2015年秋人教版九年级数学上同步授课课件22.3实际问题与二次函数(1)

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人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数新课课件(共26张PPT)

（a≠0）
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当a>0时，抛；当
物线开口向上，有最低点，函数有最小值，是
a<0时，抛物线开口向下，有最高点，函数有最大值，是。
65 元时，利润最大，最大利润是即定价_________ ___________. 6250
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案．分析：我们来看降价的情况．（2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数式．降价x元时，每星期多卖18x件，实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60 －x )( 300+18x )，买进商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润 y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x ) 即当
y = －18x2+60x+6000
x
b 60 5 2a 2 (18) 3
由（1）（2）的讨论及现在的想做状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.
求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
最值当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
探究
构建二次函数模型解决一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

人教版数学九年级上册：22.3《实际问题与二次函数》 PPT课件(共32页)

例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米。
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大，最大面积是____________。
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大，最大面积是____________。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）。设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m）

人教版数学九年级上册《22.3实际问题与二次函数》课件 (共20张PPT)

解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (1)
15
时，
S有最大值 4ac b2 302 225.
4a 4 (1)
即当l是15m时，场地的面积S最大.
方法点拨
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ x
人教版数学九年级上册
22.3 实际问题与二次函数几何面积最值问题
学习目标
1.掌握几何问题中的相等关系的寻找方法。 2.学会应用函数关系式求图形面积的最值。 3.会应用二次函数的性质解决实际问题。
探究新知

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(1)课件

由(2)知，当x>3时，S 随x的增大而减小，
∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．
谢谢
A
D
B
C
2
b
30
因此，当l

15时，
2a
2 (1)
4ac b 2
302
S 有最大值

225.
4a
4 (1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S 最大.
lm
60
( l )m
2
0
15
l
新知探究
S
解答过程
（配方法）
225
解：矩形场地的周长是 60m ，一边长为 l m ，
6 x 15,
A
D
xm
B
C
(30 2 x)m
新知探究
b
30
当x

7.5时，
2a
2 (2)
4ac b
30
y有最大值

112.5.
4a
4 (2)
2
2
所以，当x =7.5时，y有最大值,为112.5.
也就是说，当AB长为7.5m，BC长为15m时，
菜园的面积最大，为112.5 m2 .
4a
4 (5)
顶点
h/m
h 30t 5t 2
40
(0 t 6)
20
∴小球运动时间是3s时，小球
最高.小球运动中的最大高度是
45m.
O
1
2
3
4
5
6
7
t/s

九年级数学上册22.3实际问题与二次函数课件(新版)新人教版

综上所述,当x=40时,y的值最大,最大值是7200.
(3)有46天销售利润不低于5400元.
【解题归纳】本题为二次函数与一次函数的实际应用,求解此类问题时一定要明白相应的等
量关系,如本题中的“每天销售利润=日销售量×(每件销售价格-每件成本)”.
第三页，共9页。
1.(2015·莆田中考)某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口,普通售票窗口从上午8点开放(kāifàng),而无人售票窗口从上午7点开放(kāifàng).某日从上午7 点至10点,每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的变化趋势如图 (1)所示,每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分,如图(2)所示.若该日截至上午9点,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同. (1)求图(2)中的抛物线的解析式; (2)若该日共开放(kāifàng)5个无人售票窗口,截至上午10点,两种窗口共售出的车票数不少于900张,则至少需要开放(kāifàng)多少个普通售票窗口?
∴m ≥5 5.∵m取整数,∴m≥6. 8
答:至少需要开放(kāifàng)6个普通售票窗口.
第五页，共9页。
考查角度2 根据(gēnjù)图象或表格判断函数关系
例2 (2015·黄陂区校级模拟)在“母亲节”期间(qījiān),某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的对应关系如图22 - 56所示. (1) 试判断y与x 之间的函数关系,并求出函数关系式; (2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (3)在(2)的前提下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.

人教版九年级上册数学课件：22.3实际问题与二次函数(1)

每降价一元，每星期可多卖出20件;若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于 60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
=－10(x－70)2+9000 当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大.
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：（3）－10x2＋1400x-40000=8000 解得：x1=60,x2=80
当x=60时，成本=40×[500－10（60－ 50）]
▪ 某种商品的进价为每件50元，售价为每件 60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
▪ (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
▪ (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
实际问题与二次函数
------最大利润问题
苍山县诚信中学
课件说明
▪ 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润等．这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要来研究利润问题．
课件说明
❖ 学习目标：能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大（小）值．
分析：y=(20+x)(300-10x)
10x2 100x 6000
怎样确定x 的取值范
围
10(x 5)2 6250 （0≤x≤30）
所以，每件商品涨价5元，即定价65元时，
能获得最大利润，最大利润是6250元.

人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章 22.3 实际问题与二次函数(第1课时)(共19张PPT)

（40-2x）米，所以矩形面积是：
BA
•
y=x（ 40-2x ）
• 解：矩形面积是：
25 m
•
y=x（ 40-2x ）
•
y=-2x2+40x （7.5 ≤ x ＜20） C D
• ∴当
x
b
=
10时，有最大面积
y 4ac b2 ．
2a
4a
•
• 答：…
=200
5．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠
(2)当x＝
时，S最大值＝
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
B
C
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
课堂小结
1.如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？ 2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？
7．布置作业
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多
少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面
积.
A: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x （0<x<6）
2．求最值般就求顶点。
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最值点，当 x b 时，
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最值 y 4ac b2 ．
2a
4a
4．运用新知，拓展训练

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（2）46.9万元=469000元，根据题意得 -40x2+400x+480000≤469000 即（x-5）2-300≥0 解得x≤-12.32，或x≥22.32 ∵由（1）知20≤x≤25，则22.32≤x≤25， ∴x能取23、24、25．所以只有3种方案： ①当x=23时，y=468040； ②当x=24时，y=466560； ③当x=25时，y=465000；答：如果小区投资46.9万元，能完成工程任务． x为整数的所有工程方案是： ①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560； ③当x=25时，y=465000．
（2）∵AB=x m ∴BC=28-x ∴S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196 ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是 15 m和6 m ∵28-15=13 ∴6≤x≤13 ∴当x=13时，S取到最大值为： S=-（13-14）2+196=195 答：花园面积S的最大值为195平方米．
1 2 B.S= a 4 1 C.S= 16 a2 1 2 D.S= a 8
课堂精讲知识点1 利用二次函数求图形面积的最值问题在日常生活中，经常遇到求某种图形的面积最大等问题，这类问题可以利用二次函数的图象和性质进行解决．也就是把面积最大问题转化为二次函数的最大值问题．求图形的面积时常会涉及线段及线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系式，转化为函数问题，就可以用函数的图象和性质来解决．解这类题时要注意自变量的取值范围，保证自变量和函数具有实际意义，遇到图形面积的最值问题，往往要联系二次函数的顶点坐标
解析：（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；（2）由题意可得出： S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
解：（1）∵AB=x m，则BC=（28-x）m ∴x（28-x）=192 解得 x1=12，x2=16 答：x的值为12 m或16 m.
【例1】（2014•成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m．（1）若花园的面积为192 m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是 15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
随堂检测 1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，若池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是（ B ） A.600 m2 B.625 m2 C.650 m2 D.675 m2 2.如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设每间羊圈的一边长为x （m），三间羊圈的总面积s （m2），则 s关于x的函数关系式是 s=-4x2+24x ，x的取值范围 0＜x＜6 ，当x= 3 时，s最大．
3.某小区有一长100 m，区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m，不大于 60 m．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．（1）设一块绿化区的长边为x m，写出工程总造价y与x的函数关系式（写出x的取值范围）. （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．（参考值： 3 1.732 ）
80 (100 2 x) 解：（1）矩形的宽为 =x-10， 2
∴y=50•x（x-10）•4+60[100×80-4x（x-10）] 即y=-40x2+400x+480000 ∵x＞0，x-10＞0，50≤100-2x≤60 即x的取值范围是20≤x≤25．答：工程总造价y与x的函数关系式是 y=-40x2+400x+480000，x的取值范围是 20≤x≤25．
22.3实际问题与二次函数(1)
课前预习 1.若正方形的周长为a cm，面积为S cm2，则S与以之间的函数关系式为（） C A.S=a2 2.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（ B ） A.25cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不确定 3.矩形的周长为20，一边长为x，面积为y，则y与x 的关系式是 y=x(10-x) .
解：（1）∵AB=x ∴BC=24-4x ∴S=AB•BC=x（24-4x） =-4x2+24x（0＜x＜6）（2）S=-4x2+24x=-4（x-3）2+36 ∵0＜x＜6 ∴当x=3时，S有最大值为36；
24 4 x 8 （3）∵ 24 4 x 0
∴4≤x＜6 ∴当x=4时，花圃的最大面积为32．
变式拓展 1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．