系统辨识与参数估计课程习题一、 选择题：答案唯一，在（ ）填入正确答案的编号。
1. 对于批量最小二乘格式L L L E Y +θΦ=，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ ）。
A. 输入序列}{k u 为“持续激励”信号B. L E 与TL L T L ΦΦΦ-1)(正交 C. L E 为非白噪声向量 D. 0}{=L E E2. 对象模型为Tk k k y e ϕθ=+时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为（ ）。
A. 1ˆT k k k k y εϕθ-=-B. 1ˆT k k k k y εϕθ-=-C. ˆT k k k k y εϕθ=-D. 11ˆT k k k k y εϕθ--=-3. 在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵k K 可以写成（ ）。
A. 11k k P ϕ--B. 1k k P ϕ-C. 1k k P ϕ-D. k k P ϕ 4. 可以同时得到对象参数和干扰噪声模型参数的估计算法是（ ）。
A. 辅助变量法B. 广义最小二乘法C. 最小二乘限定记忆法D. 相关最小二乘两步法 5. 增广最小二乘估计的关键是（ ）。
A. 将控制项增广进k ϕ中，并用残差项取代进行估计B. 将输出项增广进k ϕ中，并用残差项取代进行估计C. 将噪声项增广进k ϕ中，并用残差项取代进行估计D. 将噪声项增广进k ϕ中，并用输出项取代进行估计答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C ■ 二、 判断题：以○表示正确或×表示错误。
1．估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。
（ ） 2．最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。
（ ） 3．广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法交替试用。
（ ）4．在递推最小二乘算法中，若置0>==Tk P P P ，则该算法也能克服“数据饱和”现象，进而可适用于时变系统。
（ ）5．用神经网络对SISO 非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的三层前馈神经元网络结构。
（ ） 答案： 1. × 2. ○ 3. × 4. ○ 5. ×■三、 设y 和n 21x ,x ,x 之间满足关系)x a x a x a (ex p y n n 2211+++= ，试图利用y 和n 21x ,x ,x 的观测值来估计参数n 21a ,a ,a ，请将该模型化成最小二乘格式。
答案：θϕTn n 2211x a x a x a ln(y)z =+++==其中，[][]n 21T n 21Tx ,,x ,x a ,,a ,a ==ϕθ■四、 对于多输入单输出（MISO ）系统可由下面的模型描述k k k e u z B y z A +=---111)()(其中，k u 为系统的m ×1维输入向量；k y 为系统的标量输出；k e 为标量i.i.d 随机噪声；1-z 为延迟算子，即11--=k k y y z ；)(1-z A 为标量参数多项式，)(1-z B 为1×m 的参数多项式向量：a a n n z a z a z A ---+++= .1)(111b b n n z B z B B z B ---+++= .)(1101请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。
答案：根据题意，可写出最小二乘格式为：k Tk k e y +=θϕ其中，[]T n k T k T k n k k k T k bau u u y y y 12121,,;,,----------= ϕ1201,,,;,,,abT n n a a a B B B θ⎡⎤=⎣⎦因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为k=1,2,…,L ，则有批量最小二乘格式为：L L L E Y +Φ=θ其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=L L y y y Y 21，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΦT L T T L ϕϕϕ 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=L L e e e E 21从而，批量最小二乘估计公式为：L TL L T L Y ΦΦΦ=-1)(ˆθ递推最小二乘估计公式为：)ˆ(ˆˆ11---+=k T k k k k k y K θϕθθk k T k k k k P P K ϕϕϕ111--+=，kk Tk k Tk k k k k P P P P P ϕϕϕϕ11111----+-= 初始估计：0ˆ0=θ，I P 20γ=，2γ是一个充分大的正数。
计算流程为：（0） 给定0,,ˆ00=k P θ； （1） 量测1+k y ，组成Tk 1+ϕ； （2） 计算1+k K ；（3） 计算1ˆ+k θ； （4） 输出估计结果，并由误差限或数据长度L 来确定是否停止估计。
若条件满足，则停止估计；否则，继续进行。
（5） 计算1+k P ；（6） 1+⇐k k ，返回到（1）。
■五、 对于SISO 系统的数学模型k k k v u z B y z A +=---111)()(其中，k u 和k y 分别为系统的输入输出量，k v 为干扰噪声，)(1-z A 和)(1-z B 为参数多项式：a a n n z a z a z A ---+++= 1111)(b b n n z b z b b z B ---+++= 1101)(且b a n n >，1-z 为延迟算子，即11--=k k y y z 。
1． 对于量测k u 、k y ，N k ,2,1=，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详细公式。
2． 给出最小二乘法无偏估计的条件并加以证明。
3． 简述辨识动态系统数学模型的一般步骤。
答案：1．由题意可知，采用L 次测量的批量最小二乘格式可写为：N N N V Y +Φ=θ其中，12121,,;,,a b T k k k k n k k k n y y y u u u ϕ-------⎡⎤=---⎣⎦1201,,,;,,,abT n n a a a b b b θ⎡⎤=⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N N y y y Y 21，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΦT k T T N ϕϕϕ 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N N v v v V 21因此，最小二乘批量算法公式为：NT N N T N Y ΦΦΦ=-1)(ˆθ ■ 2．证明：[][][]))()()()()()ˆ(111N T N N T N NN T N N T N N T N N T N V E E V E Y E E ΦΦΦ+=+ΦΦΦΦ=ΦΦΦ=---θθθ当1)(-ΦΦN TN 和N TN V Φ不相关时，上式第二项为零，最小二乘估计为无偏估计，}{k v 为零均值独立随机序列时，此条件自然满足。
此时，)()ˆ(θθE E =。
■ 3．辨识动态系统数学模型的一般步骤为：Step1: 确定建模目的，并由工艺和物理/化学过程初步确定模型形式和结构； Step2: 试验设计：包括试验信号设计、采样周期选择、实验数据长度选定、试验方式（离线/在线）等；Step3: 实际系统试验，采集输入输出数据，并进行数据的预处理； Step4: 模型结构假设，选定阶次围；Step5: 选供适用算法进行参数估计，得到一组数学模型； Step6: 模型结构的确定，得到一个数学模型；Step7: 模型检验；根据检验结果，可能要从Step2到Step6中的任何一步重新做起。
Step8: 若模型检验合格，则得到最终模型。
■六、 某系统的动态模型为k k k k e bu ay y ++=-1，假设：系统是稳定的，且{}k e 和{}k u 都为零均值广义平稳随机序列。
采用辅助变量法进行参数估计，进行L 次量测，且L 充分大,试证明：0111L k k L L u u Z u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一个合适的辅助变量矩阵。
答案：证明：辅助变量法的计算公式为1111ˆ()()T T T TIV L L L L L LL L Z Z Y Z Z Y L Lθ--=Φ=Φ 根据题义有001111111k L TL L k k kL L L y u u u u Z y u u u u y u ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦1111111111LLi i i i i i L Li ii i i i y u u u y u u u ----==--==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑10111k L TL L k kL L y u u u Z Y y u u u y --⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎡⎤ ⎪⎢⎥=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭111Li i i Li i i y u y u -==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ 因{v k }、{u k }和{y k }均为是零均值广义平稳噪声序列，所以，(0)(0)1lim (1)(1)yu uu TL L L yu uu R R Z R R L →∞⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦ (1)1lim(0)yu TL L L yu R Z Y R L →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1ˆ(0)(0)(1)(1)(0)(1)1ˆlim lim ˆ(1)(1)(0)(1)(0)(0)yu uu yu uu uu yu IV L L yu uu yu yu yu yu a R R R R R R p p R R R R R R b θ-→∞→∞-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦---∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2(1)(1)(0)(0)1(1)(1)(0)uu yu uu yu yu yu yu R R R R R R R -⎡⎤=⎢⎥--+∆⎣⎦式中，(0)(1)(1)(0)yu uu yu uu R R R R ∆=--又相关函数[]k k-1(1)(0)(0)yu yu uu R E y u aR bR ==+[]k k (0)(1)(1)yu yu uu R E y u aR bR ==-+可得(1)(0)(0)(0)(1)(1)ˆˆ1lim ˆˆ(1)(0)(0)(0)(1)(1)uu yu uu uu yu uu N yu yu uu yu yu uu R aR bR R aR bR a a p b b R aR bR aR bR ϕ→∞⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥==⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎡⎤⎡⎤--++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可知，Z N 矩阵是一个合适的辅助变量矩阵。
■七、 在递推最小二乘估计中，新息的表达式为11,ˆ~---=k T k k k k y y θϕ。
