二次函数压轴题专题一面积问题
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二次函数压轴题专题一 面积问题
【例1】如图,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .
(1)求抛物线和直线AB 的解析式;
(2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ;
(3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △P AB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB .
(1)求点B 的坐标;
(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△P AB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积;若没有,请说明理由.
2.如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,
△EFK的面积最大?并求出最大面积.
3.如图,已知:直线3
+
-
=x
y交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、
B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线3
+
-
=x
y上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,
求出点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等
于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
C
E
D
G
A
x
y
O B
F
4、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直线AD∥x轴,在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式;
(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值;
(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
5、如图,抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6、如图,已知抛物线212
y x bx c =++(b 、c 是常数,且c <0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴的负半轴交于点C ,点A 的坐标为(-1,0).
(1)b =______,点B 的横坐标为_______(上述结果均用含c 的代数式表示);
(2)连结BC ,过点A 作直线AE //BC ,与抛物线交于点E .点D 是x 轴上一点,坐标为(2,0),当C 、D 、E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点,连结PB 、PC .设△PBC 的面积为S .
①求S 的取值范围;
②若△PBC 的面积S 为正整数,则这样的△PBC 共有_____个.