导数专题训练2

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)， F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． 综上，F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，得k ＝F ′(x )＝x －a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥－12x 20＋x 0(0<x 0≤3)恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即实数a 的最小值为12.2．(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值， 所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ， 故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)， 化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x ， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数， 知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3， 解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.3．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)， ∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )， 由f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3， 此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和(－a ，＋∞)．综上，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. 当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()－a ，＋∞. (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)， 当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0. 当x 变化时，h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )单调递增－2单调递减∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2， ∴a ≥－2，即a 的取值范围是[－2，＋∞)． 4．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1，不符题意； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1，不符题意． 综上，m 的取值范围是[－1,1]．5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0.解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0， 故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0， 故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点； 当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝ －a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14.a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点； b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点；c ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。

函数与导数解答题训练21．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D AB =.（1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.4．已知函数321()3f x x x ax =++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（1）求,a b 的值； （2）证明：()2 2.f x x ≤-1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．解：（1）因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即，由（1）知()[1,]f x e 在内单调递增，要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得.a e = 2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 解：（1）当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（2）22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：()f x ∴的单调递增区间是(,)2-∞,(),t -+∞，单调递减区间是(,)2t -.（2）若0,tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是(),t -∞-，(,)2t +∞，单调递减区间是(,)2tt -。

导数专题训练一.解答题(共30小題)1.(2018* 德阳模拟)函数f (x) =ln (x+1).(1)当xW ( - 1, 0)时，求证：f (x) <x< - f ( - x)；(2)设函数g (x) =e x - f (x) - a (aGR),且g (x)有两个不同的零点x】，x2 (x)<x2),①数a的取值围；②求证：Xi+x2>0.2.(2018・达州模拟)函数f (x) =lnx - ax t g (x)二x■-(2a+l) x+ (a+1) lnx.(1)当a=l时，求函数f (x)的极大值；(2)当a$l时，求证：方程f (x) =g (x)有唯一实根.3.(2018* 市模拟)函数f (x) =x - (a - 2) x-alnx (a^R).(I )求函数产f (x)的单调区间；(II )当时，证明：对任意的x>0, f (x) +e x>x2+x+2.4.(2018* 一模)函数f (x)二e" - ax・(1)讨论f (x)的单调性；(2)当x>0时，f (x) >ax2+l,求a的取值围.5.(2018-模拟)设M是满足以下条件的函数构成的集合：①方程f (x) -x=0有实数根;②函数f (x)的导数f r (x)满足0<f‘(x) <1.2/14(1)假设函数f〔X)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f (x) - x=o只有一个实根;(2)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)设函数f (x)为集合M中的元素，对于定义域中任意a, B，当丨a -2012 <1, B -2012 <1 时，证明:If ( a ) -f ( B ) I <2.6.(2018* 模拟)函数f (x) =ax+lnx (aGR).(I )假设a=2,求曲线y=f (x)在x=l处的切线方程；(][)求f (x)的单调区间；(III)设g (x) =x'-2x+2,假设对任意(0, +8),均存在x2C|0, 1],使得f (xj < g (x2),求a的取值围.7.(2018・模拟)函数f (x) =- lnx+2+ (a-l) x-2 (aWR).(1)求f (x)的单调区间；(2)假设a>0,求证：f (x) $ -.8.(2018-铁东区校级一模)设函数f (x) = (2-x) e\(1)求f(X)在x=0处的切线；(2)当x$0时，f (x) Wax+2,求a的取值围・9.(2018>江一模)函数f (x) =e x-2,其中e^2. 71828…是自然对数的底数.(I )证明：当x>0 时，f (x) >x - 1 >lnx；(II )设m为整数，函数g (x) =f (x) - lnx - m有两个零点，求m的最小值.10.(2018・模拟)函数f (x) =e x,直线1 的方程为y二kx+b, (k$R, bER).(1)假设直线1是曲线y=f (x)的切线，求证：f (x) $kx+b对任意xER成立;(2)假设f (x) Mkx+b对任意xe[o, +8)恒成立，数k, b应满足的条件.11・(2018>模拟)函数(其中a>0).(1)求函数f(X)的极值；(2)假设函数f (x)有两个零点x“ x2,求a的取值围，并证明(其中f r (x)是f (x)的导函数). 12.(2018* 株洲一模)函数f (x) =lnx+a (x - 1) " (a>0).(1)讨论f (x)的单调性；(2)假设f (x)在区间(0, 1)有唯一的零点x。

导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。

高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。

为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。

希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。

练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。

2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。

3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。

答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。

3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。

练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。

2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。

3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。

答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。

2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。

3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。

练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。

3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。

导 数 专题训练1．定积分ʃ10x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 2．已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( )A ．－eB ．eC ．－e 22 D ．4e 23．已知函数f (x )＝f ′(1)e e x ＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 4．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.1305．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (x ＋1)，x >0，12x ＋1，x ≤0，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( )A ．[3－2ln 2,2)B ．[3－2ln 2,2]C ．[e －1,2)D ．[e －1,2]6．已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f (p ＋1)－f (q ＋1)p －q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.()12，＋∞B.[)12，＋∞C.()24，＋∞D.[)24，＋∞ 7．y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5)8．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，e 28 B.⎝⎛⎦⎤0，e 24 C.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 9．已知函数f (x )＝e 2 018x ＋mx 3－m (m >0)，当x 1＋x 2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2] C.(]1，2 D ．(1，＋∞)10．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R)有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，－2≤x <0，e x ，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，e 2B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－13，1e D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e ，＋∞) 12． 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R)，g (x )＝xe x －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e 2＋e B.⎝⎛⎦⎤－2e ，－e e 2＋2 C.⎝⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e D.⎝⎛⎭⎫－e ，－ee 2＋213．若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.14．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.15．若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________．16．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba 的最小值为________． 所以b a 的最小值为－1e.导 数 专题训练答案1．定积分ʃ10x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 答案 A 解析 ∵y ＝x (2－x )，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分ʃ10x (2－x )d x 等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分ʃ1x (2－x )d x ＝π4.2．已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( ) A ．－e B ．e C ．－e 22 D ．4e 2答案 A解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x (2x －2)－ax ＝e x (x 2－2)－ax(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即ax ≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x (x 3－2x )，x >0，则 h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x >0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e. 3．已知函数f (x )＝f ′(1)e e x ＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得， f ′(x )＝f ′(1)e ·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x ＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.130 答案 D解析 f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln 3x －3a )2表示点M (x ，ln 3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln 3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝⎛⎭⎫13，0，所以曲线上点P ⎝⎛⎭⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN ＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (x ＋1)，x >0，12x ＋1，x ≤0，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( )A ．[3－2ln 2,2)B ．[3－2ln 2,2]C ．[e －1,2)D ．[e －1,2] 答案 A解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln(x ＋1)＝1时，得x ＋1＝e ，即x ＝e －1， 则满足0<n ≤e －1，－2<m ≤0，则ln(n ＋1)＝12m ＋1，即m ＝2ln(n ＋1)－2，则n －m ＝n ＋2－2ln(n ＋1)，设h (n )＝n ＋2－2ln(n ＋1)，0<n ≤e －1， 则h ′(n )＝1－2n ＋1＝n －1n ＋1，0<n ≤e －1，由h ′(n )>0，解得1<n ≤e －1， 由h ′(n )<0，解得0<n <1， 当n ＝1时，函数h (n )取得最小值 h (1)＝1＋2－2ln(1＋1)＝3－2ln 2， 当n ＝0时，h (0)＝2－2ln 1＝2； 当n ＝e －1时，h ()e －1＝e －1＋2－2ln(e －1＋1)＝e －1<2， 所以3－2ln 2≤h (n )<2，即n －m 的取值范围是[3－2ln 2,2)．6．已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f (p ＋1)－f (q ＋1)p －q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.()12，＋∞B.[)12，＋∞C.()24，＋∞D.[)24，＋∞ 答案 D解析 由已知p >q ，可得f (p ＋1)－f (q ＋1)>2(p －q )， f (p ＋1)>f (q ＋1)＋2p －2q ， f (p ＋1)－2p >f (q ＋1)－2q ， f (p ＋1)－2p －2>f (q ＋1)－2q －2， f (p ＋1)－2(p ＋1)>f (q ＋1)－2(q ＋1)． 令g (x )＝f (x )－2x ，则有g (p ＋1)>g (q ＋1)． 因为p ，q ∈(0,1)，所以p ＋1∈(1,2)，q ＋1∈(1,2)，又因为p >q ，所以g (x )＝f (x )－2x 在(1,2)上为单调递增函数，则g ′(x )＝f ′(x )－2＝ax ＋2－2x －2≥0在(1,2)上恒成立，即a ≥(x ＋2)(2x ＋2)在x ∈(1,2)时恒成立， 令h (x )＝(x ＋2)(2x ＋2)＝2⎝⎛⎭⎫x ＋322－12， h (x )在(1,2)上为增函数， 所以a ≥h (2)＝24.即a 的取值范围为[)24，＋∞.7．y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2，因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．8．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，e 28 B.⎝⎛⎦⎤0，e 24 C.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 答案 D解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t ＝am 2－e t m －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t (t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e 24，故选D.9．已知函数f (x )＝e 2 018x ＋mx 3－m (m >0)，当x 1＋x 2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2] C.(]1，2 D ．(1，＋∞) 答案 D解析 g (x )＝f (x )－f (1－x )＝(e 2 018x ＋mx 3)－[e 2 018(1－x )＋m (1－x )3]，则g ′(x )＝2 018[e 2 018x ＋e 2 018(1－x )]＋3m [x 2＋(1－x )2]>0， 据此可得函数g (x )单调递增， 又x 1＋x 2＝1，则不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)，即 f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (1－x 1)＋f (1－sin 2θ)，则f (x 1)－f (1－x 1)>f (1－sin 2θ)－f [1－(1－sin 2θ)]， 即g (x 1)>g (1－sin 2θ)，结合函数g (x )的单调性可得x 1>1－sin 2θ恒成立， 当sin θ＝0时，(1－sin 2θ)max ＝1，结合恒成立的条件可得实数x 1的取值范围是(1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R)有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 答案 D解析f (x )＝⎩⎨⎧e xx ，x >0，－exx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，－2≤x <0，e x ，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，e 2B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－13，1e D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e ，＋∞) 答案 B解析 函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 即方程f (x )＝ax －a 存在实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝a (x －1)的图象有交点，如图所示，作出f (x )图象，直线y ＝a (x －1)恒过定点(1,0)，过点(－2,1)与(1,0)的直线的斜率k ＝1－0－2－1＝－13，设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x 相切于点(x 0，0e x)， 则切点处的导数值为0e x，则过切点的直线方程为y －0e x ＝0e x(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，则－0e x＝0e x(1－x 0)， ∴x 00e x＝20e x，得x 0＝2， 此时切线的斜率为e 2，由图可知，要使函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 则实数a 的取值范围是a ≤－13或a ≥e 2.13． 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R)，g (x )＝xe x －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e 2＋e B.⎝⎛⎦⎤－2e ，－ee 2＋2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e D.⎝⎛⎭⎫－e ，－ee 2＋2答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋2ax ＋(2＋a )＝(2x ＋1)(ax ＋1)x(x >0)， 当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增． g (x )＝x e x －2，则g ′(x )＝1－x e x ， 当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，其中g (0)＝－2，g (1)＝1e －2，g (2)＝2e 2－2， 则函数g (x )在区间(0,2]上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，1e －2， f (x )＝g (x 0)在(0，e]上有两个不同的实数根，则必有a <0，且由f (x )的解析式有f (0)→－∞，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a－1， f (e)＝1＋a e 2＋(2＋a )e ，则满足题意时应有⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1>1e －2，f (e )＝1＋a e 2＋(2＋a )e ≤－2，－1a <e ，注意到函数f (x )＝ln x ＋x －1是单调递增函数，且f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e －2，据此可知方程ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1＝1e－2的唯一实数根满足－1a ＝1e ，即a ＝－e ，则不等式ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1>1e－2的解集为(－e ，＋∞)， 求解不等式1＋a e 2＋(2＋a )e ≤－2，可得a ≤－3＋2e e 2＋e . 求解不等式－1a <e ，可得a <－1e， 据此可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e . 13．若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ，∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2，∴f ′(x )＝6－4x ，∴f ′(0)＝6－4×0＝6.14．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.答案 －2ln 2解析 由题意可知，设切点为(x 0，y 0)，y ′＝e x ，由y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，得e x 0＝2，x 0＝ln 2，代入曲线得y 0＝0，然后将切点坐标代入切线得b ＝－2ln 2.15．若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________．答案 (－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞ 解析 由题意可得m ＝2x (2e x －y )(ln y －ln x )， 则1m ＝(2e x －y )(ln y －ln x )2x＝⎝⎛⎭⎫e －12·y x ·ln y x ， 令t ＝y x ()t >0，构造函数g (t )＝⎝⎛⎭⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝⎛⎭⎫e －t 2×1t ＝－12ln t ＋e t －12(t >0)， 设h (t )＝g ′(t )，则h ′(t )＝－12t －e t 2＝－t ＋2e 2t 2<0恒成立， 则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，当t ＝e 时，g ′(t )＝0，则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减，则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e 2， 据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e. 综上可得实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞.16．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________． 答案 －1e解析 因为函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，所以f ′(x )＝1x＋(e －a )，其中x >0， 当a ≤e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≤0不恒成立；当a >e 时，令f ′(x )＝1x ＋e －a ＝0，得x ＝1a －e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝1a －e时，f (x )取得最大值， 因为不等式f (x )≤0恒成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1≤0， 所以ln(a －e)＋b ＋1≥0，所以b ≥－1－ln(a －e)，所以b a ≥－1－ln (a －e )a，a >e ， 设F (x )＝－1－ln (x －e )x，x >e ， 则F ′(x )＝－1x －e x ＋1＋ln (x －e )x 2＝(x －e )ln (x －e )－e (x －e )x 2，x >e ，令H (x )＝(x －e)ln(x －e)－e ，则H ′(x )＝ln(x －e)＋1，由H ′(x )＝0，解得x ＝e ＋1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫e ＋1e ，＋∞时，H ′(x )>0，H (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，e ＋1e 时，H ′(x )<0，H (x )单调递减， 所以当x ＝e ＋1e时，H (x )取得最小值， 最小值为H ⎝⎛⎭⎫e ＋1e ＝－e －1e， 因为当x →e 时，H (x )→－e ，当x >2e 时，H (x )>0，H (2e)＝0，所以当x ∈(e,2e)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减， 当x ∈(2e ，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，所以当x ＝2e 时，F (x )取最小值F (2e)＝－1－12e ＝－1e， 所以b a 的最小值为－1e.。

导数专题训练题1．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，2．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．324．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件5． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< 6、 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．97、已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1的导函数为f ′(x )，f ′(0)＞0，f (x )与x 轴恰有一个交点，则'(1)(0)f f 的最小值为 ( )A ．2B ．32C ．3D ．528、 已知α、β是三次函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx 的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则b －2a －1的取值范围是( )A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭9、函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为 ( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)10. 设函数()322()311f x kx k x k =+--+在()0,4上是减函数，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．103k <≤C ．103k ≤<D ．13k ≤ 11. 点P 在曲线323y x x =-+上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[]0,πB ．30,,24πππ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C ．30,,224πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12. 方程5436151010x x x -++=的实解的集合中（ ）A ．至少有2个元素B ．至少有3个元素C ．至多有1个元素D ．恰好有5个元素13.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个15．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A (－3，0)∪(3，+∞)B (－3，0)∪(0，3)C (－∞，－3)∪(3，+∞)D (－∞，－3)∪(0，3) 16．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则( )A BC DA f (x )=g (x )B f (x )－g (x )为常数函数C f (x )=g (x )=0D f (x )+g (x )为常数函数 17. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A .(0)(2)2(1)f f f +<B .(0)(2)2(1)f f f +≤C . (0)(2)2(1)f f f +≥D . (0)(2)2(1)f f f +>18、 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数19.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 20.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件21．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .22． 幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )·⎣⎡⎦⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此方法可以探求得知y ＝x 1x(x >0)的一个单调递增区间为________23.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 .24. 设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________25. 设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 .26. 要做一个长方体的带盖的盒子，其体积为372cm ，其底面两邻边长之比为1:2，则盒子的长、宽、高各为多少时，才能使其表面积最小？27、设函数329()62f x x x x a =-+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 28、 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=。

导数及其应用专项训练一． 选择题1.若函数f (x )可导，则lim Δx →0(1)(1)2f x f x∆∆--等于( )A ．－2f ′(1) B.12 f ′(1) C ．－12f ′(1) D ．f ′12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 4.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 5．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C. ()()222sin sin x x x x x '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 6.若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 7.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 8. 函数2cos(2)3y x x π=-的导数为( )A ．22cos(2)sin(2)33y x x x x ππ'=---B ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---C ．2cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---D ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=-+-9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）11.已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.x －1 0 4 5 f (x )1221①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 12.函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(e ，＋∞) C. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭13.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )14.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．[1,2)15.设函数()2ln f x x x=+，则( ) A ．12x =为f (x )的极大值点 B ．12x =为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点16.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)17.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－1918.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 二． 填空题19.若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →000()()2f x f x x x∆∆-+ ＝________.20.一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 21.已知f (x )＝ln x 且()0201f x x '=，则x 0＝ . 22.函数()2(1)21xf x f x x '=+-，则f ′(0)＝________. 23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .24.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．25.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 26.函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________．27.若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 28.若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 29.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 30.若函数343y x ax =-+有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 31.若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________． 32.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.33.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为313812800080y x x =-+，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 34.已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .21()ln (0)2f x a x x a =+>12x x 、1212()()2f x f x x x ->-a三． 解答题35.已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形面积．36.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．37.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．38.已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．61.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)55.讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．。