D7．定义在R 上的函数f(x)，若对任意x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)＋x 2f(x 2)＞x 1f(x 2)＋x 2f(x 1)，则称f(x)为“Z 函数”，给出下列函数： ①y ＝13x 3－x 2＋x －2；②y ＝2x －(sinx ＋cosx) ③y ＝e x＋1 ④f(x)＝ln ,0{ 0,0x x x ≠=,其中是“Z 函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．因为()222110y x x x =-+=-≥'，则函数32123y x x x =-+- 在定义域上单调递增，即①符合题意；因为()π2cos sin 2204y x x x ⎛⎫=--=->> ⎪⎝⎭'，所以函数()2sin cos y x x x =-+单调递增，即②符合题意；易知e 1xy =+为增函数，即③符合题意；因为()(),0{0,0 ,0lnx x f x x ln x x >==-<在(),0-∞单调递减，即④不符合题意；故选C..8.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则233445201520169999a a a a a a a a ++++等于()A. 20122013B.20132012C. 20142015D.20142013【答案】C9.【2018届湖南省（长郡中学、株洲市第二中学）、江西省（九江一中）等十四校高三第一次联考】如图，的直线交抛物线于、，、两点，连接则在下列命题中，正确命题的个数是（）的面积个 B. D.【答案】A【解析】记M、N两点的坐标分别为所以①正确；又设A、B据此有：，即②成立；③也正确；.综上所述，四个命题都是正确的， 本题选择A 选项.点睛：1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素. 2.“目标先行”是一个永远的话题3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.10．【2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ）A. 13B.C. 【答案】A11．【2018上的两个动点，且( )【答案】A轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，直线的方程为，不妨设点，时，故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.12．【2018届山东省威海市高三上期末】中，，对角线，此时点）D.【答案】C是外接球球心，连接C.13. ，为椭圆的左顶点，，则椭圆的离心率为（）B.【答案】C14．【2018届安徽省江南十校高三3月联考】已知函数，则实数的取值范围是（）C. D.【答案】D恒成立，②时，恒成立，在单调递增，③时，在单调递增，单调递减，(Ⅰ(Ⅱ恒成立，恒成立，本题选择D选项.。

2018届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇1.练高考1. 【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】2. 【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．3.【2017天津，文7】设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A 【解析】4. 【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C 【解析】5.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C2.练模拟1．【2018届河南省高三一轮复习诊断】某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位； ℃）的数据，绘制了下面的折线图。

高考数学选择题6招秒杀法【一】高考数学选择题必备6招 1.直接法这个方法其实就是根据题目所给条件，直接用定理、性质和公式，进行计算或推理，根据得出的结论直接选出匹配选项的方法。

直接法适用于经简单计算或推理即可得出结论的题目，是用得最多的重要方法，使用直接法时要注意：思考全面，计算或推理要准确，避免掉进命题人设计的陷阱。

在计算并不繁杂，推理并不困难时，直接法就是最佳方法，只有在使用直接法有一定的困难时才考虑其他方法。

另外，如果注意积累一些只有在解选择题时才能使用的特殊结论，那么对提高直接法的效率和准确性大有好处。

2.验证法所谓“验证法”，就是将选择支所提供的结论代入题干进行运算或推理，判断其是否符合题设条件，从而排除错误选择支，得到正确答案的一种选择题解法。

从答案反推，确实能节省不少时间，也足够巧妙!当解题没思路的时候，果断用验证法啊~!3.排除法利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

4.数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能准确地将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来进行思考，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，从而实现化抽象为直观、化直观为精确，并达到简捷解决问题的方法。

数形结合法在解决数学问题中具有十分重要的意义。

图形对抽象问题具体化太有帮助了，准确率还很好，简直是老少咸宜、人人必备啊!5.特例排除法把条件中变化的对象以特殊对象代替后得出一个特殊结论，将该特殊结论与各选项对比，有时可以直接得出结论，有时可以排除部分选项，经过几次带入法可得出结论，这种方法称为特例排除法，它适合于题干具有一般性而选择支又互相排斥的选择题，既可以单独使用，也可以作为辅助手段。

特例排除法的关键是找准具有特殊作用的特值或特例，可以是特殊数值、特殊函数、特殊图形等。

答案与解析招式一排除法1.B【解析】M∩N⊆M,故排除C,D,当x=1时,2x+1=4,故1∉N,排除A,故选B.2.B【解析】由于f(x)=x2-3|x|-10是偶函数,所以不等式f(x)>0,即x2>3|x|+10的解集必是某个关于原点对称的集合(-a,a)或(-∞,-a)∪(a,+∞),于是选项C不正确.此外,由于x=0不满足所给不等式,所以选项A,D都不正确.故选B.3.B【解析】因y=a|x|中a>1,所以a|x|≥1,排除A,C;当x≥0时,由指数函数图象易知D不正确.故选B.4.C【解析】根据奇函数定义排除A,再根据减函数定义可排除B,D(因为D不具有单调性,B的单调性不确定).故选C.招式二特例法1.C【解析】令x=y=0,可得f(0)=0;令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)-2,且f(1)=2,解得f(-1)=0;f(-2)=f((-1)+(-1))=f(-1)+f(-1)+2=2,f(-3)=f((-2)+(-1))=f(-2)+2×(-1)×(-2)=6.2.D【解析】结论中不含n,故本题结论的正确性与n取值无关,可对n取特殊值,如n=1,此时a1=48,a2=S2-S1=12,d=-36,a3=a1+2d=-24,所以前3n项和为36.故选D.3.A【解析】令x=4,得m=12log a4=log a2,n=log a52,p=log a85,又∵52>2>85,且y=log a x为减函数,则p>m>n.4.B【解析】(1)取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=45,cosC=0,cos A+cos C1+cos A cos C =45;(2)取特殊角A=B=C=60°,cos A=cosC=12,cos A+cos C1+cos A cos C=45.故选B.招式三数形结合法1.A【解析】利用数轴,如图所示阴影部分即为所求交集,即A∩B=[0,2].2.C【解析】圆(x+2)2+y2=1,画出图形如图所示,又直线倾斜角小于45°,可解.故选C.3.C【解析】∵2-x+x2=3,∴2-x=3-x2,作y=2-x及y=3-x2的图象,由图知原方程有两个实数解.4.B【解析】如图所示,因为y=lg|x|是偶函数,又当x∈(0,+∞)时,y=lg|x|单调递增,当x∈(-∞,0)时,y=lg|x|单调递减.故选B.5.A【解析】根据题意不妨设y=x+1+k,y=x.如图所示,将y=x+1的图象向下平移一个单位长度即可,所以有k<-1.招式四验证法1.B【解析】当x=0时,y>0,C,D选项不对,当x=1时,y=0,A 项不对,∴y=sin(1-x).故选B.2.D【解析】令n=1,A项a1=-23,B项a1=-43,C项a1=-53,只有D项正确.故选D.3.D【解析】把各个点一一代入验证,不能使不等式成立的即是所求,将(2,0)代入不等式得6<6,不等式不成立,所以点(2,0)不在3x+2y<6表示的平面区域内,故选D.4.B【解析】取n=1时,由条件得a1=S1=6,但由选项A得a1=5.故正确答案应为a n=6(n=1),6n-1(n≥2).故选B.5.B【解析】分别对每个选项进行代入验证.可得B正确,故选B.招式五估算法1.C【解析】由题意,这列数是108,88,98,93,95.5,94.25, 94.875,…,由此可见,这一列数中第六个与第七个数大于94小于95.因此,由平均数的性质可知后面的这些数都大于94小于95.根据题意,没有必要准确算出第28个数,只需知道整数部分,所以第28个数的整数部分是94.故选C.2.A【解析】由题可知,当x≥110时,永远大于等于零,又当x≥10时1-lg x就开始为负值了,因此可估算当x无穷大时均可成立.故选A.3.D【解析】由于已知等式的形式,猜测该三角形为等边三角形的可能性较大,进一步判断可得答案,故选D.4.C【解析】取函数F(x)=12x−x13,当x=0,13,12时,均有F(x)>0,而当x=1,2时,有F(x)<0,故选C.招式六等价转化法1.D【解析】依题意,V A-A1B1D1=13S△A1B1D1·AA1=1 3V ABD-A1B1D1,可知V A-BB1D1D=23V ABD-A1B1D1.又V ABD-A1B1D1=S△ABD·AA1=12×3×3×2=9,所以V A-BB1D1D=2 3V ABD-A1B1D1=23×9=6,即四棱锥A-BB1D1D的体积为6.2.D【解析】设x=t,则原不等式可转化为at2-t+32<0,∴a>0,且2与b(b>4)是方程at2-t+32=0的两根,由此可得a=18,b=36.3.A【解析】把不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax化为a(x-1)2+b(x-1)+c>0,其结构与原不等式ax2+bx+c>0相同,则只需令-1<x-1<2,得0<x<3,故选A.4.A【解析】本题将求最值问题转化为计算点到直线的距离问题,利用公式d=00A2+B2即可求解.本题中的点为原点(0,0),直线为2x+y+5=0,故d=5=5,故选A.5.D【解析】题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆(x-a)2+y2=2a+4的圆心(a,0)的距离d=2+1≤2a+4,解得-1≤a≤3.6.D【解析】该问题等价于把12个相同的小球分成4堆,故在排成一列的12个小球之间的11个空中插入3块隔板即可,即C113=165.招式七正难则反法1.B【解析】由题得三角形的面积为S=12×6×4=12,而在三角形绿化地中小花猫与三角形三个顶点的距离均不超过2 m 的区域为如图中的阴影部分所示.又因为A+B+C=180°,所以阴影部分合在一起是一个半径为2 m的半圆,其对应的面积为T=12π×22=2π,结合几何概型与对立事件的概率知,所求概率P=1-TS =1-π6.2.D【解析】同时掷出8颗骰子,出现的点数都为1的概率为168,出现的点数不全为1的概率为1-168;4次掷出的8颗骰子的点数都不全为1的概率为1-1684,4次至少有一次掷出的8颗骰子的点数全为1的概率为1-1-1684,故选D.3.C【解析】因为只有一人获奖,所以丙、丁中只有一人说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙说就错了,丁就说对了,也就是甲也说对了,与甲说错了相矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙两位歌手说的话是对的,所以丙为获奖歌手.故选C.4.B【解析】对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m,则有l ∥m,与直线l,m异面相矛盾;对于C,过点P与l,m都相交的直线不一定存在,如图,在正方体中ABCD-A'B'C'D'中,设AD为直线l,A'B'为直线m,若点P在P1点处,则无法作出直线与两直线都相交;对于D,若P在P2点,则由图中可知直线CC'及D'P2均与l,m异面.招式八构造法1.B【解析】由a n=3-a n-12得1-a n=-12(1-a n-1),又1-a1=12≠0,所以数列{1-a n}是首项为12,公比为-12的等比数列,∴a n=1-(1-a1)·-12n-1=1+-12n.2.A【解析】构造函数f(x)=x3+2012x,x∈R,则函数f(x)在定义域上单调递增且是奇函数.由题意知f(a7-1)=1,f(a2006-1)=-1,得a7-1=1-a2006,即a7+a2006=2.故S2012=(a1+a2012)×20122=(a7+a2006)×20122=2012.3.A【解析】不等式x2-3>ax-a对∀x∈[3,4]恒成立,得a(x-1)<x2-3,a<x 2-3x-1,令t=x-1∈[2,3],得x=t+1,a<(t+1)2-3t=t-2t+2,t∈[2,3]恒成立,故a< t-2t +2min,t∈[2,3],当t=2时, t-2t+2min=3,则a<3,故实数a的取值范围是(-∞,3).4.B【解析】依题意,由f(x)=3x-22x-1,得f(x)+f(1-x)=3x-22x-1+3(1-x)-2 2(1-x)-1=3x-22x-1+1-3x1-2x=3.令S=f12012+f22012+…+f20112012,得S=f20112012+f20102012+…+f12012,2S=3×2011,所以S=2011×32=60332.招式九直接法1.B【解析】令S=a7+a8+a9,由等差数列性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差数列,所以S=45,故选B.2.B【解析】原式=i+12-2+23i=-32+12+23i,故在复平面内,复数i1+i +(1+3i)2对应的点为-32,12+23,故选B.3.D【解析】根据双曲线的定义可得(2-m)(m-1)<0,∴m>2或m<1.4.A【解析】由函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π得ω=2,由2x+π3=kπ得x=12kπ-π6,对称点为12kπ-π6,0(k∈Z),当k=1时对称点为π3,0,故选A.模拟演练一1.B【解析】(排除法)因为M=m∈Z|-3<m<2={-2,-1,0,1},则M∩N一定不含有2,故排除C,D项,同时会发现M∩N一定会有-1,故排除A项,故选B.(直接法)集合M=m∈Z|-3<m<2={-2,-1,0,1},N=n∈Z|-1≤n≤3={-1,0,1,2,3},则M∩N={-1,0,1},故选B.2.D【解析】(直接法)(a+i)2i=(a2+2a i-1)i=(a2-1)i-2a.∵(a+i)2i为正实数,∴a2-1=0,-2a>0,∴a=-1,故选D.3.B【解析】(排除法)A项:f(x)=2x不是奇函数;C项:y=-sin x在[-1,1]上是减函数;D项:y=-1x定义域中不包括0.所以A,C,D不正确.故选B.4.A【解析】(直接法)根据三视图的特点知原图形是正六棱锥,其侧棱长为2,底面正六边形相对顶点的连线为2,所以棱锥高为3,也为侧(左)视图等腰三角形的高,而侧(左)视图的底为正六边形两平行边之间的距离3,所以该几何体的侧(左)视图的面积为12×3×3=32.故选A.5.C【解析】(数形结合法)现要统计的是身高在160~180cm之间的学生的人数,即是要计算A4,A5,A6,A7的和,故流程图中空白框应是“i<8?”,当i<8时就会返回进行叠加运算,当i≥8将数据直接输出,不再进行任何的返回叠加运算,此时已把数据A4,A5,A6,A7叠加起来送到s中输出,故选C.6.B【解析】(直接法)BC=AC−AB=(-1,-1),BD=AD−AB=BC−AB=(-3,-5).故选B.7.B【解析】(数形结合法)如图所示,过点M做MM1垂直于抛物线的准线,垂足为M1,所以|MF|=|MM1|,所以|MF|+|MA|=|MM1|+|MA|,当A,M,M1三点在一条直线上时,|MF|+|MA|取得最小值,此时y M =2,x M =y M 22=2,即M (2,2).故选B.8.C 【解析】(构造法)因为{a n }是等比数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),将S 6=12S 3代入整理得S 9S 3=34,故选C. 9.A 【解析】(验证法)关于A,函数y=sin 2x=cos π2-2x =cos 2x-π2,向左平移5π12个单位长度,有y=cos 2 x +5π12 -π2 =cos 2x+π3,故选A . 10.D 【解析】(排除法)∵a>b>0,∴排除B 选项;又∵c= 2= a 2-b 2,∴排除A,C 选项,∴D 项正确.11.D 【解析】(直接法)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上,正四棱柱的体对角线的长即为球的直径,又∵正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h ,∴2R=2=2+12+ℎ2解得h=2,∴该棱柱的表面积为2+42cm2,故选D.12.B【解析】(特例法)由a n-2a n+1+a n+2=0得a1-2a2+a3=0,又∵a1=2,a1+a2+a3=12,∴a2=4,a3=6,当n=1时,b1=4a1a2+a1=42×4+2=52.当n=1时,A项,S1=1+12+2=72;B项,S1=1-12+2=52=b1;C项,S1=1+2=3;D项,S1=1-2=-1,故选B.模拟演练二1.C【解析】(排除法)由A∩(∁U B)的意义可得元素是属于集合A,则一定不含元素5,故可以排除B,D项,再由A∩(∁U B)中的元素不属集合B,则一定不含元素2,可排除A项.(直接法)∵U={1,2,3,4,5},∴∁U B={3,4,5},∴A∩(∁U B)={3,4}.(数形结合法)根据题意可画出如图所示的韦恩图,由图可知A∩(∁U B)={3,4}.2.A【解析】(构造法)要使f(x)=e x+ln x+2x2+mx+1在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)=e x+1x+4x+m≥0在(0,+∞)上是恒成立的,即m≥-e x+1x +4x ,而e x+1x+4x>5,则可得m>-5,故p是q的充分不必要条件.故选A.3.C【解析】(直接法)由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和半圆柱组合而成.由题图知三棱柱的高为2,底面是底为2,腰长为2的等腰直角三角形;半圆柱的底面半径为1,高为2,故该几何体的表面积为2×2+2×12×22+π×122×2+π×1×2=2+42+3π.4.A【解析】(特例法)由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,因为直线l将圆平分,故直线过圆心,当k=0时,直线与x轴平行,直线不过第四象限,当k=2时,直线经过原点且不过第四象限,故选A.(直接法)由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5.因为直线l将圆平分,故直线过圆心,则设直线方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,要使直线不过第四象限,k≥0,且直线在y轴的截距在[0,2]之间,故0≤2-k≤2,得0≤k≤2.5.C【解析】(数形结合法)由统计图可知,100株树木中,底部周长小于110 cm的树木的频率为(0.01+0.02+0.04)×10=0.7,所以株数=0.7×100=70(株).6.D【解析】(直接法)由余弦定理得cos B=a 2+c2-b22ac,∴a2+c2-b2=2ac cos B,∴2ac cos B·tan B=3ac,∴sin B=32,又∵角B是三角形的内角,∴B=π3或2π3,故选D.7.A【解析】(直接法)根据题意,i=101,S=0+1+2+…+100=5050时,输出的结果Si=50.8.D【解析】(估算法)由a1=1,a n+1=a n2a n+1得a n>0,∴2a n+1>a n,即a n2a n+1<1,故排除A项,C项.又a2=a12a1+1=13,又由已知可以看出a n+1<a n,故a6的值应小于13,故选D.9.C【解析】(直接法)因为双曲线x 23−16y2p2=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,所以3+p 216=p24,解得p=4.所以双曲线的离心率为233.10.D【解析】(数形结合法)画出可行域,如图所示,由图知目标函数z=5x+y的最优解为A(1,0),∴z max=5.11.D【解析】(验证法)若ω=12,则T=4π,所以A,B错误;当φ=π6时,f(0)=2sinπ6=1≠3,当φ=π3时,f(0)=2sinπ3=3,故C错误,D正确.12.C【解析】(数形结合法)画出函数f(x)=-1-(x-1)2的图象如图所示.根据f(x1)x1及f(x2)x2的几何意义知f(x1)x1,f(x2)x2分别为直线OA,OB的斜率.由图可知k OA<k OB,又因为0<x1<x2<1,知f(x1) x1<f(x2)x2.模拟演练三1.D【解析】(直接法)因为1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4.故集合A*B有三个元素0,2,4,它们的和为6,故选D.2.C【解析】(特例法)令a=-3<b=1,代入A,B,C,D,可排除A,B,D项.(直接法)∵a<b,a2b2>0,∴aa2b2<ba2b2,即1ab2<1a2b.3.B【解析】(特例法)令α=30°,β=40°,则a=sin 75°,b=2sin 85°,易知a<b且1<ab<2.(直接法)两边平方,得a 2=(sin α+cos α)2=1+sin 2α,b 2=(sin β+cos β)2=1+sin 2β,又0<2α<2β<π2,则有a 2<b 2且1<a 2b 2<4.又∵a>0,b>0,∴a<b 且1<ab<2.4.B 【解析】(直接法)正三棱柱的侧(左)视图是宽为 3(长为2的等边三角形底边上的高),长为2的长方形,其面积为2× 3=2 3.5.D 【解析】(排除法)∵椭圆的长轴在y 轴上,∴10-m<m-2,∴排除A,B;若m=7时,则c 2=5-3=2,不符合要求,当m=8时,c 2=6-2=4,得2c=4适合.(直接法)∵焦距为4,∴c=2.又长轴在y 轴上,a 2=m-2,b 2=10-m ,由c 2=a 2-b 2得(m-2)-(10-m )=4,解得m=8.6.A 【解析】(数形结合法)由题图知,博士研究生所占的百分比为1-62%-26%=12%,所以博士研究生的人数为2000×12%=240.7.C 【解析】(直接法)由a 2+a 4=4得2a 1+4d=4;由a 3+a 5=10得2a 1+6d=10,则a 1=-4,d=3,∴S 10=95,故选C .8.C 【解析】(直接法)由题意知n=5时输出S ,此时S=2-1+2-2+2-3+2-4+2-5=1× 1- 1 5 1-12=3132.9.C 【解析】(数形结合法)依题意如图所示,设点A y 024,y 0 (y 0>0),根据直线斜率为 3,∴y0y 024-1= 3,解得y 0=2 3,y 0=-2 33(舍去),∴点A (3,2 3).又∵准线l 为x=-1,∴S △AKF =12×|AK|×|y A |=12×|3-(-1)|×2 410.B 【解析】(特例法)由S n =t ·5n -2得S 1=5t-2=a 1,S 2=25t-2=a 1+a 2,S 3=125t-2=a 1+a 2+a 3,∴a 1=5t-2,a 2=20t ,a 3=100t ,又∵数列{a n }为等比数列,∴a 2a 1=20t5t -2=5,解得t=2.(构造法)等比数列{a n }的前n 项和S n =a 11-q −a11-q ·q n =λ-λ·q n ,q n 的系数与常数项互为相反数,依题意S n =t ·5n -2,故t=2.11.D 【解析】(构造法)由已知OC ·OA =0,则OC ⊥OA ,以OA ,OC为x 轴,y 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则易知OA =(1,0),OC =(0,2 3),OB = -k 2, 32k ,因此OC =2m OA +m OB ,即(0,23)=2m(1,0)+m-k2,32k ,故有2m-mk2=0,32km=23,解得k=4,m=1.12.C【解析】(数形结合法)函数f(x)的图象如图,由函数h(x)=[f(x)]2+bf(x)+12有5个不同的零点,令f(x)=t,即得方程t2+bt+12=0有两个不同的实根,且一个为1,即12+b×1+12=0,得b=-32,故方程为t2-32t+12=0,则另一根为12,由此可知f(x)=1或f(x)=12.当f(x)=1时,可解得方程的根为0,1或2;当f(x)=12时,可解得方程的根为-1或3,所以x12+x22+x32+x42+x52=15.。

巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.例1 (1)数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,则a n=( )A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n(2)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且f(x)≥g(x),那么下列情形不可能出现的是( )A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值C.0是f(x)的极大值,不是g(x)的极值D.0是f(x)的极小值,不是g(x)的极值(3)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .答案(1)A (2)C (3)解析(1)不妨取n=1,则有a2=a1+ln 2=2+ln 2.选项A,a2=2+ln 2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln 2,也合题意;选项C,a2=2+2ln 2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln=2+ln 3,选项B,a3=2+2ln 3,不合题意,排除B,故选A.(2)取f(x)=-x2与g(x)=-2x2,适合条件,且0是f(x)与g(x)的极大值,故A可能出现,排除A;取f(x)=2x2与g(x)=x2,适合条件,则0是f(x)与g(x)的极小值,故B可能出现,排除B;取f(x)=2|x|与g(x)=x满足题意,且0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值,故D可以出现,排除D,所以选C.(3)令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,cos A=,cos C=0,从而所求值为.▲方法点睛(1)应用特例法的关键在于确定选项的差异性,利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.跟踪集训1.(1)函数f(x)=cos x·log2|x|的图象大致为( )(2)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x](3)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E 两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( )A.1B.2C.D.(4)AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·= . 技法二估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例2 (1)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a(2)已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面积为( )A.12B.24C.6D.18(3)若M为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过M中的那部分区域的面积为( )A. B.1 C. D.2答案(1)A (2)B (3)C解析(1)由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增,而0<0.5<1,所以a=20.5∈(1,2).由对数函数的性质可知y=logπx,y=log2x均在(0,+∞)上单调递增,而1<3<π,所以b=logπ3∈(0,1);因为sin∈(0,1),所以c=log2sin<0,故a>b>c.(2)若底面三角形的边长都是8,则底面积为×82=16,这个面积当然比原来大了一点点,再用射影面积公式求出侧面积为32,四个选项只有B选项的24与之最接近,选B.(3)动直线x+y=a扫过M中的那部分区域如图中阴影部分所示.阴影部分的面积比1大,比S△OAB=×2×2=2小,故选C.▲方法点睛估算法可以省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.但要注意估算也要有依据,如本例(1)是根据指数函数与对数函数的单调性估计,从而比较三者的大小,其实质就是找一个中间值进行比较.本例(2)可以先求三角形ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;你也可以先求出三角形的面积为12,之后求出P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再利用等体积法求得结果.跟踪集训2.(1)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是( )A.πB.πC.4πD.π(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈恒成立,则φ的取值范围是( )A. B.C.D.技法三图解法(数形结合法)数形结合法是一个将数学问题中数与形两个方面相互联系的一种思想方法.在解答选择题的过程中,可以先根据题意作出草图,然后参照图形的形状、位置、性质,综合所有的特征得出结论.例3 (1)已知定义在R上的函数f(x),当x∈[0,2]时, f(x)=8(1-|x-1|),且对于任意的实数x∈[2n-2,2n+1-2](n∈N*,且n≥2),都有f(x)=f,若函数g(x)=f(x)-log a x有且只有三个零点,则a的取值范围为( )A.[2,10]B.[,]C.(2,10)D.(,)(2)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( )A.B.C. D.1(3)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案(1)D (2)A (3)解析(1)f(x)的图象如图所示,易得a>1,依题意得∴<a<.(2)如图建系,设点C的坐标为(x,y).a==,b==,c==(x,y).则(a-c)·(b-c)=·=0.化简得+y2=,其图形即圆M.当点C达到点D时,|c|取得最大值,|c|max=||=||+||=||+||=+.选A.(3)函数y=|x-a|-1的图象如图所示,因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,故2a=-1,解得a=-.▲方法点睛图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决选择题或填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训3.(1)函数y=|lo x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度b-a的最小值是( )A.2B.C.3D.(2)如果不等式>(a-1)x的解集为A,且A⊆{x|0<x<2},那么实数a的取值范围是.(3)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在x>0时, f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 015型增函数”,则实数a的取值范围是.技法四换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.例4 (1)函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调递增区间是( )A. B.C. D.(2)已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+的值为.答案(1)A (2)解析(1)采用换元法.f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1,令t=cos x,t∈[-1,1],原函数可以看作g(t)=t2-t-1,t∈[-1,1].其图象的对称轴为t=,对于g(t)=t2-t-1,当t∈时,g(t)为减函数,当t∈时,g(t)为增函数,当x∈时,t=cos x为减函数,且t∈,∴原函数在上单调递增,故选A.(2)由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1,于是进行三角换元,设将其代入4x2-5xy+4y2=5中得4S-5Ssin αcos α=5,解得S=.∵-1≤sin 2α≤1,∴3≤8-5sin 2α≤13,∴≤≤,∴+=+==.▲方法点睛换元法的实质就是利用变量的替换将其转化为基本初等函数在给定区间上的最值、范围等问题.换元要注意“元”取值范围的限制,保持换元之后函数取值的等价性;若已知条件中有定义域的限制,要利用三角函数的性质确定“元”的取值范围,不要一见sin x就有-1≤sin x≤1,要根据x的范围确定.跟踪集训4.(1)函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域是( )A. B.C. D.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中b>a,且对任意x∈R都有f(x)≥0,则M=的最小值为( )A. B.C. D.(3)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,则S=x+y的最大值为.技法五构造法构造法是指利用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来研究另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等.例5 (1)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f '(x),满足f '(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数, f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为( )A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(4,+∞)(2)已知m,n∈(2,e),且-<ln,则( )A.m>nB.m<nC.m>2+D.m,n 的大小关系不确定 答案 (1)B (2)A解析 (1)因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.所以f(0)=f(4)=1.设g(x)=(x∈R),则g'(x)==.又f '(x)<f(x),所以g'(x)<0(x∈R), 所以函数g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)<e x⇔<1,而g(0)==1,所以f(x)<e x⇔g(x)<g(0),所以x>0.故选B.(2)由不等式可得-<ln m-ln n,即+ln n<+ln m.设f(x)=+ln x(x∈(2,e)),则f '(x)=-+=.因为x∈(2,e),所以f '(x)>0, 故函数f(x)在(2,e)上单调递增. 因为f(n)<f(m),所以n<m.故选A.▲方法点睛 构造法的实质是转化,通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应问题解决.利用构造法解题时要敢于打破常规,注重知识的前后联系与迁移、新旧知识的类比与转化.跟踪集训5.(1)a=ln -,b=ln-,c=ln-,则a,b,c 的大小关系为 .(2)已知三棱锥P-ABC,PA=BC=2,PB=AC=10,PC=AB=2,则三棱锥P-ABC 的体积为 .(3)函数y=+的最小值为.技法六待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫做待定系数法,其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式,例如数列求和、求函数表达式、求复数、求解析几何中的曲线方程等.例6 (1)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为,且过点A,则椭圆C的标准方程为;(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|PQ|=2.则f(x)的解析式为.答案(1)+y2=1 (2)f(x)=2sin解析(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).由于e==,所以=,即a=2b.故椭圆的方程为+=1.又A在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|===2.整理得|x1-x2|=2,所以其最小正周期T=2|x1-x2|=4,即=4,解得ω=.又函数图象过点(0,-),所以2sin φ=-,即sin φ=-.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.▲方法点睛待定系数法主要用来解决已经定性的问题,关键是依据已知条件正确列出等式或方程(组).跟踪集训6.(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=21,S5=65,则S n= .(2)已知函数y=的最大值为7,最小值为-1,则此函数的解析式为.技法七分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题.但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或范围的情况.例7 已知函数f(x)=(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由已知,得f '(x)=,当a≤-时,x2-2x-2a≥0,故f '(x)≥0,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴当a≤-时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. 当a>-时,令x2-2x-2a=0⇒x1=1-,x2=1+,列表:),1+),+∞)由表可知,当a>-时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).(2)∵f(x)>-1⇔>-1⇔2a>x2-e x,∴由条件知,2a>x2-e x∀x≥1恒成立.令g(x)=x2-e x,h(x)=g'(x)=2x-e x,则h'(x)=2-e x,当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-e x≤2-e<0,∴h(x)=g'(x)=2x-e x在[1,+∞)上单调递减,∴h(x)=2x-e x≤2-e<0,即g'(x)<0,∴g(x)=x2-e x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)=x2-e x≤g(1)=1-e,故f(x)>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,∴a>,即实数a的取值范围是.▲方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.跟踪集训7.已知函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,<恒成立,求实数a的取值范围.技法八整体代入法整体代入法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值时,可以避免烦琐的求解过程,减少计算量.该种方法适用于等差、等比数列中求连续几项和的有关计算.例8 等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5答案 C解析解法一:设等比数列{a n}的公比为q,则a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4===.又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×=2,a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.解法二:因为{a n}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.▲方法点睛整体代入法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.跟踪集训8.(1)若等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=30,则a5=( )A.54B.27C.81D.48(2)已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A.5B.7C.6D.4技法九割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形(几何体)转化为规则图形(几何体),这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.例9 (1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.6B.8C.10D.12(2)已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为.答案(1)D (2)解析(1)根据题中所给的三视图,可以还原几何体,如图,该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长方体,其中长方体的长、宽、高分别是3、2、2,所以该几何体的体积为3×2×2=12,故选D.(2)直线l1的方程可以化为k(x-2)-2y+8=0,该直线过定点M(2,4),与两坐标轴的交点坐标分别是A,B(0,4-k);直线l2的方程可以化为(2x-4)+k2(y-4)=0,该直线过定点M(2,4),与两坐标轴的交点坐标分别是C(2k2+2,0),D.结合0<k<4,可以知道这个四边形是OBMC,如图所示,连接OM,则四边形OBMC的面积是△OBM,△OCM的面积之和,故四边形OBMC的面积是×(4-k)×2+(2k2+2)×4=4k2-k+8,故当k=时两直线所围成的四边形面积最小.故填.▲方法点睛对于一些不规则的几何体(图形),不能直接利用体积(面积)公式,此时必须对几何体(图形)进行相应的割补,将其转化为规则几何体(面积)以便于计算其体积(面积).跟踪集训9.(1)某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A.4B.2C. D.8(2)已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2,则五面体EGBADC的体积为.(3)如图,已知球O的面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于.技法十等体积转化法等体积转化法就是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造关于点到面的距离的方程来求解相关问题的方法.其主要用于立体几何中求解点到面的距离.例10 如图,已知三棱锥P-ABC,底面ABC是边长为2的正三角形,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB=,D为BC的中点.(1)求证:AB⊥PC;(2)求三棱锥B-PAD的体积.解析(1)证明:如图所示,取AB的中点E,连接PE,CE.因为PB=PA,所以AB⊥PE.因为AC=BC,所以AB⊥CE.又PE∩CE=E,所以AB⊥平面PEC.又PC⊂平面PEC,所以AB⊥PC.(2)V三棱锥B-PAD=V三棱锥P-ABD.因为平面PAB⊥平面ABC,PE⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABC=AB,且PE⊥AB,所以PE⊥平面ABC.因为D是正三角形ABC边BC的中点,所以AD⊥BC.所以V三棱锥P-ABD=PE·S△ABD=×1××1×=,所以V三棱锥B-PAD=.▲方法点睛等体积法的基本原则是“一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的”, 这种变换原则多用解决有关锥体的体积问题,特别是三棱锥的体积.跟踪集训10.如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且2AB=2AD=CD=4.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直.如图②.(1)求证:BC⊥平面BDE;(2)若点D到平面BEC的距离为,求三棱锥F-BDE的体积.技法十一反证法反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法.利用反证法证明问题一般分为三步:(1)反设,即否定结论;(2)归谬,即推导矛盾;(3)得结论,即说明原命题成立.例11 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D解析由条件知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,则由题意可得解得所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.则△A2B2C2是钝角三角形.故选D.▲方法点睛反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较方便.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.跟踪集训11已知x∈R,a=x2+ ,b=1-3x,c=x2+x+1.则下列说法正确的是( )A.a,b,c至少有一个不小于1B.a,b,c至多有一个不小于1C.a,b,c都小于1D.a,b,c都大于1技法十二补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,可以通过求解该问题的对立事件,求出问题的结果,则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得.该方法在概率、函数等问题中应用较多.例12 (1)若抛物线y=x2上的所有弦都不能被直线y=k(x-3)垂直平分,则k的取值范围是( )A. B.C. D.(2)已知函数f(x)=ax2-x+ln x在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.答案(1)D (2)解析(1)设抛物线y=x2上两点A(x1,),B(x2,)关于直线y=k(x-3)对称,AB的中点为P(x0,y0),则x0=,y0=.由题设知=-,所以=-.又AB的中点P(x0,y0)在直线y=k(x-3)上,所以=k=-,所以中点P.由于点P在y>x2的区域内,则->,整理得(2k+1)(6k2-2k+1)<0,解得k<-.因此当k<-时,抛物线y=x2上存在两点关于直线y=k(x-3)对称,于是当k≥-时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称.所以实数k的取值范围为.故选D.(2)f '(x)=2ax-1+.①若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,则f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≥0,得a≥.(*)令t=,因为x∈(1,2),所以t=∈.设h(t)=(t-t2)=-+,t∈,显然函数y=h(t)在区间上单调递减,所以h(1)<h(t)<h,即0<h(t)<.由(*)可知,a≥.②若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,则f '(x)≤0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≤0,得a≤.结合①可知,a≤0.综上,若函数f(x)在区间(1,2)上单调,则实数a的取值范围为(-∞,0]∪.所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.▲方法点睛利用补集法解题时,一定要准确找出所求问题的对立事件.跟踪集训12.(1)某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况,从高一、高二、高三年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查,若再从中任意抽取两个班级进行测试,则两个班级不来自同一年级的概率为.(2)将半径为2的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为.答案全解全析技法一特例法跟踪集训1.(1)B 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f=cos log2=-cos,f=cos·log2=-cos,所以f=f,排除A,D;又f=-cos<0,故排除C.综上,选B.(2)D 当x=时,可排除A,B,C.(3)A 不妨取点P,则可计算S1=×(5-4)=,易求得PD=2,PE=,所以S2=×2×=,所以S1∶S2=1.(4)答案解析若△ABC为等边三角形,则||=,∴·=||||cos 60°=.技法二估算法跟踪集训2.(1)D 球的半径R大于△ABC的外接圆半径r=,则S球=4πR2>4πr2=π.(2)A 因为函数f(x)的最小值为-2+1=-1,由函数f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π可得,该函数的最小正周期为T=π,所以=π,解得ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)>1,可得sin(2x+φ)>0.又x∈,所以2x∈.对于选项B,D,若取φ=,则2x+∈,在上,sin(2x+φ)<0,不合题意;对于选项C,若取φ=,则2x+∈,在上,sin(2x+φ)<0,不合题意.选A.技法三图解法(数形结合法)跟踪集训3.(1)D 作出函数y=|lo x|的图象,如图所示,由y=0,解得x=1,由y=2,解得x=4或x=.所以区间[a,b]的长度b-a的最小值为1-=.(2)答案[2,+∞)解析根据题意作函数y=和函数y=(a-1)x的图象(如图所示),从图上容易得出实数a 的取值范围是a∈[2,+∞).(3)答案解析由题意得,当x>0时, f(x)=①当a≥0时,函数f(x)的图象如图(1)所示,考虑极大值f(-a)=2a,令x-3a=2a,得x=5a.所以只需满足5a-(-a)=6a<2 015,即0≤a<.②当a<0时,函数f(x)的图象如图(2)所示,且f(x)为增函数,因为x+2 015>x,所以满足f(x+2 015)>f(x).综上可知,实数a的取值范围是.技法四换元法跟踪集训4.(1)C 令=t(1≤t≤3),则sin2x=.当0≤x≤π时,sin x==,==≤=,当且仅当t=时取等号,即当0≤x≤π时, f(x)≤;同理可得当π<x≤2π时, f(x)≥-.综上,可知f(x)的值域为,故选C.(2)D 由题意得a>0,b2-4ac≤0,即c≥,因为b>a,所以M=≥=.令=t,则t>1,于是M≥==(t-1)+·+≥+, 当且仅当t-1=,即b=(1+)a,c==a时等号成立.所以M=的最小值为.故选D.(3)答案 2解析+y2=1⇔+y2=1,利用三角换元解决.令=cos θ,y=sin θ,则x=cos θ,故可设动点P的坐标为(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤2π.因此S=x+y=cos θ+sin θ=2=2sin,所以当θ=时,S取得最大值,为2.技法五构造法跟踪集训5.(1)答案a>b>c解析令f(x)=ln x-x,则f '(x)=-1=.当0<x<1时, f '(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.∵1>>>>0,∴a>b>c.(2)答案160解析如图所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各棱分别是长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,由已知可得解得x=6,y=8,z=10. 从而V三棱锥P-ABC=V长方体AEBG-FPDC-V三棱锥P-AEB-V三棱锥C-ABG-V三棱锥B-PDC-V三棱锥A-FPC=V长方体AEBG-FPDC-4V三棱锥P-AEB=6×8×10-4××6×8×10=160.故所求三棱锥P-ABC的体积为160.(3)答案解析将函数变形为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和最小的几何模型问题.设点A(1,1)关于x轴的对称点为A',则A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的长就是所求的最小值,即为|A'B|==.技法六待定系数法跟踪集训6.(1)答案3n2-2n解析设等差数列{a n}的前n项和为S n=An2+Bn.由已知可得化简得解得故S n=3n2-2n.(2)答案y=或y=解析将函数y=变形为(y-m)x2-4x+y-n=0.因为x∈R,则y-m≠0,Δ=(-4)2-4(y-m)(y-n)≥0,即y2-(m+n)y+mn-12≤0.(*)又由函数y=的最大值为7,最小值为-1,可设(y+1)(y-7)≤0,即y2-6y-7≤0.(**)比较两个一元二次不等式(*)(**)的系数,可得解得或于是所求函数的解析式为y=或y=.技法七分离参数法跟踪集训7.解析(1)由已知得f '(x)=+ax-(a+1),则f '(1)=0.而f(1)=ln 1+-(a+1)=--1,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=--1.∴- -1=-2,解得a=2.∴f(x)=ln x+x2-3x, f '(x)=+2x-3.由f '(x)=+2x-3=>0,得0<x<或x>1,由f '(x)=+2x-3<0,得<x<1,∴f(x)的单调递增区间为和(1,+∞), f(x)的单调递减区间为.(2)因为<,所以+x-(a+1)<+-,即-<在区间(0,+∞)上恒成立.设h(x)=-,则h'(x)=+=,由h'(x)>0,得0<x<,因而h(x)在(0,)上单调递增,由h'(x)<0,得x>,因而h(x)在(,+∞)上单调递减,∴h(x)的最大值为h()=,∴>,故a>2-1.从而实数a的取值范围为{a|a>2-1}.技法八整体代入法跟踪集训8.(1)C 设等比数列的公比为q,则q==3,故a1+a3=a1(1+q2)=10a1=10,解得a1=1.所以a5=a1q4=1×34=81.故选C.(2)A a1a2a3=5⇒=5,a7a8a9=10⇒=10,又=a2a8,所以==50,因为数列{a n}的各项均为正数,所以a4a5a6==5.故选A.技法九割补法跟踪集训9.(1)D 由三视图可知,该几何体如图所示,它是一个长方体被切割后的几何体,其中长方体的底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,AE=2,BF=1.将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,于是该几何体的体积V=×2×2×4=8.故选D.(2) 答案解析如图所示,连接DG,BD.由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,∠BCD=∠BCE=,可知CD⊥平面BCEG,EC⊥平面ABCD,又CE∥GB,所以GB⊥平面ABCD.又BC=CD=CE=2,AD=BG=1,所以V五面体EGBADC=V D-BCEG+V G-ABD=S梯形BCEG·DC+S△ABD·BG=××2×2+××1×2×1=.(3)答案π解析如图,以DA,AB,BC为棱构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以CD==2R,所以R=,故球O的体积V==π.技法十等体积转化法10.解析(1)证明:在矩形ADEF中,ED⊥AD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,因为BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可求得BD=2,BC=2.在△BCD中,BC=BD=2,CD=4,所以BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD,又ED∩BD=D,所以BC⊥平面BDE.(2)因为BC⊥平面BDE,所以BC⊥BE.设DE=x,则BE==,则V三棱锥D-BEC=S△BEC×=××2××=V三棱锥E-BDC,又V三棱锥E-BDC=××2×2x,所以x=,所以V三棱锥F-BDE=V三棱锥B-FDE=××2××2=.技法十一反证法跟踪集训11.A 假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=2x2-2x+=2+3≥3.显然两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.技法十二补集法跟踪集训12. (1)答案解析记从高一年级中抽取的班级为a1,高二年级中抽取的班级为b1,b2,高三年级中抽取的班级为c1,c2,c3.从6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3) ,(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种.设“抽取的两个班级不来自同一年级”为事件A,则事件为抽取的两个班级来自同一年级.由题意知,两个班级来自同一年级的结果为(b1,b2),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共4种.所以P()=,故P(A)=1-P()=1-=.所以两个班级不来自同一年级的概率为.(2)答案-1解析所求的概率等于星形面积与圆面积的比.因为圆的半径为2,所以圆的面积为4π.过星形与圆的交点作圆的切线,得到一个正方形,如图所示:根据对称性可知星形的面积就是正方形的面积与圆的面积之差,即16-4π,故所求概率为=-1.。