数学综合测试

五年级上册期末数学综合试题测试题（附答案）一、填空题1．2.7×0.43的积是( )位小数。

5.08×0.49的积是( )小数，精确到百分位是( )。

2．如果点A 用数对表示为（1，1），点B 用数对表示为（5，1），点C 用数对表示为（3，3），三角形ABC 是( )三角形。

3．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

..2.56( ).2.56 6.7( )6.7×0.98 7.8÷3.9( )4.2÷2.14．不计算，用发现的规律填空。

6.6×6.7＝44.22，6.66×66.7＝444.222，6.666×666.7＝( )，6.66666×66666.7＝( )。

5．在一个直角三角形中，其中一个锐角是a 度，另一个锐角是( )度。

如果这个直角三角形的底是20厘米，高是10厘米，它的面积是( )平方厘米。

6．袋子里装着红、绿、黄三种颜色的皮球，淘气摸了50次，摸球的情况如下表：根据表中的数据推测，袋子里可能( )球最多，( )球最少。

面积是( )m 2。

8．把一个平行四边形沿着( )分成两部分，通过平移可以把这两部分拼成一个长方形。

这个长方形和原来平行四边形比，面积( )。

拼成的长方形的长等于平行四边形的( )，宽等于平行四边形的( )。

因为长方形的面积＝( )，所以平行四边形的面积＝( )。

9．一个梯形，它上、下底的和是60米，高是10米，这个梯形的面积是( )平方米。

10．五年级同学排成方阵做操，最外层每边站了10人，最外层一共有( )名同学，整个方阵一共有( )名学生。

11．下面不是运用转化思想方法的是（ ）。

A ．计算7.65÷0.85时，将其看成765÷85来算B ．计算2.4×0.8时，先算24×8＝192，再算192÷100＝1.92C ．推导平行四边形面积公式，把平行四边形沿着高剪拼成一个长方形D ．计算“一个长是2.4dm ，宽是2dm ”的长方形的面积”，列式为：2.4×212．与5.360.49⨯乘积相等的算式是（ ）。

高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A2、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D3、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D6、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN∥OP的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.8、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A多选题9、对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为(0,116) C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案：AB分析：根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 由题设，抛物线可化为x 2=y4，∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y =−116. 故选：AB10、已知直线l 1：x −y −1=0，动直线l 2：(k +1)x +ky +k =0 (k ∈R )，则下列结论正确的是（ ） A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90∘B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k=−12时，直线l2为12x−12y−12=0，即x−y−1=0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.11、已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．1|AF|+4|BF|的最小值为2B．△ABE面积的最大值为√2C．直线BE的斜率为12k D．∠PAB为钝角答案：BC分析：A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k PA⋅k PB=−b2a2=−12，又由C项可知k PB=k BE=12k，得k PA⋅k AB=−1，即∠PAB=90°，排除D项.对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x 0+x 0=12⋅y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k ，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，=1，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a所以答案是：113、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：214、直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________．答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O(0,0)到直线kx−y+2=0的距离d=√22−(√3)2=1，=1，解得k=√3(k>0)．即√k2+1设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘．因此，直线y=kx+2(k>0)的倾斜角为60∘．所以答案是：60∘．解答题15、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围. 答案：(1)0或3 (2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0， ∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0 ，解得−1≤a ≤3，∴a 的取值范围是[−1,3].。

2023届高三综合测试数学参考答案一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符0分。

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．10x y −−= （写成1y x =−亦可） 14．421516．3(1)2n n −−四、 解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）()1cos o 62c s 2sin 2πf x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=−=−=−⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …1分 因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以12T π=，则2πT =，所以22ππT ω==，解得1ω=， 所以()n 62si πf x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭．……3分 由22262k x k πππππ−+≤−≤+，k Z ∈，解得22233k x k ππππ−+≤≤+，k Z ∈ 因此()f x 的单调增区间是22,233k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. ……5分 （2）由()2sin 6πf x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以26πππk ω−=，Z k ∈，所以123k ω=+，Z k ∈， ……7分 由,30πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则,6636ππππx ωω⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦， 又函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以2036πππωω⎧−≤⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤， ……9分 由10223k <+≤解得0k =，此时13ω=.……10分18.解：（1）当1n =时，1124S <<.……1分 又因为n a Z ∈，所以11a =.依题意，2(1)(1)n n n n d n <+−<+，……3分 得2(1)20(1)10d n d d n dn −+−<⎧⎨−−−<⎩恒成立 ……4分 解得1d =， ……5分 所以，n a n =.……6分（2）2n n nb =12323411232222112322222n n n n n T n T +=++++=++++①②①-②，得1231111111212222222n n n n n n T +++=++++−=−……9分 即2222n n n T +=−<……10分1,22n n n =<+时，[]0n T =;12(1)2,21122n n n n n n C C n n +≥≥++=++≥+时，[]1n T =，所以2019M =.……12分19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的70%分位数. ……1分 由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，由70%5035⨯=，日需求量在24箱以下的天数为10101535++=，可知，日需求量的样本数据的第35项数据为24，第36项数据为25， 因此，可以估计日需求量的第70%分位数为242524.52+=， ……3分 所以能70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为24.5箱.……4分 （2）由（1）知2424.5<25t ≤=，即024n = 设每天的进货量为24箱的利润为X ，由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为35，当天卖不完剩余1箱的概率15，当天卖不完剩余2箱的概率15，若当天卖完24(10050)1200X =⨯−=元，若当天卖不完剩余1箱23(10050)1301120X =⨯−−⨯=元，若当天卖不完剩余2箱22(10050)2301040X =⨯−−⨯=元， ……6分所以31()1200(11201040)115255E X =⨯+⨯+=元.……7分 设每天的进货量为25箱的利润为Y ，由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为310，当天卖不完剩余1箱的概率310，当天卖不完剩余2箱的概率15，当天卖不完剩余3箱的概率15，若当天卖完25(10050)1250Y =⨯−=元，当天卖不完剩余1箱24(10050)1301170Y =⨯−−⨯=元， 当天卖不完剩余2箱23(10050)2301090Y =⨯−−⨯=元，当天卖不完剩余3箱22(10050)3301010Y =⨯−−⨯=元， ……9分所以31()(12501170)(10901010)1146105E Y =⨯++⨯+=元， ……10分由于()()E Y E X <，显然每天的进货量25箱的期望利润小于每天的进货量为24箱的期望利润， 所以店老板应当购进24箱. ……12分20.（1）证明：连接,BD 在正方形ABCD 中BD AC ⊥, 又PA ⊥平面ABCD ，故PA BD ⊥ 而,PA AC 是平面PAC 上的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC ……2分 在PBD △中，EF 为中位线，故//EF BD ……3分 所以EF ⊥平面PAC . 又EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PAC ……5分 （2）以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz −， 则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0,1,0,1,0,1,1A B C P D E F ，()()1,0,1,0,1,1AE AF ==， ……7分设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =−， ……8分设1(01)2PG PC λλλ=<<≠，， 则()()()0,0,22,2,22,2,22AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+−=−则3sin cos ,1m AG θ===， 整理得212810λλ−+=，解得16λ=或12λ=（舍去）， ……10分 故16PG PC =,故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==,故126EBG S BE h =⋅=△因为(1,0,1)(0,1,00AE BC ⋅=⋅=）,所以AE BC ⊥ 又(1,0,1)(2,0,20AE BP ⋅=⋅−=）,所以AE BP ⊥， 又BPBC P =，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG的距离为EA =三棱锥E ABG −体积为1113369E ABG A EBG EBG V V S EA −−==⋅=⨯=△. ……12分 21.解：（1）因为12PF F ∆的周长等于22a c +为定值,所以内切圆半径最大时，即12PF F ∆的面积最大，此时点P 为椭圆的上（下）顶点……1分可得1(22)2a c bc ⋅+=； ……2分 又因为23c e a ==，222c a b =+，解得3,2,a c b ===……3分 所以椭圆E 的方程为22195x y +=；……4分（2）（法一）设点由条件可知直线l 的斜率0k ≠， 设点1122(,),(,)P x y Q x y ，由22(1)195y k x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(59)189450k x k x k +−+−=所以2212122218945,5959k k x x x x k k−+==++（*） ……5分由（*）可得21212122925(2)(2)2()459k x x x x x x k −−−=−++=+① ……6分12211221270(2)(2)(1)(2)+(1)(2)59ky x y x k x x k x x k−−+−=−−−−=+② ……7分 22121212240[()1]59k y y k x x x x k−=−++=+ ③ ……8分由对称性，不妨令点M 位于第四象限，设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ， 则1212tan ,tan ,tan 22y ym x x αβγ===−−又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=−可得出12121212221122y y m mx x y y m mx x −−−−=++−− ……9分化简得2121212121212()2(1)()=0222222y y y y y ym m x x x x x x ++−−+−−−−−−即[]2122112121221[(2)(2)]2(2)(2)[(2)(2)]0y x y x m x x y y m y x y x −+−+−−−−−+−= 将①②③式代入上式得：2235(4925)350km k m k −+−+=……10分 则(75)(57)0km m k +−+=，解得57,()75km m k =−=舍去 ……11分故直线2F M 方程为5(2)7y x k =−−，令9x =得点5(9,)M k−则5'9k k =−，故5'9kk =−为定值.……12分【法二】设线由条件可知直线l 的斜率0k ≠，设直线2PF 的斜率为1k ，直线2QF 的斜率为2k ，直线2F M 的斜率为m ， 直线:(2)1l x ny −−+=，其中1k n=由22195x y +=得225[(2)2]945x y −++= 即()[][]22295220(2)(2)25(2)0y x x x ny x ny +−+−−−+−−−+=整理得222(925)70(2)40(2)0n y n x y x −+−−−=……6分即22(925)7040022y y n n x x ⎛⎫−+−= ⎪−−⎝⎭令2yk x =−,则22(925)70400n k nk −+−=，其中12k k ，为方程的根所以12270259nk k n +=−，12240259k k n =− ……8分 由对称性，不妨令点M 位于第四象限，设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ，则1212tan ,tan ,tan 22y y m x x αβγ===−− 又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=− 由121211m k k m mk mk −−=++得2121212()(22)()0k k m k k m k k ++−−+= ……9分 代入整理得2235(2549)350nm n m n +−−=， ……10分则(57)(75)0nm m n −+=故75m n =（舍去）或者57n m =− ……11分所以直线2F M 的方程为5(2)7ny x =−−，令9x =得点(9,5)M n −故5'9n k =−，则5'9k k =−为定值.……12分 22.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．……1分21(1)1(1)(1)'()(1)ax a x ax x f x ax a x x x−++−−=+−+==． ……2分 ① 0a =时，1'()xf x x−=，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增；当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，故()(1)10f x f ≤=−<，无零点． ……3分 ② 0a <时，10ax −<，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增；当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，故max ()(1)12af x f ==−−，且0,x x +→→+∞时，均有()f x →−∞．若102a−−>即2a <−时，()f x 有两个零点；若102a−−=即2a =−时，()f x 有一个零点；若102a−−<即20a −<<时，()f x 无零点． ……4分③ 0a >时，若01a <<，则01x <<或1x a>时，'()0,()f x f x >均单调递增；11x a <<时，'()0,()f x f x <单调递减．而(1)10,2af x =−−<→+∞时，()f x →+∞，故()f x 有一个零点． 若1a =，则'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，且0x +→时，()f x →−∞，x →+∞时，()f x →+∞，故()f x 有一个零点．若1a >，同理可得，()f x 在1(0,),(1,)a +∞上单调递增，在1(,1)a上单调递减，111()ln 102f a a a =−−<，此时()f x 有一个零点． ……6分 综上得：当20a −<≤时，()f x 无零点；当2a =−或0a >时，()f x 有一个零点；当2a <−时，()f x 有两个零点．……7分 （2）当1a >时，由（1），任取,i j x x ()i j x x <，设1jix t x =>， 先证ln ln 2j ij ij ix x x x x x −>−+． 上述不等式即为2(1)ln 01t t t −−>+，设2(1)()ln 1t g t t t −=−+， 则22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t −=−=>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0g t g >=，即ln ln 2j i j i j ix x x x x x −>−+成立．……9分由()()i j f x f x =得：22311ln (1)ln (1)22i i i j j x ax a x x ax a x +−+=+−+， 所以ln ln ()(1)02i ji j i jx x ax x a x x −++−+=−， 所以2()(1)02i j i j ax x a x x ++−+<+， 即2()(1)()202i j i j ax x a x x +−+++<， 即[()1][()2]02i j i j ax x x x +−+−<，所以22i j x x a <+<，……11分即1213232222,2,2x x x x x x a a a<+<<+<<+<， 三式相加即得12333x x x a<++<．……12分。

江苏省无锡市锡山区2023届三下数学期末综合测试试题一、用心思考，我会选。

1．数一数下面的钱数，应该是（）．A．15.12元B．15.03元C．10.62元D．10.53元2．闰年每年有（）天。

A．366 B．365 C．3673．（）÷3=103……1．A．309 B．311 C．3074．积的末尾有2个0的算式是（）。

A．50×30 B．50×40 C．50×605．4支球队，每2支球队之间都进行一场比赛．整个小组共赛（）场．A．12 B．8 C．6二、认真辨析，我会判。

6．678÷5的商是三位数。

（________）7．999千克比9吨重。

（____）8．周长相等的长方形和正方形，它们的面积也相等。

（_______）9．在0.47和0.49之间的小数只有0.48。

（________）10．□×8﹤365，□里最大能填45。

（________）三、仔细观察，我会填。

11．括号里填上合适的单位名称。

一只恐龙约重45（____）南京到北京的铁路长1100（____）一只鸡蛋约重60（_____）小华的体重是38（____），他家的住房占地面积是90（____）。

12．看图填一填．（1）新乡市区位于地图的中部，它的南面是（__________）和（__________），它的西北方向是（________）．（2）封丘县的东北方向是（_______）；原阳县位于延津县的（_________）方向；从卫辉市到封丘县，要向（_______）方向走．13．学校9：25上第二节课，一节课40分钟，（________）下第二节课。

14．一个数除以6，商是18，有余数，余数最大是（________），当余数最大时这个数是（________）。

15．看一看，涂色部分占整个图形的（___________），再涂（____________）个小格，涂色部分就占整个图形的78。

五年级上册期末数学综合试卷测试卷（及答案）一、填空题1．2.9×8.37的积里有( )位小数。

2．33.5÷11的商用循环小数表示是( )，保留两位小数约是( )，保留整数约是( )。

3．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

3.78( )3.78÷0.99 2.6×1.01( )2.60.75÷0.5( )0.75×28×2.37( )2.37×8⨯时，先算( )的积，再看因数一共有( )位小数，就从积的右边起数出4．在计算9.70.23( )位点上小数点。

5．乐乐看一本400页的故事书，已经看了4天，每天看x页，还剩( )页没看。

6．盒子里有4个红球，7个蓝球，任意摸一个球，摸到( )球的可能性大，摸到( )球的可能性小。

7．两个完全一样的三角形通过旋转平移转化成一个平行四边形，已知平行四边形的面积是30平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。

8．如图，拉动平行四边形框架，当拉成( )形后，它围成的图形面积最大，面积最大是( )cm2。

9．李叔叔用60米长的篱笆靠墙围了一个直角梯形小花园（如图），这个花园面积是( )平方米。

10．在一条长432米的小路一侧每隔24米栽一棵桃树，起点和终点处都要栽，一共需要桃树( )棵；每两棵桃树之间再栽一棵梨树，一共需要梨树( )棵。

11．小青的房间是个长3.8米，宽3.6米的长方形，如右图所示。

她列竖式计算了房间的面积。

结合下图，可以发现少算了（）的面积。

3.8⨯3.69.48A．②和③B．②和④C．③和④D．①和④12．下列算式中乘积最小的是（）。

A．99.99×99.98 B．999.9×999.8 C．999.9×9.9813．下面说法正确的是（）。

A．4.5x＋2是方程B．方程12÷x＝4的解是x＝3C．2a一定不等于2a D．数对（3，5）和（5，3）表示同一个位置14．下图中，各图形的面积（）。

五年级上册期末数学综合试卷测试卷（附答案解析）一、填空题1．1.6×1.32的积有( )位小数，2.03×1.17的积有( )位小数。

2．冬冬的座位在第2列第3行，用数对( )来表示。

3．一本故事书7.5元，50元钱最多能买( )本这样的故事书。

4．妈妈买了苹果和橙子各3.85kg，苹果每千克4.6元，橙子每千克5.4元。

妈妈买苹果和橙子一共花了( )元。

5．盒子里有大小相同的红球1个，白球12个，黄球3个，只摸一次，摸出( )球的可能性大。

6．如果a＝b，那么a－3＝b－( )，5a＝b＋( )。

7．一个三角形的高不变，要使面积扩大到原来的2倍，那么底要扩大到原来的( )倍。

8．如下图所示，把平行四边形从左边沿高剪下一个三角形平移到右边，就成了一个长8厘米，宽6厘米的长方形，原来平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米，面积是( )平方厘米。

9．如图，用割补的方法将梯形转化成三角形，如果梯形的面积是39平方厘米，高是5厘米，那么转化后三角形的底是( )厘米。

10．圆形花园的一周全长32m。

如果沿着这一圈每隔4m栽一棵树，共要栽( )棵。

11．下列式子的得数最大的是（）（a≠0）。

A．a÷0.2 B．a÷0.5 C．0.2a D．0.5a12．下面算式，与1.25×9.6不相等的是（）。

A．1.25×8×12 B．1.25×10－1.25×0.4 C．1.25×0.8×12 D．1.25×（9＋0.6）13．直角三角形中两个顶点的位置如图，第3个顶点位置错误的是（）。

A．（a＋2，b）B．（a，b＋3）C．（a，b＋4）D．（a＋3，b－2）14．推导梯形面积公式时，把两个完全一样的梯形转化成平行四边形，其方法是（ ）。

A ．旋转B ．平移C ．旋转和平移D ．对称15．如图，两条平行线间的三个图形，（ ）的面积最大。

六年级上学期期末数学综合试题测试题（附答案解析）一、填空题1．在括号里填上合适的单位名称。

一块橡皮的体积大约8( )。

一桶纯净水大约有15( )。

2．一根绳子长54m，剪去34m，还剩( )m；若把这根绳子剪去它的15，还剩( )m。

3．一块菜地和一块麦地共30公顷，菜地面积的12和麦地面积的13共13公顷，麦地是( )公顷。

4．甲、乙两人各有若干元，甲拿出自己钱数的15给乙后，两人的钱数相等。

乙的钱是甲的()()，甲的钱比乙多()()，甲的钱占两人总钱数的()()。

5．图中长方形和圆的面积相等，圆形周长是60厘米，阴影部分的周长是( )厘米。

6．一个等腰三角形的周长是40厘米，其中两条边的长度比是1∶2，这个等腰三角形的一条腰长是( )厘米。

7．小明买了3支铅笔和2支钢笔，钢笔的单价是铅笔的3倍。

1支钢笔的钱可以买( )支铅笔，假设钱全部用来买铅笔，可以买( )支。

8．小明买了2支钢笔和5支铅笔，一共用去了19.5元。

铅笔的单价是钢笔的15。

钢笔的单价是( )元，铅笔的单价是( )元。

9．用小棒按下图中的方式搭三角形。

如果搭100个这样的三角形，需要( )根小棒。

10．用小棒按照如下方式摆图形。

（1）想一想，摆出第6副图需要( )根小棒。

（2）照这样摆n个正六边形需要( )根小棒。

11．在一个扇形统计图中，经济作物的扇形圆心角是90︒，则经济作物种植面积占总面积的（ ）。

A ．14B ．16C ．1312．如果a 是一个大于零的自然数，那么下列各式中得数最大的是（ ）。

A ．a×78B ．a÷78C ．78÷a13．如果a ∶b ＝2∶5，b ∶c ＝4∶7，那么a ∶b ∶c ＝（ ）。

A ．8∶20∶35 B ．8∶10∶14 C ．2∶4∶7 D ．2∶5∶7 14．甲、乙两工厂生产零件的合格率都是95%，两个工厂生产零件的个数相比（ ）。

A ．甲工厂多B ．乙工厂多C ．一样多D ．无法比较15．a 与b 为互为倒数，55a b÷=（ ）。

综合测试卷(二)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z 满足z 2+4i=0,则|z|=( ) A.4 B.2 C.√2 D.1答案 B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z 2+4i=(a+bi)2+4i=a 2-b 2+(2ab+4)i=0,所以a 2-b 2=0且2ab+4=0,解得a=√2,b=-√2或a=-√2,b=√2,则|z|=√a 2+b 2=2.故选B.2.(2021海淀一模,1)已知集合A={1},B={x|x ≥a}.若A ∪B=B,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)答案 B 由A ∪B=B,得A ⊆B,从而有a ≤1,所以实数a 的取值范围是(-∞,1],故选B.3.(2020湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( ) A.79 B.29 C.49 D.59答案 A 设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A,所以P(A )=C 52C 102=29,因此P(A)=1-P(A )=1-29=79.故选A.4.(2022届广州10月调研,5)双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为x+2y=0,则C 的离心率为( )A.√52B.√3C.2D.√5答案 A 由题意得12=b a ,即a=2b,又∵b 2=c 2-a 2,∴5a 2=4c 2,∴e=c a =√52,故选A.5.(2021广州模拟,5)某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人数是35,则该班的学生人数是( )A.45B.50C.55D.60答案 B 由频率分布直方图得不低于60分的频率为(0.02+0.015)×20=0.70,∵不低于60分的人数是35,∴该班的学生人数是350.70=50.故选B.6.(2021百校大联考(六),9)已知向量a=(3,100),若λa =(3λ,2μ)(λ,μ∈R),则λμ=( )A.50B.3C.150D.13答案 C 根据题意得λa =(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以2μ=100λ,所以λμ=150,故选C.7.(2022届江苏省天一中学月考,6)若函数f(x)=sin(4x-φ)(0≤φ≤π2)在区间[0,π6]上单调递增,则实数φ的取值范围是( ) A.[π6,π4] B.[π4,π3] C.[π3,π2] D.[π6,π2] 答案 D 当x ∈[0,π6]时,-φ≤4x-φ≤2π3-φ.因为函数y=sin x 在[-π2,π2]上单调递增,且函数f(x)=sin(4x-φ)(0≤φ≤π2)在区间[0,π6]上单调递增,所以得{-φ≥−π2,2π3-φ≤π2,解得π6≤φ≤π2,所以实数φ的取值范围是[π6,π2]. 8.(2022届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F,G,H 分别为棱AB,BC,C 1D 1,A 1D 1的中点,若平面α∥平面EFGH,且平面α与棱A 1B 1,B 1C 1,B 1B 分别交于点P,Q,S,其中点Q 是棱B 1C 1的中点,则三棱锥B 1-PQS 的体积为( ) A.1 B.12 C.13 D.16答案 D如图所示,取AA1,CC1的中点N,M,连接NH,NE,MG,MF,由正方体的性质可知,NE∥GM,HG∥EF,HN∥MF,所以H,G,M,F,E,N六点共面,又因为平面α∥平面EFGH,所以平面PQS∥平面HGMFEN,又平面BB1C1C∩平面PQS=QS,平面BB1C1C∩平面HGMFEN=MF,所以QS∥MF,由M,F,Q为所在棱中点可知S为BB1的中点,同理可知,P 为A1B1的中点,所以B1P=B1Q=B1S=1,且B1P,B1Q,B1S两两垂直,所以三棱锥B1-PQS的体积为V=13×1×12×1×1=16,故选D.9.(2021八省联考,8)已知a<5且ae5=5e a,b<4且be4=4e b,c<3且ce3=3e c,则()A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c答案D因为ae5=5e a,a<5,所以a>0,同理b>0,c>0,令f(x)=e x x,x>0,则f '(x)=e x(x-1) x2,当0<x<1时, f '(x)<0,当x>1时, f '(x)>0,故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,因为ae5=5e a,故e55=e a a,即f(5)=f(a),又0<a<5,故0<a<1,同理可得 f(4)=f(b), f(3)=f(c),则0<b<1,0<c<1,因为f(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),所以0<a<b<c<1.故选D.10.(2022届宁夏期末,7)“a≥4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 若a ≥4,则Δ=a 2-4a=a(a-4)≥0,故方程x 2-ax+a=0有解,即二次函数f(x)=x 2-ax+a 有零点.若二次函数f(x)=x 2-ax+a 有零点,则方程x 2-ax+a=0有解,则Δ=a 2-4a ≥0,解得a ≥4或a ≤0.故“a ≥4”是“二次函数f(x)=x 2-ax+a 有零点”的充分不必要条件,故选A.11.(2022届黑龙江模拟,11)关于函数f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x,有下列命题:①对任意x 1,x 2∈R,当x 1-x 2=π时,f(x 1)=f(x 2)成立;②f(x)在区间[-π6,π3]上单调递增;③函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称;④将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得图象与函数y=2sin 2x 的图象重合.其中正确的命题是( )A.①②③B.②C.①③D.①②④答案 C f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x=cos 2x-√3sin 2x=2cos (2x +π3).因为x 1-x 2=π,所以f(x 1)=2cos (2x 1+π3)=2cos [2(x 2+π)+π3]=2cos (2x 2+π3)=f(x 2),故①正确;当x ∈[-π6,π3]时,2x+π3∈[0,π],所以函数f(x)在区间[-π6,π3]上单调递减,故②错误;f (π12)=2cos (2×π12+π3)=2cos π2=0,故③正确;将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后得到y=2cos [2(x +5π12)+π3]=-2cos (2x +π6)的图象,易知该图象与函数y=2sin 2x 的图象不重合,故④错误.故选C.12.(2022届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x 0,使得f(x 0)=-f(-x 0),则称点(x 0, f(x 0))与点(-x 0, f(-x 0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)={x 2+2x,x <0,mx +2,x ≥0的图象存在“隐对称点”,则实数m 的取值范围是( ) A.[2-2√2,0) B.(-∞,2-2√2] C.(-∞,2+2√2] D.(0,2+2√2]答案 B 由“隐对称点”的定义可知, f(x)={x 2+2x,x <0,mx +2,x ≥0的图象上存在关于原点对称的点,设函数g(x)的图象与函数y=x 2+2x,x<0的图象关于原点对称.令x>0,则-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x 2-2x,所以g(x)=-x 2+2x(x>0),故原问题等价于关于x 的方程mx+2=-x 2+2x 有正根,故m=-x-2x+2,而-x-2x +2=-(x +2x )+2≤-2√x ·2x+2=2-2√2,当且仅当x=√2时,取得等号,所以m ≤2-2√2, 故实数m 的取值范围是(-∞,2-2√2],故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021海淀一模,11)已知函数f(x)=x 3+ax.若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为2,则实数a 的值是 . 答案 -1解析 由题意得f '(x)=3x 2+a,所以f '(1)=3+a=2,从而得a=-1.14.(2022届广西北海模拟,15)函数f(x)=(1+√3tan x)cos x 的最小值为 . 答案 -2解析 f(x)=(1+√3tan x)cos x=cos x+√3sin x=2sin (x +π6)(x ≠π2+kπ,k ∈Z),∵sin (x +π6)∈[-1,1],∴f(x)=2sin (x +π6)∈[-2,2],∴函数f(x)=(1+√3tan x)cos x 的最小值为-2. 15.(2018北京文,14,5分)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;c a的取值范围是 . 答案π3;(2,+∞) 解析 依题意有12acsin B=√34(a 2+c 2-b 2)=√34×2accos B,则tan B=√3,∵0<∠B<π,∴∠B=π3.c a =sinC sinA =sin (2π3-A )sinA =12+√3cosA 2sinA =12+√32·1tanA, ∵∠C 为钝角,∴2π3-∠A>π2,又∠A>0,∴0<∠A<π6,则0<tan A<√33,∴1tanA >√3,故c a >12+√32×√3=2. 故ca的取值范围为(2,+∞). 16.(2021四川南充二模,16)设函数f(x)=x+e |x|e |x|的最大值为M,最小值为N,下述四个结论:①M+N=4;②M -N=2e ;③MN=1-1e 2;④M N =e -1e+1.其中所有正确结论的序号是 .答案 ②③解析 f(x)=1+x e |x|,设g(x)=xe |x|,可知g(x)为奇函数,其最大值和最小值互为相反数,当x>0时,g(x)=x e x ,g'(x)=1−xe x ,当0<x<1时,g(x)单调递增,当x>1时,g(x)单调递减,可知x=1时,g(x)取得极大值1e ,也为最大值,由g(x)为奇函数可知,当x<0时,g(x)的最小值为-1e ,则M=1+1e ,N=1-1e ,则M-N=2e ,M+N=2,MN=1-1e 2,M N =e+1e -1.故答案为②③.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(一)必做题17.(2021湘豫名校联盟4月联考,17)在△ABC 中,已知内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且bsin A=acos (B -π6).(1)求B;(2)若c=5,b=7,求△ABC 的周长.解析 (1)由bsin A=acos (B -π6)及正弦定理,得sin Bsin A=sin Acos (B -π6),因为sin A ≠0,所以sin B=cos (B -π6),即sin B=√32cos B+12sin B,即sin (B -π3)=0, 由于0<B<π,所以-π3<B-π3<2π3,所以B-π3=0,所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B 及已知,得a 2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍), 故△ABC 的周长为a+b+c=8+7+5=20.18.(2014北京文,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC,AA 1=AC=2,BC=1,E,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE; (3)求三棱锥E-ABC 的体积.解析 (1)证明:在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC,BB 1∩BC=B,所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又因为AB ⊂平面ABE,所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明:取AB 的中点G,连接EG,FG.因为G,F 分别是AB,BC 的中点, 所以FG ∥AC,且FG=12AC.因为AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,且E 为A 1C 1的中点, 所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE,C 1F ⊄平面ABE, 所以C 1F ∥平面ABE.(3)因为AA 1=AC=2,BC=1,AB ⊥BC, 所以AB=√AC 2-BC 2=√3. 所以三棱锥E-ABC 的体积V=13S △ABC ·AA 1=13×12×√3×1×2=√33. 19.(2022届山东济宁一中开学考,18)为提高教育教学质量,越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式.某校对高一新生是否适应寄宿生活十分关注,从高一新生中随机抽取了100人,其中男生占总人数的40%,且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活,女生中不适应寄宿生活的人数占高一新生抽取总人数的32%,学校为了调查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关,构建了如下2×2列联表:不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生 女生 合计(1)请将2×2列联表补充完整,并判断能否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关; (2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层随机抽样的方法随机抽取10人,再从这10人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”的人数为X,求随机变量X 的分布列及数学期望. 附:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.63510.828解析 (1)根据题意填写列联表如下:不适应寄宿生活适应寄宿生活合计 男生 8 32 40 女生 32 28 60 合计4060100K 2=100×(8×28−32×32)240×60×40×60≈11.11,因为11.11>6.635,所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关.(2)用分层随机抽样的方法随机抽取10人,有2人不适应寄宿生活,8人适应寄宿生活, 所以随机变量X 的可能取值是0,1,2,P(X=0)=C 82C 102=2845,P(X=1)=C 81·C 21C 102=1645,P(X=2)=C 22C 102=145,所以随机变量X 的分布列为X 012P28451645145数学期望E(X)=0×2845+1×1645+2×145=25.20.(2021河南尖子生诊断性考试,21)已知函数f(x)=e x-ax 2(其中e 为自然对数的底数,a 为常数). (1)若f(x)在(0,+∞)上有极小值0,求实数a 的值; (2)若f(x)在(0,+∞)上有极大值M,求证:M<a.解析 (1)f '(x)=e x-2ax.设f(x 0)=0(x 0∈(0,+∞)),则f '(x 0)=0.由{e x 0-ax 02=0,e x 0-2ax 0=0,解得x 0=2,a=e 24.经检验,a=e 24满足f(x)在(0,+∞)上有极小值,且极小值为0.故a=e 24.(2)证明:设f(x)在(0,+∞)上的极大值点为x 1,则f '(x 1)=0,即e x 1-2ax1=0,则有a=e x 12x 1. 此时M=f(x 1)=e x 1-a x 12.故M-a=e x 1-a x 12-a=e x 1-a(x 12+1)=e x 1-(x 12+1)·e x 12x 1=e x 1·[1−12(x 1+1x 1)]≤0(当且仅当x 1=1时取等号).而当x 1=1时,a=e 2,f '(x)=e x -ex,f ″(x)=e x-e,x ∈(0,1)时,f ″(x)<0,x∈(1,+∞)时,f ″(x)>0.则f '(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f '(1)=0.则f '(x)≥f '(1)=0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)在(0,+∞)上无极值. 与已知条件矛盾,故x 1≠1,则M-a<0,即M<a.21.(2021湖南六校4月联考,21)已知A,B 分别为椭圆E:x 2a 2+y 23=1(a>√3)的左,右顶点,Q 为椭圆E 的上顶点,AQ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1. (1)求椭圆E 的方程;(2)已知动点P 在椭圆E 上,定点M (-1,32),N (1,−32).①求△PMN 的面积的最大值;②若直线MP 与NP 分别与直线x=3交于C,D 两点,问:是否存在点P,使得△PMN 与△PCD 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.解析 (1)由题意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,√3),则AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-√3),由AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得a 2-3=1,解得a=2,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)①设P(2cos θ,√3sin θ),易知直线MN:y=-32x,即3x+2y=0,点P 到直线MN 的距离d=√3sinθ|√13=4√3|sin (θ+π3)|√13≤4√3913,又|MN|=√13,则S △PMN =12|MN|·d ≤2√3,即(S △PMN )max =2√3.②设P(x 0,y 0),由①知|MN|=√13,点P 到直线MN 的距离d 1=00√13,则S △PMN =12|MN|·d 1=12|3x 0+2y 0|.直线MP:y=y 0-32x 0+1(x+1)+32,令x=3,可得C (3,4y 0-6x 0+1+32);直线PN:y=y 0+32x 0-1(x-1)-32,令x=3,可得D (3,2y 0+3x 0-1-32),则|CD|=|(3x 0+2y 0)(x 0-3)x 02-1|,又P 到直线CD 的距离d 2=|3-x 0|,则S △PCD =12|CD|·d 2=12|3x 0+2y 0x 02-1|·(3-x 0)2,∵△PMN 与△PCD 的面积相等,∴12|3x 0+2y 0|=12|3x 0+2y 0x 02-1|·(3-x 0)2,故3x 0+2y 0=0(舍)或|x 02-1|=(3-x 0)2,解得x 0=53,代入椭圆方程得y 0=±√336,故存在点P 满足题意,点P 的坐标为(53,√336)或(53,-√336). (二)选做题(从下面两道题中选一题做答)22.(2021郑州一中周练(二),22)已知平面直角坐标系xOy,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为(3,π3),曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos (θ-π3).(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程;(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 的中点M 到直线l:ρcos θ+2ρsin θ=2√3的距离的最小值. 解析 (1)点P 的直角坐标为(32,3√32).由ρ=2cos (θ-π3)得ρ2=ρcos θ+√3ρsin θ①,将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,ρsin θ=y 代入①,整理可得曲线C 的直角坐标方程为(x -12)2+(y -√32)2=1.(2)直线l:ρcos θ+2ρsin θ=2√3的直角坐标方程为x+2y-2√3=0.设点Q 的直角坐标为12+cos θ,√32+sin θ, 则M (1+cosθ2,√3+sinθ2), 所以点M 到直线l 的距离d=|(1+cosθ2)+2(√3+sinθ2)-2√3|√12+22=2√5=√5sin(θ+φ)|2√5,其中tan φ=12.所以点M 到直线l:ρcos θ+2ρsin θ=2√3的距离的最小值为0. 23.(2021山西运城月考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|. (1)解不等式f(x)≤6;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的最小值为m,若a,b,c ∈R,且a+2b+3c-m=0,求a 2+b 2+c 2的最小值.解析 (1)f(x)={ -3x,x ≤−1,-x +2,−1<x <12,3x,x ≥12.当x ≤-1时,令f(x)≤6,解得x ≥-2,则-2≤x ≤-1; 当-1<x<12时,令f(x)≤6,解得x ≥-4,则-1<x<12;第 11 页 共 11 页 当x ≥12时,令f(x)≤6,解得x ≤2,则12≤x ≤2. 所以-2≤x ≤2.故f(x)≤6的解集为[-2,2].(2)g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+2|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-(2x+2)|=3, 当且仅当(2x-1)(2x+2)≤0时取“=”,∴m=3,∴a+2b+3c=3.由柯西不等式得(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=9,整理得a 2+b 2+c 2≥914,当且仅当a 1=b 2=c 3,即a=314,b=37,c=914时“=”成立,故a 2+b 2+c 2的最小值是914.。