一道高考数学题的解法研究及思考.kdh

一道高考题的多种解法评析及其教学反思高考是中国学生们备受关注的重要考试，它在学生们的学业生涯中扮演着至关重要的角色。

高考题是学生们检验知识掌握和思维能力的重要工具，让我们来评析一道高考题的多种解法，并思考如何在教学中提供更好的辅导与指导。

下面，我们将分析一道数学高考题：已知某数列的通项公式为an = n^3 - 2n，求数列的前n项和Sn。

这道题要求求解数列的前n项和，对于学生来说，有多种解法可以得到正确答案。

下面我将列举几种常见的解法，并对这些解法进行评析。

解法一：逐项计算法这种解法是最直观的方式，即从第一项开始逐个计算直到第n项，并将它们求和。

例如，当n=4时，数列的前4项分别为1，6，15，28，将它们求和可得50。

这种解法的优点是容易理解和操作，对于初学者来说较为友好。

然而，当n较大时，手工计算将变得极为繁琐和耗时，容易出错。

解法二：数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，也可以用来解决这道题。

首先，我们可以通过观察数列的前几项，猜测出数列的前n项和的通项公式为Sn = (n^2)(n-1)^2/4。

接下来，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜测。

首先，当n=1时，显然数列的前1项和为1；其次，假设当n=k时，数列的前k项和的通项公式成立。

那么我们只需要证明当n=k+1时，数列的前k+1项和的通项公式也成立。

通过展开数列的前k+1项，并利用归纳假设，我们可以得到Sn+1 = (k^2)(k-1)^2/4 + (k+1)^3 - 2(k+1) = [(k^2)(k-1)^2 + 4(k+1)^3 - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k^2 + 4k + 4) + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) -8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)(k+1)]/4 =[(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1 - 2(k+1))]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 +4(k+1)(k+1)(k-1)]/4 = (k+2)^2(k-1)^2/4 + (k+1)(k+1)(k-1) =[(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1) + (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2) - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2 -k+1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+2)(k+1)]/4 = (k+1)^2(k+2)^2/4 = (k+1)^2((k+1)-1)^2/4。

对一道高考数学卷压轴题的研究与反思高考数学卷是考生们评价自己数学水平的重要标准之一。

一道高考数学卷的卷压轴题往往具有较高的难度和复杂性，需要考生综合运用数学知识和解题技巧进行分析和解答。

下面对一道高考数学卷压轴题进行研究与反思。

题目：已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a，b，c为常数，满足条件：f(-1)+f(1)=4，f(0)=-2。

若对任意x，f(x)>=0，求a，b，c的取值范围。

我们可以利用已知条件求解c的值。

由于f(0)=-2，我们可以将x代入到函数中，得到c=-2。

接着，我们将c的值代入到方程中，得到f(x)=ax^2+bx-2。

然后，我们将f(-1)+f(1)=4的条件代入到方程中，得到a-b=3。

接下来，我们需要根据题目中的条件f(x)>=0来分析a，b，c的取值范围。

由f(x)>=0可得到ax^2+bx-2>=0。

这是一个关于x的二次函数，我们可以利用二次函数的图像性质来解决问题。

我们考虑a>0的情况。

当a>0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线。

根据抛物线的性质，我们可以得到抛物线与x轴的交点x1和x2满足：x1<x2。

由于f(x)>=0，我们可以得到抛物线在x1和x2之间的区域都大于等于0。

而抛物线在x1和x2之外的区域小于0。

考虑函数f(-1)+f(1)=4，由于对任意x，f(x)>=0，我们可以得到f(-1)>=0，f(1)>=0。

将f(x)=ax^2+bx-2代入得到a-b-2>=0，即a-b>=2。

综合以上条件，我们可以得到：a>0，a-b>=2。

根据对题目中条件f(x)>=0的分析，我们得到a>0，a-b>=2和a<0，a-b<=2。

通过对这道高考数学卷压轴题的研究与反思，我们不仅对运用数学知识和解题技巧进行了深入了解，还增强了我们分析问题和解决问题的能力。

形式新颖内涵丰富----- 道高考试题的解法研究与解题感悟张琥（江苏省泗阳中学数学教育实验室）2009年高考数学安徽卷理科第14题如下:给定两个氏度为1的平面向SOA^OB,它们的夹角为120°,如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC = xOA + yOB,其屮x、y WR,则x+y的最人值是 ___________ ・—、解法研究本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题，由于平面向量是融数形于一-体，是代数、平面几何、三角函数、解析儿何等知识的交会点，因而解决此类问题主要是根据向量的数和形的双重特征, 并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路和方法.题中选用向量页、西为基底，把平面内的任一向量况表示成況=兀OA^yOB,其屮x^ yeR,运用化归思想，将向量形式转化为代数中的数量关系，建立关于x+y的函数关系式，从函数的角度来解决问题.解法1由题意知兀》0,歹》0。

由OC = xOA + yOB ,得OC^ = (xVA + yOB)2 =X2OA^+ ZxyOA丙 +)，帝。

因^|O4|=|OB|=|5C|= I,zAOB = no\oAOB = --, 所以1 = x2 + y2 -xy •卜-面给出求x+y最人值的儿种思路。

思路1：基木不等式法。

因为(x+y)2>4xy ,所以］=(x+y)2-3xy > (x+y)2 - —(x+ y)2,即丄(x+y)2 < 1,' 4 4 *故x+y<2当且仅当x=y=l吋収等号，所以x+y的最大值为2.思路2：代数换元法。

令x=a+b,y=a-b,代入 l=x 2+y 2+xy,得1 —(6F + b)~ + (a — I?)? — (ci + b)(a — b),化简得a 2+3b 2=1,故/ < 1,^ < 1 , x + y = 2a <2 ・当且仅当a= 1 ,b=0,即x=y=l 时,x+y 取最大值为2. 思路3:三角换元法. 1 = * + 尸一与=（兀一*刃2 +（*y ）2.令 x 一 丄 y = cosa,— y = sina,得 2 21 x = cosa + —f=sina, y = y/3・ 所以x + y = cos6r + V3sincr = 2cos(a-60 ) < 2(0 <a< 120 ).思路4:判别式法.令兀 + y = /,贝'J y = r - x ,代入1 = / +),2—厂,，整理得 3x 2-3rx + (r 2-l) = 0,A = 9r 2-12(r 2-l)>0,解得-2G52,故x+y 取得最大值2,此时 x=y=l, 0C — 0A + 0B .【点评】明确目标，合理转化.将等式况=xOA + yOB 两边同时平方，运用向量的数量积和模将原问题转化为/ +尸=1的代数问题，使问题解决起来方便、简捷.解法2：以0A 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立如图2所示的平面宜角坐标系，_ _ ］历贝UOA = （l,0）,O 〃 = （一一）o2 22 . —j=sina f A /3设 o C = (x p y 1)oI A?由已知得(%j, yj = x(l,0) + y(——,即 v J 因为点c 在单位圆上，所以(坷+術)[由柯西不等式知(1 + 3)(彳+ ^)> 3 + ◎ )2 ,即 4 • 1» (x + y)2,从而x+ y <2.当且仅当^ = ^L,BPx 1 =-,yi =—(^ >0)时取等号, 1 A /3 2 2故x+y 的最大值为2.解法3：同解法2,也可设0C = (cos%sino)。

对一道高考题的探析与思考2008年高考数学重庆卷理科第4题主要考查了求函数值域的基本方法，从试题本身来看，难度不大，解决方法较多，对学生的思维水平和运算能力有一定的要求，是一道很好的高考题，通过对该问题的深入思考，笔者总结了几种方法，试题如下：已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A. B. C.D.解法探析：分析1：（换元法）由已知，该函数定义域为x∈[-3，1]，设u=，v=则必有u≥0，v≥0，且y=u+v，u2+v2=（1-x）+（x+3）=4，可知点（u，v）位于以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限的圆弧上，则利用圆的参数式，可设u=2cosθ，v=2sinθ，且0≤θ≤，则y=2cosθ+2sinθ=2sin （θ+），又≤θ+≤，∴≤sin（θ+）≤1，∴2≤y≤2，∴==说明：此法中换元的关键为角范围的确定，由于理解了换元的实质，明确了其角的范围，从而使得解题没了后顾之忧。

其实，明确了这一换元的实质后，也可以直接对x换元，既可令x=1-4sin2θ，也可以令x=-3+4sin2θ （0≤θ≤ ），都可以成功解题。

分析2：（数形结合法）设u=，v=，则有u+v=4（u≥0，v≥0），问题转化为求y=u+v的最值，关键在于对变量的认识，可看作关于u和v 的二元方程中参数y的取值范围的问题，而由v=-u+y知y表示对应直线的纵截距，由图易知M=y=2，m=y=2，∴==说明：该方法中，对于变量的理解类似线性规划中，对于目标函数中的理解，提示我们在教学中应该打破思维定势，理解变量所表示的实际意义，不应该注重表示变量的字母本身，即要注重数学问题的本原性。

新课程标准中指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。

”因此，在平时教学中，要把“重实质，轻形式”落到实处，不仅要注意“淡化形式，注重实质”，更要注意在什么地方该淡化，什么地方不该淡化。

学习策略【关注】!高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考辅导的重要内容之一。

正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。

一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”。

通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

四、“六先六后”，因人因卷制宜１．先易后难。

就是先做简单题，再做综合题。

２．先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。

对后者，不要惊慌失措。

应想到试题偏难对所有考生也难。

通过这种暗示，确保情绪稳定。

实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。

对一道高考数学卷压轴题的研究与反思近年来，高考数学考试越来越偏重于综合能力和思维方法的考察。

压轴题更是成为考生们的心头大患。

它不仅要求考生对知识点的理解掌握，更要求考生具备较强的问题分解、归纳总结和推理思维能力。

下面就我对一道高考数学卷压轴题的研究与反思进行探讨。

题目如下：已知函数f(x)满足f(1)=1，且对任意的x>0，有f(x+1)=f(x)+x+1/x。

求f(6)的值。

对于这道题目，我首先注意到的是已知条件中的两个方程：f(1)=1和f(x+1)=f(x)+x+1/x。

我们可以通过对这两个方程的研究来寻找一些规律，并为解题提供线索。

根据第一个已知条件f(1)=1，我们可以得到f(2)=f(1)+1+1/1=3，f(3)=f(2)+2+1/2=3+2+1/2=5.5。

接下来，我们继续计算f(4)和f(5)的值。

通过计算，我们可得到f(4)=3+3+1/3=6.33，f(5)=6.33+4+1/4=10.58。

我们经过计算发现，对于这道题目中的每一个f(i)来说，它与f(i-1)之间的关系是累加一个数字并加上一个分数。

于是，我们猜测，f(n)与f(n-1)之间的关系可以表示为：f(n)=f(n-1)+n+1/n。

现在，我们来验证一下这个关系。

通过代入计算，我们发现f(6)=f(5)+6+1/6=10.58+6+1/6=17.92。

与我们之前的猜测相符，所以我们可以得出结论，f(n)=f(n-1)+n+1/n。

通过上述的研究过程，我们不仅找到了f(n)与f(n-1)之间的关系，也找到了求解f(6)的方法。

现在，我们总结一下我们的解题思路。

通过对已知条件的研究，我们找到了f(n)与f(n-1)之间的关系，即f(n)=f(n-1)+n+1/n。

通过代入计算，我们求解出了f(6)的值为17.92。

在解题的过程中，我们也发现了这道题目的难点所在。

题目的表达较为复杂，需要考生对函数的性质和计算方面有较深的理解。

对一道高考数学卷压轴题的研究与反思1. 引言1.1 研究的背景高考数学卷一直是备受关注的话题，考生们都希望能够在这一关键的时刻取得好成绩。

而每年高考数学卷的压轴题往往是考生们最关心的部分，因为它往往代表着考试的难度和学生们的水平。

对压轴题的研究和分析，可以帮助我们更深入地了解数学考试的趋势和规律，从而为今后的备考和教学提供更有效的参考和指导。

研究高考数学卷压轴题的意义在于，它可以帮助我们发现考试制度的问题和不足之处，以及学生在数学学习中存在的困惑和困难。

通过深入分析题目的特点和解题思路，我们可以更好地指导学生备考，帮助他们提高数学学习的效果和成绩。

研究压轴题还可以为教育教学改革提供参考和启示，促进数学教育的不断改进和提高。

对高考数学卷压轴题的研究是一项具有重要意义的工作。

1.2 研究的意义研究的意义在于深入探讨高考数学卷压轴题的设计理念和思维方式，可以帮助我们更好地理解数学教育的目标和方法。

通过对题目的分析和解题思路的探讨，我们可以发现其中蕴含的数学思维和解题技巧，从而提高学生的数学学习能力和应试能力。

通过调查分析学生答题情况，我们可以了解学生对这种类型题目的理解和掌握情况，进而指导教师在教学中重点讲解和训练。

考试制度的影响也是我们需要关注的问题，只有深入研究数学考试的设计和改革，才能更好地推动数学教育的发展和提高教育质量。

这篇研究对于对题目设计的合理性、数学考试的改进建议和教育教学的启示都具有重要意义。

通过深入探讨和思考，我们可以更好地促进数学教育的改革和提升。

2. 正文2.1 题目的分析对于一道高考数学卷压轴题的研究与反思，首先需要对题目进行深入分析。

这道题目应该是整份试卷的难点所在，涉及到数学知识的广度和深度，考察学生的综合运用能力。

通过对题目的分析，可以了解到考查的重点和考点，以及解题的关键思路。

在分析题目时，首先需要理清题目的条件和要求，明确题目所涉及的数学知识点。

然后要思考题目背后的数学原理和思想，找出题目的难点和技巧。

一道高考题的解法探究、考后调查、教学反思2012年高考一结束，笔者用浙江文科第9题去考查高一任教的学生（本校属于省三级重点普通高中），结果令人惊讶！全班58人只有5人做对，并且都是用同一种方法. 惊讶、遗憾之余，便有了本文对考题解法的探究，考后的局部调查以及对教学的反思. 笔者认为该考题是一道折射教师教学行为的好题.一、考题解法探究2012年浙江文科第9题：若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是答案C解法一：（构造均值不等式思想）由x+3y=5xy，得+=1，而3x+4y=（3x+4y）·（+）=++≥2+=5. 当且仅当=，即x=1，y=时，3x+4y的最小值是5.解法二：（消元思想）由x+3y=5xy，得y=，代入3x+4y，得3x+4y=3x+=（5x-3）++≥5.解法三：（线性规划思想）作出y=图象第一象限部分（如图1），目标函数z=3x+4y，当平行线组过点（1，0. 5）时，3x+4y的最小值是5，而点（1，0. 5）可由导数值为-时而得.解法四：（方程组思想）由y=与z=3x+4y联立方程组消去y，再由？驻≥0也可得z的最小值5.解法五：（参数思想）由+=1，设cos2α=，sin2α=，其中α∈[0，2π]则y=，x=·3x+4y=+=+=++≥5.解法六：（反置代思想）将z=3x+4y改写成：y=，代入x+3y=5xy，并将其整理成x的二次形式，15x2-（5+5z）x+3z=0，由？驻≥0可得z的最小值是5.解法七：（向量思想）如图2. 设向量=a=（3，4），向量=b=（x，y），则a·b=3x+4y，b的终点在y=第一象限的图象上，根据数量积的几何意义，当b在a上的投影最小时，z=3x+4y的值最小，先求斜率为-的切线与曲线y=的切点（1，），再将切点x=1，y=代入z=3x+4y，得z最小值为5.解法八：（柯西不等式法）由x+3y=5xy，得+=1. 3x+4y=（3x+4y）·1=（3x+4y）·（+）≥（·+·）2=5.二、考后调查本题题源：《数学必修5》① 3. 4基本不等式：≤（二）作业本56页第11题：已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值.对四类人群的局部调查. 调查一，新手型教师两人的解法：一人只有解法一；另一人解法一和解法八. 调查二，经验型教师一人的解法：解法一、解法二、解法三. 调查三，高一学生58人中有五人的解法：解法一，其余没有第二种解法. 调查对象为本人所教班级，生源为农村普通高中学生，时间为基本不等式的内容教学后不到两周. 调查四，参加高考的本校文科班毕业学生10人，高考成绩都在[100，120]区间，有两人用解法一做出，其中有一人因为第14题的提示（文科高考第14题是显著的线性规划问题，于是他认为第9题不是线性规划问题）才由原来解法三的思路转为解法一的思路. 有两人用解法二做出，还有两人用解法三做出，有一人随机选对，其余3人答错.三、教学反思1. 教学理念与自觉行为的差距随着课程改革的不断深入，课程理念也逐步在教师意识中“生根发芽”. 我们知道“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程”. 然而，不容否认，基于功利心和教学任务压力的驱使，在实际的教学中，还是存在大量“杀鸡取卵”式的教学方式.正如笔者对考题题源的教学：由于当时在作业本上首次出现该类题，题意显然是均值不等式的运用，笔者认为学生还没有能力解决，于是将题：x>0，y>0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值，作为例题.因为时间不允许作更多的探究，所以“生吞活剥”就“剥”出了解法一.而结果就出现上述调查三的情况；采取“生吞活剥”还是“细嚼慢咽”的例题教学，决定我们的教学理念是否具有执行力. 虽然本文考题是一道常见题，从以前学生的做题情况看，方法以解法一为多，这种方法实为解法中最为简洁，但隐藏的问题却很大，首先此解法构造的难度较大，在高考这样紧张的情况下学生不易想到，属于技巧类解法.从“以人的发展为本”的理念看，笔者处理考题题源的方式是培养不出学生能力的，学生最多是增加些“依葫芦画瓢”的本领，“葫芦”一旦消失，“画瓢”的本领也不复存在了.基于学生的认知能力和认知水平，改进的教学方法可以是：先让学生作为作业探究，教师可以是困惑的帮助解决者，或思维短路的“接线员”.2.自觉运用数学思想方法引导解题《数学课程标准解读》中指出“数学教学应该不只是教知识技能，教技巧，还要教数学思考，教思想，把数学的学术形态转化为教育形态，体现数学的价值和数学的教育价值”. 在平时的教学中教师应自觉运用数学思想方法引导解题，学生才能感同身受，才会出现“潜移默化”的功效.从本文“考后调查”之调查三可以看出，由于笔者没有将题源的教学作为数学思想方法的训练平台，造成解法一先入为主的首因效应；忽视最常规的如解法二、解法三、解法四的数学思想方法的引导，如解法四（方程组思想指导下），两个方程，三个未知数，要得到z的取值范围，只有靠？驻≥0了，可以说不需太多思考，整个解题过程已非常明确.此类考查，在浙江2010年理科卷第15题也有很好体现，题目：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n 项和为Sn，满足S5·S6+15=0，则d的取值范围是. 当年该题得分率仅有0.15.应该也是教师对思想方法重视不够的原因吧. 从调查四可以了解到，平时可能是教师认为最好的方法如解法一，其解题思路并非自然，在考场上，此类属于“雕虫小技”，很难有所作为，只有数学思想方法才是解决问题的“根本大法”，特别是传统四大数学思想：函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想、数形结合思想.正如歌曲所唱：“大海航行靠舵手，干革命工作靠的是毛泽东思想.”那么，解数学题靠的是什么？靠的是数学思想.3. 高三复习应该重视知识的整合、变式的训练从局部的调查（调查一、调查二）显示，很多教师认为本文考题的通法是解法一，这从一方面说明当前教师缺乏自身条件性知识的整合，缺少对例题、习题的深入研究，此情况下很有可能不知不觉就“带领”学生参加“题海战术”. 另一方面，学生因为缺少教师的指导，也缺乏学习的方法，如元认知监控性质的反思策略，不能有效将“经典问题”所隐含的思想方法予以提炼并迁移应用. 从调查一、四，也折射出教师中可能存在就题论题的现象，当然，这不是一个高三老师所愿意做的，原因还是自身认知结构的问题. 笔者认为，高考试题给我们带来的研究价值是不容置疑的，教师可以从研究试题入手，重视知识整合，从一定的高度驾驭高考复习.当然，学生要获得“经验”，后跟进的变式训练是不可少的，比如，本文考题的通性通法是消元思想或方程组思想，在学习后可以跟进如是练习：例x，y∈R且2x2+y2=6x，则x2+y2+2x的最大值为（答案15）. 总之，只要教师精心设计训练平台，将数学思想方法与学生原有知识融会贯通，让学生感受到数学思想方法的广泛运用，懂得思维的形成过程，让思想指导行动就成为可能.如此，就一定能帮助学生适应深化课程改革下的高考.。

一道高考压轴小题的多解探究与反思
本文将探究一道高考压轴小题的多解解法，并就其答题思路和考点进行反思和总结。

这道题为“有两个正整数，它们的和等于15，积等于26，求这
两个数”，是一道较为基础的代数题目，但其不同解法和思路却引起
了广泛讨论。

一种解法是通过列方程求解，设两个数分别为x和y，则有x+y=15，xy=26，进而解得x=2，y=13。

另一种解法是通过观察题目中给出的两个条件，可以发现15和26均为质数，因此只有1和15以及2和13两组数字相加等于15，
而只有2和13的积等于26，因此这组数字即为答案。

再一种解法是通过勾股定理，将26分解为2*13，设两个数分别为a和b，则有a+b=15，a^2+b^2=169，即a^2+(15-a)^2=169，解得a=4，b=11，进而得到另一组答案。

这三种解法均可得到正确答案，但考生在考场上应根据自己的能力和经验选择最适合自己的解法。

同时，这道题目也考察了考生的代数、数学推理和勾股定理等多个知识点，因此考生在备考过程中应加强对这些知识点的掌握和理解。

总之，这道高考压轴小题的多解探究和反思说明了数学题目的多样性和复杂性，考生需要在备考过程中不断提高自己的解题能力和思维水平，才能在考场上取得优异的成绩。

- 1 -。

对一道高考数学卷压轴题的研究与反思【摘要】本文旨在研究与反思一道高考数学卷压轴题，通过对题目背景和内容的分析，探讨解题方法，解析考生易错点，探讨思维能力的培养以及对考试制度的反思。

通过对这道题目的深入研究，我们可以发现其中蕴含的数学思想和技巧，提高学生解题能力。

也可以反思当前的考试制度是否能真正评估学生的数学能力，是否能激发学生的创新意识和思维能力。

通过本文的研究与反思，我们可以更好地理解高考数学卷的命题思路，为提高学生的数学学习能力提供一定的借鉴。

【关键词】关键词：高考数学卷、压轴题、背景分析、解题方法、考生易错点、思维能力、考试制度、反思、结论。

1. 引言1.1 对一道高考数学卷压轴题的研究与反思现在，让我们来掏探一道高考数学卷压轴题，通过深入研究和反思，探讨其中的奥秘和启示。

这道题目作为高考数学卷的压轴题，往往会引起广泛的讨论和争议。

我们将从题目的背景和内容分析开始，探讨这道题目的设计理念和考察重点。

接着，我们将深入研究解题方法，揭示其中的技巧和逻辑，帮助考生更好地应对类似类型的问题。

我们还将分析考生易错点，指出常见的误区和解题思路，帮助考生避免犯错。

在思维能力的培养方面，我们将探讨如何通过这道题目锻炼考生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。

我们将对考试制度进行反思，探讨如何更好地发挥高考数学卷的作用，促进学生全面发展。

通过对这道高考数学卷压轴题的研究和反思，我们将深化对数学学科的认识，提高解题能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。

2. 正文2.1 题目的背景和内容分析高考数学试卷作为中国高等教育选拔的重要工具，一直备受广大考生和家长的关注。

每年的高考数学试卷都会有一到多道被称为“压轴题”的较为难题，这些题目不仅考察了考生的数学基础知识，还考察了他们的解题能力和创新思维。

在今年的高考数学试卷中，一道压轴题引起了广泛的讨论和研究。

这道压轴题是一道涉及数论和概率的复合题，内容相对较为复杂，题目设立了多个难点。

对一道高考题的解法思索江苏省徐州一中张培强题目（2011年高考江苏卷第14题）设集合，，若，则实数的取值范围是______________．试题以集合之间的关系铺开，糅合了不等式表示的平面区域、直线与圆的位置关系等，体现了在知识的交汇处命题的理念．也正因有这么多知识形式在，问题解决的突破口丰富了起来．思路1：考虑集合，值的正负决定形成的平面区域是圆环域还是圆域，因此，需要讨论的正负．解析1：（1）当时，集合表示以为圆心，以为半径的圆及其内部形成的圆域，集合表示两条平行线形成的带状区域，如图1，只需直线与圆有交点即可，即，解得，此时无解；（2）当时，，，此时；（3）当时，集合表示以为圆心，以和为半径的两圆形成的圆环域（且由可得或），集合表示两条平行线形成的带状区域，①若两直线、中之一与圆有交点，满足题意，即或，解得或，此时；②若带状区域将圆环域覆盖，也符合题意，即，此时无解．综上所述，实数的取值范围是．注：当时，由点在直线上方，可知，如此，只需解关于的一次不等式即可．情况（3）中的②容易被忽略．事实上，在时，求得后，可判断大圆直径不小于1，而两直线间的距离为，故情况②不可能存在．恰是数能定形，形以助数，数与形两相依．思路2：考虑集合始终包含点，而集合相对来讲就是绝对移动的，因此，可按包含与否来分类讨论．解析2：（1）当，即时，点在直线上方，只需，此时无解；（2）当，即时，点，恒成立；（3）当，即时，点在直线下方，只需，此时．综上所述，实数的取值范围是．注：此种类别较为清晰，不重不漏．可见，就算是对同一个问题的分类讨论，也有不同的分类标准，导致解题的繁简程度不一．事实上，考虑图形的特殊性，可快速列出不等式．如情况（1）中，设直线与轴的交点为，为，过作的垂线，垂足为，如图2，则为等腰直角三角形，故由题意可得，，即．思路3：由于正面解决起来分类较多，故可考虑反面的情形．解析3：（1）当，即时，满足；（2）若带状区域位于圆域（圆环域）下方或上方，即时，解得或，此时亦有．综上所述，使成立，故所求实数的取值范围是．注：情况（2）若细分开来去讨论，则式子多，计算复杂．可见，分类讨论中，若能将看似不同的情况用同样的代数式来表达，则会大大简化解题的过程．当然，这需要一定的解题功底和敏锐的洞察力．思路4：考虑集合中代数式的形式（两个数的平方和），可用三角换元来减元．解析4：由题意可知，易得或．（1）当时，易知；（2）当时，设，，由题意知，存在、使能成立，即．令，则，解得，故．综上所述，实数的取值范围是．注：用的三角式子取代、，使得原本独立的两个不等式组连结了起来．两个集合有公共部分，转化为新的不等式组能成立问题，顺利解决需要我们有清晰的逻辑思维能力。

一道高考真题的解法探究与教学思考曲㊀娜(云南民族中学ꎬ云南昆明６５０２２１)摘㊀要:本文利用解三角形的相关知识点ꎬ从正余弦定理㊁平面向量㊁平面几何㊁经典的几何定理等角度对２０２３年高考新课标Ⅱ卷１７题进行分析ꎬ从而发现很多不同解法及其蕴含的数学思想.关键词:高考真题ꎻ解三角形ꎻ一题多解ꎻ教学思考中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００３０－０３收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:曲娜ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２３年高考数学全国卷落实党的二十大精神ꎬ全面贯彻党的教育方针ꎬ落实立德树人根本任务ꎬ促进学生德智体美劳全面发展ꎻ反映新时代基础教育课程理念ꎬ落实考试评价改革㊁高中育人方式改革等相关要求ꎬ全面考查数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算和数据分析的核心素养ꎬ体现基础性㊁综合性㊁应用性和创新性的考查要求ꎬ突出理性思维ꎬ发挥数学学科在人才选拔中的重要作用.１题目呈现题目㊀(２０２３年高考数学新课标Ⅱ卷第１７题)记әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃ.已知әＡＢＣ的面积为３.Ｄ为ＢＣ的中点ꎬ且ＡＤ＝１.(１)若øＡＤＣ＝π３ꎬ求ｔａｎＢꎻ(２)若ｂ２＋ｃ２＝８ꎬ求ｂꎬｃ.本题主要考查学生的逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养ꎬ突出基础性要求ꎬ彰显综合性要求ꎬ蕴含中国高考评价体系四翼的要求ꎬ促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接ꎬ同时也促进考教衔接.本题主要从正余弦定理㊁平面向量㊁平面几何㊁经典的几何定理等几个角度来进行分析ꎬ从而发现很多不同解法及其蕴含的数学思想.２题目解析２.１第(１)问解析解法１㊀在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ即３＝１２ˑ１ˑａ２ˑ３２＋１２ˑ１ˑａ２ˑ３２.解得ａ＝４.在әＡＢＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＢ２＝１＋４－２ˑ１ˑ２ˑ(－１２)＝７.解得ＡＢ＝７.再利用正弦定理可知ꎬ１ｓｉｎＢ＝７３/２.解得ｓｉｎＢ＝２１１４ꎬ进而求得ｔａｎＢ＝３５.解法２㊀在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ即０３３＝１２ˑ１ˑａ２ˑ３２＋１２ˑ１ˑａ２ˑ３２.解得ａ＝４.在әＡＢＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＢ＝７.再利用余弦定理变式解得ꎬｃｏｓＢ＝４＋７－１２ˑ２ˑ７＝５７１４.进而求得ｔａｎＢ＝３５.解法３㊀(余弦定理＋面积公式)在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ即３＝１２ˑ１ˑａ２ˑ３２＋１２ˑ１ˑａ２ˑ３２.解得ａ＝４.在әＡＢＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＢ＝７.在әＡＢＣ中ꎬ再利用面积公式Ｓ＝１２ˑ４ˑ７ˑｓｉｎＢ＝３ꎬ解得ｓｉｎＢ＝２１１４ꎬ进而求得ｔａｎＢ＝３５.解法４㊀(三次余弦定理)在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ即３＝１２ˑ１ˑａ２ˑ３２＋１２ˑ１ˑａ２ˑ３２.解得ａ＝４.在әＡＢＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＢ＝７.在әＡＣＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＣ２＝１＋４－２ˑ１ˑ２ˑ１２＝３.则ＡＣ＝３.在әＡＢＣ中ꎬ利用余弦定理变式解得ｃｏｓＢ＝７＋１６－３２ˑ４ˑ７＝５７１４.进而求得ｔａｎＢ＝３５.解法５㊀(二次余弦定理＋正弦定理)在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ即３＝１２ˑ１ˑａ２ˑ３２＋１２ˑ１ˑａ２ˑ３２.解得ａ＝４.在әＡＢＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＢ＝７.在әＡＣＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＣ２＝１＋４－２ˑ１ˑ２ˑ１２＝３.则ＡＣ＝３.在әＡＢＣ中ꎬ利用正弦定理可知７１/２＝３ｓｉｎＢ.解得ｓｉｎＢ＝２１１４ꎬ进而求得ｔａｎＢ＝３５.解法６㊀(面积公式＋两角和的正切公式)在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ即３＝１２ˑ１ˑａ２ˑ３２＋１２ˑ１ˑａ２ˑ３２.解得ａ＝４.在әＡＢＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＢ＝７.在әＡＣＤ中ꎬ利用余弦定理可知ＡＣ２＝１＋４－２ˑ１ˑ２ˑ１２＝３.则ＡＣ＝３.所以Ｓ＝１２ˑ３ˑ７ˑｓｉｎＡ＝３.解得ｓｉｎＡ＝２７７所以ｔａｎＡ＝－２３３ꎬｔａｎＣ＝３３.利用两角和的正切公式解得ｔａｎＢ＝－ｔａｎＡ＋Ｃ()＝３５.２.２第(２)问解析解法１㊀(面积公式＋平行四边形法则)利用面积公式解得Ｓ＝１２ˑｂˑｃˑｓｉｎＡ＝３.１３即ｂｃｓｉｎＡ＝３.①利用平行四边形法则ꎬ解得２ＡＤң＝ＡＢң＋ＡＣң.两边平方ꎬ得４＝ｂ２＋ｃ２＋２ˑｂˑｃˑｃｏｓＡ.整理ꎬ得ｂｃｃｏｓＡ＝－２.②由①②ꎬ得ｔａｎＡ＝－３.则Ａ＝２π３ꎬ代入①后ꎬ得ｂｃ＝４.再由已知ｂ２＋ｃ２＝８ꎬ解得ｂ＝ｃ＝２.解法２㊀(中线长定理＋面积公式)由中线长定理可知ꎬｂ２＋ｃ２＝２ＡＤ２＋ＢＤ２().解得ＢＤ＝３.在әＡＢＣ中ꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ３＝１２ˑ３ˑ１ˑｓｉｎøＡＤＢ＋１２ˑ３ˑ１ˑｓｉｎ(π－øＡＤＢ)ꎬ解得ｓｉｎøＡＤＢ＝１.即ＡＤʅＢＣꎬ底边中线也是底边高线.所以әＡＢＣ是等腰三角形.解得ｂ＝ｃ＝２.解法３㊀(中线长定理＋面积公式＋余弦定理)由中线长定理可知ꎬｂ２＋ｃ２＝２ＡＤ２＋ＢＤ２().解得ＢＤ＝３.利用面积公式解得ꎬＳ＝１２ˑｂˑｃˑｓｉｎＡ＝３.即ｂｃｓｉｎＡ＝３.在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理可知１２＝ｂ２＋ｃ２－２ˑｂˑｃˑｃｏｓＡ.解得ｂｃｃｏｓＡ＝－２.两式相除ꎬ解得ｔａｎＡ＝－３.则Ａ＝２π３ꎬ得ｂｃ＝４.再由已知ｂ２＋ｃ２＝８解得ｂ＝ｃ＝２.解法４㊀(中线长定理＋面积公式)由中线长定理可知ꎬｂ２＋ｃ２＝２ＡＤ２＋ＢＤ２().解得ＢＤ＝３.由初中面积公式ꎬ得３＝１２ˑ２３ˑｈꎬ解得ｈ＝１ꎬＡＤ＝ｈ＝１ꎬ底边中线ＡＤ也是底边高线ꎬ所以әＡＢＣ是等腰三角形ꎬ解得ｂ＝ｃ＝２.解法５㊀(中线长定理＋余弦定理＋面积公式)由中线长定理可知ꎬｂ２＋ｃ２＝２ＡＤ２＋ＢＤ２().解得ＢＤ＝３.在әＡＣＤ中ꎬ由余弦定理可知ꎬｂｃｏｓＣ＝ｂ２＋２２３.③在әＡＢＣ中ꎬ由面积公式解得３＝１２ˑ２３ˑｂˑｓｉｎＣ.整理ꎬ得ｂｓｉｎＣ＝１.④将③④平方相加得ꎬｂ２＝１＋ｂ４＋４ｂ２＋４１２ꎬ解得ｂ＝２ꎬ代入ｂ２＋ｃ２＝８ꎬ解得ｃ＝２.３结束语通过研究高考真题发现ꎬ我们在教学中应该多做微探究ꎬ让数学本质理解得更透彻.在课程标准指导下要重视教材ꎬ多练变式ꎬ让学生思维更生动ꎬ适当记忆经典定理㊁公式ꎬ多总结ꎬ让知识更系统.正所谓知其然还要知其所以然ꎬ刷百题不如吃透一题ꎬ高考改革万变不离其宗ꎬ这个宗就是对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握ꎬ这就要求我们能够寻根溯源ꎬ抓住问题的本质.引导我们备课更加注重思维能力和思想方法的渗透ꎬ不能死记公式ꎬ而是关注学生ꎬ引导学生自主学习㊁合作探究ꎬ真正掌握知识ꎬ学会灵活运用ꎬ不断提高自身的思维能力[１].参考文献:[１]林素莺.新高考背景下高中数学核心素养的培养研究[Ｊ].当代家庭教育ꎬ２０１９(０２):５７.[责任编辑:李㊀璟]２３。

对一道高考试题的解法探究
题目：设函数$f(x)$满足$f(x+1)=xf(x)$，且$f(0)=1$，求函数$f(x)$的解析式。

【分析】本题考查函数的递推关系。

根据题意，$f(x+1)=xf(x)$，可以得到$f(x)$的递推式为$f(x)=x^{n}f(1)$，其中$n$为未知常数。

因为$f(0)=1$，所以$f(1)=1$。

将$f(1)=1$代入递推式中，得到$f(x)=x^{n}$。

【解答】根据分析，可以得到函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{n}$，其中$n$为任意常数。

因为$f(x)$是$R$上的函数，所以$n$可以为任意实数。

在解题过程中，需要理解递推关系，并且根据递推关系得到递推式。

同时，还需要通过初始条件$f(0)=1$来求出递推式中的常数$n$。

在求解过程中，需要灵活运用递推关系和初始条件，得到函数$f(x)$的解析式。

这道题目的难度适中，需要学生掌握函数的递推关系，并且能够灵活运用初始条件求解常数。

同时，这道题目也能够帮助学生巩固函数的基本概念和性质，提高数学素养和解题能力。