高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第23练 含答案

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省高考数学一轮基础复习：专题5 数列姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则的大小关系为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·遵义期中) 已知为等差数列的前项和，，，则（）A . 2019B . 1010C . 2018D . 10113. （2分）在正项等比数列{an}中，若a1=1，且3a3 ， a2 ， 2a4成等差数列，则log2（a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7）=（）A . -28B . -21C . 21D . 284. （2分） (2016高一下·长春期中) 数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2=an+1﹣an（n∈N*），则a2017=（）A . 1B . ﹣1C . ﹣2D . 25. （2分）已知等差数列的前n项和为,且，,则数列的通项公式为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·鹤岗期末) 设等比数列中，前项和为，已知，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知等差数列{an}前四项中第二项为606，前四项和Sn为3834，则该数列第4项为（）A . 2004B . 3005C . 2424D . 20168. （2分）已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列，若，则（）A . 7B . 8C . 15D . 169. （2分） (2016高二上·晋江期中) 正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A . 21B . 18C . 15D . 1210. （2分） (2019高一下·天长月考) 等差数列{an}和{bn)的前n项分别为Sn和Tn,对一切自然数n,都有，则等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·门头沟模拟) 等差数列中，前项和为，公差，且，若，则 =（）A . 0B .C . 的值不确定D .12. （2分）设数列是等差数列，且，则这个数列的前5项和=（）A . 10B . 15C . 20D . 25二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·海南模拟) 已知数列{an}中，a1=2，an﹣an﹣1﹣2n=0（n≥2，n∈N）．设bn=+…+ ，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+ ＞bn恒成立，则实数t的取值范围是________．14. （1分） (2016高一下·苏州期中) 已知数列{an}为等差数列，若a1=﹣3，11a5=5a8 ，则使前n项和Sn取最小值的n=________．15. （1分） (2015高二上·邯郸期末) 对于正整数n，设曲线y=xn（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列{an}的前n项和为Sn=________．16. （1分） (2019高一下·吉林月考) 已知等比数列满足，，设数列的前项和为，则的最大值是________.三、综合题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二上·上杭期中) 已知等差数列{an}中，a1=1，且a2+2，a3 ， a4﹣2成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．18. （10分） (2015高二上·抚顺期末) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（1）求cosB的值；（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．19. （5分） (2020高一下·邯郸期中) 已知数列满足．（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．20. （10分） (2017高二下·黄陵开学考) 设{ an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn ，若{ cn}是1，1，2，…，求数列{ cn}的前10项和．21. （15分） (2017高二上·南通期中) 设等差数列{an}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3 ， b3=a7．若b6=ak ，求k的值．22. （15分）(2018·益阳模拟) 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、综合题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）． A ．35 2331n n +- B ．36 2331n n -+ C ．37 2331n n -+ D ．38 2331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ） A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]40,25-- B ．[]40,0- C ．[]25,25- D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（ ）2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（ ） A ．()9,128 B ．()10,128 C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（ ） A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （ ）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（ ） A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+ B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（ ） A ．20212a = B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（ ）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n aC ．()11221n n a n ++=+ D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2nn ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72 D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>=，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，1,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++=___．专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-【答案】B 【分析】当0x ≥时，分别令1,2,3,x =，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值；当0x <时，分别令1,2,3,x =---，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值． 【详解】 ①当0x ≥时，若0x =，则数列{}n a 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若1x =，则数列{}n a 的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若2x =，则数列{}n a 的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第3项开始为周期数列，周期为3，由202022018236722=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若3x =，则数列{}n a 的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第4项开始为周期数列，周期为3，由202032017336721=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若4x =，则数列{}n a 的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,， 此时数列{}n a 从第6项开始为周期数列，周期为3，由202052015536712=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当()26731001146x =-=，或1147x =时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0；②当0x <时，若1x =-，则数列{}n a 的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第7项开始为周期数列，周期为3，由202062014636711=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 若2x =-，则数列{}n a 的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第9项开始为周期数列，周期为3，由202082012836702=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若3x =-，则数列{}n a 的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第10项开始为周期数列，周期为3，由202092011936701=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若4x =-，则数列{}n a 的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第12项开始为周期数列，周期为3，由20201120091136692=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当()26711001142x =--=-，或1143x =-时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0， 则x 可取的值有1146,1147,1142,1143--． 故选：B ． 【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件()21N n n n a a a x *++=-∈探究数列{}n a 的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x =和1,2,3,x =---，可分别求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦．*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝．662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……． ∴6n n b b +＝．故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-【答案】D 【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果． 【详解】 当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-． 故选：D ．例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67 B ．68 C ．134 D ．167【答案】B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列{}n a 的周期为4，再根据2019=m S 与前两项的范围可求得52a =，再分组求和求解2019S 即可． 【详解】设1(23)a a a =<<，由()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，*(,1)n N n ∈>，得22(0,1)a a =-∈，3235(2,3)a a a =-=-∈，435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈．故数列{}n a 的周期为4，即可得41234,6n n a a a a a a +=+++=． 12336632019m m S a a a =+++=⨯+=，又1(23)a a a =<<，22(0,1)a a =-∈．(2)3a a ∴+-=，即52a =． 12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=， 2019116059504622S ∴=⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154a a a a a a =-==-==-=-，则数列{}n a 的周期为3，则20226743345a a a ⨯===． 故选：B ．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2【答案】D【解析】解：∵12a =，()1112n n n a a a n --=⋅+≥， ∴()1112n n a n a -=-≥， ∴211122a =-=，3121a =-=-，()4112a =--=，511122a =-=，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，10331=⨯+，∴101a a =， 故选：D ．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞【答案】B【解析】{}n a 为单调递增数列，10912109m ma a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩，即12109219219m m m m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪⎪⎝⎭⎩，解得：112m <<， 即实数m 的取值范围为()1,12．故选：B ．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3【答案】C【解析】因为数列{}n a 是单调递增数列，则函数()6x f x a -=在()7,+∞上为增函数，可得1a >，函数()()33f x a x =--在[)1,7上为增函数，可得30a ->，可得3a <，且有78a a <，即()86733187a a a ---=-<，即27180a a +->，解得9a <-或2a >．综上所述，23a <<． 故选：C ．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<【答案】C【解析】当2,n n N *≥∈时，121(1)n n a a n ++=+，因此有2123(2)n n a a n +++=+，(2)(1)-得：22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121n n a a n ++=+可得：345,2a a a a =-=+，因为数列{}n a 单调递增，所以有1234a a a a <<<，即152a a a <<-<+，解得：3522a <<，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：因为等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），所以1119a S A ==-，221(127)(19)18a S S A A A =-=---=-， 332(181)(127)54a S S A A A =-=---=-，因为等比数列{}n a 中2213a a a ，所以2(18)(19)(54)A A A -=--，解得13A =或0A =（舍去）， 所以213n b n Bn =+，因为数列{}n b 是递增的，所以22111(1)(1)033n n b b n B n n Bn +-=+++-->，所以2133B n >--，因为*n N ∈，所以1B >-， 故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可．【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>， 所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【答案】C由数列{}n a 是单调递增数列，可得10n n a a +->，从而有21b n >--恒成立，由n ∈+N ，可求得b 的取值范围． 【详解】由数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n b n n bn n b +++--=++>，即21b n >--（n ∈+N ）恒成立，又数列{}(21)n -+是单调递减数列，所以当1n =时，(21)n -+取得最大值3-，所以3b >-． 故选：C ．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【分析】 根据()111n n n a a n ++=+得出()11n n n a n a n ++-=，然后通过累加法求出1122n n a n =+-，根据均值不等式及n N +∈，即可求出结果． 【详解】 由()111n n n a a n ++=+得()11n n n a n a n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+所以()111112222n n n na n-=+=+-≥ 当且仅当n =n N +∈，故取1a 或2a 最小，又121a a ==，所以n a 的最小值为1【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及n N +∈，求得最值． 例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4【答案】C 【分析】先根据累加法得210n a n n =-+，进而得101n a n n n =+-，再结合函数()101f x x x=+-的单调性即可得当3n =时，na n 的最小值为163． 【详解】 解：由12n na a n+-=得12n n a a n +-=， 所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-， ，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，累加上述式子得：()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦，所以210n a n n =-+，()2n ≥，检验已知1n =时，210n a n n =-+满足．故210n a n n =-+，101n a n n n=+-，由于函数()101f x x x=+-在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，又因为*x ∈N ，当3n =时，10163133n a n =+-=，当4n =时，10114142n a n =+-=， 所以na n 的最小值为163． 故选：C ．例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解． 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->，∴1n n n S a S --=，则21(1)n S n -=-，即2*(N )n S n n =∈，∴22(1)21n a n n n =--=-．易知0n b >，∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（），244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时，1n >， ∴当13n ≤<时， 1n n b b +>， 当3n ≥时，1n n b b +<， 又23132,281b b ==，∴当3n =时， n b 有最小值．故选：A 例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【分析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断n T n 的最小值． 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N *∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=， 当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n=-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6；当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，nT n有最小值5； 综上所述，nT n的最小值为5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题． 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【分析】构造函数()ln xf x x=，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解． 【详解】 考虑函数()ln x f x x=，()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()21ln 0x f x x -'=>，当x e >时，()21ln 0x f x x -'=<， 所以()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 即()1ln x f x x ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以y e ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，116689,89<<．【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题． 【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）．A ．35 2331n n +-B ．36 2331n n -+C ．37 2331n n -+D ．38 2331n n +- 【答案】C 【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f 和(5)f ，进而总结出递推公式2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-，利用累加法即可求出结果． 【详解】由图中规律可知：(4)37f =， 所以(2)(1)716f f -=-=，(3)(2)19726f f -=-=⨯，(4)(3)371936f f -=-=⨯， (5)(4)613746f f -=-=⨯，因此当2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-， 所以[][][]()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+()()612211n n ⎡⎤=⨯-+-++++⎣⎦()1612n n -=⨯+2331n n =-+，经检验当1n =时，符合()2331f n n n =-+，所以()2331f n n n =-+，故选：C ．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位【答案】D 【分析】 先求出,m n 的值，再根据数对的特点推出数对(),m n 的位置 【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第n 组为(1,),(2,1),,(,1)n n n -⋅⋅⋅，数对中两数的和为1n +，共n 个数，由()22222021m n -⋅-=，得()2222023m n -⋅=，因为20237289=⨯，所以2227289m n ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得317m n =⎧⎨=⎩，所以20m n +=，在所有数对中，两数之和不超过19的有1918123181712⨯+++⋅⋅⋅+==个， 所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17）， 所以数对（3，17）排在第174位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由()22222021m n -⋅-=，得()2222023mn -⋅=，解出,m n 的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12 B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9【答案】C 【分析】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项． 【详解】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大．当2m n +=时只有1个()11，；当3m n +=时有2个()()1221，，，； 当4m n +=时有3个()()()132231，，，，，； …；当12m n +=时有11个()()()111210111⋯，，，，，，；其上面共有11(111)12311662⨯+++++==个数对． 所以第67个“整数对”为()112，，第68个“整数对”为()211，， 故选：C ． 【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题． 例23．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列 B ．第64行4列 C ．第65行3列 D ．第65行4列【答案】B 【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案． 【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11… 111,1n n a a a n -=-=-利用累加法：112211(1)()()...()121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-++-+=-+-++=+计算知：642017a = 数2020出现在第64行4列 故答案选B 【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键． 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575 C ．D ．12【答案】A【解析】()32f x x x=+在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴当()x n n N *=∈时，()()(){}min min 5,6f n f f =，又()32575555f =+=，()32346663f =+=，()min 343f n ∴=，即32n a n n =+的最小值为343． 故选：A ．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t 当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】C【解析】由题意可得()()()()()211221121122n n n n n n n n na a a a a a a a ---+-+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+=，当1n =时，11a =满足上式，则()()212121112121n a n n n n n n +++⎡⎤==++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为n ∈+N ， 所以12n +≥， 所以()2131n n ++≥+，则()21121n n ++-≥+，故112112n a n +≥⨯=+，当且仅当1n =时，等号成立． 故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-【答案】B【解析】因为2420,nnn a -=>所以221222log log log log n n T a a a =++⋯+．设22log 4n n b a n n ==-．若n T 有最小值，则2log n T 有最小值， 令0n b ≤，则04,n ≤≤所以当3n =或4n =时﹐n T 的最小值为102-． 故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13【答案】A【解析】由题意可知，()()121111312(1)13(1)2n n n a a a a a a n n n -=+-++-=++++-=+-，则113122n a n n n =+-，又113122y x x =+-在( 上递减，在)+∞上递增，且56<<，5n =时，11311131235222525n n +-=⨯+-=；6n =时，11311131142362226235n n +-=⨯+-=>，故选：A ．例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ）A ．134B ．5C ．6D ．132。

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二 直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明 欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b， 欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟 直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2， 即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明 假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2， 化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三 数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解 结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解 假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解 假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析 由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)， 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2， 那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明 要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。

2023甲卷理科数学(记忆版)一、选择题1.设集合A ={x ∣x =3k +1,k ∈Z },B ={x ∣x =3k +2,k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )=()A.{x |x =3k ,k ∈Z }B.{x ∣x =3k -1,k ∈Z }C.{x ∣x =3k -2,k ∈Z }D.∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集Z =x |x =3k ,k ∈Z ∪x |x =3k +1,k ∈Z ∪x |x =3k +2,k ∈Z ，U =Z ，所以，∁U A ∪B =x |x =3k ,k ∈Z ．故选：A ．2.若复数a +i 1-ai =2,a ∈R ，则a =()A.-1B.0·C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为a +i 1-ai =a -a 2i +i +a =2a +1-a 2 i =2，所以2a =21-a 2=0，解得：a =1．故选：C .3.执行下面的程序框遇，输出的B =()A.21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当n =1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A =1+2=3，B =3+2=5，n =1+1=2；当n =2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A =3+5=8，B =8+5=13，n =2+1=3；当n =3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A =8+13=21，B =21+13=34，n =3+1=4；当n =4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B =34．故选：B .4.向量|a |=|b |=-1,|c |=2，且a +b +c =0 ，则cos ‹a -c ,b -c ›=()A.-15B.-25C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为a +b +c =0 ,所以a +b =-c,即a 2+b 2+2a ⋅b =c 2,即1+1+2a ⋅b =2,所以a ⋅b =0.如图,设OA =a ,OB =b ,OC =c,由题知,OA =OB =1,OC =2,△OAB 是等腰直角三角形,AB 边上的高OD =22,AD =22,所以CD =CO +OD =2+22=322,tan ∠ACD =AD CD =13,cos ∠ACD =310,cos ‹a -c ,b -c›=cos ∠ACB =cos2∠ACD =2cos 2∠ACD -1=2×3102-1=45.故选:D .5.已知正项等比数列a n 中，a 1=1,S n 为a n 前n 项和，S 5=5S 3-4，则S 4=()A.7B.9C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出S 4.【详解】由题知1+q +q 2+q 3+q 4=51+q +q 2 -4,即q 3+q 4=4q +4q 2,即q 3+q 2-4q -4=0,即(q -2)(q +1)(q +2)=0.由题知q >0,所以q =2.所以S4=1+2+4+8=15.故选:C.6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40，记“某人报足球俱乐部”事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，则P(A)=5070=57,P(AB)=4070=47，所以P(B∣A)=P(AB)P(A)=4757=0.8.故选:A.7.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当sin2α+sin2β=1时，例如α=π2,β=0但sinα+cosβ≠0，即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0；当sinα+cosβ=0时，sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1，即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知，sin2α+sin2β=1是sinα+cosβ=0成立的必要不充分条件.故选：B8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=()A.15B.55C.255D.455【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e=5，则c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，解得ba=2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d =|2×2-3|22+1=55，所以弦长|AB |=2r 2-d 2=21-15=455.故选：D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.30【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为a ,b ,c ,d ,e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A 24=12种方法，同理：b ,c ,d ,e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12=60种.故选：B .10.已知f x 为函数y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数，则y =f x 与y =12x -12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得f x =-sin2x ，再作出f x 与y =12x -12的部分大致图像，考虑特殊点处f x 与y =12x -12的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数为y =cos 2x +π6 +π6=cos 2x +π2 =-sin2x ，所以f x =-sin2x ，而y =12x -12显然过0,-12与1,0 两点，作出f x 与y =12x -12的部分大致图像如下，考虑2x =-3π2,2x =3π2,2x =7π2，即x =-3π4,x =3π4,x =7π4处f x 与y =12x -12的大小关系，当x =-3π4时，f -3π4 =-sin -3π2 =-1，y =12×-3π4 -12=-3π+48<-1；当x=3π4时，f3π4=-sin3π2=1，y=12×3π4-12=3π-48<1；当x=7π4时，f7π4=-sin7π2=1，y=12×7π4-12=7π-48>1；所以由图可知，f x 与y=12x-12的交点个数为3.故选：C.11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为()A.22B.32C.42D.52【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得△PDO≅△PCO，△PDB≅△PCA，从而得到PA =PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，从而求得PB=17，由此在△PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，cos∠PCB=13，从而求得PA⋅PC=-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,∠BPD的方程组，从而求得PB=17，由此在△PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42，则DO=CO=22，又PC=PD=3，PO=OP，所以△PDO≅△PCO，则∠PDO=∠PCO，又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB≅△PCA，则PA=PB，在△PAC中，PC=3,AC=42,∠PCA=45°，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC⋅PC cos∠PCA=32+9-2×42×3×22=17，故PA=17，则PB=17，故在△PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cos∠PCB=PC2+BC2-PB22PC⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB<π，所以sin∠PCB=1-cos2∠PCB=22 3，所以△PBC的面积为S=12PC⋅BC sin∠PCB=12×3×4×223=4 2.法二：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，AB =4，所以AC =BD =42，在△PAC 中，PC =3,∠PCA =45°，则由余弦定理可得PA 2=AC 2+PC 2-2AC ⋅PC cos ∠PCA =32+9-2×42×3×22=17，故PA =17，所以cos ∠APC =PA 2+PC 2-AC 22PA ⋅PC =17+9-322×17×3=-1717，则PA ⋅PC =PA PC cos ∠APC =17×3×-1717=-3，不妨记PB =m ,∠BPD =θ，因为PO =12PA +PC =12PB+PD ，所以PA +PC 2=PB +PD 2，即PA 2+PC 2+2PA ⋅PC =PB 2+PD 2+2PB ⋅PD ，则17+9+2×-3 =m 2+9+2×3×m cos θ，整理得m 2+6m cos θ-11=0①，又在△PBD 中，BD 2=PB 2+PD 2-2PB ⋅PD cos ∠BPD ，即32=m 2+9-6m cos θ，则m 2-6m cos θ-23=0②，两式相加得2m 2-34=0，故PB =m =17，故在△PBC 中，PC =3,PB =17,BC =4，所以cos ∠PCB =PC 2+BC 2-PB 22PC ⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB <π，所以sin ∠PCB =1-cos 2∠PCB =223，所以△PBC 的面积为S =12PC ⋅BC sin ∠PCB =12×3×4×223=4 2.故选：C .12.己知椭圆x 29+y 26=1，F 1,F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |=()A.25B.302C.35D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF 1F 2面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1 PF 2 ,PF 1 2+PF 2 2，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1 2+PF 2 2，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设∠F 1PF 2=2θ,0<θ<π2，所以S △PF 1F 2=b 2tan ∠F 1PF 22=b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2=cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=35，解得：tan θ=12，由椭圆方程可知，a 2=9,b 2=6,c 2=a 2-b 2=3，所以，S △PF 1F 2=12×F 1F 2 ×y p =12×23×y p =6×12，解得：y 2p =3，即x 2p =9×1-36 =92，因此OP =x 2p +y 2p=3+92=302．故选：B ．方法二：因为PF 1 +PF 2 =2a =6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，即PF 1 2+PF 2 2-65PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 PF 2 =152,PF 1 2+PF 2 2=21，而PO =12PF 1 +PF 2 ，所以OP =PO =12PF 1 +PF 2 ，即PO =12PF 1 +PF 2 =12PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2+PF 2 2=1221+2×35×152=302．故选：B ．方法三：因为PF 1 +PF 2 =2a =6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，即PF 1 2+PF 2 2-65PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 2+PF 2 2=21，由中线定理可知，2OP 2+F 1F 2 2=2PF 1 2+PF 2 2=42，易知F 1F 2 =23，解得：OP =302．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13.若y =(x -1)2+ax +sin x +π2为偶函数，则a =．【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到f -π2=f π2 ，从而求得a =2，再检验即可得解.【详解】因为y =f x =x -1 2+ax +sin x +π2=x -1 2+ax +cos x 为偶函数，定义域为R ，所以f -π2 =f π2 ，即-π2-1 2-π2a +cos -π2 =π2-1 2+π2a +cos π2，则πa =π2+1 2-π2-1 2=2π，故a =2，此时f x =x -1 2+2x +cos x =x 2+1+cos x ，所以f -x =-x 2+1+cos -x =x 2+1+cos x =f x ，又定义域为R ，故f x 为偶函数，所以a =2.故答案为：2.14.设x ，y 满足约束条件-2x +3y ≤33x -2y ≤3x +y ≥1，设z =3x +2y ，则z 的最大值为．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数y =-32x +z 2过点A 时，z 有最大值，由-2x +3y =33x -2y =3 可得x =3y =3 ，即A (3,3),所以z max =3×3+2×3=15.故答案为：1515.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD ，A 1B 1的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，BB 1中点G ,M ，侧面BB 1C 1C 的中心为N ，连接FG ,EG ,OM ,ON ,MN ，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF=FG2+EG2=22+22=22，即R=2，则球心O到BB1的距离为OM=ON2+MN2=12+12=2，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°,BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得：b=1+3，由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，1 2×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+12×AD×b×sin30°，解得：AD=3b1+b2=231+33+3=2．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得：b=1+3，由正弦定理可得，6sin60°=b sin B =2sin C ，解得：sin B =6+24，sin C =22，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17.已知数列a n 中，a 2=1，设S n 为a n 前n 项和，2S n =na n ．(1)求a n 的通项公式；(2)求数列a n +12n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =n -1(2)T n =2-2+n 12n【解析】【分析】(1)根据a n =S 1,n =1S n -S n -1,n ≥2即可求出；(2)根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为2S n =na n ，当n =1时，2a 1=a 1，即a 1=0；当n =3时，21+a 3 =3a 3，即a 3=2，当n ≥2时，2S n -1=n -1 a n -1，所以2S n -S n -1 =na n -n -1 a n -1=2a n ，化简得：n -2 a n =n -1 a n -1，当n ≥3时，an n -1=a n -1n -2=⋯=a 32=1，即a n =n -1，当n =1,2,3时都满足上式，所以a n =n -1n ∈N * ．【小问2详解】因为a n +12n =n 2n ，所以T n =1×12 1+2×12 2+3×12 3+⋯+n ×12 n，12T n =1×12 2+2×12 3+⋯+(n -1)×12 n +n ×12 n +1，两式相减得，12T n =121+122+123+⋯+12n-n ×12n +1=12×1-12 n1-12-n ×12n +1，=1-1+n 2 12n，即T n =2-2+n 12n，n ∈N *．18.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=2，A 1C ⊥底面ABC ，∠ACB =90°，A 1到平面BCC 1B 1的距离为1．(1)求证：AC=A1C；(2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1313【解析】【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得A1O⊥平面BCC1B1，再由勾股定理求出O为中点，即可得证；(2)利用直角三角形求出AB1的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图，∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C,AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，过A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，∴A1O⊥平面BCC1B1∵A1到平面BCC1B1的距离为1，∴A1O=1，在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2，设CO=x，则C1O=2-x，∵△A1OC,△A1OC1,△A1CC1为直角三角形，且CC1=2，CO2+A1O2=A1C2，A1O2+OC21=C1A21，A1C2+A1C21=C1C2，∴1+x2+1+(2-x)2=4，解得x=1，∴AC=A1C=A1C1=2，∴AC=A1C【小问2详解】∵AC=A1C1,BC⊥A1C,BC⊥AC，∴Rt△ACB≌Rt△A1CB∴BA=BA1，过B作BD⊥AA1，交AA1于D，则D为AA1中点，由直线AA1与BB1距离为2，所以BD=2∵A1D=1，BD=2，∴A1B=AB=5，在Rt△ABC，∴BC=AB2-AC2=3，延长AC，使AC=CM，连接C1M，由CM∥A1C1,CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形，∴C1M∥A1C，∴C1M⊥平面ABC，又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM则在Rt△AC1M中，AM=2AC,C1M=A1C，∴AC1=(2AC)2+A1C2，在Rt△AB1C1中，AC1=(2AC)2+A1C2，B1C1=BC=3，∴AB1=(22)2+(2)2+(3)2=13,又A到平面BCC1B1距离也为1，所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113=1313.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：<m≥m对照组实验组(ii)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k00.100.050.010P k2≥k02.7063.841 6.635【答案】(1)分布列见解析，E(X)=1(2)(i)m=23.4；列联表见解析，(ii)能【解析】【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；(2)(i)根所中位数的定义即可求得m=23.4，从而求得列联表；(ii)依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则P (X =0)=C 020C 220C 240=1978，P (X =1)=C 120C 120C 240=2039，P (X =2)=C 220C 020C 240=1978，所以X 的分布列为：X012P 197820391978故E (X )=0×1978+1×2039+2×1978=1.【小问2详解】(i )依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,⋯，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m =23.2+23.62=23.4，故列联表为：<m≥m 合计对照组61420实验组14620合计202040(ii )由(i )可得，K =40×(6×6-14×14)220×20×20×20=6.400>3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.设抛物线C :y 2=2px (p >0)，直线x -2y +1=0与C 交于A ，B 两点，且|AB |=415．(1)求p ；(2)设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，MF ⋅NF =0，求△MNF 面积的最小值．【答案】(1)p =2(2)12-82【解析】【分析】(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；(2)设直线MN ：x =my +n ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,利用MF ⋅NF =0，找到m ,n 的关系，以及△MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设A x A ,y A ,B x B ,y B ，由x -2y +1=0y 2=2px可得，y 2-4py +2p =0，所以y A +y B =4p ,y A y B =2p ，所以AB =x A -x B 2+y A -y B 2=5y A -y B =5×y A +y B 2-4y A y B =415，即2p 2-p -6=0，因为p >0，解得：p =2．【小问2详解】因为F 1,0 ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x =my +n ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n可得，y 2-4my -4n =0，所以，y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4n ，Δ=16m 2+16n >0⇒m 2+n >0，因为MF ⋅NF =0，所以x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=0，即my 1+n -1 my 2+n -1 +y 1y 2=0，亦即m 2+1 y 1y 2+m n -1 y 1+y 2 +n -1 2=0，将y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4n 代入得，4m 2=n 2-6n +1，4m 2+n =n -1 2>0，所以n ≠1，且n 2-6n +1≥0，解得n ≥3+22或n ≤3-22．设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d =n -1 1+m2，MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2y 1-y 2 =1+m 216m 2+16n=21+m 24n 2-6n +1 +16n =21+m 2n -1 ，所以△MNF 的面积S =12×MN ×d =12×n -1 1+m2×21+m 2n -1 =n -1 2，而n ≥3+22或n ≤3-22，所以，当n =3-22时，△MNF 的面积S min =2-22 2=12-82．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m ,n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21.已知f (x )=ax -sin x cos 3x,x ∈0,π2 (1)若a =8，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )<sin2x 恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)(-∞,3]【解析】【分析】(1)求导,然后令t =cos 2x ,讨论导数的符号即可;(2)构造g (x )=f (x )-sin2x ,计算g (x )的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可.【小问1详解】f(x )=a -cos x cos 3x +3sin x cos 2x sin x cos 6x=a -cos 2x +3sin 2x cos 4x =a -3-2cos 2x cos 4x令cos 2x =t ,则t ∈(0,1)则f(x )=g (t )=a -3-2t t 2=at 2+2t -3t 2当a =8,f (x )=g (t )=8t 2+2t -3t 2=(2t -1)(4t +3)t 2当t ∈0,12 ,即x ∈π4,π2 ,f (x )<0.当t ∈12,1 ,即x ∈0,π4 ,f (x )>0.所以f (x )在0,π4 上单调递增,在π4,π2上单调递减【小问2详解】设g (x )=f (x )-sin2xg (x )=f (x )-2cos2x =g (t )-22cos 2x -1 =at 2+2t -3t 2-2(2t -1)=a +2-4t +2t -3t 2设φ(t )=a +2-4t +2t -3t2φ (t )=-4-2t2+6t 3=-4t 3-2t +6t 3=-2(t -1)(2t 2+2t +3)t 3>0所以φ(t )<φ(1)=a -3.1°若a ∈(-∞,3],g (x )=φ(t )<a -3≤0即g (x )在0,π2上单调递减,所以g (x )<g (0)=0.所以当a ∈(-∞,3],f (x )<sin2x ,符合题意.2°若a ∈(3,+∞)当t →0,2t -3t2=-31t -13 2+13→-∞,所以φ(t )→-∞.φ(1)=a -3>0.所以∃t 0∈(0,1),使得φt 0 =0,即∃x 0∈0,π2,使得g x 0 =0.当t ∈t 0,1 ,φ(t )>0,即当x ∈0,x 0 ,g (x )>0,g (x )单调递增.所以当x ∈0,x 0 ,g (x )>g (0)=0,不合题意.综上,a 的取值范围为(-∞,3].【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性t =cos x 在定义域内是减函数,若t 0=cos x 0,当t ∈t 0,1 ,φ(t )>0,对应当x ∈0,x 0 ,g (x )>0.四、选做题22.已知P (2,1)，直线l :x =2+t cos αy =1+t sin α(t 为参数)，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，|PA |⋅|PB |=4．(1)求α的值；(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】(1)3π4(2)ρcos α+ρsin α-3=0【解析】【分析】(1)根据t 的几何意义即可解出；(2)求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ,B 两点，所以π2<α<π，令x =0，t 1=-2cos α，令y =0，t 2=-1sin α，所以PA PB =t 2t 1 =2sin αcos α =4sin2α=4，所以sin2α=±1，即2α=π2+k π，解得α=π4+12k π,k ∈Z ，因为π2<α<π，所以α=3π4．【小问2详解】由(1)可知，直线l的斜率为tanα=-1，且过点2,1，所以直线l的普通方程为：y-1=-x-2，即x+y-3=0，由x=ρcosα,y=ρsinα可得直线l的极坐标方程为ρcosα+ρsinα-3=0．23.已知f(x)=2|x-a|-a,a>0．(1)解不等式f(x)<x(2)若y=f(x)与坐标轴围成面积为2，求a．【答案】(1)a3,3a(2)263【解析】【分析】(1)分x≤a和x>a讨论即可;(2)写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x≤a,则f(x)=2a-2x-a<x,即3x>a,解得x>a3,即a3<x≤a,若x>a,则f(x)=2x-2a-a<x,解得x<3a,即a<x<3a,综上,不等式的解集为a3,3a .【小问2详解】f(x)=-2x+a,x≤a 2x-3a,x>a .画出f(x)的草图,则f(x)与坐标轴围成△ADO与△ABC△ABC的高为a,D(0,a),A a2,0,B3a2,0,所以|AB|=a所以S△OAD+S△ABC=12OA⋅a+12AB⋅a=34a2=2,解得a=263。

第23练 常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望] 利用递推关系式求数列的通项公式及前n 项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键.一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.体验高考1.(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析 由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.2.(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 答案 －1n解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ， 所以S n ＝－1n.3.(2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________. 答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2.令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.4.(2016·课标全国丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意，得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.高考必会题型题型一 利用累加法解决递推问题 例1 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)，则a n 等于( )A.2－1nB.1－1nC.1nD.2－1n －1答案 A解析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)，∴a 2－a 1＝11×2，a 3－a 2＝12×3，a 4－a 3＝13×4，…，a n －a n －1＝1n (n －1)(n >1)，以上各式左右两边分别相加得a n －a 1＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ，∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，又a 1＝1适合上式， ∴a n ＝2－1n ，故选A.(2)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (n ∈N *，常数c ≠0)，且a 1，a 2，a 3成等比数列. ①求c 的值；②求数列{a n }的通项公式.解 ①由题意知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， ∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴(2＋c )2＝2(2＋3c )， 解得c ＝0或c ＝2， 又c ≠0，故c ＝2.②当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn ，得a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ， 以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c .又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式也成立，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *).点评 由已知递推关系式，若能转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )，或1a n ＋1－1a n ＝f (n )且f (n )的和可求，则可采用累加法.变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n )，则a n 等于( )A.1＋n ＋ln nB.1＋n ln nC.1＋(n －1)ln nD.1＋ln n 答案 D解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝ln(1＋1n)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln(1＋1n －1)＋ln(1＋1n －2)＋…＋ln(1＋1)＋1＝ln(n n －1×n －1n －2×…×2)＋1＝1＋ln n . 题型二 利用累乘法解决递推问题例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝2n ＋1 C.a n ＝n ＋12 D.a n ＝n(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，则a 2 016＝________.答案 (1)B (2)2 016解析 (1)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0， 又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ， 即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n， 所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a na n ＋1－a n＝n (n ∈N *)，得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…， a n a n －1＝n n －1，各式相乘得a na 1＝n ，∴a n ＝n (n ＝1适合)，∴a 2 016＝2 016.点评 若由已知递推关系能转化成a n ＋1a n ＝f (n )的形式，且f (n )的前n 项积能求，则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式.变式训练2 数列{a n }的前n 项和S n ＝n2a n (n ≥2)，且a 1＝1，a 2＝2，则{a n }的通项公式a n ＝______________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2解析 ∵S n －1＝n －12a n －1 (n ≥3)，∴S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，∴a n ＝n 2a n －n －12a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2.∴当n ≥3时，a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝2·32·43·…·n －1n －2，∴a na 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)·a 2＝2(n －1)(n ≥3). ∵a 2＝2满足a n ＝2(n －1)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2(n －1)， n ≥2.题型三 构造法求通项公式例3 (1)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝na n(n ＋1)(na n ＋2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1，则a n ＝________.答案 (1)1n (3·2n －1－1)(2)1n解析 (1)由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na nna n ＋2， 设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b nb n ＋2，所以1b n ＋1＝2b n＋1，两边都加1可得1b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(1b n ＋1)，即{1b n ＋1}是公比为2，首项为3的等比数列. 故1b n＋1＝3·2n －1， 所以1b n ＝3·2n －1－1＝1na n，所以a n ＝1n (3·2n －1－1)(n ＝1适合)， 于是所求通项公式为a n ＝1n (3·2n －1－1). (2)由a n ＋1＝a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝1(常数)，又1a 1＝1，∴{1a n }为以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n ＝n ，从而a n ＝1n ，即所求通项公式为a n ＝1n. 点评 构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“a n ＝ca n －1＋b ”的条件下，可构造“a n ＋x ＝c (a n －1＋x )”在“a n ＝ma n －1ka n －1＋m”的条件下，可构造“1a n ＝1a n －1＋k m ”.变式训练3 已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝7a n －1－33a n －1＋1，求数列{a n }的通项公式.解 因为当n ≥2时，a n －1＝4a n －1－43a n －1＋1，两边取倒数，得1a n －1＝1a n －1－1＋34.即1a n －1－1a n －1－1＝34， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝1，公差为34的等差数列.所以1a n －1＝1a 1－1＋34(n －1)＝3n ＋14.所以a n ＝3n ＋53n ＋1.又当n ＝1时，上式也成立， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n ＋53n ＋1(n ∈N *). 高考题型精练1.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ≥2)，则a n 等于( )A.1n ＋1B.(23)n －1C.(23)nD.2n ＋1答案 D解析 由题意知{1a n }是等差数列，又1a 1＝1，1a 2＝32， ∴公差为d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12， ∴a n ＝2n ＋1，故选D.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n ＋3(n ∈N *)，则a 10等于( ) A.28 B.33 C.133 D.128答案 D解析 由已知1a n ＋1－1a n＝3(n ∈N *)，所以数列{1a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，即1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2， 解得a n ＝13n －2，a 10＝128，故选D.3.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝n n ＋1C.a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2 D.a n ＝n ＋1n ＋2答案 B解析 由a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2可得，a n ＋1－a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以a 2－a 1＝12－13，a 3－a 2＝13－14，a 4－a 3＝14－15，…，a n －a n －1＝1n －1n ＋1，累加可得a n －a 1＝12－1n ＋1，又a 1＝12，所以a n ＝nn ＋1，故选B.4.已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，n 为正整数，则a 2 016等于( )A.2 015B.2 009C.1 005D.1 006 答案 A解析 因为f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x1－x ＋1＋log 21－x x ＋1＝2.所以f (1n )＋f (n －1n )＝2，f (2n )＋f (n －2n )＝2，…， f (n －1n )＋f (1n)＝2， 由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1， 所以a 2 016＝2 016－1＝2 015，故选A.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n (n －1)2＋2n －1－1B.n (n －1)2＋2n －1C.n (n ＋1)2＋2n ＋1－1D.n (n －1)2＋2n ＋1－1答案 B解析 ∵a n ＋1＝a n ＋n ＋2n ， ∴a n ＋1－a n ＝n ＋2n .∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋(1＋2)＋(2＋22)＋…＋[(n －1)＋2n －1] ＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(2＋22＋…＋2n －1) ＝1＋(n －1)n 2＋2(1－2n －1)1－2＝n (n －1)2＋2n－1.6.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7等于( ) A.53 B.54 C.55 D.109 答案 C解析 ∵a n －a n －1＝2n (n ≥2)， ∴a 2－a 1＝4， a 3－a 2＝6， a 4－a 3＝8， …a 7－a 6＝14，以上各式两边分别相加得 a 7－a 1＝4＋6＋…＋14， a 7＝1＋(4＋14)×62＝55.7.数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)，则a n ＝________. 答案 3n －2解析 因为a n ＝2·3n －1＋a n －1(n ≥2)， 所以a n －a n －1＝2·3n －1(n ≥2)，由叠加原理知a n －a 1＝2(3＋32＋33＋…＋3n －1)(n ≥2)， 所以a n ＝a 1＋23(1－3n －1)1－3＝1＋3n －3＝3n －2(n ≥2)， 因为a 1＝1也符合上式， 故a n ＝3n －2.8.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________. 答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1). ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.9.若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝4a n ＋2n ，则通项a n ＝________________. 答案 22n －1－2n －1解析 ∵a n ＋1＝4a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝2a n 2n ＋12，设b n ＝a n 2n ，则b n ＋1＝2b n ＋12，∴b n ＋1＋12＝2(b n ＋12)，即b n ＋1＋12b n ＋12＝2，又b 1＋12＝1，∴{b n ＋12}是等比数列，其中首项为1，公比为2， ∴b n ＋12＝2n －1，即b n ＝2n －1－12，即a n 2n ＝2n －1－12， ∴a n ＝2n (2n －1－12)＝22n －1－2n －1.10.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________________. 答案 1n解析 对原关系式进行等价变形可得(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)⇒[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，因为{a n }是正项数列，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 从而(n ＋1)a n ＋1na n＝1，即数列{na n }是首项为1，公比为1的等比数列， 所以na n ＝1，即a n ＝1n.11.数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明由a n＋2＝2a n＋1－a n＋2，得b n＋1－b n＝a n＋2－2a n＋1＋a n＝2a n＋1－a n＋2－2a n＋1＋a n＝2，又b1＝a2－a1＝1，∴{b n}是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解由(1)得b n＝2n－1，于是a n＋1－a n＝2n－1，a n＝[(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)]＋a1＝[1＋3＋…＋(2n－3)]＋1＝(n－1)2＋1，而a1＝1也符合，∴{a n}的通项公式a n＝(n－1)2＋1.12.已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*).(1)证明数列{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n＋n}的前n项和T n.解(1)由已知，S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*)，当n≥2时，S n＝2S n－1＋n，两式相减得，a n＋1＝2a n＋1，于是a n＋1＋1＝2(a n＋1)(n≥2).当n＝1时，S2＝2S1＋1＋1，即a1＋a2＝2a1＋1＋1，所以a2＝3，此时a2＋1＝2(a1＋1)，且a1＋1＝2≠0，所以数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.所以a n＋1＝2·2n－1，即a n＝2n－1(n∈N*).(2)令c n＝na n＋n，则c n＝n·2n，于是T n＝1·21＋2·22＋…＋n·2n，2T n＝1·22＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，两式相减得，－T n＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2(2n－1)2－1－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以T n＝(n－1)·2n＋1＋2.。

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）A．21【知识链接】、程序框图基本概念：程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形、构成程序框的图形符号及其作用程序框名称起止框输入、输出框a ()a b c=++ )b- )aa aμ+a bλ+作OA =a ，OB = cos cos a b θ=<>= ，+1l2.211．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,AB =则PBC 的面积为（ ）A ．22B ．32C ．42【知识链接】1、简单多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台16．在ABC 中，2AB =，60,6BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 分线，则AD =.【知识链接】正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则定理正弦定理余弦定理内容sin aA =sin bB =sin c C=2R a 2=b 2+c 2-2bc cos b 2=c 2+a 2-2ca cos c 2=a 2+b 2-2ab cos(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求【知识链接】一、直线与平面垂直1.定义:如果直线l 与平面α内的2.直线与平面垂直的五个结论F 2p ，0F -p 2，0F 0，2p F 0，-2p 如图，设AB1.求解直线与抛物线的问题时，一般利用方程法，但当涉及抛物线的弦长、中点、距离　1.求复合函数的导数的步骤2.求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数；哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.一、函数的单调性与导数的关系条件结论可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充要条件是∀x ∈(a ，b )，都有f'(x )≥0(f'(x )≤0)且f'(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零.二、函数的极值若函数y=f (x )在点x=a 处的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，f'(a )=0，而且在点x=a 附近的左侧　f'(x )<0　，右侧　f'(x )>0　，则点a 叫作函数y=f (x )的极小值点，f (a )叫作函数y=f (x )的极小值.若函数y=f (x )在点x=b 的函数值f (b )比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，f'(b )=0，而且在点x=b 附近的左侧　f'(x )>0　，右侧　f'(x )<0　，则点b 叫作函数y=f (x )的极大值点，f (b )叫作函数y=f (x )的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.三、函数的最值1.在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.2.若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值.1.若函数f (x )的图象连续不断，则f (x )在[a ，b ]上一定有最值.2.若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )一定在区间端点处取得最值.3.若函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.22．已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【知识链接】【知识链接】1．坐标系： ① 理解坐标系的作用.　② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

第24练 数列求和问题[题型分析·高考展望] 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n 项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题.体验高考1.(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于______.答案 27解析 由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列.∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.2.(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______. 答案 1 121解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1， ① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列. ∴S n ＝12(3n －1).∴S 5＝121.3.(2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3).4.(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，S n －1＝3n 2＋2n －5，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合{a n }通项公式，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.高考必会题型题型一 分组转化法求和例1 (2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 与log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列.设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 点评 分组求和常见的方法：(1)根据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可能是等差数列或等比数列；(2)根据正号、负号分组；(3)根据数列的周期性分组；(4)根据奇数项、偶数项分组.变式训练1 (2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ， 得a n ＋1＝3a n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *， 则b 1＝2，b 2＝1，当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n ＋7)(n －2)2＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3，n ∈N *.题型二 错位相减法求和例2 (2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.点评 错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项“{a n ·b n }”型数列求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②把两个和的形式错位相减； ③整理结果形式.变式训练2 (2015·山东)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以，当n ＝1时，b 1＝13，所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n . 所以，当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n )， 所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n )， 两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n＝1312－6n ＋34×3n ， 经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .题型三 裂项相消法求和例3 若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 21a n ，求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18(14)n －1＝(12)2n ＋1.(2)证明 由c n ＋1－c n ＝log 21a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1).∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1＝12×[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)] ＝12[(1＋12)－(1n ＋1n ＋1)] ＝34－12(1n ＋1n ＋1)<34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证.点评 (1)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1a n ＋1).其余还有公式法求和等.(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项.变式训练3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数， 知等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n10(10－3n ).高考题型精练1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1答案 A解析 因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .2.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5nn ＋1 答案 B解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200 B.－200 C.400 D.－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2， 当n 为奇数时，－n 2， 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A.0B.100C.－100D.10 200 答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B.5.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＋2)，则其前n 项和S n 为( )A.1－1n ＋2B.32－1n －1n ＋1 C.32－1n －1n ＋2 D.32－1n ＋1－1n ＋2答案 D解析 因为a n ＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2.故选D.6.已知数列{a n }为等比数列，前三项为：a ，12a ＋12，13a ＋13，且S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n B.81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n C.815⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n D.81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 答案 C解析 由⎝⎛⎭⎫12a ＋122＝a ⎝⎛⎭⎫13a ＋13 解得a ＝3(a ＝－1舍去)， T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n＝a 21⎣⎡⎦⎤1－(49)n 1－49＝815⎣⎡⎦⎤1－(49)n . 7.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－n －2解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.8.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.9.数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830.10.在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案n n ＋1解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3. 所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ， 故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)依题意得，S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1.故T n ＝∑i ＝1nb n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－17＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1. 因此，使得12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1＜m 20(n ∈N *)成立的m 必须满足12≤m20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.12.在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2， a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n ). 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.。

2023年高考全国甲卷理科数学试题一、单选题34 ．．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =和5354S S =-，则4S =B ．658 C ．15 D ．40，则PBC的面积为（23 5PF=，则二、填空题．在ABC中∠三、解答题nS为数列}na的通项公式；ABC A B C中，111上两点0⋅=，求FM FN⎫⎪⎭的取值范围．α2023年高考全国甲卷理科数学试题答案详解一、单选题 1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣ C ．{32,}xx k k Z =-∈∣ D ．∅ 【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z = 所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }．故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=。

所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,2,OAB 是等腰直角三角形22, 322=, 310ACD =, ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠:D.．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前1582q.+=.815．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（3π3π7π3π3π7π11，则PBC 的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅和PDB PCA ≅，从而得到PA ，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；和1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=-，再利用空间向量的数量从而求得17PB =，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO ≅，则∠，所以PDB PCA ≅，则PA 45PCA =︒。

第练基本量法——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望]等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前项和公式及等差、等比数列的常用性质.体验高考.(·课标全国乙)已知等差数列{}前项的和为，＝，则等于()答案解析由等差数列性质，知＝＝＝＝，得＝，而＝，因此公差＝＝，∴＝＋＝，故选..(·福建)若，是函数()＝－＋(＞，＞)的两个不同的零点，且，，－这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＋的值等于()答案解析由题意知：＋＝，＝，∵＞，＞，∴＞，＞.在，，－这三个数的种排序中，成等差数列的情况有，，－；，，－；－，，；－，，；成等比数列的情况有，－，；，－，.∴或解得或∴＝，＝，∴＋＝，故选..(·北京)已知{}为等差数列，为其前项和.若＝，＋＝，则＝.答案解析∵＋＝＝，∴＝.又＝，∴＝＋＝，∴＝－.∴＝×＋×(－)＝..(·安徽)已知数列{}是递增的等比数列，＋＝，＝，则数列{}的前项和等于. 答案－解析由等比数列的性质知＝，又＝，＋＝，∴联立方程解得或又数列{}为递增数列，∴＝，＝，从而＝，∴＝.∴数列{}的前项和为＝＝－..(·课标全国乙)设等比数列{}满足＋＝，＋＝，则…的最大值为. 答案解析设等比数列{}的公比为，∴即解得∴…＝(－)＋(－)＋…＋(－)211749(7)()22241122⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n n n。

２０２２年全国高考甲卷第２３题解析王大成(云南省玉溪第一中学ꎬ云南玉溪６５３１００)摘㊀要:每年高考试题中ꎬ都会有许多蕴含着丰富的数学素养㊁数学思想与方法的题目ꎬ一些前因后果需要教师从其背后去思考ꎬ去挖掘ꎬ从中探究出更多潜在价值ꎬ使高考试题真正发挥其应有的数学素养导向功能㊁科学选拔功能㊁教学志向功能.文章对２０２２年全国高考甲卷文科数学㊁理科数学第２３题的证法进行探究.关键词:高考试题ꎻ不等式ꎻ证法探究ꎻ数学素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００２７－０４收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:王大成ꎬ从事高中数学教学研究.１考题呈现题目㊀已知ａꎬｂꎬｃ均为正数ꎬ且ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ证明:(１)ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎻ(２)若ｂ＝２ｃꎬ则１ａ＋１ｃȡ３.这是２０２２年全国高考甲卷文㊁理数学第２３题.这是一道极其具有简约美的高考试题ꎬ是一道新颖别致㊁表述极为简洁明了㊁意境优雅㊁内涵丰富的好题ꎬ也是一道优质考题ꎬ综合考查了学生的多种核心数学素养ꎬ其求解需要学生具有一定的数学智慧与能力ꎬ特别是试题的第(２)问ꎬ计算量很小ꎬ但思考量很大ꎬ解法很灵活ꎬ对学生的数学素养要求很高ꎬ对学生的数学思维能力要求很强ꎬ对优秀层次的学生更有区分度.这道试题很值得我们去品味.２证法探究２.１第(１)问解析证法１㊀(平方转化法与均值不等式法相结合)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ所以(ａ＋ｂ＋２ｃ)２＝ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＋２ａｂ＋４ｂｃ＋４ａｃɤ３＋(ａ２＋ｂ２)＋(ｂ２＋４ｃ２)＋(ａ２＋４ｃ２)＝３＋２(ａ２＋ｂ２＋４ｃ２)＝９.又ａ㊁ｂ㊁ｃ均为正数ꎬ所以ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬａ＝ｂ＝２ｃꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.证法２㊀(权方和不等式法)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ又ａ㊁ｂ㊁ｃ均为正数ꎬ所以由权方和不等式ꎬ得(ａ＋ｂ＋２ｃ)２１＋１＋１ɤａ２１＋ｂ２１＋４ｃ２１＝３.所以(ａ＋ｂ＋２ｃ)２ɤ９.所以ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬａ＝ｂ＝２ｃꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.证法３㊀(柯西不等式法)由柯西不等式ꎬ得(１２＋１２＋１２)[ａ２＋ｂ２＋(２ｃ)２]ȡ(ａ＋ｂ＋２ｃ)２.因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ所以３ˑ３ȡ(ａ＋ｂ＋２ｃ)２.即ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝２ｃꎬａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.证法４㊀(均值不等式法)因为ａ２＋１ȡ２ａꎬｂ２＋１ȡ２ｂꎬ(２ｃ)２＋１ȡ４ｃꎬ所以ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＋３ȡ２ａ＋２ｂ＋４ｃ.又ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬ所以６ȡ２ａ＋２ｂ＋４ｃ.所以ａ＋ｂ＋２ｃɤ３ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.故ａ＋ｂ＋２ｃɤ３.２.２第(２)问解析证法１㊀(权方和不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.所以１ａ＋４ｃȡ１３.所以由权方和不等式ꎬ得１ａ＋１ｃ＝１２ａ＋２２４ｃȡ９ａ＋４ｃȡ３ꎬ当且仅当１ａ＝２４ｃꎬａ＝１ꎬｃ＝１２ꎬìîíïïïïïï即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法２㊀(柯西不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.所以１ａ＋４ｃȡ１３.因为１ａ＋１ｃ＝１ａ＋４４ｃꎬ由柯西不等式ꎬ得[(ａ)２＋(４ｃ)２][(１ａ)２＋(２４ｃ)２]ȡ(１＋２)２.所以１ａ＋４４ｃȡ９ａ＋４ｃȡ３ꎬ当且仅当ａ＋４ｃ＝３ꎬａ＝４ｃ２ꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法３㊀(柯西不等式法)因为１ａ＋１ｃ＝１ａ＋２２ｃ＝１ａ＋１２ｃ＋１２ｃꎬ又ｂ＝２ｃꎬ所以１ａ＋１ｃ＝１ａ＋１ｂ＋１２ｃ.由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.即１ȡ１３(ａ＋ｂ＋２ｃ).所以１ａ＋１ｃ＝１ａ＋１ｂ＋１２ｃȡ１３(ａ＋ｂ＋２ｃ) (１ａ＋１ｂ＋１２ｃ)ȡ１３(ａ １ａ＋ｂ １ｂ＋２ｃ １２ｃ)２＝１３ˑ９＝３ꎬ当且仅当１３(ａ＋ｂ＋２ｃ)＝１ꎬａ＝ｂ＝２ｃꎬ{即ａ＝ｂ＝２ｃ＝１时等号成立.所以１ａ＋１ｃȡ３.证法４㊀(均值不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.所以１ａ＋１ｃ＝１３(３ａ＋３ｃ)ȡ１３(ａ＋４ｃａ＋ａ＋４ｃｃ)＝１３(１＋４ｃａ＋４＋ａｃ)ȡ１３(５＋２４ｃａ.ａｃ)＝３ꎬ当且仅当４ｃａ＝ａｃꎬａ＋４ｃ＝３ꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法５㊀(均值不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.故３(１ａ＋１ｃ)ȡ(ａ＋４ｃ)(１ａ＋１ｃ)＝５＋４ｃａ＋ａｃȡ５＋２４ｃａ.ａｃ＝９ꎬ当且仅当４ｃａ＝ａｃꎬａ＋４ｃ＝３ꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法６㊀(柯西不等式法)由(１)知ꎬａ＋ｂ＋２ｃɤ３.因为ｂ＝２ｃꎬ所以０<ａ＋４ｃɤ３.故１ȡ１３(ａ＋４ｃ).从而１ａ＋１ｃȡ１３(ａ＋４ｃ)(１ａ＋１ｃ)ȡ１３(ａ １ａ＋２ｃ １ｃ)２＝１３ˑ９＝３ꎬ当且仅当ａ＋４ｃ＝３ꎬａ＝２ｃꎬ{即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.评注㊀证法５与证法６本质上是同一种证法.证法７㊀(均值不等式法)由ｂ＝２ｃꎬ得(１ａ＋１ｃ)(ａ＋ｂ＋２ｃ)＝(１ａ＋１ｃ)(ａ＋４ｃ)＝５＋４ｃａ＋ａｃȡ５＋２４ｃａ.ａｃ＝９ꎬ所以１ａ＋１ｃȡ９ １ａ＋ｂ＋２ｃ.由(１)可得１ａ＋ｂ＋２ｃȡ１３.故１ａ＋１ｃȡ９ １ａ＋ｂ＋２ｃȡ９ˑ１３＝３ꎬ当且仅当ａ＝２ｃꎬａ＋ｂ＋２ｃ＝３ꎬｂ＝２ｃꎬìîíïïï即ａ＝２ｃ＝１时等号成立.从而１ａ＋１ｃȡ３.证法８㊀(导数法)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬｂ＝２ｃꎬ所以ａ２＋８ｃ２＝３.所以ａ＝３－８ｃ２(０<ｃ<６４).所以１ａ＋１ｃ＝１３－８ｃ２＋１ｃ＝(３－８ｃ２)－１２＋ｃ－１.令ｆ(ｃ)＝(３－８ｃ２)－１２＋ｃ－１(０<ｃ<６４)ꎬ则ｆᶄ(ｃ)＝８ｃ(３－８ｃ２)－３２－ｃ－２(０<ｃ<６４).由ｆᶄ(ｃ)>０ꎬ得１２<ｃ<６４ꎻ由ｆᶄ(ｃ)<０ꎬ得０<ｃ<１２.所以ｆ(ｃ)在(０ꎬ１２)上单调递减ꎬ在[１２ꎬ６４)上单调递增.所以ｆ(ｃ)ȡｆ(１２)＝(３－８ˑ１４)－１２＋２＝３.所以１ａ＋１ｃȡ３.评注㊀通过代换㊁构造函数㊁求导来证明不等式ꎬ不失为一种好的方法.证法９㊀(三角换元法与导数法相结合)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬｂ＝２ｃꎬ所以ａ２＋８ｃ２＝３.由此可设ａ＝３ｃｏｓθꎬｃ＝３２２ｓｉｎθìîíïïïï(０<θ<π２)ꎬ则１ａ＋１ｃ＝１３(１ｃｏｓθ＋２２ｓｉｎθ)(０<θ<π２).令ｔ＝ｃｏｓθ(０<ｔ<１)ꎬ则１ａ＋１ｃ＝１３(１ｔ＋２２１－ｔ)(０<ｔ<１).设ｆ(ｔ)＝１３(１ｔ＋２２１－ｔ)(０<ｔ<１)ꎬ则ｆᶄ(ｔ)＝－１２３[１ｔ３/２－２２(１－ｔ)３/２].由ｆᶄ(ｔ)>０ꎬ得１>ｔ>１３ꎻ由ｆᶄ(ｔ)<０ꎬ得０<ｔ<１３.所以函数ｆ(ｔ)在(０ꎬ１３)上单调递减ꎬ在[１３ꎬ１)上单调递增.所以ｆ(ｔ)ȡｆ(１３)＝１３[(１３)－１２＋２２(２３)－１２]＝１３(３＋２２ ３２)＝３.从而ｆ(ｔ)ȡ３ꎬ当且仅当ｔ＝１３ꎬ即ｃｏｓθ＝３３时等号成立.故１ａ＋１ｃȡ３.证法１０㊀(三角换元法与均值不等式法相结合)因为ａ２＋ｂ２＋４ｃ２＝３ꎬｂ＝２ｃꎬ所以ａ２＋８ｃ２＝３.㊀由此可设ａ＝３ｃｏｓθꎬｃ＝３２２ｓｉｎθìîíïïïï(０<θ<π２)ꎬ则１ａ＋１ｃ＝１３(１ｃｏｓθ＋２２ｓｉｎθ)(０<θ<π２).令ｙ＝１ｃｏｓθ＋２２ｓｉｎθ(ｙ>０)ꎬ则１＝１ｙｃｏｓθ＋２２ｙｓｉｎθ.于是２＋１＝２ｙｃｏｓθ＋２ˑ２２ｙｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１ｙｃｏｓθ＋１ｙｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＋２２ｙｓｉｎθ＋２２ｙｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θȡ３３(１ｙｃｏｓθ)２.ｃｏｓ２θ＋３３(２２ｙｓｉｎθ)２.ｓｉｎ２θ＝３(ｙ－２３＋２ｙ－２３).即３ȡ３(ｙ－２３＋２ｙ－２３)ꎬ解得ｙȡ３３ꎬ当且仅当１ｙｃｏｓθ＝ｃｏｓ２θꎬ２２ｙｓｉｎθ＝ｓｉｎ２θꎬìîíïïïï即ｃｏｓθ＝３３(０<θ<π２)等号成立.所以１ａ＋１ｃ＝１３ ｙȡ１３ˑ３３＝３.故１ａ＋１ｃȡ３.评注㊀运用证法９㊁证法１０的思路ꎬ可快速解决如下问题:如ꎬ求函数ｙ＝ｓｉｎｘ２＋２ｓｉｎｘ(０<ｘ<π)ꎬｙ＝６３ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝１ｓｉｎｘ＋３３ｃｏｓｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝２７ｓｉｎｘ＋６４ｃｏｓｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝３ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘ(０<ｘ<π２)ꎬｙ＝ｓｉｎｘ＋１ｓｉｎ２ｘ(０<ｘ<π)ꎬｙ＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＋１ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ的值域(最值).这道高考试题平淡中彰显数学智慧㊁数学素养ꎬ具有很好的教学导向功能.我们一线数学教师的教学应与时俱进ꎬ运用好高考试题的教学导向功能ꎬ真正让学生的数学素养落地生根.参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所ꎬ中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书 数学[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１４.[２]杜志建.２０２２年高考试题汇编 数学[Ｍ].乌鲁木齐:新疆青少年出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]。

2023年高考理科数学(全国甲卷)一、选择题1.设集合{31,},{32,}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，U 为整数集，()A B =U ð（）A.{|3,}x x k k =∈ZB.{31,}x x k k Z =-∈∣C.{32,}xx k k Z =-∈∣ D.∅2.若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈，则=a （）A.-1 B.0·C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B =（）A.21B.34C.55D.894.向量||||1,||a b c ==-=，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉= （）A.15-B.25-C.25D.455.已知正项等比数列{}n a 中，11,n a S =为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（）A.7B.9C.15D.306.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.15B.5C.5D.59.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010.已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒，则PBC 的面积为（）A.B.C. D.12.己知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.302C.35D.352二、填空题13.若2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14.设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+，则z 的最大值为____________．15.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．16.在ABC 中，2AB =，60,BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =_________．三、解答题17.已知数列{}n a 中，21a =，设n S 为{}n a 前n 项和，2n n S na =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC A C =；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k 0.100.050.010()20P k k ≥ 2.7063.8416.63520.设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线 2 10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且||AB =．（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF ⋅=，求MNF 面积的最小值．21.已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若8a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．四、选做题22.已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）解不等式()f x x<（2）若()y f x =与坐标轴围成的面积为2，求a ．2023年高考理科数学(全国甲卷)答案解析一、选择题1.A 因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选：A ．2.C因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3.B当1n =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112n =+=；当2n =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213n =+=；当3n =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314n =+=；当4n =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4.D 因为0a b c ++= ，所以a b c +=-r r r ，即2222a b a b c ++⋅= ，即1122a b ++⋅=rr ，所以0a b ⋅=.如图，设,,OA a OB b OC c === ,由题知，1,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==,所以23222CD CO OD =+=+=,1tan ,cos 3AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a cbc ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-=.故选:D.5.C由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q =.所以4124815S =+++=.故选:C.6.A 报名两个俱乐部的人数为50607040+-=，记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B ，则505404(),()707707P A P AB ====，所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ===∣.故选:A .7.B当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选：B8.D 由e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离55d ==，所以弦长45||5AB ===.故选：D 9.B记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260⨯=种.故选：B.10.C因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.11.C 法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以AC BD ==DO CO ==，又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅ ，则PDO PCO ∠=∠，又3PC PD ==，AC BD ==PDB PCA ≅ ，则PA PB =，在PAC △中，3,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=，故PA =，则PB =，故在PBC 中，43,P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以22sin 3PCB ∠=，所以PBC的面积为1122sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以AC BD ==在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=，故PA =，所以22217cos 217PA PC AC APC PA PC +-∠==-⋅，则17cos 3317PA PC PA PC APC ⎛⎫⋅=∠=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+ ，所以()()22PA PCPB PD +=+ ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅ ，则()217923923cos m m θ++⨯-=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+-=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+-⋅∠，即23296cos m m θ=+-，则26cos 230m m θ--=②，两式相加得22340m -=，故PB m ==故在PBC 中，43,P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以22sin 3PCB ∠=，所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=故选：C.12.B方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，12121116222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此302OP ==．故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即1213022PO PF PF =+=．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知12F F=，解得：302OP =．故选：B ．二、填空题13.【答案】2【解析】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为：2.14.【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：1515.【答案】12【解析】设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，1BB 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，2222222EF FG EG =++=，即2R =，则球心O 到1BB的距离为OM ==，所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.【答案】2【解析】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：13212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．三、解答题17.【答案】（1）1n a n =-（2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =；当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a --=-，所以()()11221n n n n n S S a na n a ---==--，化简得：()()121n n n a n a --=-，当3n ≥时，131122n n a a an n -====-- ，即1n a n =-，当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =-∈．（2）因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-⎝=-⎭⨯-⨯ ，11122nn ⎛⎫⎛⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）如图，1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1A C BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=,BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ，1A O ∴⊥平面11BCC B 1A 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=A O ，在11Rt A CC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =-，11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO A O A C +=，2221111A O OC C A +=，2221111A C A C C C +=，2211(2)4x x ∴+++-=，解得1x =，111AC A C A C ∴===1AC AC ∴=（2）111,,AC A C BC A C BC AC =⊥⊥ ，1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点，由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D = ，2BD =，1A B AB ∴==，在Rt ABC △，BC ∴==，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM A C CM A C =∥知四边形11A CMC 为平行四边形，11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，1AC ∴=，在11Rt AB C △中，1AC =，11B C BC ==1AB ∴==又A 到平面11BCC B 距离也为1，所以1AB 与平面11BCC B1313=.19.【答案】（1）分布列见解析，()1E X =（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【解析】（1）依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===，X12P197820391978所以X 的分布列为：故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=.（2）（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m ≥合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.【答案】（1）2p =（2）12-【解析】（1）设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==，即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．（2）因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n -+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y ==-=1==-，所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MNF的面积(2min 212S =-=-21.【答案】（1）答案见解析.（2）(,3]-∞【解析】（1）326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=-22244cos 3sin 32cos cos cos x x x a a x x+-=-=-令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t '-+-==-=当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t '+--+====当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭.当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（2）设()()sin 2g x f x x=-()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t''+-=-=--=-=+-+-设223()24t a t t tϕ=+-+-322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'--+-+=--+==->所以()(1)3t a ϕϕ<=-.1︒若(,3]a ∈-∞,()()30g x t a ϕ'=<-≤即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=.所以当(,3],()sin 2a f x x ∈-∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞当22231110,333t t t t ⎛⎫→-=--+→-∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→-∞.(1)30a ϕ=->.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=.当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]-∞.四、选做题22.【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】（1）因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．（2）由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．23.【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）263【解析】（1）若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a 所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== ,解得263a =。

23年高考数学甲卷试题23年高考数学甲卷试题回顾近年来，教育领域的变革让人们对于高考数学试题的期待越来越高。

数学作为一门用途广泛的学科，对于国家的科技发展和人才培养都起着至关重要的作用。

为了回顾高考数学试题的变化和发展，我们将通过对23年高考数学甲卷试题的分析，来探讨其题目的构成、难度和对学生的考验。

第一部分选择题选择题作为高考数学试卷的常见题型，是对学生基础知识掌握和运用能力的测试。

在23年的高考数学甲卷试题中，选择题依然占据了较大比重。

例如，近几年来常见的函数题型也在该卷中有所呈现。

但除此之外，选择题题目还包括了解析几何、概率统计、数列等多个章节的内容，形式多样且题目的难度逐渐增加。

这需要考生充分理解概念、抓住重点，做到对数学知识的灵活运用，并在解题过程中避免简单的机械计算，准确地理解题目的意图。

第二部分填空题填空题是对学生综合分析和解决问题能力的考察。

通过对23年高考数学甲卷试题中填空题的分析发现，填空题的题目类型丰富多样，包括数列的求和、概率统计的计算、函数的性质等等。

这些题目对于学生的记忆力和灵活运用能力都提出了较高的要求。

相比选择题，填空题更注重学生对数学知识的整合和运用能力的培养。

而在填空题的解答过程中，学生需要稍加思考并进行相关的计算，使解答过程更加灵活多样。

第三部分解答题解答题是对学生综合思维能力和数学应用能力的综合考察。

在23年高考数学甲卷试题的解答题部分，涵盖了数学的多个领域，如函数、几何、概率统计、数列等。

这些题目的设计往往需要学生综合运用不同章节的知识，进行全面的推理和分析。

通过解答题目，考生只需要依据题目给出的条件和要求逐步进行推导和解决。

总结23年高考数学甲卷试题的设计在内容和形式上都更加注重学生的综合素养和实际运用能力。

题目的难度和复杂度逐年提高，考察的知识点也更加广泛。

对于学生来说，需要对各个章节的知识进行深入的学习和理解，注重基础知识的掌握，提高灵活运用知识的能力。

第25练 归纳推理与类比推理[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.体验高考1.(2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________________________. 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .2.(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________. 答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.3.(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 5x 6x 7＝0，x 2x 3x 6x 7＝0，x 1x 3x 5x 7＝0，其中运算定义为00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________. 答案 5 解析 (ⅰ)x 4x 5x 6x 7＝111＝1；(ⅱ)x 2x 3x 6x 7＝11＝0；(ⅲ)x 1x 3x 5x 7＝111＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.高考必会题型题型一 利用归纳推理求解相关问题 例1 (1)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为______________________.(2)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案 (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(2)A解析 (1)观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.(2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为第二个图；接下来，相邻的黑块顺时针旋转；所以之后所有图就应该是相邻的黑块顺时针旋转，故选A. 点评 归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.变式训练1 已知cos π3＝12，cos π5 cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，根据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________. 答案 cosπ2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N * 题型二 利用类比推理求解相关问题例2 半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：_______________.上式用语言可以叙述为_______________.答案 (43πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析 圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填：(43πR 3)′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数.点评 类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； (3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.变式训练2 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2等于( )A.164B.127C.19D.18 答案 B解析 从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为13，所以正四面体的内切球的体积V 1与外接球的体积V 2之比等于V 1V 2＝(13)3＝127，故选B. 高考题型精练1.设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N *)，猜想a n 等于( )A.2cosθ2n B.2cos θ2n －1 C.2cos θ2n ＋1 D.2sin θ2n 答案 B解析 a 2＝2＋a 1＝2＋2cos θ＝ 4cos 2θ2＝2cos θ2，同理a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，猜想a n ＝2cos θ2n －1，故选B.2.面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1，2，3，4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于( ) A.2V K B.3V K C.V 2K D.V 3K 答案 B解析 根据三棱锥的体积公式V ＝13SH 得：13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ， 即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ， ∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K.3.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 D解析 若{a n }是等差数列， 则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列， 则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·(1)2-n n q ，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·12-n q ，即{d n }为等比数列，故选D.4.已知f (1，1)＝1，f (m ，n )∈N *(m 、n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2； ②f (m ＋1，1)＝2f (m ，1)；给出以下三个结论：(1)f (1，5)＝9；(2)f (5，1)＝16； (3)f (5，6)＝26.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 A解析 由题意f (1，5)＝f (1，4)＋2＝f (1，3)＋2＋2 ＝f (1，2)＋2＋2＋2＝f (1，1)＋2＋2＋2＋2＝9，f (5，1)＝2f (4，1)＝22f (3，1)＝23f (2，1)＝24f (1，1)＝16，f (5，6)＝f (5，5)＋2＝f (5，4)＋4＝…＝f (5，1)＋10＝16＋10＝26. 所以三个都正确，故选A.5.集合{1，2，3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如： T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4 ＝12[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5 ＝12[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85， 则T 7＝________.(写出计算结果)答案 322解析 由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12[282－(12＋22＋…＋72)]，又12＋22＋…＋72＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，∴T 7＝12(784－140)＝322.6.已知下列四个等式 21×1＝2， 22×1×3＝3×4， 23×1×3×5＝4×5×6， 24×1×3×5×7＝5×6×7×8， …依此类推，猜想第n 个等式为______________________.答案 2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )解析 观察给出的四个等式可以发现第n 个等式的左边是2n 乘上从1开始的n 个奇数， 右边是从(n ＋1)开始的n 个连续正整数的积， 根据这一规律即可归纳出第n 个等式为2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n ).7.如图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝______.答案P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC解析 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质. 8.对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3，[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21. …按照此规律，第n 个等式的等号右边的结果为________. 答案 2n 2＋n解析 按照此规律第n 个等式为n 2＋n 2＋1＋…＋(n ＋1)2－1＝n [(n ＋1)2－1－n 2＋1]＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ，第n 个等式的右边为2n 2＋n . 9.有以下三个等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2； (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2； (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.请观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论______________________. 答案 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2解析 根据题意，观察各式得其规律，用式子将规律表示出来，再利用规律进行作差比较进行证明即可.10.在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有________________. 答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1，我们根据长方体性质可以类比推理出空间性质，∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与过A 点的三个面ABCD ，AA 1B 1B 、AA 1D 1D 所成的角分别为α，β，γ，∴cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝AD 1AC 1，∴cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝AC 2＋AB 21＋AD 21AC 21＝2(AB 2＋AD 2＋AA 21)AB 2＋AD 2＋AA 21＝2.故答案为cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.11.若P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，则抛物线在点P 处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，即y ′＝py ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率k ＝p y 0，请类比上述方法，求出双曲线x 2－y 22＝1在点P (2，2)处的切线的方程为________________.答案 2x －y －2＝0解析 ∵x 2－y 22＝1，∴两边同时对x 求导，得2x －yy ′＝0，即y ′＝2xy，∴P y ′＝2，∴切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0. 12.设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0，且a ≠1).(1)5＝2＋3，请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2). (2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y ). 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a－(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a－(x ＋y )2＝g (x ＋y ).合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

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第２3练数列的证明、通项与求和[明考情]数列的通项与求和是高考的热点,考查频率较高。

中档难度,一般在解答题的前半部。

[知考向］１。

等差、等比数列的判定与证明。

2．数列的通项与求和．考点一等差、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差（比)数列的常用方法(1）定义法：若a n+1－aｎ=d，d为常数错误!,则{a n}为等差(比)数列。

(2)中项公式法。

（３)通项公式法．１。

（201６·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1,ａ２ｎ-(2a n＋１－1)ａn－2aｎ+1=0．（1)求ａ２，a3;(2)求{a n｝的通项公式.解(1）由题意得a2＝＼ｆ(1,2）,a3＝错误!。

（2）由a错误!-（2a n＋1－1)ａn－2a n＋1=0,得2ａｎ＋１(a n＋1）=aｎ（a n+1)。

因为{ａn｝的各项都为正数,所以＼f(a n＋1,a n)=错误!.故｛a n｝是首项为１,公比为错误!的等比数列，因此a n＝错误!。

2。

已知数列{a n}满足a1=1,a2＝4,aｎ＋2=3a n＋1-2aｎ(ｎ∈N*)。

第23讲 数列的递推公式及等差、等比数列的判定与证明课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角A 级——高考保分练1．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 解析：∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列，∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14. 答案：142．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.答案：－1n3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝________.解析：因为log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，所以a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }是公比q ＝3的等比数列， 所以a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，所以a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝9×33＝35， 所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.答案：－54．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝________. 解析：a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②， ①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， ∴S 4＝1－441－4＝85.答案：855．(2019·宿迁期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝1，则S 9＝________. 解析：由a n ＋1－2a n ＝1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，设b n ＝a n ＋1的前n 项和为T n ，则T 9＝21－291－2＝1 022，S 9＝T 9－9＝1 013.答案：1 0136．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1＝S n ，n ∈N *，则a 5＝________. 解析：法一：由a n ＋1＝S n ，得S n ＋1－S n ＝S n ，则S n ＋1＝2S n ，又S 1＝a 1＝4，所以数列{S n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以S n ＝4·2n －1＝2n ＋1，则a 5＝S 5－S 4＝26－25＝32.法二：当n ≥2时，由a n ＋1＝S n ，得a n ＝S n －1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a 2＝S 1＝4，所以a 5＝a 2·23＝4×23＝32.答案：327．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为________． 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，所以使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.答案：238．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1， 得a n a n －1－a n －1a n ＋1＝2a n －1·a n ＋1－2a n a n ＋1， 1a n ＋1－1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1－1a n ＝2·2n －1＝2n，所以1a 2－1a 1＝2，1a 3－1a 2＝4，…，1a n －1a n －1＝2n －1，所以1a n －1a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n－2，所以1a n ＝2n －2＋1a 1＝2n－1，所以a n ＝12n －1.答案：12n－19．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n 2，所以1a n ＝3n－12，所以a n ＝23n －1.答案：a n ＝23n－110．(2019·南通、泰州、扬州一调)已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题： ①数列{|a n |}是等比数列； ②数列{a n a n ＋1}是等比数列；③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列；④数列{lg a 2n }是等比数列． 其中正确的命题有________个． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，对于①中数列{|a n |}，|a n ＋1||a n |＝|q |，且首项|a 1|≠0，所以为等比数列； 对于②中数列{}a n a n ＋1，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，且首项a 1a 2≠0，所以为等比数列； 对于③中数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，1a n ＋11a n＝1q ，且首项1a 1≠0，所以为等比数列；对于④中数列{}lg a 2n ，若a 1＝1，则lg a 1＝0，所以不是等比数列．故正确的命题有3个． 答案：311．已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列． 解：(1)由a 1＝1，b n ＝n2，知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8.(2)证明：因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，① 所以当n ≥2时，a n b n －1＝S n －1＋1，② ①－②得，a n ＋1b n －a n b n －1＝a n ，③ 由③得，b n ＝a n a n ＋1b n －1＋a n a n ＋1＝1q b n －1＋1q， 所以b n ＋11－q ＝1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1＋11－q .又b n ＋11－q≠0(否则{b n }为常数数列，与题意不符)， 所以存在实数λ＝11－q，使得{b n ＋λ}为等比数列．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝2，S n ＝λna n ＋μa n －1，其中n ≥2，n ∈N *，λ，μ∈R .(1)若λ＝0，μ＝4，b n ＝a n ＋1－2a n (n ∈N *)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)若a 2＝3，且λ＋μ＝32，求证：数列{a n }是等差数列．解：(1)证明：若λ＝0，μ＝4，则S n ＝4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4(a n －a n －1)， 即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n ＝2b n －1.又由a 1＝2，a 1＋a 2＝4a 1，得a 2＝3a 1＝6，a 2－2a 1＝2≠0，即b n ≠0， 所以b nb n －1＝2，故数列{b n }是等比数列． (2)证明：令n ＝2，则S 2＝2λa 2＋μa 1，即a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1.又a 1＝2，a 2＝3，得5＝6λ＋2μ. 又λ＋μ＝32，解得λ＝12，μ＝1.所以S n ＝n2a n ＋a n －1. 令n ＝3，则S 3＝32a 3＋a 2，即a 1＋a 2＋a 3＝32a 3＋a 2.由a 1＝2，a 2＝3，得5＋a 3＝32a 3＋3，所以a 3＝4，所以a 1，a 2，a 3成等差数列．由S n ＝n 2a n ＋a n －1，得S n ＋1＝n ＋12a n ＋1＋a n ，两式相减得a n ＋1＝n ＋12a n ＋1－n2a n ＋a n －a n －1，即(n －1)a n ＋1－(n －2)a n －2a n －1＝0， 所以na n ＋2－(n －1)a n ＋1－2a n ＝0，两式相减得na n ＋2－2(n －1)a n ＋1＋(n －2)a n －2a n ＋2a n －1＝0， 所以n (a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＋2(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0， 所以a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝－2n (a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝－22n n －1(a n －2a n －1＋a n －2)＝…＝－2n －1n n －1 (2)(a 3－2a 2＋a 1)．因为a 1－2a 2＋a 3＝0，所以a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， 即数列{a n }是等差数列．B 级——难点突破练1．(2019·海安中学期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________. 解析：当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2，则a 2＝12.当n ≥2时，S n －1＝2a n ，则S n －S n －1＝a n ＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1a n ＝32，所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝1＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝________.解析：由S 2＝4a 1＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，联立a 1＝2，解得a 2＝8.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n＋1－4a n ，∴a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，∴数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－2a n2n ＋1＝1，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以a 12＝1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n ，∴a 12＝12×212＝49 152.答案：49 1523．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .(1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？ 解：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，于是有a 11－q 31－q ＋a 11－q 61－q ＝2a 11－q 91－q，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，所以a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2，所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8， 故a 2，a 8，a 5成等差数列． (2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 则2a 1qm ＋1＝a 1q m ＋a 1qm －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0， 所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1， 此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2 ＝2a 13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ， S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1 ＝2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ， 所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：(1)因为数列{a n }是公差为2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn＝a 1＋n －1. 因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2n ＋12－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1.(2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n， 得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n . 从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝n ＋2b n ＋1－nb n2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n，① (n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ，②②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)． 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．。