2021高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课时作业(含解析)新人教版B版

第2讲函数的基本性质第1课时函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则 (1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、习题改编1．(必修1P39A 组T1改编)函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数解析：选C.作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2．(必修1P31例4改编)函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区(1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错； (3)自变量的系数影响函数的单调性．1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B.设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 ． 解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，所以m ≤2. 答案：(－∞，2]3．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则m 的取值范围为 ． 解析：要使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1， 所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二 求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2 ]和(1，1＋ 2 ]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．[0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C.由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x－x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x 和y ＝－3x在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x－3x在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．函数的最值(值域)(师生共研)(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为 ．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1，的最大值为 ．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：2 2．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝ ． 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：6函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)， 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为 ．【解析】 由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1， 所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三 求参数的值或取值范围已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 ．【解析】 由题意知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，（a －2）×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D.2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：选B.因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2， f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为 ． 解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6核心素养系列3 逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养以函数的单调性为出发点，以增函数、减函数的定义为依据，通过数学运算、比较、分类讨论、综合分析，提高逻辑推理的能力，迅速解题．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 【解】 (1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1.令f (x )在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3， 解得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}．抽象函数问题中需注意以下三点：(1)注意函数的定义域，树立定义域优先的观念．(2)注意函数性质的综合应用，如函数的奇偶性、周期性等．(3)利用“抽象函数具体化”，列举出符合条件的具体函数或画出其图象来分析求解．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，则x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8，9]C ．[8，9]D ．(0，8)解析：选B.2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)， 由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8＜x ≤9.[基础题组练]1．(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12 B. y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x解析：选A.对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x可转化为y ＝x－1，所以函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因此函数y ＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A.2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83C ．－2D ．2解析：选A.函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32. 3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C.4．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是 ．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]． 答案：[1，2]7．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝ ．解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a ]⊆(0，＋∞)，所以f (x )＝1x在[2，a ]上也是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，所以12＋1a ＝34，所以a ＝4.答案：48．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为 ．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0，1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取0<x 2<x 1≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.因为0<x 2<x 1≤1，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0. 所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，当x ＝1时取得最大值1. 所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a <0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a－2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D.由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D.2．(创新型)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值，h (2)＝1. 答案：1 3．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2.。

概念方法微思考
1.分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数. 2.请你概括一下求函数定义域的类型. 提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型.
3.请思考以下常见函数的值域：
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为
(2)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，求 f(x)的解析式； 解 (配凑法)∵f x2＋x12＝x2＋x122－2，
§2.1 函数及其表示
最新考纲
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
考情考向分析
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是 高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.
函数记法
函数y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素 (1)定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 . (2)值域 与x的值相对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 . (3)对应关系f：A→B. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数.
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.( × ) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.( √ )

理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点2 分段函数（重点）

第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．重要结论1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A ．函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点只有1个 B ．已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)等于m 3 C ．y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤1，x ＋3，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤1，－x ＋3，x >1或x <－1题组二 走进教材2．(必修P 23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．3．(必修1P 24T4改编)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( D ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D ．15lg 2[解析] 解法一：由题意知x >0，令t ＝x 5，则t >0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x >0)，∴f (2)＝15lg 2，故选D ．解法二：令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.故选D ．4．(必修1P 25BT1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5].题组三 考题再现5．(2019·江苏，5分)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是[－1,7].[解析] 要使函数有意义，则7＋6x －x 2>0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．6．(2015·陕西，5分)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( C )A ．－1B ．14C ．12D ．32[解析] ∵f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f (14)＝1－14＝12，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？ ①A ＝{1,2,3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4. ②A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝4x . ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x2.④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应． (2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( BC )(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ ①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1；f 3：y ＝x 0.②f 1：y ＝x 2；f 2：y ＝(x )2；f 3：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0.③f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123f 3：[解析] (1)①是映射，也是函数；②不是映射，更不是函数，因为从A 到B 的对应为“一对多”； ③当x ＝0时，与其对应的y 值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A 不是数集．(2)A 图象不满足函数的定义域，不正确；B 、C 满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D 不满足函数的定义，故选B 、C ．(3)①中f 1的定义域为{x |x ≠0}，f 2的定义域为R ，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ②中f 1的定义域为R ，f 2的定义域为{x |x ≥0}，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ③中f 1，f 2，f 3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数． [答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数(3)不同函数①②；同一函数③名师点拨 ☞ 1．映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A ，B 为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．2．判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数． 考向2 求函数的解析式——师生共研例2 已知f (x )满足下列条件，分别求f (x )的解析式． (1)已知f (x －1)＝x －2x ，求f (x )；(2)函数f (x )满足方程2f (x )＋f (1x)＝2x ，x ∈R 且x ≠0.求f (x )；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式． [分析] (1)利用换元法，即设t ＝x －1求解； (2)利用解方程组法，将x 换成1x 求解；(3)已知函数类型，可用待定系数法； (4)由于变量较多，可用赋值法求解．[解析] (1)解法一：设x －1＝t (t ≥－1)，∴x ＝t ＋1，x ＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∴f (t )＝t 2＋2t ＋1－2(t ＋1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．解法二：由f (x －1)＝x －2x ＝(x －1)2－1，∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．(2)因为2f (x )＋f (1x )＝2x ，①将x 换成1x ，则1x换成x ，。