1957年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分） 化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-解：原式=)(38b a b -三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+=五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A ==六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1) )1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y xB a解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证： 截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有 截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y x y 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得 D 1 C 1A C222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219-==∴-=-⋅⋅=a a a a 即1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是解：见上表四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以A 为原点，射线AB 为x 轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得：a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b 2+c 2-2bccosA.五．（本题满分10分） 解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x解：右式=x 2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x ≠0,x>a+b+c六．（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式Ynnn xx x x x x 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 32=⋅⋅⋅对一切自然数n 都成立证：略七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D;在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线相交于点C∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P-a-Q 的平面角，∴∠ADC=1200又AD=2，BCDE 为矩形，∴CD=BE=4连接AC ，由余弦定理得.72=AC又因AD ⊥a,CD ⊥a,所以a 垂直于△ACD 所在的平面再由BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABCF D C57arcsin=∠∴ABC 2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F 因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ，∴AF ⊥平面Q在△ADF 中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=360sin 2=︒连结BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九．（本题满分17分）给定双曲线.1222=-y x1．过点A （2，1）的直线L 与所给的双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程2．过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线L 的方程为y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：(2) 0344)24()2(2222=-+--+-k k x k k x k又设P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),),,(y x P 则x 1,x 2必须是（2）的两个实根，所以有).02(22422221≠---=+k k k k x x按题意，.22),(212221--=∴+=k kk x x x x因为),(y x 在直线（1）上，所以.2)12(21)222(1)2(222--=+---=+-=k k k k k k x k y再由y x ,的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为,17)21(47)1(822=---y x 这就是所求的轨迹方程 2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得(3) 032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k设21222111,),,(),,(x x y x Q y x Q 则必须是（3）的两个实根，即.2222221--=+k kk x x 如果B 是Q 1Q 2的中点，就有121=+x x ，即221=+x x ，所以有.222222=--k kk 综合起来，k 应满足⎪⎩⎪⎨⎧=--≥-+----.2222,0)32)(2(4)22()(222222k k k k k k k k I由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解故满足题设中条件的直线不存在十．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a-b ，u 2=a 2-ab+b 2, u 3=a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n ≥3) 证：通项公式可写成u k =a k-a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)kb k=ba b a k k k +--+++111)1(因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC ·BC=CD 2=11112111n 11n 111112(1)(1) aba (1) ,(1)(1)()a (1)(1) (1)n n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n a b u a ba b a bb ab a ba b a b u a b a b a b a b ab b a ba u u ---------+++++----=+--=+--=+----==-++-----=+--+=故得于是有11.n n b u a b+=+。

1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（）A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=02、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A、2B、21+C、221+D、221+3、若M、N 是两个集合，则下列关系中成立的是()A．∅MB．MN M ⊆)( C．NN M ⊆)( D．N )(N M 4、若a>b，R c ∈，则下列命题中成立的是()A．bcac >B．1>ba C．22bc ac ≥D．ba 11<5、直线x+2y+3=0的斜率和在y 轴上的截距分别是()A．21-和－3B．21和－3C．21-和23D．21-和23-6、不等式21<-x 的解集是()A．x<3B．x>－1C．x<－1或x>3D．－1<x<37、下列等式中，成立的是()A．)2cos()2sin(x x -=-ππB．x x sin )2sin(-=+πC．xx sin )2sin(=+πD．xx cos )cos(=+π8、互相平行的三条直线，可以确定的平面个数是()A．3或1B．3C．2D．19.已知α表示平面,,,l m n 表示直线,下列结论正确的是（）A.若,,l n m n ⊥⊥则l m∥ B.若,,l n m n l ⊥⊥⊥则mC.若,,l m l αα∥∥则∥mD.若,,l m l αα⊥⊥∥则m10.已知椭圆22126x y +=的焦点分别是12,F F ,点M 在椭圆上,如果120F M F M ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离是（）A.B.C.2D.111.等边△ABC 的边长为a，过△ABC 的中心O 作OP⊥平面ABC，且OP＝63a，则点P 到△ABC 的边的距离为()A．a B．32a C．33a D．63a 12.已知函数f (x)是定义域为R 的奇函数，给出下列6个函数：①g (x)＝sin x (1－sin x)1－sin x ；②g (x)＝sin(52π＋x)；③g (x)＝1＋sin x－cos x 1＋sin x＋cos x；④g (x)＝lg sin x ；⑤g (x)＝lg(x2＋1＋x)；⑥g (x)＝2ex＋1－1。

57 级高二第二次数学测试答案解析第 1 题答案 D 第 1 题解析由复数的几何意义知：.第 2 题答案 A 解析依题意：第 3 题答案 B 第 3 题解析依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．第 4 题答案 C 第 4 题解析，若 在上是增函数，，得.则，即在上恒成立，得，若在上是减函数，则，即在上恒成立，此时无解．第 5 题答案 B 第 5 题解析由二项式的展开式得：，故答案选 B.第 6 题答案 B 第 6 题解析①若区域 1,3 同色，先涂区域 1,3，有四种方法，再涂区域 2,4,5，有 种方法，共有种涂色法．②若 1,3 不同色，先涂区域 1,3，有 种方法，第二步涂区域 2，有 2 种涂色方法，第三步涂区域 4 只有 1 种涂色方法，第四部涂区域 5 有 3 种方法，共有 72 种涂色方法.根据分类加法计数原理可知，共有种涂色法．第 7 题答案 B 第 7 题解析根据，解得，可排除选项 A,C，，由，即，可知方程必存在两个根．设小的根为 ，则 在上必定是单调递增的，故选 B.第 8 题答案 D 第 8 题解析如果 在两端，则 有三个位置可选，排法为种， 如果 不在两端，则 只有两个位置可选，种，共计种.第 9 题答案 D 第 9 题解析令，则，由题意，当时，结论成立；当时，令，解得，∴函数在上为减函数，在上为增函数∴当时，函数取得最小值，∵是函数的一个承托函数，∴，∴，∴，综上，.故选 D．第 10 题答案 A 第 10 题解析根据题意，分 步进行分析：①将《将进酒》、《望岳》和另两首诗的 首诗全排列，有种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》的前面，则这 首第 12 题答案 B 第 12 题解析构造函数，，所以为增函数，由于，故当 时.第 13 题答案 第 13 题解析根据题意，由于分布列中概率和为 1，则可知，，又由成等差数列知，则，,∴,可得：.第 14 题答案 第 15 题答案由题意得：第 14 题解析第 15 题解析令，得的展开式的通项公式为有大于 的解，即，而，所以.∵，∴，∴.，解得，，令，所以展开式中 的系数为.第 16 题答案第 16 题解析由，得或；由当时，函数取极大值，得. ，当, 时，函数取极小值.因为函数图像经过四个象限，∴，解得.第 17 题答案（1） ；（2）分布列详见解析.解析（1） 人参加活动次数各不相同的概率为， 故这 名同学中参加活动次数各不相同的概率为 ；（2）由题意知：，∴，诗词的排法有种；，②这 首诗词排好后，不含最后，有 个空位，在 个空位中任选 个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有种方法，则后 场的排法有种.第 11 题答案 D 第 11 题解析，；上单调递增，则有最大值，也有最小值；故选 D，即是奇函数，且在，故 的分布列为：第 18 题答案（Ⅰ） ；（Ⅱ）的递增区间为，递减区间为，极小值为，无极大值.只需 不大于在 上的最小值即可，而，第 18 题解析（Ⅰ）对 求导得，则当时，，∴，即，故实数 的取值范围是．由在点处的切线垂直于直线，知，解得：，所以 的值为 ．第 21 题答案⑴;⑵见解析（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则令，解得：或，因不在的定义域当时，，故在内为减函数；当时，第 19 题答案（1） （2）第 19 题解析由（1） 项的二项式系数为，故在；，可得.内为增函数． ，（2）设顶的系数最大，因为，， 内，故舍去．所以，所以，即或，故展开式中系数最大的项为 或 ，；.第 20 题答案（1）极大值为，无极小值；(2).第 20 题解析（1）当时，，第 21 题解析⑴整理得，⑵由得所以在上单调递减，在上单调递增 故当时，第 22 题答案（1） 第 22 题解析；（2） 在上是增函数；（3）（1）由已知得：，∴，∴，∴．取得最小值（2）当时，，因为，所以，而，即，故 在上是增函数．（3）当时，由(2)知， 在 上的最小值为，，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，记，（），由 故当 所以当时， 时，函数，由 单调递增；当取得极大值时，， 单调递减，，无极小值.则，令，则，所以在上单调递减，所以,故，所以在上单调递减，（2），∵函数 在区间 上单调递减，所以，即实数 的取值范围为．∴在区间 上恒成立，即在 上恒成立，。

高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。

高考模拟复习试卷试题模拟卷一．基础题组1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理2）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ） A ．4B ．2 C ．12 D ．14【答案】A考点：双曲线的性质2.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -= 【答案】C 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是b y x a =±，故可知3ba=又∵焦点坐标为（2,0），∴222c a b +=，解得,13a b ==. 考点：双曲线的几何性质.3.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） A.4 B.2 C.1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：由已知焦点为)1,0(，故抛物线上的点到焦点的距离为12)1(222++=-+=y y y x d11)1(2≥+=+y y ，当然也可作图，利用抛物线的定义考点：抛物线4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理6）若双曲线22221x y a b-=的离心率为52，则其渐近线方程为（ ）.2A y x =±.4B y x =±1.2C y x =±1.4D x ±【答案】C考点：双曲线的性质．5.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理3）椭圆124322=+y x 的离心率为. 【答案】21【解析】试题分析：因为124322=+y x ，所以13422=+y x ，所以1,3,2===c b a 所以椭圆的离心率21=e . 考点：椭圆的性质.6.（北京市西城区高三一模考试理10）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.【答案】2213y x -=【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,3a b ==，因此双曲线C 的方程为2213y x -=考点：双曲线方程7.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a =． 【答案】255考点：1.抛物线的定义;2.双曲线的标准方程.8.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理18）已知点M 为椭圆的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由． 【答案】（Ⅰ）12e =;12(1,0),(1,0)F F -;（Ⅱ）过定点(4,0)-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c 即可； （Ⅱ）设出直线AB 的方程y kx m =+与椭圆方程联立，由斜率这积为14得到,k m 的关系式，可验证直线是否过定点.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2,3,1a b c ===．故离心率为12，焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -． （Ⅱ）由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则所以()()22222412841424403434m kmk km m k k---+++-=++， 化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-．当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =-代入判别式大于零中，解得1122x -<<．当2m k =-时，直线AB 的方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意． 故直线AB 过定点(4,0)-．考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.9.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理19）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为3C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）证明见解析.所以椭圆C的标准方程为2214xy+=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM的方程为：(2)y k x=+，则(0,2)N k．由22(2)44,y k xx y=+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k++-=（*）．设(2,0)A-，11(,)M x y，则2-，1x是方程（*）的两个根，所以2122814kxk-=+．所以222284(,)1414k kMk k-++．22222228284||()()1414k k kAMk k-++=+++2222161641(14)k kk++==+．22||4421AN k k=+=+．2222241218(1)||||1414k k kAM ANk k+⋅++==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由 2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+． 所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+． 所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分考点：1.椭圆的标准方程;2.韦达定理.10.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）22k =±得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ，则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，∵M ，N 关于直线l 对称， ∴MN 的中点在直线l 上， ∴3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，∴222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得2k =±． ……………………14分 考点：椭圆和抛物线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理.11.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理16）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i2．函数f (x )＝x21-的定义域是（ ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）3．已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312l i m111(= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 4．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21B ．42C ．22D ．236．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ） A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx7．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º8．集合A ＝｛x |11+-x x ＜0＝，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是（ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜29．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ） A ．48B ．36C ．24D ．1810．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCAS S ∆∆， λ3＝ABC PAB S S ∆∆，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，61），则（ ）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.12．在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅＝ .14．设函数f (x )的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f －1(x )，f (4)＝0，则f －1(4)＝ .15．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 17．（本题满分12分） 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2. （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小. 18．（本小题满分14分）图1 图2某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A的概率.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.20．（本小题满分14分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论. 21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：1—5：BACCB 6—10： CDDBA 二、填空题：11．5600 12．35 13．21- 14．－2 15．34，32+π三、解答题：16．解法一 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法二：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求.再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B17．解法一（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即OA ⊥OB. 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0）， B （0，3，0），C （0，1，3） O 1（0，0，3）.从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO BO所以AC ⊥BO 1.（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量. 设),,(z y x =是0平面O 1AC 的一个法向量， 由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x O 取 得)3,0,1(=n .设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由、1BO 的方向可知=<θ，1BO >，所以cos <=cos θ，1BO .431=即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos解法二（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1， 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即OA ⊥OB. 从而AO ⊥平面OBCO 1， OC 是AC 在面OBCO 1内的射影.因为3tan 11==∠OO OB B OO 33t a n 111==∠OO C O OC O ， ABOCO 1D图4所以∠OO 1B=60°，∠O 1OC=30°，从而OC ⊥BO 1 由三垂线定理得AC ⊥BO 1.（II ）解 由（I ）AC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AOC. 设OC ∩O 1B=E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图4），则EF 是O 1F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC. 所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角. 由题设知OA=3，OO 1=3，O 1C=1，所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O ，从而1332111=⋅=AC C O A O F O ， 又O 1E=OO 1·sin30°=23，所以.413sin 111==∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin 18．解：（I ）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取 值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ⋅⋅）= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，P （ξ=1）=1－所以ξ的分布列为E ξ=1×0.76+3×（Ⅱ）解法一 因为,491)23()(22ξξ-+-=x x f 所以函数),23[13)(2+∞+-=ξξ在区间x x x f 上单调递增，要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.34,223≤≤ξξ即从而.76.0)1()34()(===≤=ξξP P A P 解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数),2[13)(2+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ=3时，函数),2[19)(2+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增.0 所以.76.0)1()(===ξP A P19．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由.所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是),,(),(),,(0000a eay e a x y x λλ=+=得由所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-.1)1(2,13.220102202200000e a e y c e e x a c x e y e cx y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ. 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 20．解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为.(**)*),1(.(*)*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 ..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变. （Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N* 由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1.而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b由此猜测b 的最大允许值是1.下证 当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N*①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2),则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2,所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是1.21．解：（I ）x ax x x h b 221ln )(,22--==时， 则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解.又因为x >0时，则ax 2+2x －1>0有x >0的解.①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解； ②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解； 则△=4+4a >0,且方程ax 2+2x －1=0至少有一正根.此时，－1<a <0.综上所述，a 的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.（II ）证法一 设点P 、Q 的坐标分别是（x 1, y 1），（x 2, y 2），0<x 1<x 2. 则点M 、N 的横坐标为,221x x x += C 1在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2. 即b x x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x a bx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+- =.ln ln 1212x x y y -=-所以.1)1(2ln 121212x x x x x x +-= 设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r 因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则t t t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.证法二：同证法一得).(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+因为01>x ，所以).1(2ln )1(121212-=+x x x x x x 令12x x t =，得.1),1(2ln )1(>-=+t t t t ② 令.11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=t t t r t t t t t r 则 因为22111)1(ln t t t t t t -=-='+，所以1>t 时，.0)1(ln >'+t t 故t t 1ln +在[1，+)∞上单调递增.从而011ln >-+t t ，即.0)(>'t r于是)(t r 在[1，+)∞上单调递增.故.0)1()(=>r t r 即).1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.。

1普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知 lg2=0.3010,lg7=0.8451,求 lg35 解：原式= lg70= lg 7 ⨯10 = lg 7 + lg10 - lg 2 2 2=0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求(1 - i )3 的值.1 + i解：原式 =1 - 3i + 3i2 - i3 1 + i= 1 - 3i - 3 + i 1 + i = - 2 - 2i 1 + i = - 2(1 + i )1 + i = -2.丙、解不等式2x 2 - 5x < 3.解：原式移项得2x 2 - 5x - 3 < 0, ∴原不等式的解为- 1< x < 3.2 丁、求cos165︒ 的值解： cos165︒ = cos(180︒ - 15︒) = - cos15︒ = - cos(45︒ - 30︒)= -(cos 45︒ cos 30︒ + sin 45︒sin 30︒)= -( 2 ⋅ 3+ 2 ⋅ 1 ) = - 6 + 2 .2 2 2 2 4戊、不在同一平面的三条直线a , b , c 互相平行，A 、B 为b 上两定点， 求证另两顶点分别在a 及c 上的四面体体积为定值 证：因为 A 、B 为直线b 上 Da两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点 C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定ChAB bOαc2⎩值（同底等高的三角形等积） 又因直线a 平行于直线b ,c ，所以，直线a ∥平面α （已知a , b , c 不在同一平面内），因此，不论点 D 在直线a 的什么位置上，从点 D 到平面α 的距离h 为一定值， 故四面体 ABCD 的体积= 1⨯ 底面积⨯ 高 = 1⋅ S⋅ h = 定值3 3∆ABC己、圆台上底面积为25πcm 2 ，下底直径为20cm ，母线为10cm ，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为 r ，下底半径为 R ，由已知条件πr 2 = 25π, 所以 r=5(cm).又下底半径 R=10cm ，母线l = 10cm ,圆台侧面积=π l （R+r )=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为 3 ，求 AB 和 BC. 解：设 AB= c ，BC= a ，则有⎧⎪1ac sin 60︒ = ⎨ 23(两边夹角求面积公式) ⎩⎪ 42 = a 2 + c 2 - 2ac cos 60︒(余弦定理),⎧ac = 4 即⎨a 2 + c 2- ac = 16, 解之,由(a + c )2 = 28,∴ a + c = 2 7,由(a - c )2 = 12,∴ a - c = ±2 3. ∴ a = 7 ± 3, c = 7 3.故所求 AB ，BC 之长为⎧ AB = ⎨ ⎩BC = 7 + 3,⎧ AB = ⎨7 - 3;⎩BC = 7 - 3, 7 + 3.3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的 3 倍等于第三3⎩个数的 2 倍，如果第二个数减去 2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为a - d , a , a + d 则根据题意有⎧3 [(a - d ) + a ] = 2(a + d ), ⎨(a - 2)2 = (a - d )(a + d ). ⎧ 4a = 5d ⎧⎪a = 5 ⎧ a = 5 化简后得⎨4a - 4 = d 2 解得 : ⎨ 1 4, ⎨d= 4. 1 5 9⎪⎩ d 1 = 1; ⎩ 2故所求三数为 , , 4 4 4或1,5,9.4．已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 延长相交于 E ，过 E 点引 EF∥CB 交AD 的延长线于 F ，过 F 点作圆 O 的切线 FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而 FDA 为⊙O 的割线， ∴FG 2=FD·FA…………① 又∵EF∥CB，∴∠1=∠2.而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角∴△EFD∽△AFE，CG2 FO D1A3E BFD =EF EF ,即 EF 2=FD·FA…………② FA由①，②可得 EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知 A 、B 、C 为直线l 上三点，且 AB=BC= a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切;⎩ 241 + tg2 ∠PBA （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.解：过 P 点作 PD⊥AB 交 AB 于点 D （如图）（1）过点 B 作 BE∥AP 交 PC 于点 E则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA∽△CEB∴PA = 2a= 2,因 PB=BE ， PADB CBE a ∴ PA= 2, tg ∠PBA = 2. PB又∵1 + tg 2∠PBA = sec 2 ∠PBA , ∠PBA 为锐角，∴ sec ∠PBA = = 5,cos ∠PBA =1 =5 ,55sin ∠PBA = tg ∠PBA ⋅ cos ∠PBA =2 5 .5（2） PB = AB ⋅ cos ∠PBA =5 a .5（3） PB = 5a , sin ∠PBA = 2 5 5 , ∴ PD = PB ⋅ sin ∠PBA = 2a . 5 5综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是 255, 1 5 5,2（2）PB 的长为155a ;（3）P 点到l 的距离为 2a .5450E。

1957年副题一、解答下列各题1.方程235(1)0x x k -++=若有实数根, k 的值应当怎样？2.设,,a b c 为ABC ∆的三边,已知222a b bc c =++,求a 边的对角A .3.已知线段,,a b c ,求作一线段x =4.设P 为一个60的二面角的平分面上任意一点,求证从P 到二面角的棱的距离等于从P 到二面角的一个面的距离的两倍.5.已知一个直圆锥的高为1.2尺,其侧面积为底面积的2倍,问此底面积为若干平方尺.二、解方程组2222222154348x xy y x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩三、如图,已知AD ,BC 为梯形ABCD 的一底, 90ABC ∠= , AB α∠=, AED β∠=,BDC γ∠=.BE a =,求证:sin sin sin()a AD αββα=-,sin sin sin()cos()a BC βγβγγα=--.四、一圆周被AB 弦分为优劣两弧, C 为优弧的中点, D 为劣弧上任一点.又E 为劣弧AD 的中点, F 为劣弧DB 的中点.若于CD 弦上任取一点P ,PA 与CE 交于Q ，PB 与CF 交于R ,则QR 与AB 平行,试证明之.五、在已知边长为a 的正六边形的每边上依次取1:2的内分点,并顺序连结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正六边形.这样继续作了n 次之后,则得n 个新的正六边形,其边长依次设为1x ,2x ,…, n x .(1)求边长1x ,2x ,…, n x ; AB C D αE β γ求边长的平方和22212n x x x +++,2x ,…, n x ;(3)求这n 个新正六边形面积的和.。

1957年全国高考数学试题及其参考答案试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等.一、甲、方程3x2-5x+(k+1)=0若有实数根,k的值应当怎样？乙、设a、b、c为△ABC的三边,已知a2=b2+bc+C2,求a边的对角A.丁、设P为一个60°的二面角的平分面上任意一点,求证从P到二面角的棱的距离等于从P到二面角的一个面的距离的两倍.戊、已知一个直圆锥的高为1.2尺,其侧面积为底面积的2倍,问此底面积为若干平方尺.（答案要一位小数）三、如图,已知AD,BC为梯形ABCD的一底,∠ABC=90°,∠ABD=α,∠AED=β,∠BDC=γ, BE=a.求证:四、一圆周被AB弦分为优劣两弧,C为优弧的中点,D为劣弧上任一点.又E为劣弧AD的中点,F为劣弧DB的中点.若于CD弦上任取一点P,PA与CE交于Q，PB与CF交于R,则QR与AB平行,试证明之.五、在已知边长为a的正六边形的每边上依次取 1∶2的内分点,并顺序连结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正六边形.这样继续作了n次之后,则得n个新的正六边形,其边长依次设为x1,x2,……,x n.(1)求边长x1,x2,……,x n ;(3)求这n个新正六边形面积的和.1957年副题答案解析一、甲、由题意知Δ=25-12(k+1)≥0,∴ 13≥12k,乙、由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,又由题设知a2=b2+c2+bc,∴-2bccosA=bc,∴A=120°.丙、作法:作线段AB=a,延长AB至C,令BC=b.以AC为直径作半圆.作BD⊥AC,与半圆交于D.在DA连线上取DE=c.过E作EF⊥BD,与DC连线交于F,则DF为求作的x.注意:考生仅作出一图即可.丁、证:如图,设π是二面角的一个面,P是平分面上一点.过P作棱AB的垂直平面与AB交于C点,与平面π交于一条直线CD.过P作PD⊥CD于D.则线段PC是P至AB的距离,PD是P至π的距离.戊、解:设底半径=r,直圆锥底面积=πr2.由①分解因式得x=y+5,x=y-3. 于是原方程组分为下列两个方程组:解方程组(i) ,得两组解:解方程组(ii),得另两组解:三、证明:在△BDE中,由正弦定理知四、证明:连结CA、CB,则CA=CB.∵E为AD弧的中点,F为DB弧的中点,∴∠ACE=∠ECD,∠BCF=∠FCB.在△CAP与△CPB中,PQ∶QA=CP∶CA,PR∶RB=CP∶CB,∴PQ∶QA=PR∶RB,∴QR∥AB由余弦定理及题设得:用同样方法可求得:根据等比级数求前n项的公式得:∴这n个新正六边形面积的和为:。

1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b abb a ---解：原式=.)()(3231231272321223a b a b ba ba==--乙、解cb a x lg lg 2lg 31lg 61++=解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r ar a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx +=-+)(0sin4,1,0sin cos ,0sin)sin (cos 20)sincos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x xx x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ.2)2(),()(2,).()(222222222ah L a hL a a L hL a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以Lh aa L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lh a a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1， 又，α 2 +β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β 2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高， 于是ACBC BC BC BC ACAB BCACABA ⋅⋅-+=⋅-+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BDB BCBC 同理AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450AO=a22∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD 的高SO=a22丁、写出二面角的平面角的定义 略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5S C3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBED EFEA ⋅=⋅=即但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程xx x sin cos2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=-，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π-ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=-∴=-=-+π-π=∴-==+=+=--+=+--+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F CB因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==-+=+----=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。