2-2函数极限

第一极限和第二极限公式极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的趋势和变化规律。

在计算极限时，我们常常使用第一极限和第二极限公式来简化计算过程。

一、第一极限公式第一极限公式是计算函数在某一点上的极限的常用方法之一。

它的表达式为：lim(x→a) f(x) = f(a)这个公式的意思是当自变量x无限接近于a时，函数f(x)的值趋近于f(a)。

也就是说，在函数图像上，当x的取值无限接近于a时，函数图像上的点也无限接近于点(a, f(a))。

举个例子来说明，我们考虑函数f(x) = x^2，在点x=2处计算极限。

根据第一极限公式，我们可以得到：lim(x→2) x^2 = 2^2 = 4这个结果意味着当x无限接近于2时，函数f(x)的值无限接近于4。

可以通过绘制函数图像来验证这一结论，我们会发现当x越来越接近2时，函数图像上的点也越来越接近于点(2, 4)。

第一极限公式的应用范围非常广泛，可以用于计算各种类型的函数在某一点上的极限。

二、第二极限公式第二极限公式是计算函数在无穷远点上的极限的常用方法之一。

它的表达式为：li m(x→∞) f(x) = L其中L为常数。

这个公式的意思是当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋近于常数L。

举个例子来说明，我们考虑函数f(x) = 1/x，在x趋向于无穷大时计算极限。

根据第二极限公式，我们可以得到：lim(x→∞) 1/x = 0这个结果意味着当x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋近于0。

通过绘制函数图像，我们会发现当x趋向于无穷大时，函数图像逐渐趋近于x轴，与x轴越来越接近。

第二极限公式也可以用于计算其他类型的函数在无穷远点上的极限，只需要根据函数的表达式进行相应的计算即可。

第一极限和第二极限公式是在计算函数极限时常用的工具。

通过这些公式，我们可以简化计算过程，得到函数在某一点或无穷远点上的极限值。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的极限公式进行计算，从而得到准确的结果。

与极限相关的一些概念(一)、函数极限的分析定义 (二)、保序性 (三)、夹逼性(四)、函数极限的两个充要条件 (五)、Heine 定理(六)、Cauchy 收敛原理 (七)、复合函数极限(一)(a)、lim ()x f x A →=(有限)的分析定义：(一)(b)、lim ()x f x A →≠(有限)的分析定义：(一)(c)、lim (),,x f x →=∞+∞-∞的分析定义：(一)(d)、lim ()(,,)x f x A →≠∞+∞-∞的分析定义：(二) (a) 保序性: 已知lim ()lim ()x x f x A f x B →→=>=, 则(二) (b) 保序性:若lim (),lim ()x x f x A f x B →→==.注：当条件中()()f x g x ≤增强为()()f x g x <,也不能导出.A B <(三) 夹逼性: 已知lim ()lim ()x x g x h x A →→==(有限, ,+∞-∞)注: A 不可为.∞((五) (a) Heine 定理： 以下A 可取有限,,,.∞+∞-∞(五)(c) lim ()x f x A →≠(有限)的数列描述形式(五)(d) lim (),,x f x →≠∞+∞-∞的数列描述形式(六)(a) lim ()x f x →存在的Cauchy 收敛原理(六)(b) lim ()x f x →存在的Cauchy 收敛原理的否定形式(六)(c) lim ()x f x →存在的Cauchy 收敛原理的否定形式以3为例加以证明：因为()f u 在u A =连续, 故0,0,||,|()()|.u A f u f A εηηε∀>∃>∀-<-< (1) 又因为0lim ()x x g x A →-=(有限), 对于如上的0,η>00,0,|()|.x x g x A δδη∃>∀-<-<-<(2) 由(1)与(2)得：00,0,0,|(())()|.x x f g x f A εδδε∀>∃>∀-<-<-< 即0lim (())()lim ().x x u Af g x f A f u →-→==证毕.以3(0x x →-)中,A B =∞有限为例加以证明: 因为lim ()u f u B →∞=(有限),故0,0,||,|()|.G u G f u B εε∀>∃>∀>-< (1) 又因为0lim (),x x g x →-=∞对(1)中的0,G >00,0,|()|.x x g x G δδ∃>∀-<-<> (2) 由(1)与(2)有：00,0,0,|(())|.x x f g x B εδδε∀>∃>∀-<-<-< 所以0lim (())lim ().x x u Af g x B f u →-→==证毕.以1(即0x x →)中B =-∞为例证明:因为lim (),u Af u →=-∞0,0,0||,().G u A f u G ηη∀>∃>∀<-<<- (1) 又因为0lim ()x x g x A →=(有限)，对于如上的0,η>00,0||,|()|,x x g x A δδη∃>∀<-<-<结合当0x x ≠时,()g x A ≠，上式即: 00,0||,0|()|.x x g x A δδη∃>∀<-<<-< (2) 于是由(1)与(2)得：00,0,0||,(()).G x x f g x G δδ∀>∃>∀<-<<- 所以0lim (())()lim ().x x u Af g x B f u →→==-∞=证毕.以1(即x →∞)中B =+∞为例证明: 因为lim (),u Af u →=+∞0,0,0||,().G u A f u G ηη∀>∃>∀<-<> (1) 又因为lim ()x g x A →∞=(有限),对于如上的0,η>0,||,|()|.X x X g x A η∃>∀>-<结合,()x g x A ∀≠，上式即:0,||,0|()|.X x X g x A η∃>∀><-< (2) 由(1)(2)可得: 0,0,||,(()).G X x X f g x G ∀>∃>∀>> 所以0lim (())lim ().x x u Af g x B f u →→==证毕.。

高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。

1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。

比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。

这个位置通常用自然数n表示，称为项数。

1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。

极限通过记号lim(an)=A来表示。

1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。

1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。

1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。

1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。

1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。

1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。

1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。

二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。

2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。

2第⼆讲函数极限的概念2慕课讲稿第三章函数极限§1函数极限的概念同学们好，这⼀讲我们继续来学习函数极限的概念由上节课可知，极限可以体现为两句话：第⼀句话：随着⾃变量变化，第⼆句话：相应的因变量的变化趋势．函数f(x)当x趋于正⽆穷⼤时的极限，是假定f(x)为定义在a到正⽆穷⼤上的函数，所体现的两句话是：随着x越来越⽆限增⼤时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近．本节假定f(x)为定义在点x0的某个空⼼邻域内的函数，现在讨论随着x与x0 越来越⽆限接近时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近．⼆、x趋于x0时函数的极限先看下⾯⼏个例⼦：例1f(x)=1（x不等于0）.（f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x趋于0时，f(x)趋于1）例2f(x)等于(x^2-4)/(x-2). ( f(x)是定义在U0(2)上的函数，当x趋于2时，f(x)趋于4) 那么，如何体现“随着x与x0 越来越⽆限接近时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近”？我们⽤以下epsilon-delta定义来体现1．x趋于x0(x不等于x0)时，函数极限的epsilon-delta定义定义1设函数f(x)在U0(x0)内有定义，A为定数，若对任给的epsilon>0，存在delta>0，使得当“0<|x-x0|lim x趋于x0 f(x)=A或f(x)趋于A(当x趋于x0).2. 函数极限的epsilon-delta定义的⼏点说明(这个和“x趋于⽆穷”的含义相同)：(1) 关于epsilon：①epsilon的任意性．定义1中的正数epsilon的作⽤在于衡量f(x)与常数A的接近程度，epsilon越⼩，表⽰接近得越好；⽽正数epsilon可以任意⼩，说明f(x)与常数A可以接近到任何程度；②epsilon的暂时固定性．尽管epsilon有其任意性，但⼀经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出delta ；③epsilon的多值性．epsilon既是任意⼩的正数，那么epsilon，2epsilon，epsilon的平⽅等等，同样也是任意⼩的正数，因此定义１中的不等式“|绝对值f(x)-A|⽽“|f(x)-A|④正由于epsilon是任意⼩正数，我们可以限定epsilon⼩于⼀个确定的正数．(2) 关于delta：①相应性，是表⽰x与x0的接近程度，⼀般地，delta随epsilon的变⼩⽽变⼩，因此常把delta记作delta(epsilon)，来强调delta是依赖于epsilon的；epsilon⼀经给定，就可以找到⼀个delta；②delta多值性．delta的相应性并不意味着delta是由epsilon唯⼀确定的，因为对给定的epsilon，故若delta满⾜此要求，则delta/2、delta/3等等⽐delta还⼩的正数均可满⾜要求；事实上，在许多场合下，最重要的是delta的存在性，⽽不是它的值有多⼤．(3) 极限问题关⼼的是趋势问题，所以在定义中，只要求函数f(x)在U0(x0)有定义，⽽⼀般不要求f(x)在x0处的函数值是否存在，或者取什么样的值．因⽽限定“|x-x0|>0”．(4) 定义中的“0<|x-x0|属于U(A, epsilon)”．从⽽定义1 等价于“对任给的epsilon>0，存在delta>0，使得当x 属于U0(x0, delta)，有f(x)属于U(A, epsilon)”等价于“对任给的epsilon>0，存在delta>0，f（U0(x0, delta)）属于U(A, epsilon)”。

求左右极限的方法及例题
求左右极限的方法主要有以下几种：
1.连续点求左右极限：如果函数在某一点处连续，那么该点的左极限等于
右极限，也等于函数值。

2.间断点求左右极限：如果函数在某一点处不连续，那么该点的左极限和
右极限可能相等，也可能不相等。

此时，该点的函数值通常是不存在
的。

3.洛必达法则求左右极限：当所求极限的分子分母都可以导的时候，考虑
利用洛必达法则求极限比较方便。

4.利用泰勒公式求左右极限：等价无穷小就是泰勒方式的缩减版，删去了
高次项就得到了等价无穷小。

利用泰勒公式求高阶极限时，需要将函数展开成泰勒级数。

下面以两个例子来说明：
例1：求 f(x) = x-2，x<0 f(x) = x，x≥0 在 x = 0 处的左极限、右极限。

左极限：lim(x→0-) f(x) = -2
右极限：lim(x→0+) f(x) = 0
例2：求 f(x) = 1/x 在 x = 0 处的左极限、右极限。

左极限：lim(x→0-) f(x) = -∞
右极限：lim(x→0+) f(x) = +∞。