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21.4二次函数的应用第1课时二次函数的应用(1)1.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)的函数表达式是h=9.8t-4.9t2,那么小球运动中的最大高度h最大=.3.司机在驾驶汽车时,发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间,这段时间叫反应时间,之后汽车还会继续行驶一段距离.我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图).已知汽车的刹车距离s(单位:m)与车速v(单位:m/s)之间的关系是s=tv+kv2,其中t为司机的反应时间(单位:s),k为制动系数.某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化,对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试,已知该型号汽车的制动系数k=0.08,并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s.(1)若志愿者未饮酒,且车速为11m/s,则该汽车的刹车距离为m.(精确到0.1m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后,以17m/s的速度驾车行驶,测得刹车距离为46m.假如该志愿者当初是以11m/s的车速行驶,则刹车距离将比未饮酒时增加多少?(精确到0.1m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m/s至17m/s的速度行驶,且与前方车辆的车距保持在40m至50m之间.若发现前方车辆突然停止,为防止“追尾”,你的反应时间应不超过多少秒?(精确到0.01s)4.某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体表达式为w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:(1)求y与x的表达式.(2)当x取何值时,y的值最大?(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元?5.用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框,下部为矩形,上部为等腰直角三角形,其斜边长为2x m.当该金属框围成的图形面积最大时,图形中矩形的相邻两边长各为多少?请求出金属框围成的图形的最大面积.6.国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足表达式y1=170-2x,月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系.(1)直接写出y2与x之间的函数表达式;(2)求月产量x的范围;(3)当月产量x(套)为多少时,这种设备的利润W(万元)最大?最大利润是多少?7.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数y=-10x+500.(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)8.(创新应用)农民张大伯为了致富奔小康,大力发展家庭养殖业.他准备用40 m长的木栏围一个矩形的羊圈,为了节约材料同时要使矩形的面积最大,他利用了自家房屋一面长25m的墙,设计了如图所示的一个矩形羊圈.(1)请你求出张大伯的矩形羊圈的面积.(2)请你判断他的设计方案是否合理?如果合理,直接答合理;如果不合理又该如何设计?并说明理由.课后演练·能力提升答案：1.B由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=10.5,且a<0.又因为x=10秒离对称轴较近,当x=10秒时,y最大.2.4.9m3.解:(1)17.38(2)饮酒后,当v=17时,s=46,代入s=tv+0.08v2,得t≈1.35(s).若饮酒时的车速为11m/s,则刹车距离s=1.35×11+0.08×112=24.53(m).而未饮酒时的刹车距离为17.38m,所以增加24.53-17.38≈7.2(m).(3)由题意知,17t+0.08×172<40,解得t<0.99.所以反应时间应不超过0.99秒.4.解:(1)y=(x-50)·w=(x-50)·(-2x+240)=-2x2+340x-12000,∴y与x的表达式为y=-2x2+340x-12000.(2)y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,∴当x=85时,y的值最大.(3)当y=2250时,可得方程-2(x-85)2+2450=2250.解得x1=75,x2=95.根据题意,x2=95不合题意应舍去.∴当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元.5.解:根据题意可得:等腰直角三角形的直角边长为2x m,矩形的一边长为2x m.其相邻边长为20-(4+22)x=10-(2+2)x.2所以该金属框围成的面积S=2x ·[10-(2+ 2)x ]+12· 2x · 2x=-(3+2 2)x 2+20x (0<x<10-5 2).当x=3+2 2=30-20 2时,金属框围成的面积最大,此时矩形的一边长2x=60-40 相邻边长为10-(2+ 2)×10(3-2 2)=10 2-10(m),S 最大=100(3-2 2)=300-200 2(m 2). 6.解:(1)y 2=500+30x.(2)依题意得 500+30x ≤50x ,170-2x ≥90,解得25≤x ≤40.(3)∵W=x ·y 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x-500,∴W=-2(x-35)2+1 950.而25<35<40,∴当x=35时,W 最大=1 950(元),即月产量为35件时,利润最大,最大利润是1 950万元.7.解:(1)由题意,得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000.x=-b2a =35.答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润. (2)由题意,得-10x 2+700x-10 000=2 000. 解这个方程得x 1=30,x 2=40.答:李明想要每月获得2 000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵a=-10<0,∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时,w ≥2 000. ∵x ≤32,∴当30≤x ≤32时,w ≥2 000.设成本为P (元),由题意,得P=20(-10x+500)=-200x+10 000. ∵k=-200<0,∴P 随x 的增大而减小. ∴当x=32时,P 最小=3 600.答:想要每月获得的利润不低于2 000元,每月的成本最少为3 600元. 8.解:(1)40-25=15,故矩形的宽为152m .∴S 矩形ABCD =152×25=187.5(m 2).(2)不合理.理由是:设利用x m 的墙作为矩形羊圈的长,则宽为40-x 2m,设矩形的面积为y m 2,则y=x ·40-x 2=-12x 2+20x=-12(x-20)2+200.∵-1<0,∴当x=20时,y最大=200.2∵200>187.5,故张大伯的设计不合理,应利用20m墙,设计长为20m,宽为10m的矩形羊圈.。
