第八讲 直线运动中的追击和相遇问题(学生用)

直线运动中的“追及”与“相遇”问题作者：易教珍来源：《教师·下》2010年第05期直线运动中的“追及”与“相遇”是研究两个物体作相对运动时常常会涉及的两类问题,它们既有区别又有联系。

正确解决这两类问题的关键在于掌握两个物体的位置坐标及相对速度或两物体速度之间存在的特殊关系。

一、问题的物理情景1.“追及”问题(1)在“追及”问题中,只有当追及物的速度大于被追物的速度时才有追上的可能性。

若追及物做匀减速直线运动,而被追物做匀速直线运动或匀加速直线运动,在两者速度相等时,追及物没有追上被追物,则永远不能追上被追物;若追及物做匀速直线运动,被追物做匀加速直线运动,在两者速度相等时,追及物没有追上被追物,则永远追不上被追物。

总之,在追及问题中,只有追及物的速度大于被追物的速度时,两者间的距离才越来越小,反之,两者间的距离越来越大。

(2)追及物与被追及物的速度相等,是“追及”问题中的临界条件。

根据题目的不同条件,速度相等是两物体间距离最大、最小或者恰好追上而不相撞的临界点,应进行具体分析。

2.“相遇”问题两个运动物体相遇时,它们必定位于同一位置,对同一参考点而言,它们的位移相等。

在涉及“相遇”问题时,往往要分析两物体相遇的可能性,即在运动时间内是否存在相遇。

二、解答问题的一般方法例1在铁轨上有甲、乙两列列车,甲车在前,乙车在后,分别以速度v甲=15m/s,v乙=15m/s做同向匀速运动,当甲、乙间距为150m时,乙车开始刹车做匀减速运动,加速度大小为0.2m/s2,问:乙车能否追上甲车?错解乙车刹车后做匀减速直线运动,设其从刹车到停下来所用的时间为t,通过的位移为x乙,则t=v乙a乙=200s甲车在t=200s末离开乙车初始位置的位移为:x甲=15000+v甲t=4500m乙车在此时间内的位移为:x乙=■v乙t=■×40×200m=4000m所以乙车不能追上甲车。

正解由于乙车速度大于甲车的速度,因此,尽管乙车刹车后做匀减速直线运动,速度开始减小,当乙车的速度减为与甲车的速度相等时,若乙车的位移大于甲车相对乙车初始位置的位移,则乙车就一定能追上甲车。

直线运动中的追及和相遇问题一、追及问题匀速追匀减速一次相遇，则说明：①表中的Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；②x0是开始追及以前两物体之间的距离；③t2-t0=t0-t1;④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度.3、追及问题的分析思路（1）根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系．（2）通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．（3）寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等．利用这些临界条件常能简化解题过程．（4）求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．例1、甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶, 在某一时刻经过乙车身边, 此时乙车的速度为2m/s, 加速度为0.2m/s2, 若甲、乙两车同向运动, 乙车做匀变速直线运动. 求：(1) 当乙车的速度多大时? 乙车落后于甲车的距离最远? 这个最远距离是多大?(2) 当乙车的速度多大时, 乙车追上甲车? 乙车追上甲车用多少时间?针对训练1、甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车．从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离．(2)乙车追上甲车所用的时间．针对训练2、物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B 以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离．针对训练3、如图所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向做直线运动的υ－t图象，由图象可以看出（〕A．这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末B．这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末C．两物体相距最远的时刻是2s末D．4s末以后甲在乙的前面针对训练4、甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的v－t图象如图所示，关于它们的运动，下列说法正确的是( )A．甲车中的乘客说，乙车先以速度v0向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动B．乙车中的乘客说，甲车先以速度v0向西做匀减速运动，后做匀加速运动C．根据v－t图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐D．根据v－t图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐二、相遇问题1、分类第一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了.2、相遇问题的分析思路相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同．（1）列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系．（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系．（3）寻找问题中隐含的临界条件．（4）与追及中的解题方法相同例2、在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如图所示，当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而且超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。

匀变速直线运动应用--追及和相遇问题【学习目标】1、掌握追及及相遇问题的特点2、能熟练解决追及及相遇问题【自主学习】两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。

一、追及问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。

若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。

若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离 。

2、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度 ，即v v =乙甲。

(2)匀减速运动的物体A 追赶同向的匀速运动的物体B,初始时，B 在A 前方S 0处（刹车过程是否与前车相碰问题）。

关键判断当速度相等时的位移关系。

①若A 、B 速度相等时，若S A -S B <S 0 ，则追不上，此时两者之间的距离最小，两车不相碰。

②若A 、B 速度相等时，若S A -S B =S 0 ，则恰好追上，为临界状态，此时认为恰好不相碰。

③若A 、B 速度相等时，若S A -S B >S 0 ，则在两车速度达到相等之前就已经追上，两车会相碰。

⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。

判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。

②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。

③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

3、分析追及问题的注意点：⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

追击和相遇问题1．追及、避碰的条件追及的条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，在追及问题中常有以下三种情况：（1）匀加速直线运动的物体甲追赶同方向的匀速直线运动的物体乙．这种情形，甲一定能追上乙，在追上前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲＝v乙；（2）匀速直线运动的物体甲追赶同方向运动的匀加速的物体乙．这种情况存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即v甲＝v乙．此条件给出了一种判断此种追赶情形能否追上的方法，即通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来判断，具体方法是：假设在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上，若v甲＜v乙，则追不上．如果始终追不上，两物体速度相等时，两物体间距最小．（3）匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，同（2）中情形．2．解决追及、避碰问题的一般程序（1）分别对两物体运动过程进行分析，并在同一个图中画出物体的运动示意图．在图中标明相应的已知量．（2）根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程（或速度方程）．注意要将两物体运动时间的关系体现在方程中．（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程．（4）联立方程求解．3．分析追及避碰问题应注意的几个问题（1）抓住“一个条件，两个关系”．一个条件是两物体速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是指时间关系和位移关系．其中通过画运动示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处．（2）仔细审题，“抓字眼”．抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．（3）巧选参照系．若两物体中有一物体做匀速直线运动，则选择一个合适的物体为参照系，使两物体的运动转化成一个物体的运动，从而使题目得到简化．（4）注意运动图象的运用．［例1］甲、乙两车从同一地点同向行驶，但是甲车做匀速直线运动，其速度为v＝20 m/s，乙车在甲车行驶至距离出发地200 m处时开始以初速度为零，加速度为a＝2 m/s2追甲．求乙车追上甲车前两车间的最大距离．图2—7—6解析：解法1：乙车追甲车，开始乙车初速度为零，做加速运动，甲车在前以恒定速度做匀速运动，在开始一段时间里，甲车速度较乙车速度大，同样的时间里甲车通过的位移大，两车间距离必随时间延长而增大．当乙车速度大于甲车速度时，则两车间距离将逐渐变小，所以当两车速度相同时距离最大．设乙出发到两车速度相等，所用时间为t 1，则t 1＝220=a v s ＝10 s 设两车间最大距离为s m ＝s 0＋s 甲－s 乙，s m ＝s 0＋v 甲·t 1－21a ·t 12 ＝200＋20×10－21×2×102 ＝300 （m ）解法2:设乙车经时间t 时，甲、乙两车有最大距离，据题意有：s m ＝s 0＋vt －21a ·t 2＝200＋20t －21×2×t 2 由数学知识知，s m 有最大值s m ＝－t 2＋20t ＋200＝－（t －10）2＋300当t ＝10 s,s m ＝300 m ．解法3：以甲车为参照物，乙车相对甲车做初速度为v 0＝20 m/s （方向与甲车原来方向相反）的减速运动，加速度与乙车初速度方向相反，两车相距Δs ＝s 0＋s 2＝s 0＋v 0t －21at 2＝200＋20×t －21×2t 2 Δs 何时最大，可由数学知识确定．s m ＝200＋20t －t 2＝－（t －10）2＋300所以当t ＝10 s 时，s m ＝300 m ．图2—7—7解法4：做出甲、乙两车的v －t 图象，如图2—7—7．据图线与横轴所围面积的大小可知物体位移的大小 ．在0~t 1这段时间内，甲车的“面积”大于乙车的“面积”，即同样时间内，甲车通过的位移大于乙车的位移，所以0~t 1这段时间两车间的距离一直是增大的，图中的阴影线可表示两车间的距离．当t ＞t 1，由图中看出在同样时间内乙车的位移大于甲车的位移，所以当t 1以后的时间内两车间的距离是逐渐缩小的，即t 1时刻v 甲＝v 乙，两车间距离最大，0—t 1两车间增加的距离Δs ＝21·v ·t 1＝21·v ·a v ＝22202⨯ m ＝100 m 原来两车相距为：s 0＝200 m 两车间最大距离：s ＝s 0＋Δs ＝200 m ＋100 m ＝300 m点评：（1）分析运动过程得出“隐含条件”速度相等距离最大，是解决追及问题的关键．（2）运动学的追击、避碰问题有v －t 图象，求解各个物理量间的关系更形象、直观．［例2］甲、乙两车同时从同一地点出发，甲以16 m/s 的初速度、2 m/s 2的加速度做匀减速直线运动；乙以4 m/s 的初速度、1 m/s 2的加速度和甲车同向做匀加速直线运动．求两车再次相遇前两车的最大距离和两车相撞时运动的时间．解析：解法1：设甲车的初速度为v 甲,乙车的初速度是v 乙，甲、乙两车加速度的大小分别为a 甲和a 乙，两车速度相同时的运动时间为t ，由两车速度相等，有v 甲－a 甲·t ＝v 乙＋a 乙·t ．将v 甲＝16 m/s ，v 乙＝4 m/s ，a 甲＝2 m/s 2，a 乙＝1 m/s 2,代入上式，解得t ＝4 s ，此时两车相距Δs ＝s 甲－s 乙＝（v 甲t －21a 甲t 2）－（v 乙t ＋21a 乙t 2） ＝（16×4－21×2×42） m －（4×4＋21×1×42） m ＝24 m 设乙车追上甲车的运动时间为t ′，由两车位移相等（s 甲′＝s 乙′），有v 甲t ′－21a 甲t ′2＝v 乙t ′－21a 乙t ′2 代入已知数据解得t ′＝8 s 或t ′＝0（不合题意，舍去）．两车再次相遇前最大距离为24 m ，再次相遇时间为8 s ．解法2：据题意，甲车的位移s 甲＝v 甲t －21a 甲t 2， 乙车的位移： s 乙＝v 乙t ＋21a 乙t 2 则两车之间的距离为： Δs ＝s 甲－s 乙＝（v 甲t －21a 甲t 2）－（v 乙t ＋21a 乙t 2） ＝（v 甲－v 乙）t －21 （a 甲＋a 乙）t 2 ＝（16－4）t －21 （2＋1）t 2 ＝12t －23t 2 ＝24－23 （t －4）2 当t ＝4 s 时，Δs 有最大值．s max ＝24 m当s 甲＝s 乙，即当Δs ＝0时，解得t ＝8 s ，或t ＝0（不合题意）点评：（1）本题属于追及问题，若能做出甲、乙两车速度图象（如图2—7—8），易知当t ＝ 4 s 时，两车速度相同，两车之间距离最远（图中划斜线的三角形面积表示Δs ）,其值为24 m，当t＝8 s时两车再次相遇，此时它们的位移相等．（2）在平时学习中，从最基本的物理现象、物理过程入手，从分析简单的物理问题开始，真正掌握分析问题、解决问题的基本方法，养成良好的具体问题具体分析的学习习惯．图2—7—8［同类变式］由于扳道工的失误，有两列同样的客车各以72 km/h的速度在同一条铁路线上面对面向对方驶去．已知这种列车刹车时能产生的最大加速度为－0．4 m/s2，为了避免一场车祸的发生，双方司机至少要在两列车相距多远时同时刹车？答案：1000 m。

直线运动教学中追及和相遇问题
1.追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．
(2)若追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近．2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
3.解题突破点和方法：
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题．
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．(3)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．。

追及与相遇问题知识详解及典型例题精品知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系,所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律;追及、相遇问题常常涉及到临界问题,分析临界状态,找出临界条件是解决这类问题的关键;速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件;在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置;因此应分别对两物体研究,列出位移方程,然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出;解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系,这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据;1. 追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件;如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时,若二者速度相等了,还没有追上,则永远追不上,此时二者间有最小距离;若二者相遇时追上了,追者速度等于被追者的速度,则恰能追上,也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,其间速度相等时二者的距离有一个较大值;再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时,当二者速度相等时二者有最大距离,位移相等即追上;“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置,常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时,一定能追上,在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等,即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时,存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等,即v甲＞v乙,此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法,即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析,具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置,比较此时的速度大小,若v甲＞v乙,则能追上去,若v甲＜v乙,则追不上,如果始终追不上,当两物体速度相等时,两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时,情形跟第二种相类似;两物体恰能“相遇”的临界条件：两物体处在同一位置时,两物体的速度恰好相同;2. 相遇同向运动的两物体追及即相遇,分析同1;相向运动的物体,当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇;三. 解题方法指导：1. 解“追及”“相遇”问题的思路：解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法,即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路,例如考虑图象法等等;解题的基本思路是：① 根据对两物体运动过程的分析,画出物体的运动示意图；② 根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程;注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中;③ 由运动示意图找出两物体位移间关联方程;④ 联立方程求解;运动物体的追赶、相遇问题,一般解法较多：解析法、图象法、极值法等;应适当地做些一题多解的练习,以开启思路,培养发散思维的能力;但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主;通过适当的练习后,总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法,特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题,应在思考的基础上总结出临界状态的特点,找出临界条件;2. 分析“追及”“相遇”问题应注意：① 分析“追及”“相遇”问题时,一定要抓住一个条件,两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件,如“两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等”;两个关系是时间关系和位移关系;其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口,也是解题常用方法;因此,在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯,对帮助我们理解题意,启迪思维大有裨益;养成根据题意画出物体运动示意图的习惯;特别对较复杂的运动,画出草图可使运动过程直观,物理图景清晰,便于分析研究;② 分析研究对象的运动过程,搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段,各个阶段遵循什么规律,各个阶段间存在什么联系;特别是,若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否停止运动;③ 仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐合条件,如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等;往往对应一个临界状态,由此找出满足相应的临界条件;还要注意：由于公式较多,且公式间有相互联系,因此,题目常可一题多解;解题时要思路开阔,联想比较,筛选最简捷的解题方案;解题时除采用常规的公式解析法外,图象法、比例法、极值法、逆向转换法如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动等也是解题中常用的方法;典型例题例1 火车以速度v1向前行驶;司机忽然发现,在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车,它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动,于是他立即使车作匀减速运动,加速度大小为a,要使两车不致相撞,则a应满足的关系式为_____________________;分析：司机使火车作匀减速运动,当后面的火车与前方火车时的速度相等时,两车再也不能接近了,也就是后面的火车与前面火车的速度相等时,后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时,两车才不致相撞,本题解法中有四种;解法一：当两车速度相等时,两车没有相撞,以后再也不会相撞,前车减速的时间为t,则解法二：以前车为参照系,后车的速度为,当后车的速度减为零时,其位移小于s,两车不会相撞,即解法三：作出两车运动的速度—时间图像如图所示,由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差即图中阴影部分小于s时,两车不会相撞;即解法四：后车的位移为,前车的位移为,要使两车不相撞,即说明此二次函数无解,即以上四种解法中,以第二种解法最简捷;例2 甲、乙两车相距s,同时同向运动,乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动,甲在后面做加速度为a2、初速度为v的匀加速运动,试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系;解析：由于两车同时同向运动,故有v甲=v+a2t,v乙=a1t① 当a1<a2时,a1t<a2t,可得两车在运动过程中始终有v甲> v乙,由于原来甲在后,乙在前,所以甲、乙两车的距离在不断缩短,经过一段时间后甲车必然超过乙车,且甲超过乙后相距越来越大,因此甲、乙两车只能相遇一次；② 当a1=a2时,al t=a2t,可得v甲>v乙,因此甲、乙两车也只能相遇一次：③ 当a1>a2时,a1t>a2t,v甲和v 乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化,刚开始,a 1t 和a 2t 相差不大且甲有初速v 0,所以,v 甲>v 乙,随着时间的推移,a 1t 和a 2t 相差越来越大；当a l t —a 2t=v 0时,v 甲=v 乙,接下来a 1t —a 2t>v 0,则有v 甲<v 乙,若在v 甲=v 乙之前,甲车还没有超过乙车,随后由于v 甲<v 乙,甲车就没有机会超过乙车,即两车不相遇；若在v 甲=v 乙时,两车刚好相遇,随后v 甲=v 乙,甲车又要落后乙车,这样两车只能相遇一次；若在v 甲=v 乙前甲车己超过乙车,即已相遇过一次,随后由于v 甲<v 乙,甲、乙距离又缩短,直到乙车反超甲车时,再相遇一次,别两车能相遇两次;解法一：由于x 甲=v 0t+a 2t 2,x 乙=a 1t 2,相遇时有x 甲—x 乙=x,则：v 0t+a 2t 2－a 1t 2=x,a 1—a 2t 2—v 0t+x=0所以t= ①① 当a 1<a 2 时,①式t 只有一个正解,别相遇一次;② 当a 1=a 2 时,x 甲—x 乙= v 0t 十a 2t 2—a 1t 2=v 0t=x,所以t=,t 只有一个解,则相遇一次;③ 当a 1＞a 2 时,若<2a 1—a 2x,①式无解,即不相遇,若=2a 1—a 2x,①式t 只有一个解,即相遇一次;若＞2a 1—a 2x,①式t 有两个正解,即相遇两次;解法二：利用v —t 图象求解,① 当a 1<a 2时,甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：的I 和Ⅱ,其中划斜线部分的面积表示t 时间内甲车比乙车多发生的位移,若此面积为S,则t 时刻甲车追上乙车而相遇,以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多,所以只能相遇一次;② 当a1<a2时,甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的I和Ⅱ,讨论方法同①,所以两车也只能相遇一次;③ 当a1=a2时,甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和Ⅱ,其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移;若划实斜线部分面积小于S,则不能相遇；若划实斜线部分面积等于S,说明甲车刚追上乙车又被反超,则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于s,如图中0─t1内划实斜线部分的面积为S,说明t1时刻甲车追上乙车,以后在t1—t时间内,甲车超前乙车的位移为t1─t时间内划实斜线部分的面积,随后在t─t2时间内,乙车比甲车多发生划虚线部分的面积,如果两者相等,则t2时刻乙车反超甲车,故两车先后相遇两次;模拟试题1. 甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动,其速度图象由图所示,下列说法正确的是A. 甲做匀速直线运动,乙做匀变速直线运动B. 两物体两次相遇的时刻分别为2 s末和6 s末C. 乙在前4 s内的平均速度等于甲的速度D. 2 s后甲、乙两物体的速度方向相反2. 在足够长的平直公路上,一辆汽车以加速度a启动时,有一辆匀速前进的自行车以速度v从旁边经过,则以下说法正确的是A. 汽车追不上自行车,因为汽车启动时速度小B. 以汽车为参考系,自行车时向前匀速运动的C. 汽车与自行车之间的距离开始是不断增加的,直到两车速度相等,然后距离减小,直到两车相遇D. 汽车追上自行车的时间是3. 甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标,从此开始甲车一直匀速运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们经过下一个路标时速度又相等,则A. 甲车先通过下一个路标B. 乙车先通过下一个路标C. 丙车先通过下一个路标D. 条件不足,无法判断,若前车突4. 两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为v然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车的加速度开始刹车;已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为A. 1sB. 2sC. 3sD. 4s5. 汽车A在红绿灯前停住,绿灯亮起时起动,以 m/s2的加速度做匀加速运动,经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时,汽车B以8 m/s 的速度从A车旁边驶过,且一直以相同的速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始A. A车在加速过程中与B车相遇B. A、B相遇时速度相同C. 相遇时A车做匀速运动D. 两车不可能再次相遇6. 同一直线上的A、B两质点,相距s,它们向同一方向沿直线运动相遇时互不影响各自的运动,A做速度为v的匀速直线运动,B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动;若A在B前,两者可相遇______次,若B在A前,两者最多可相遇______次;7. 从相距30 km的甲、乙两站每隔15 min同时以30 km/h的速率向对方开出一辆汽车;若首班车为早晨5时发车,则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到辆从乙站开出的汽车;8. 一矿井深125m,在井口每隔一段时间落下一个小球,当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好到达井底,则：1相邻两个小球下落的时间间隔是 s；2这时第3个小球与第5个小球相距 g取10 m／s29. 如图,某时刻A、B两物体相距7m,A以4 m／s的速度向右做匀速直线运动,此时B的速度为10 m／s,方向向右,在摩擦力作用下以2 m/s2的加速度做匀减速运动;从该时刻经多长时间A追上B10. 一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加速到最大速度50 m／s,并能保持这个速度匀速行驶,问该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方2 000m处正以35 m／s的速度匀速行驶的汽车,至少需要多长时间11. A球自距地面高h处开始自由下落,同时B球以初速度v正对A球竖直上抛,空气阻力不计;问：1要使两球在B球上升过程中相遇,则v应满足什么条件2要使两球在B球下降过程中相遇,则v应满足什么条件12. 已知自行车速度为6m/s作直线运动,汽车从同时同地以初速10m/s,加速度a=－s2直线运行,试求自行车追上汽车前,两车的最大距离;13. 摩托车以速度v1沿平直公路行驶,突然驾驶员发现正前方s处,有一辆汽车正以v2<v1的速度开始减速,加速度大小为α2;为了避免发生碰撞,摩托车也同时减速;求其加速度至少需要多少14. 在某市区内,一辆汽车在平直的公路上以速度v向东匀速行驶,一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路,汽车司机发现前方有危险游客正在D处向北走,经 s作出反应,从A点开始紧急刹车,但仍将正步行至B处的游客撞伤,该车最终在C处停下;为了清晰了解事故现场,现以图示之：为了判断汽车司机是否超速行驶,并测出肇事汽车的速度v,警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的车以法定最高速度vm＝／s行驶在同一马路的同一地段,在肇事汽车的出事点B急刹车,恰好也在C点停下来,在事故现场测得AB＝ m、BC＝、BD= m;问：1该肇事汽车的初速度vA是多大2游客横过马路的速度是多大15. 如图所示,长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球,筒与球的总质量为4kg现对筒施加一竖直向下,大小为21N的恒力,使筒竖直向下运动,经t=时间,小球恰好跃出筒口;求：小球的质量;g=10m/s216. 如图所示,升降机以匀加速度a上升,当上升速度为v时,有一螺帽自升降机天花板上松落,已知天花板距升降机底面为hm,求落至底面的时间;17. 杂技演员把三只球依次竖直向上抛出,形成连续的循环,在循环中,他每抛出一球后,再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间,又接到下一个球,这样,在总的循环过程中,便形成有时空中有3个球,有时空中有两个球,而演员手中则有一半时间内有球,有一半时间内没有球;设每个球上升的高度为,取,求每个球每次在手中停留的时间是多少18. 某升降机以s的速度匀速上升,机内一人自离升降机地板高处将一小球释放,球与底板间的碰撞无任何损失,则第一次反弹的最高点比释放点高或低了多少19. 将两小石块A、B同时竖直上抛,A上升的最大高度比B的高出35m,返回地面的时间比B迟2s;问：1A、B的初速度分别为多少2A、B分别达到的高度最大值各为多少20. 甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上,车速分别为6m/s、8m/s、9m/s;当甲、乙、丙三车依次相距5m时,乙驾驶员发现甲车开始以1m/s2的加速度做减速运动,于是乙也立即做减速运动,丙车亦同样处理;如图所示;直到三车都停下来时均未发生撞车事故;求丙车减速运动的加速度至少应为多大试题答案1. B2. C3. B4. B5. C6. 1；27. 7辆8. ；35 m9. 8 s 10. 150 s11.1v0＞ 2＜v＜解析：两球相遇时位移之和等于h;即：gt2+vt－gt2=h 所以：t=而B球上升的时间：t1=,B球在空中运动的总时间：t2=1欲使两球在B球上升过程中相遇,则有t＜t1,即＜,所以v＞2欲使两球在B球下降过程中相遇,则有：t1＜t＜t2即＜＜所以：＜v＜12. 解析：画出两车v—t图象如图所示,可知,在自行车追上汽车前,二者速度相同时,相距最大,为阴影三角形面积;且由图可知,t=16s时,自行车追上汽车;13. 解：1如图甲所示,其相对位移为即甲2如图乙所示,当两车间距较小,即时,两车不发生碰撞的条件是,其相对速度为0,即二者有共同速度;因为,所以,由此可得摩托车的加速度为3如图丙所示,两车间距较大,即,汽车经过时间先停下,摩托车经时间后停下,这种情况下两车不发生碰撞的条件为;有这时摩托车的加速度为14.12l m／s 2 m／s15. 解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动,且加速度大于重力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动,小球跃出筒口时,筒的位移比小球的位移多一个筒的长度;设筒与小球的总质量为M,小球的质量为m,筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动,设加速度为a；小球做自由落体运动设在时间t内,筒与小球的位移分别为h1、h2球可视为质点,如图所示;由运动学公式得又有：,代入数据解得又因为筒受到重力M－mg和向下作用力F,据牛顿第二定律得16. 解：选升降机为参考系,螺帽受重力作用,相对加速度大小为g+a,竖直向下,相对运动可视为以g+a为加速度的自由落体,有所以为所求;17. 解：设一个球每次在手中停留的时间为,则手中连续抛出两球之间的时间间隔为,而对于同一个球,它连续两次自手中抛出的时间间隔则为;在这段时间内,此球有的时间停留在手中,则有的时间停留在空中,根据竖直上抛运动的规律得：代入数值得：∴ 球一次竖直上抛运动的时间,则它每次在手中停留时间为;18. 解：设从放球到球与底板相碰需要时间t,放球时,球与底板的距离为h,升降机速度为,在此期间球下降距离,升降机上升距离为,如图所示,因此有代入数据得解之得负根舍去这时球相对于地面的速度为而球相对于底板的速度由题意知,球与底板碰撞前后速度大小不变,即球被弹回时,球相对于底板的速度应为s;由于升降机质量较小球大得多,所以碰撞对升降机速度不影响,仍为向上,所以碰撞后小球相对于地面向上的速度由此可知球第一次上升的高度为因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为19. 解析：设A、B初速度分别为、,二者上升的最大高度分别为、,A、B上升到最高点所经历的时间依次为、;在最高点,有将两式代入得,由题意知所以20. 解：先研究两车行驶中的一种特殊临界状态,两车同时停下且刚好接触在一起;则1若,要使其同时停下则必然相碰;即是说仍要增大,按DC线所示规律变化,在D处时二者相距最近,如图所示;由题意知,有12如果,则还可再小些,二者不同时停下,停止时相对位移为,如图中线那样变化;有三式联立得 2将题中数据代入可得由1式得乙、丙两车间距由2式得一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A、B两列火车在同一轨道上同向行驶,A在前,速度为v A＝10m/s,B在后,速度为v B＝30m/s,因大雾能见度低,B车在距A车500m时,才发现前方有A车,这时B车立即刹车,但要经过1800mB车才能停下,问：1车若要仍按原速前进,两车是否相撞试说明理由;2B在刹车的同时发出信号,A车司机在收到信号后加速前进,A车加速度为多大时,才能避免事故发生不计信号从A传到B的时间第一问的解法如下：解：先求B车从刹车到停下来所需时间t Bs0s As B由s B =21v B ·t B 得 B A A ’ B ’ t B =vB sB 2 =2×301800s=120s 再求在相同的时间内A 车通过的位移s As A =v A ·t B =10×120m=1200m最后比较s A +s 0和s B 的大小关系即可判断结果由于s A +s 0=1200+500m=1700m 故s A +s 0＜s B 由位置关系图可知两车会相撞;提问1：通过上面的计算我们知道两车能相撞,试问它们何时相撞解：设B 车刹车后经过时间t 两车相遇,依题意有s A +s 0=s B而s A =v A ·t,s B =v B ·t+21at 2其中a 为B 车刹车过程中的加速度,根据已知条件很易求出a ＝s 2,将s A 、sB 的表达式代入上式解得t 1=31s, t 2=129s提问2：为什么有两个解t 2是否有意义答：A 、B 两车相撞两次,第一次是B 车追上A 车,第二次是A 车追上B 车;两车只能相撞一次,故t 2没有意义;提问3：B 车追上A 车时,哪车的速度大答：B 车的速度大, 因为B 车从减速到和A 车的速度相等所需的时间为：t ’=avB vA - =2503010.--s=80s,因为t ’＞ t 1,故B 车的速度大; 提问4：若A 、B 两车相遇但不会相撞,A 车又追上B 车时,B 车的速度是多大从B 车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间答：由于B 车刹车后经过120s 后就停下来,故129s 时它的速度仍为零;由于B 车停止后不能往后倒,故第二次相遇所需时间为：t 2’=vA s sB 0- =105001800-s=130s;这是一个实际问题,要注意解的合理性; 提问5：若开始两车相距700m,试问两车是否会相撞答：由于s A +s 0=1200+700m=1900m,而s B =1800m,即s A +s 0＞s B ,故两车不会相撞; 提问6：若用第二种方法,即设B 刹车后经过时间t 两车相撞,方程是否有解呢答：由s A +s 0=s B 得v A ·t+ s 0=v B ·t+21at 2 即10t+700=移项并整理得t2-160t+5600=0该方程的判别式为△=1602-4×5600=3200＞0,故该方程有解,即相撞,并且有相遇两次的可能;原来先是B超过A,后来A又超过B,我们不能认为开始时A在B的前面,后来A仍在B的前面,就得出两车不相撞的结论;由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的;提问7：试问：若要使两车不相撞,开始时两车间的距离s0至少为多少解：设两车经过时间t后相撞,由位置关系易得出：1at2v A·t+ s0=v B·t +2即10t+s0=移项并整理得t2-160t+8s0=0要使两车不相撞,即要使该方程无解,即△＜０即1602-4×8s0＜0故s0＞800m,即开始时两车间的距离至少为800m;提问8：若两车刚好能相撞,相撞时两车的速度有何关系答：应该刚好相等,刚开始时B车的速度比A车的速度大,两车之间的距离减小,当两车的速度达到相等时,距离最小,之后两车之间的距离将变大,若速度相等时还没有相遇,则两车不会再相遇;若s0=800m时,解得t=80s,此时B车的速度为v B’ =v B +at=30+-025×80m/s=10m/s=v A;规律总结：求追及、相遇或相撞问题时,若问两物体能否相撞,一般是设经过时间t后两物体相撞,根据位移关系列出方程,它一般是关于t的二次方程,然后根据判别式的正、负或零来判断,若△≥０,则二者能相撞,若△＜０,则不能相撞；若问二者何时相撞,解法同上,但要注意解是否合理,是否是实际问题；若问能相遇几次,解出相遇所需的时间,有几个解,就能相遇几次,同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离,通常求出两物体速度达到相等时各自的位移,两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；也可设经过时间t后两者相距△S,根据位置关系写出△S的表达式,然后根据二次函数求极值的方法可以求出一般用配方的方法来求;这样,该题第二问的解法很易得出：设B 车刹车后经过ts 两车刚好相撞,则应有： s B = s A +s 0即v B ·t+21a B t 2=v A ·t 0+ v A t-t 0+ 21a A t-t 02+s 0 30t-81t 2=15+10+ 21a A 2+500刚好相撞,则△=0,解得a A =s 2。

高中物理追击、追及和相遇问题一、追击问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上，两者距离有极值的临界条件：1、做匀减速直线运动的物体追赶同向做匀速直线运动的物体.（1）两物体的速度相等时，追赶者仍然没有追上被追者，则永远追不上，这种情况下当两者的速度相等时，它们间的距离最小.（2）两物体的速度相等时，如它们处在空间的同一位置，则追赶者追上被追者，但两者不会有第二次相遇的机会.（3）若追赶者追上被追者时，其速度大于被追者的速度，则被追者还可以再追上追赶者，两者速度相等时，它们间的距离最大.2、初速度为零的匀加速直线运动追赶同向做匀速直线运动的物体.（1）追上前，两者的速度相等时，两者间距离最大.（2）后者与前者的位移大小之差等于它们初始位置间的距离时，后者追上前者.二、相遇问题1、同向运动的两物体追及即相遇.2、相向运动的物体，当各自发生位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇.例1、两辆车同时同地同向做直线运动，甲以4m/s的速度做匀速运动，乙由静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动. 求：（1）它们经过多长时间相遇？相遇处离原出发地多远？（2）相遇前两物体何时距离最大？最大距离多少？解析：（1）经过t时间两物体相遇，位移为s，根据各自的运动规律列出方程：代入数据可得t=4s，s=16m.（2）甲乙经过时间t＇它们之间的距离最大，则从上面分析可知应该满足条件为：，，解得：此时它们之间最大距离为什么当时，两车间的距离最大？这是因为在以前，两车间距离逐渐变大，当以后，，它们间的距离逐渐变小，因此当时，它们间的距离最大.例2、羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度为25m/s，并能保持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这一速度4.0s. 设猎豹距羚羊x时开始攻击，羚羊在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，则：（1）猎豹要在减速前追到羚羊，x值应在什么范围？（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围？解析：解决这类题目，关键是要读懂题目，比如：猎豹在减速前一共用了多长时间，减速前的运动是何种运动等等.（1）由下图可知，猎豹要在减速前追到羚羊：对猎豹：，对羚羊同理可得：，即；当x≤55m时，猎豹能在减速前追上羚羊（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，则：对猎豹：对羚羊：则：即：当x≤31.9m时，猎豹能在加速阶段追上羚羊.。

高中物理：直线运动中的追及相遇问题在高中物理试题考查中，如两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇等问题。

分析此类问题的关键是，两物体能否同时到达空间同一位置。

其基本思路如下：①分别对两物体进行研究②画出运动过程示意图③列出位移方程④找出时间关系，速度关系⑤解出结果，必要时进行讨论分析追及相遇问题时要注意一个临界，两个关系一个临界：两物体速度相等。

速度相等时有临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。

两个关系：时间关系和位移关系。

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等。

其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯。

注意：①同一位置不一定两物体的位移相等，要看是否从同一位置出发②同一时刻不一定两物体的运动时间相等，要看是否从同一时刻开始计时追击问题【第一类---小追大】速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。

①当两者速度相等时有最大距离。

② 当两者位移相等时，则追上。

【第二类---大追小】速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动）① 当两者速度相等时，追者位移追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。

② 若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。

③ 若两者位移相等时，追着速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，当速度相等时两者之间距离有一个最大值。

相遇问题：①同向运动的两物体追及即相遇。

②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇x－t图象：(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．v－t图象：(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。

专题追击和相遇问题一、目标⑴体会分析比较复杂的物理问题的方法⑵能灵活应用运动学公式和推论解决有关问题二、知识点追击和相遇问题的分析方法：1、选择同一参照物，分析物体的运动性质。

2、分析运动物体之间的时间关系、位移关系、速度关系、距离的变化等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，并利用这些关系列出方程。

追击问题中常用的条件：1、速度小的加速．．追速度大的匀速运动的物体，在追上之前，两个物体速度相等时，有最大距离。

2、速度大的减速．．追速度小的匀速运动的物体，在追不上的情况下，两个物体速度相等时，有最小距离。

即必须在此之前追上，否则就不能追上。

3、两个物体相遇时必须处于同一位置，它们的位移一定存在某种联系。

4、匀速运动的物体追赶匀减速运动的物体，要判断是在停止运动前追上，还是在停止运动后追上。

三、课堂练习1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？（2）此时距离是多少？2、汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度同方向做匀速直线运动，汽车至少应在距离自行车多远时关闭油门，做加速度为6m/s2的匀减速直线运动，汽车才不至于撞上自行车？3、一车处于静止状态，车后距车x0=25m处有一个人，当车以1m/s2的加速度起动时，人以6m/s的速度匀速追车，人能否追上车？若追不上，人车之间最小距离是多少？四、作业1、乙以10m/s的速度做匀速运动，同时甲从距乙出发地后面12m远的地方以4m/s2的加速度做初速度为零的匀加速直线运动追赶乙。

求：⑴当甲、乙速度相等时，甲离乙多远？⑵甲追上乙需要多长时间？此时甲通过的位移是多大？2、火车以30m/s的速度向前行驶，司机突然发现在其前方同一轨道上距离100m处有另一列火车，它正以20m/s的速度沿同一方向匀速运动，于是司机立即让火车做匀减速直线运动。