《火线100天》2016中考数学(四川专版)复习集训：单元测试(一) 数与式

第3讲分式分式的概念分式概念形如AB(A、B是整式，B中含有①________，且B≠0)的式子叫做分式. 有意义的条件分母不为0.值为零的条件分子为0，且分母不为0.分式的基本性质分式的基本性质AB＝A×MB×M，AB＝A÷MB÷M(M是不为零的整式).约分把分式的分子和分母中的②________约去，叫做分式的约分.通分根据分式的③________，把异分母的分式化为④________的分式，这一过程叫做分式的通分.分式的运算分式的乘除法ab·cd＝acbd，ab÷cd＝ab·dc＝adbc.分式的乘方(ab)n＝a nb n(n为整数).分式的加减法ac±bc＝a±bc，ab±cd＝ad±bcbd.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的.【易错提示】分式运算的结果一定要化成最简分式．1．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．2．在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分．命题点1 分式有意义、值为零的条件(2014·某某)当分式1x －2有意义时，x 的取值X 围为________．当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不为零时，分式有意义；当分式的分子为零，且分式的分母不为零时，分式的值为零．1．当分式1x ＋5有意义时，x 的取值X 围为________． 2．(2013·某某)若分式x 2－1x ＋1的值为0，则实数x 的值为________． 3．(2014·凉山)分式||x －3x ＋3的值为零，则x 的值为() A ．3B ．－3C ．±3D ．任意实数命题点2 分式的运算(2015·某某)先化简：(2x 2＋2x x 2－1－x 2－x x 2－2x ＋1)÷x x ＋1，然后解答下列问题： (1)当x ＝3时，求原代数式的值；(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？【思路点拨】 (1)先进行括号内的异分母加减运算，再进行分式的除法运算；最后代数求值；(2)先假设原代数式的值等于－1，即是原式化简后的值为1，求出未知数x 的值，再看x 的值能否使原代数式有意义，若有意义，则能；否则不能．【解答】分式运算的常见技巧有：(1)式子中的某些分式的分子、分母能约分的可先约分，再按运算法则计算化简；(2)当括号外的因式与括号内的分母能约分时，可依照分配律先去括号，再化简计算．对于分式化简求值题目，还必须注意一点：未知数的取值不仅要使得所有分式的分母不为零，而且还要使除式的分子不为零，如本例第(2)小题．1．(2015·某某)化简x 2x －1＋11－x的结果是() A ．x ＋1B.1x ＋1 C ．x －1 D.x x －1 2．(2015·某某)化简：(a a ＋2＋1a 2－4)÷a －1a ＋2.3．(2015·某某)化简求值：2a a 2－4÷(a 2a －2－a)，其中a ＝3－2.1．(2015·某某)分式－11－x可变形为() A ．－1x －1B.11＋x C ．－11＋x D.1x －1 2．(2014·某某)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足() A ．x ≠2B ．x ≠－1C ．x ＝2D ．x ＝－13．(2014·某某)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为() A ．0 B ．1C ．－1D ．±14．(2015·某某)化简a 2＋2ab ＋b 2a 2－b 2－b a －b的结果是() A.a a －b B.b a －b C.a a ＋b D.b a ＋b 5．(2015·某某)如果分式2x x ＋3有意义，那么x 的取值X 围是________． 6．当x ＝________时，代数式1|x|－1无意义． 7．(2015·某某)若代数式x 2－5x ＋62x －6的值等于0，则x ＝________． 8．(2015·某某)化简2x ＋6x 2－9得________． 9．(2015·某某)计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________． 10．(2014·某某)化简(1－1x －1)÷x －2x 2－2x ＋1的结果是________． 11．(2015·眉山)计算：x 2－1x 2－2x ＋1÷x 2＋x x －1. 12．(2015·某某)化简：2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1.13．(2015·某某)化简：(1a －1－1a 2－1)÷a 2－a a 2－1.14．(2015·某某)计算：(a ＋2－5a －2)·2a －43－a.15．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.16．(2014·某某)已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则代数式b a ＋a b的值等于________． 17．(2015·凉山)先化简：(x ＋1x －1＋1)÷x 2＋x x 2－2x ＋1＋2－2x x 2－1，然后从－2≤x≤2的X 围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．18．(2015·达州)化简a a 2－4·a ＋2a 2－3a －12－a，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．参考答案考点解读考点1 ①字母考点2 ②公因式 ③基本性质 ④同分母各个击破例1 x≠2题组训练 1.x≠－5 2.1 3.A例2 (1)原式＝[2x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）－x （x －1）（x －1）2]·x ＋1x＝(2x x －1－x x －1)·x ＋1x＝x x －1·x ＋1x ＝x ＋1x －1. 当x ＝3时，原式＝3＋13－1＝2. (2)如果x ＋1x －1＝－1，那么x ＋1＝1－x ，解得x ＝0， 当x ＝0时，除式x x ＋1＝0，原式无意义， 故原代数式的值不能等于－1.题组训练1.A2.原式＝(a 2－2a a 2－4＋1a 2－4)·a ＋2a －1＝（a －1）2（a ＋2）（a －2）·a ＋2a －1＝a －1a －2. 3.原式＝2a （a ＋2）（a －2）÷a 2－a （a －2）a －2＝2a （a ＋2）（a －2）·a －22a ＝1a ＋2. 当a ＝3－2时，原式＝13－2＋2＝33. 整合集训基础过关1．D 2.A 3.C 4.A 5.x≠－3 6.±1 7.2 8.2x －3 9.a －2a10．x －111.原式＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2·x －1x （x ＋1）＝1x. 12.原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a －2＝2a a ＋1－2（a －1）（a ＋1） ＝2a ＋1. 13.原式＝[a ＋1（a －1）（a ＋1）－1（a －1）（a ＋1）]·（a －1）（a ＋1）a （a －1）＝a （a －1）（a ＋1）·（a －1）（a ＋1）a （a －1） ＝1a －1. 14.原式＝（a ＋2）（a －2）－5a －2·2（a －2）3－a＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a＝－2(a ＋3)＝－2a －6.15.原式＝[x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x －1）（x ＋1）]÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）·（x －1）（x ＋1）x ＋2 ＝2x ＋2. ∵2x －6＝0，∴x ＝3.当x ＝3时，原式＝25. 能力提升16．－317.原式＝(x ＋1x －1＋x －1x －1)·（x －1）2x （x ＋1）＋2（1－x ）（x ＋1）（x －1）＝2x x －1·（x －1）2x （x ＋1）－2x ＋1＝2（x －1）x ＋1－2x ＋1 ＝2x －4x ＋1. 满足－2≤x≤2的整数有：－2、－1、0、1、2，但是，x ＝－1、0、1时，原式无意义， ∴x ＝－2或2.当x ＝－2时，原式＝2×（－2）－4－2＋1＝－8－1＝8； 当x ＝2时，原式＝2×2－42＋1＝03＝0. 18.原式＝a （a ＋2）（a －2）·a ＋2a （a －3）＋1a －2＝1（a －2）（a －3）＋1a －2 ＝1＋a －3（a －2）（a －3） ＝a －2（a －2）（a －3） ＝1a －3. ∵a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数，∴1＜a ＜5，即a ＝2，3，4.当a ＝2或a ＝3时，原式没有意义，则a ＝4时，原式＝1.。

几何图形综合题几何图形综合题是某某各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 操作探究题(2015·某某)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．【思路点拨】(1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.∴△APP′是等腰直角三角形．(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，∴PP′＝ 2.∵P′B＝PD＝10，PB＝22，∴P′B2＝PP′2＋PB2.∴∠P′PB＝90°.∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°.∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°.(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M. ∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形．由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2.∴AM ＝AP ＋PM ＝3.在Rt △ABM 中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13.∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ ， ∴AQ ＝133. 在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝133.1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．1．(2015·某某)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝35，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C.图1 图2(1)如图1，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2．(2013·某某)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.(1)求△ABC的面积；(2)设AD ＝x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；(3)已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．类型2 动态探究题(2015·某某)如图1，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tanA ＝43. (1)求CD 边的长；(2)如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q(点Q 运动到点B 停止)，设DP ＝x ，四边形PQCD 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值X 围．【思路点拨】 (1)分别延长AD 、BC 相交于E ，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE 求解；(2)利用△EDC∽△EPQ 及S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC 求解．【解答】 (1)分别延长AD 、BC 相交于E.在Rt△ABE 中，∵tanA ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4. ∵BC ＝2，∴EC ＝2. 在Rt△ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝32＋42＝5.∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝65. (2)∵∠B＝∠ADC＝90°，∠E ＝∠E，∴∠ECD ＝∠A.∴tan ∠ECD ＝tanA ＝43. ∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85. 如图4，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴ED EP ＝DC PQ .∴8585＋x ＝65PQ ，即PQ ＝65＋34x. ∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ，∴y ＝12PQ ·EP －12DC ·ED ＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85＝38x 2＋65x. 如图5，当Q 点到达B 点时，EC ＝BC ，DC ∥PQ ，可证明△DCE≌△HQC，从而得CH ＝ED ＝85， ∴自变量x 的取值方X 围为：0＜x≤85.动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．1．(2013·某某)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q.①当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值；②当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)2．(2015·某某)如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD ＝8，AB ＝6，如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值X围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．3．(2015·某某)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N 在AD 边上时，若BN⊥HN，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN ＝NH ；(3)过点M 分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．类型3 类比探究题(2015·某某)已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE∽△CBF；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EF FC＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值； (3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF，进而证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求EF ，进而求CE ；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k 的式子表示出CE ，BF ，并建立CE 2，BF 2的等量关系，从而求出k ；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m ，n ，p 的关系．【解答】 (1)①∵∠ACE＋∠ECB＝45°，∠BCF ＋∠ECB＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF.又∵AC BC ＝CE CF＝2，∴△CAE ∽△CBF. ②∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝ 2.由△CAE∽△CBF 可得∠CAE＝∠CBF. 又∠CAE＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°. ∴EF ＝BE 2＋BF 2＝ 3. ∴CE ＝2EF ＝ 6.(2)连接BF ，同理可得∠EBF＝90°，由AB BC ＝EF FC ＝k ，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k∶k 2＋1. ∴AC BC ＝AE BF＝k 2＋1. ∴BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1. ∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k 2(BE 2＋BF 2)， 即32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.提示：连接BF ，同理可得∠EBF＝90°，过C 作CH⊥AB，交AB 延长线于H ，可解得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)，∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2. ∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．1．(2013·某某)阅读下列材料：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M ，N 分别在边AB ，DC 上，且MN∥AD，记AD ＝a ，BC AM MB ＝m n ，则有结论：MN ＝bm ＋an m ＋n. 请根据以上结论，解答下列问题：如图2，图3，BE ，CF 是△ABC 的两条角平分线，过EF 上一点P 分别作△ABC 三边的垂线段PP 1，PP 2，PP 3，交BC 于点P 1，交AB 于点P 2，交AC 于点P 3.(1)若点P 为线段EF 的中点．求证：PP 1＝PP 2＋PP 3；(2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论．[类比引申]如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD 满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探究应用]如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈)．参考答案 类型1 操作探究题 1．(1)①证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵B 1C ＝BC ，∴∠CB 1B ＝∠B.又由旋转性质得∠A 1CB 1＝∠ACB，∴∠CB 1B ＝∠A 1CB 1.∴BB 1∥CA 1.②过A 作AG⊥BC 于G ，过C 作CH⊥AB 于H.∵AB＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝CG.∵在Rt△AGB 中，cos ∠ABC ＝BG AB ＝35，AB ＝5， ∴BG ＝3.∴BC ＝6.∴B 1C ＝BC ＝6.∵B 1C ＝BC ，CH ⊥AB ，∴BH ＝B 1H.∴B 1B ＝2BH.∵在Rt△BHC 中，cos ∠ABC ＝BH BC ＝35， ∴BH ＝185.∴BB 1＝365.∴AB 1＝BB 1－AB ＝365－5＝115，CH ＝BC 2－BH 2＝62－（185）2＝245. ∴S △AB 1C ＝12AB 1·CH ＝12×115×245＝13225. (2)过点C 作CF⊥AB 于F ，以点C 为圆心，CF 为半径画圆交BC 于F 1，此时EF 1最小．此时在Rt △BFC 中，CF ＝245. ∴CF 1＝245.∴EF 1的最小值为CF －CE ＝245－3＝95. 以点C 为圆心，BC 为半径画圆交BC 的延长线于F ′1，此时EF′1有最大值．此时EF ′1＝EC ＋CF′1＝3＋6＝9.∴线段EF 1的最大值与最小值的差9－95＝365. 2.(1)证明：∵∠B 1CB ＝45°，∠B 1CA 1＝90°，∴∠B 1CQ ＝∠BCP 1＝45°.在△B 1CQ 和△BCP 1中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B 1CQ ＝∠BCP 1，B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B，∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1. (2)作P 1D ⊥CA 于D ，∵∠A ＝30°，∴P 1D ＝12AP 1＝1. ∵∠P 1CD ＝45°，∴CP 1＝2P 1D ＝ 2.∵CP 1＝CQ ，∴CQ ＝ 2.(3)∵∠ACB＝90°，∠A ＝30°，∴AC ＝3BC.∵BE ⊥P 1B ，∠ABC ＝60°，∴∠CBE ＝30°. ∴∠CBE ＝∠A.由旋转的性质可得：∠ACP 1＝∠BCE，∴△AP 1C ∽△BEC.∴AP 1∶BE ＝AC∶BC＝3∶1.设AP 1＝x ，则BE ＝33x ，在Rt△ABC 中，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝2.∴BP 1＝2－x.∴S △P 1BE ＝12×33x(2－x)＝－36x 2＋33x ＝－36(x －1)2＋36， ∵－36<0， ∴当x ＝1时，△P 1BE 面积的最大值为36. 3.(1)作AH⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°.在Rt△AHB 中，AH ＝AB·sinB ＝3×sin60°＝3×32＝332. ∴S △ABC ＝3×3232＝934. (2)如图1，，y ＝S △ADE .图1 作AG⊥DE 于G ，∴∠AGD ＝90°，∠DAG ＝30°.∴DE ＝x ，AG ＝32x. ∴y ＝x ×32x 2＝34x 2. 如图2，当1.5＜x ＜3时，作MG⊥DE 于G ，图2∵AD ＝x ，∴DE ＝AD ＝x ，BD ＝DM ＝3－x.∴DG ＝12(3－x)，MF ＝MN ＝2x －3. ∴MG＝32(3－x)． ∴y＝（2x －3＋x ）32（3－x ）2＝－334x 2＋33x －934. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧34x 2（0＜x≤1.5），－334x 2＋33x －934（1.5＜x ＜3）. ，y ＝34x 2，∵a ＝34＞0，开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴x ，y 最大＝9316，如图3，当1.5＜x ＜3时，y ＝－334x 2＋33x －934， ∴y ＝－334(x 2－4x)－934＝334(x －2)2＋334. ∵a ＝－334＜0，开口向下，∴x ＝2时，y 最大＝334.∵334＞9316， ∴y 最大时，x ＝2.图3∴DE ＝AD ＝2，BD ＝DM ＝1.作FO⊥DE 于O ，连接MO ，ME.∴DO ＝OE ＝1.∴DM＝DO.∵∠MDO＝60°，∴△MDO 是等边三角形．∴∠DMO ＝∠DOM＝60°，MO ＝DO ＝1.∴MO＝OE ，∠MOE ＝120°.∴∠OME ＝30°.∴∠DME ＝90°.∴DE 是直径，S ⊙O ＝π×12＝π.类型2 动态探究题1．(1)证明：∵BD⊥BE，A ，B ，C 三点共线，∴∠ABD ＋∠CBE＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CBE ＋∠E＝90°.∴∠ABD ＝∠E.又∵∠A＝∠C，AD ＝BC ，∴△DAB ≌△BCE(AAS)．∴AB＝CE.∴AC＝AB ＋BC ＝AD ＋CE.(2)①连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F.∵∠DPF＝∠QBF＝90°，∠DFP ＝∠QFB，∴△DFP ∽△QFB.∴DF QF ＝PF BF. 又∵∠DFQ＝∠PFB，∴△DFQ ∽△PFB.∴∠DQP ＝∠DBA.∴tan ∠DQP ＝tan ∠DBA.即在Rt△DPQ 和Rt△DAB 中，DP PQ ＝DA AB. ∵AD ＝3，AB ＝CE ＝5，∴DP PQ ＝35.②过Q 作QH⊥BC 于点H.∵PQ⊥DP，∠A ＝∠H＝90°，∴△APD ∽△HQP.∴DP PQ ＝DA PH ＝35.∵DA ＝3，∴PH ＝5. ∵AP＝PC ＝4，AB ＝PH ＝5，∴PB ＝CH ＝1. ∵EC⊥BH，QH ⊥BH ，∴EC QH ＝BC BH .∴5QH ＝34.∴QH ＝203. 在Rt△BHQ 中，BQ ＝BH 2＋QH 2＝（203）2＋（123）2＝4343. ∵MN 是△BDQ 的中位线，∴MN ＝2343. 2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)． (2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t.∴S＝12BP ·AD ＝12(6－t)·8＝－4t ＋24. 当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6.∴S＝12BP ·AB ＝12(t －6)·6＝3t －18. ∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）. (3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．若PE OE ＝CD CB 时，85t 45t ＋8＝68，PE OE ＝CB CD 时，85t 45t ＋8＝86，解得t ＝20. ∵0≤t≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上， 不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．若PE OE ＝CD BC 时，35t ＋614－15t ＝68，解得t ＝6. 若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t ＝86，解得t ＝19013. ∵6≤t ≤14，∴t ＝19013时，点P 不在边BC 上，不合题意． ∴当t ＝6时，△PEO 与△BCD 相似．3.(1)当点M 为AC 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 与点C 的重合时，BA ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 在AC 上且AM ＝2时，AM ＝AB ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 为CG 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形．(2)证明：在AB 上取点K ，使AK ＝AN ，连接KN.∵AB＝AD ，BK ＝AB －AK ，ND ＝AD －AN ，∴BK ＝DN.又DH 平分直角∠CDG，∴∠CDH ＝45°.∴∠NDH ＝90°＋45°＝135°.∵∠BKN ＝180°－∠AKN＝135°，∴∠BKN ＝∠NDH.∵在Rt△ABN 中，∠ABN ＋∠ANB＝90°，又BN⊥NH ，即∠BNH＝90°，∴∠ANB ＋∠DNH ＝180°－∠BNH＝90°.∴∠ABN ＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA)，∴BN ＝NH.(3)①当M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM＝t ，∴AF ＝FM ＝22t.∴S ＝12AF ·FM ＝12·22t ·22t ＝14t 2. 当M 在CG 上时，即22＜t ＜42时，CM ＝t －AC ＝t －22，MG ＝42－t.∵AD＝DC ，∠ADC ＝∠CDG，CD ＝CD ，∴△ACD ≌△GCD(SAS)．∴∠ACD＝∠GCD＝45°. ∴∠ACM ＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°. ∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos45°＝(42－t)·22＝4－22t. ∴S ＝S △ACG －S △MCJ －S △FMG ＝12×4×2－12·CM ·CM －12·FG ·FM ＝4－12·(t －22)2－12·(4－22t)2＝－34t 2＋42t －8. ∴S＝⎩⎨⎧14t 2（0＜t≤22），－34t 2＋42t －8（22＜t ＜42）. ②在0＜t≤22X 围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2； 在22＜t ＜42X 围内，S ＝－34(t －823)2＋83.当t ＝823时，S 的最大值为83. ∵83>2，∴当t ＝823秒时，S 的最大值为83. 类型3 类比探究题1．(1)证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S.∵BE 为角平分线，∴ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，同理FM ＝FN.∵ES⊥B A ，PP 2⊥AB ，∴PP 2∥ES.同理得PP 3∥FN ，FM ∥PP 1∥ER.∵点P 为EF 中点，PP 2∥ES ，∴△FPP 2∽△FES.∴ES ＝2PP 2，同理FN ＝2PP 3.∴FM ＝2PP 3，ER ＝2PP 2.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，FP PE ＝11， ∴根据题设结论可知：PP 1＝ER×1＋FM×11＋1＝ER ＋FM 2＝2PP 2＋2PP 32＝PP 2＋PP 3. (2)探究结论：PP 1＝PP 2＋PP 3.证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S ，则有ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，，不妨设FP PE ＝m n ，则PF EF ＝m m ＋n ，PE EF ＝n m ＋n .∵PP 2∥ES ，∴PP 2ES ＝PF EF ＝n m ＋n. ∴ES ＝m ＋n mPP 2.∵PP 3∥FN ，∴PP 3FN ＝PE EF ＝n m ＋n .∴FN ＝m ＋n n PP 3.∴ER ＝m ＋n m PP 2，FM ＝m ＋n nPP 3. 在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，PF PE ＝m n， ∴根据题设结论可知：PP 1＝mER ＋nFM m ＋n ＝m ·m ＋n m PP 2＋n ·m ＋n n PP 3m ＋n ＝（m ＋n ）PP 2＋（m ＋n ）PP 3m ＋n＝PP 2＋PP 3. 2.[发现证明]：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD 重合． ∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B ＝∠ADG，AE ＝AG ，BE ＝DG.∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF＝90°.∴∠ADG ＋∠ADF＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF.∴EF＝BE ＋FD.[类比引申]：∠EAF＝12∠BAD ， 理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠D AB 至△ADG，使AB 与AD 重合．∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B ＝∠ADG，AE ＝AG ，BE ＝DG.∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝12∠BAD. ∵在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF＝180°.∴∠ADG ＋∠ADF＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF＝12∠BAD，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD.[探究应用]：连接AF ，延长BA 、CD 交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°.∴△AOD 为直角三角形．在Rt△AOD 中，∠ODA ＝60°，∠OAD ＝30°，AD ＝80米．∴AO＝403米，OD ＝40米．∵OF＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403(米)，∴AO ＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF ＝45°－30°＝15°.∴∠EAF ＝90°－15°＝75°.∴∠EAF ＝12∠BAD. ∵∠BAE ＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B ＝60°，∴△BAE 为等边三角形． ∴BE＝AB ＝80米．由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝40(3＋1)≈109(米)．。

第6讲一元二次方程一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①________个未知数，且未知数的最高次数是②________的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③________，主要方法有：直接开平方法、④________法、公式法、⑤________法等.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑥________.判别式与根的关系(1)b2－4ac＞0一元二次方程⑦__________的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程⑧__________的实数根；(3)b2－4ac＜0一元二次方程⑨________实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件．(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2－4ac≥0.一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．1．已知方程一根求另一根和参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解．2．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的解法(2014·某某)解方程：3x(x－2)＝2(2－x)．【思路点拨】可以运用因式分解法比较简捷．【解答】一元二次方程的解法有四种：因式分解法、开平方法，配方法与公式法．若方程的右边为0，且左边能分解因式，则宜选用因式分解法；若方程形如x2＝c、(ax＋b)2＝c(c≥0)或可化为这种形式的一类方程，则宜选用开平方法；若方程二次项系数为1，一次项的系数为偶数时，则宜选用配方法；若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便时，则用公式法．1．(2015·某某A卷)一元二次方程x2－2x＝0的根是()A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝22．(2015·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为()A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝193．解方程：4x2－12x＋5＝0.4．(2013·某某)用配方法解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数(2015·某某)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2(p为实数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)【思路点拨】(1)首先将方程化为一般式，然后计算根的判别式为正，从而结论得以证明；(2)可以利用一元二次方程的根与系数的关系讨论得出p的值．【解答】利用一元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值的前提条件是方程必有两个实数根，也就是Δ≥0.1．(2015·眉山)下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是()A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝02．(2015·某某)关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值X围是() A．k>－1 B．k≥－1C．k≠0 D．k>－1且k≠03．(2015·内江)已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k的值是________．4．(2014·某某)已知关于x的一元二次方程x2－22x＋m＝0，有两个不相等的实数根．(1)某某数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x21＋x22－x1x2的值．命题点3 一元二次方程的应用(2015·某某)如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1 140 m2，求小路的宽．【思路点拨】设小路的宽x m，将四块种植地平移为一个矩形，矩形的长为(40－x)m，宽为(32－x)m，根据矩形的面积公式可建立一元二次方程，解之可得答案．【解答】列方程解应用题的关键是找到相等关系．而在找相等关系时，有时可借助图表，在求出方程的解后，要检验它是否符合实际意义．对于商品销售问题，相等关系是：总利润＝每件利润×销售数量．1．(2015·某某)某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝3152．(2015·达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为________________．3．(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定位多少元？4．(2015·某某)李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．1．(2014·某某)一元二次方程x 2－x －2＝0的解是() A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝22．(2015·随州)用配方法解一元二次方程x 2－6x －4＝0，下列变形正确的是() A ．(x －6)2＝－4＋36 B ．(x －6)2＝4＋36 C ．(x －3)2＝－4＋9D ．(x －3)2＝4＋93．(2015·某某)若一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数解，则a 的取值X 围是() A ．a<1B ．a ≤4C ．a ≤1D ．a ≥14．(2015·达州)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值X 围为()A ．m>52B ．m ≤52且m≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m≠25．(2015·某某)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是() A ．12B ．9C ．13D ．12或96．(2015·某某)若关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0有一个根为－1，则另一个根为() A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－37．(2015·某某)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是()A ．7 mB ．8 mC ．9 mD ．10 m8．(2015·某某)解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________________．9．(2015·)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋14＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b的值：a ＝________，b ＝________．10．(2015·甘孜)若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为________．11．(2015·呼和浩特)若实数a 、b 满足(4a ＋4b)(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝________． 12．(2015·某某)关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值X 围是________． 13．(2015·某某)解方程：x 2－3x ＋2＝0.14．(2015·某某)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．15．(2015·某某)关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)某某数k的取值X围；(2)若方程两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值．16．(2015·东营)2013年，东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5 265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，X强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，X强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)17．(2015·某某)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值X 围是()A ．m ＞34B ．m ＞34且m≠2C ．－12＜m ＜2D.34＜m ＜2 18．(2015·株洲)有两个一元二次方程：M ：ax 2＋bx ＋c ＝0，N ：cx 2＋bx ＋a ＝0，其中a ＋c ＝0，以下列四个结论中，错误的是()A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝119．(2015·某某)关于m 的一元二次方程7nm 2－n 2m －2＝0的一个根为2，则n 2＋n －2＝________． 20．(2015·凉山)已知实数m 、n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，则n m ＋m n＝________．参考答案 考点解读考点1 ①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解考点2 ⑥b 2－4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有 各个击破，得(x －2)(3x ＋2)＝0. ∴x－2＝0或3x ＋2＝0.因此，原方程的解为x 1＝2，x 2＝－23.题组训练 1.D 2.D 1＝52，x 2＝12.4.∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程， ∴a≠0.∴由原方程，得x 2＋b a x ＝－c a.等式的两边都加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，配方，得(x ＋b 2a )2＝－4ac －b24a 2， 开方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac2a，解得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.例2 (1)化简方程，得x 2－5x ＋(4－p 2)＝0，Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2. ∵p 为实数， ∴9＋4p 2>0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p 为0、2、－2时，方程有整数解． 题组训练 1.B 2.D 3.24.(1)∵一元二次方程x 2－22x ＋m ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝8－4m ＞0，解得m ＜2，故整数m 的最大整数值为1. (2)∵m＝1，∴此一元二次方程为x 2－22x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝22，x 1x 2＝1，∴x 21＋x 22－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝8－3＝5. 例3 设小路的宽为x m ，依题意，， 得x 21＝2，x 2＝70(不合题意，舍去)． 答：小路的宽为2 m.题组训练 1.B 2.(40－x)(20＋2x)＝1 200 ，则售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080，解得x 1＝1，x 2＝4. 又∵要让顾客得实惠， 故取x ＝4，即定价为56元． 答：应将销售单价定位56元．4.(1)设剪成的较短的这段为x cm ，较长的这段就为(40－x) cm ， 由题意，得(x 4)2＋(40－x 4)2＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的为40－12＝28(cm)， 当x ＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)． 答：李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段． (2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm ，较长的这段就为(40－m)cm ，由题意，得(m 4)2＋(40－m 4)2＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0， ∴原方程无实数根，即李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2. 整合集训 基础过关1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.x ＋3＝0(或x －1＝0) 9．1 1 10.5 11.1或－12 12.m>1413.∵a＝1，b ＝－3，c ＝2，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×2＝1. ∴x＝3±12×1＝3±12. ∴x 1＝1，x 2＝2.14.(1)因为Δ＝(2m)2－4(m 2－1)＝4>0，所以，原方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得32＋6m ＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋8＝0，解得m ＝－2或m ＝－4.15.(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，即k ＞34. (2)∵k ＞34， ∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0.又∵x 1·x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0.∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1.∵|x 1|＋|x 2|＝x 1·x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1.∴k 1＝0，k 2＝2.又∵k＞34， ∴k ＝2.16.(1)设平均每年下调的百分率为x ，根据题意，得6 500(1－x)2＝5 265，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%.(2)若下调的百分率相同，2016年的房价为5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/m 2)． 则100平方米的住房的总房款为：100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)． ，∴X 强的愿望可以实现．能力提升22 17．D 18.D 19.26 20.－5。

规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力．类型1 数式规律(2015·巴中)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2 015＝________．【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a 2 015的值．【解答】 a 1＝3；a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－3＝－12； a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11＋12＝23； a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－23＝3； …依此类推，∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝－12. 故答案为－12.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n 个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2015·临沂)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A ．2 015x2 015 B ．4 029x 2 014 C ．4 029x 2 015 D ．4 031x 2 0152．(2015·泰安)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．2523．(2013·绵阳)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2，3)，则A 2 013＝( )A ．(45，77)B ．(45，39)C ．(32，46)D ．(32，23)4．(2013·广元)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22 013的个位数字是________．5．(2015·恩施)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2015·平凉)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2 016是第________个三角形数．7．(2014·南充)一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝－1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________．8．(2014·黄石)观察下列等式：第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－12×22； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－13×23； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－14×24； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－15×25； 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____________＝________________；式子a1＋a2＋a3＋…＋a20＝________．类型2 图形规律(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示)…【思路点拨】本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．1．(2014·攀枝花)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C2．(2015·绵阳)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n ＝( )…A ．14B ．15C ．16D ．173．(2014·宜宾)如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A ．nB ．n －1C ．(14)n －1 D.14n 4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．5．(2015·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．6．(2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2015·随州)观察下列图形规律：当n ＝________时，图形“的个数和“△”的个数相等．…8．(2014·绵阳)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1＋S2＋S3＋…＋S2 014＝________．9．(2015·潍坊)如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)10．(2014·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律(2015·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，P n－1P n ＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为________．【思路点拨】 利用特殊直角三角形求出OP n 的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q n 的坐标．【解答】 ∵△AOB 为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC ＝30°.又∵P n －1P n ＝2n －1，P n Q n ⊥OA ，∴OQ n ＝32(OP 1＋P 1P 2＋P 2P 3＋…＋P n －1P n )＝32(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝32n 2. ∴Q n 的坐标为(32n 2·cos60°，32n 2·sin60°)，即Q n 的坐标为(34n 2，34n 2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQ n 的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．1．(2015·济南)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按照此规律继续以A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，以此得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 015的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)2．(2014·内江)如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n ＋1，连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、…、A n B n ＋1、B n A n ＋1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n .△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、…、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n 为( )A.n ＋12n ＋1 B.n 3n －1C.n 22n －1D.n 22n ＋13．(2015·成都)已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为________．4．(2015·达州)在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．5．(2015·东营)如图放置的△OAB 1，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2 015的坐标是________________．6．(2013·内江)如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点M(2，0)作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为____________．(2013·自贡)如图，在函数y ＝8x(x ＞0)的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1＝________，S n ＝________．(用含n 的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7.2 0112 8.n＋2n （n ＋1）·2n ＋1 1n·2n －1（n ＋1）·2n ＋112－121×221类型2 图形规律1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n ＋1) 6.301 7.5 8.1－122 014 9.32(34)n 10.7，3，10 11类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n －1，0) 4.22n －3 5.(2 0172，2 01532) 6.(2 097 152，0)7．4 8n （n ＋1）。

方程(组)、不等式(组)的实际应用1．(2015·云南)为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？2．(2015·自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地．求矩形的长和宽．3．(2015·娄底)假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：(1)出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？(2)小张乘出租车从市政府到娄底南站(高铁站)走了5.5千米，应付车费多少元？4．(2014·汕尾)某校为美化校园，计划对面积为1 800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2；(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？5．(2015·湖州)某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．6．(2015·连云港)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元．(1)求每张门票原定的票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．7．(2014·舟山)某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元；(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？8．(2015·德阳)大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．(1)求面料和里料的单价；(2)该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；(利润＝销售价－布料成本－固定费用)②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9 120元批发外套的件数和一个普通客户用10 080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．参考答案1．设胜了x 场，那么负了(8－x)场，根据题意，得2x ＋1×(8－x)＝13，解得x ＝5，8－5＝3(场)．答：九年级一班胜、负场数分别是5和3.2.设垂直于墙的一边为x 米，则与墙平行的一边为(58－2x)米，根据题意，得x(58－2x)＝200.解得x 1＝25，x 2＝4.∴另一边长为8米或50米．答：当矩形的长为25米时，宽8米，当矩形边长为50米时宽为4米．3.(1)设出租车的起步价是x 元，超过1.5千米后每千米收费y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（4.5－1.5）y ＝10.5，x ＋（6.5－1.5）y ＝14.5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝2. 答：出租车的起步价是4.5元，超过1.5千米后每千米收费2元．(2)4.5＋(5.5－1.5)×2＝12.5(元)．答：小张乘出租车从市政府到娄底南站(高铁站)走了5.5千米，应付车费12.5元．4.(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m 2，根据题意，得400x －4002x＝4，解得x ＝50. 经检验，x ＝50是原方程的解．则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100(m 2)．答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m 2、50 m 2.(2)设应安排甲队工作x 天，根据题意，得0.4x ＋1 800－100x 50×0.25≤8，解得x≥10. 答：至少应安排甲队工作10天．5.(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意得24 000x ＝24 000＋300x ＋30，解得x ＝2 400. 经检验，x ＝2 400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24 000÷2 400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2 400个，规定的天数是10天．(2)设原计划安排的工人人数为y 人，根据题意，得[5×20×(1＋20%)·2 400y＋2 400]×(10－2)＝24 000，解得y ＝480. 经检验，y ＝480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．6.(1)设每张门票原定的票价x 元．由题意得6 000x ＝4 800x －80，解得x ＝400. 经检验，x ＝400是原方程的解．答：每张门票原定的票价400元．(2)设平均每次降价的百分率为y.由题意得400(1－y)2＝324，解得y 1＝0.1，y 2＝1.9(不合题意，舍去)答：平均每次降价10%.7.(1)每辆A 型车和B 型车的售价分别是x 万元、y 万元．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝96，2x ＋y ＝62.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝26. 答：每辆A 型车的售价为18万元，每辆B 型车的售价为26万元．(2)设购买A 型车a 辆，则购买B 型车(6－a)辆，则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a ＋26（6－a ）≥130，18a ＋26（6－a ）≤140.解得2≤a≤134. ∵a 是正整数，∴a ＝2或a ＝3.∴共有两种方案：方案一：购买2辆A 型车和4辆B 型车；方案二：购买3辆A 型车和3辆B 型车．8.(1)设里料的单价为x 元/米，面料的单价为(2x ＋10)元/米．根据题意得0.8x ＋1.2(2x ＋10)＝76.解得x ＝20.2x ＋10＝2×20＋10＝50. 答：面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米．(2)①设打折数为m.根据题意得150×m 10－76－14≥30.解得m≥8.∴m 的最小值为8.②150×0.8＝120(元)．设VIP 客户享受的降价率为x.根据题意得9 120120×（1－x ）＝10 080120×（1＋x ），解得x ＝0.05.经检验x ＝0.05是原方程的解．答：VIP 客户享受的降价率为5%.。

规律与猜想 学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力． 类型1 数式规律(2015·某某)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2 015＝________． 【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a 2 015的值．【解答】 a 1＝3；a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－3＝－12； a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11＋12＝23； a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－23＝3； …依此类推，∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝－12. 故答案为－12.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n 个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2015·某某)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A ．2 015x2 015 B ．4 029x 2 014 C ．4 029x 2 015 D ．4 031x 2 0152．(2015·某某)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．2523．(2013·某某)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2，3)，则A 2 013＝( )A ．(45，77)B ．(45，39)C ．(32，46)D ．(32，23)4．(2013·某某)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22 013的个位数字是________．5．(2015·某某)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2015·某某)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2 016是第________个三角形数．7．(2014·某某)一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝－1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________．8．(2014·某某)观察下列等式：第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－12×22； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－13×23； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－14×24； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－15×25； 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____________＝________________；式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝________．类型2 图形规律(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示)…【思路点拨】本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．1．(2014·某某)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C2．(2015·某某)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n＝( )…A ．14B ．15C ．16D ．173．(2014·某某)如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A ．nB ．n －1C ．(14)n －1 D.14n 4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．5．(2015·某某)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．6．(2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2015·随州)观察下列图形规律：当n ＝________时，图形“”的个数和“△”的个数相等．…8．(2014·某某)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2 014＝________．9．(2015·潍坊)如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)10．(2014·某某)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律(2015·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，P n－1P n＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为________．【思路点拨】利用特殊直角三角形求出OP n的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q n的坐标．【解答】∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC＝30°.又∵P n－1P n＝2n－1，P n Q n⊥OA，∴OQ n＝32(OP1＋P1P2＋P2P3＋…＋P n－1P n)＝32(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝32n2.∴Q n的坐标为(32n2·cos60°，32n2·sin60°)，即Q n的坐标为(34n2，34n2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQ n的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．1．(2015·某某)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按照此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，以此得到P4，P5，P6，…，则点P2 015的坐标是( )A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)2．(2014·内江)如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n＋1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n ＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n.△A1B1P1、△A2B2P2、…、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n为( )A.n＋1 2n＋1B.n3n－1C.n2 2n－1D.n2 2n＋13．(2015·某某)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．4．(2015·达州)在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．5．(2015·东营)如图放置的△OAB 1，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2 015的坐标是________________．6．(2013·内江)如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点M(2，0)作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为____________．(2013·某某)如图，在函数y ＝8x(x ＞0)的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1＝________，S n ＝________．(用含n 的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7.2 0112 8.n ＋2n （n ＋1）·2n ＋11n·2n －1（n ＋1）·2n ＋112－121×221 类型2 图形规律1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n ＋1) 6.301 7.5 8.1－122 014 9.32(34)n ，3，10 11 类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n －1，02n －3 5.(2 0172，2 01532) 6.(2 097 152，0) 7．48n （n ＋1）。

数与式(时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．－6的倒数是( ) A ．－6 B ．－16C.16D ．62．下列四个实数中，绝对值最小的数是()A ．－5B ．－ 2C ．1D ．43．(2015·安徽)移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至2015年3月，全国4G 用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为( )A ．1.62×104B ．162×106C ．1.62×108D ．0.162×1094．化简x 2x －1＋x1－x的结果是( )A ．x ＋1B ．x －1C ．－xD ．x5．如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论正确的是()A ．a>bB ．|a|>|b|C ．－a<bD ．a ＋b<0 6．下列运算正确的是( )A ．2a 3÷a ＝6B ．(ab 2)2＝ab 4C ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2D ．(a ＋b)2＝a 2＋b 27．已知实数x ，y 满足x －2＋(y ＋1)2＝0，则x －y 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－18．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m 元的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客购买这种商品更合算的超市是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．一样二、填空题(每小题4分，共16分)9．因式分解：4x 3－36x ＝________．10．(2015·甘孜改编)使二次根式x －1有意义的x 的取值范围是________．11．若m －n ＝2，m ＋n ＝5，则m 2－n 2的值为________． 12．(2015·淮安)将连续正整数按如下规律排列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第5行17181920若正整数565位于第a 行，第b 列，则a ＋b ＝________． 三、解答题(共60分)13．(6分)计算：(2 013)0×8－(12)－1－|－32|＋2cos45°.14．(6分)先化简，再求值：a(a －2b)＋2(a ＋b)(a －b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－12，b ＝1.15．(8分)计算：(x －1x －1x )÷x －2x 2－x .16．(8分)先化简：(x －4x )÷x 2＋4x ＋4x ，若－2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值(x 是整数)代入求值．17．(10分)已知x ＝3＋1，y ＝3－1，求x 2－2xy ＋y2x 2－y 2的值．18．(10分)已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2aba 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.19．(12分)先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． 11×2＝1－12， 12×3＝12－13， 13×4＝13－14， …(1)计算：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝________；(2)探究11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝________；(用含有n 的式子表示)(3)若11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）的值为1735，求n 的值．参考答案1．B 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.4x(x ＋3)(x －3) 10.x≥1 11.10 12.147 13.原式＝1×22－2－32＋2×22＝－2.14．原式＝a 2－2ab ＋2a 2－2b 2＋a 2＋2ab ＋b 2＝4a 2－b 2.当a ＝－12，b ＝1时，原式＝4×(－12)2－12＝0.15.原式＝x －2x ·x （x －1）x －2＝x －1.16.原式＝x 2－4x ÷x 2＋4x ＋4x ＝（x ＋2）（x －2）x ·x （x ＋2）2＝x －2x ＋2. 当x ＝1时，原式＝1－21＋2＝－13；或当x ＝－1时，原式＝－1－2－1＋2＝－3；或当x ＝2时，原式＝2－22＋2＝0.(注意：x 不能取－2和0)17.原式＝（x －y ）2（x －y ）（x ＋y ）＝x －yx ＋y.当x ＝3＋1，y ＝3－1时，x －y ＝2，x ＋y ＝2 3. ∴原式＝223＝33.18.如选P ＋Q 进行计算：P ＋Q ＝a 2＋b 2a 2－b 2＋2ab a 2－b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2－b 2＝（a ＋b ）2（a ＋b ）（a －b ）＝a ＋ba －b . 当a ＝3，b ＝2时，P ＋Q ＝3＋23－2＝5.19.(1)56 (2)n n ＋1(3)11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1） ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1) ＝12·2n 2n ＋1 ＝n2n ＋1. 由题意知n 2n ＋1＝1735.解得n ＝17.。

第2讲整式及因式分解整式的相关概念单项式概念由数与字母的①______组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个②______也是单项式).系数单项式中的③____因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的④________叫做这个单项式的次数.多项式概念几个单项式的⑤________叫做多项式.项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.次数一个多项式中，⑥________的项的次数叫做这个多项式的次数.整式单项式与⑦________统称为整式.同类项所含字母⑧______并且相同字母的指数也⑨________的项叫做同类项．所有的常数项都是⑩________项.整式的运算整式的加减合并同类项(1)字母和字母的指数不变；(2)○11________相加减作为新的系数.添(去)括号添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都○12________符号；括号前面是“－”号，添(去)括号都要○13________符号.幂的运算同底数幂的乘法a m·a n＝○14______.注意：a≠0，b≠0，且m、n都为整数. 幂的乘方(a m)n＝○15______.积的乘方(ab)n＝○16______.同底数幂的除法a m÷a n＝○17______．整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的○18________、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的○19______作为积的一个因式.单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积○20________，即m(a＋b＋c)＝○21________________.多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积○22________，即(m＋n)(a＋b)＝○23________________.整式的除法单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的○24________作为商的一个因式.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商○25________.乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝○26________. 完全平方公式(a±b)2＝○27____________.因式分解定义把一个多项式化成几个整式○28________的形式，就是因式分解.方法提公因式法ma＋mb＋mc＝○29________. 公式法a2－b2＝○30________；a2±2ab＋b2＝○31________.步骤(1)若有公因式，应先○32________；(2)看是否可用○33________；(3)检查各因式能否继续分解.【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止．1．求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法．2．整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷．命题点1 列代数式及其求值(2015·某某)为庆祝抗战70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价a 元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的售价为() A ．a －10% B ．a ·10%C ．a(1－10%)D ．a(1＋10%)列代数式需注意以下三点：一是抓住关键词语(如“和、差、积、商、幂以及大、小、多、少、倍、几分之几、倒数、相反数”等)，确定好数量关系；二是理清问题语句的层次(通常按语句中出现的“的”字划分)，明确运算顺序；三是熟悉相关知识．如几何图形问题中的周长、面积公式，商品销售问题中的利润、售价、进价之间的关系等．1．(2014·某某)苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需() A ．(a ＋b)元 B ．(3a ＋2b)元 C ．(2a ＋3b)元D ．5(a ＋b)元2．(2015·某某)随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a 元后，再次降价20%，现售价为b 元，则原售价为() A ．(a ＋54b)元B ．(a ＋45b)元C ．(b ＋54a)元D ．(b ＋45a)元3．(2015·某某)当x ＝1时，代数式4－3x 的值是() A ．1B ．2C ．3D ．44．(2015·某某)端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a 元，则粽子的原价卖________元． 命题点2 整式的运算(2015·某某)先化简，再求值：a(a －2b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝ 2. 【思路点拨】 先利用乘法公式进行整式乘法计算，再进行整式加减运算，最后代入求值． 【解答】整式的运算顺序与实数的运算顺序相同，也就是先算乘、除，再算加、减．代入求值时，先考虑是否可以整体代入，其次再考虑“先求后代”．1．(2015·某某)下列运算正确的是()A．a·a3＝a3B．2(a－b)＝2a－bC．(a3)2＝a5D．a2－2a2＝－a22．(2015·某某)下列运算正确的是()A．3x－2x＝x B．2x·3x＝6xC．(2x)2＝4x D．6x÷2x＝3x3．(2015·某某)下列运算正确的是()A．(－ab2)3÷(ab2)2＝－ab2B．3a＋2a＝5a2C．(2a＋b)(2a－b)＝2a2－b2D．(2a＋b)2＝4a2＋b24．(2015·某某)化简：(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)．命题点3 因式分解(2015·某某)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是()A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2因式分解，首先考虑用提取公因式法，再考虑用公式法；同时要注意直到分解到不能再分解为止．1．(2015·某某)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是()A．x－1 B．x＋1C．x2－1 D．(x－1)22．(2015·某某)因式分解：x2－9＝________．3．(2015·某某)分解因式：2a2－4a＋2＝________．4．(2015·内江)分解因式：2x2y－8y＝________．5．(2015·某某)在实数X围内因式分解：x2y－3y＝____________．命题点4 整体代入求值(2015·某某)若2m －n 2＝4，则代数式10＋4m －2n 2的值为________．思路点拨】 将10＋4m －2n 2变形为10＋2(2m －n 2)，再将条件整体代入，即可求出其值．整体代入就是根据不同的需要将问题中的某一部分看成一个整体．一般地，以下三种情形，需整体代入求值：一是已知条件中含有不定量时；二是已知条件中字母的取值在现阶段不能直接求出时；三是已知条件中的字母以有理数相关的概念形式出现时．1．(2015·某某)已知a 2＋2a ＝1，则代数式2a 2＋4a －1的值为() A ．0B ．1C ．－1D ．－22．(2015·潜江)已知3a －2b ＝2，则9a －6b ＝________． 3．(2015·某某)已知m ＋n ＝mn ，则(m －1)(n －1)＝________．4．(2015·)已知2a 2＋3a －6＝0.求代数式3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)的值．1．(2015·某某)某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以(45x －10)元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是() A ．原价减去10元后再打8折 B ．原价打8折后再减去10元 C ．原价减去10元后再打2折 D ．原价打2折后再减去10元 2．(2015·某某)计算(a 2)3的结果为() A ．a 4B ．a 5C ．a 6D ．a 93．(2015·某某)下列计算正确的是() A ．a 2＋a 2＝2a 4B ．a 2·a 3＝a 6C ．(－a 2)2＝a 4D ．(a ＋1)2＝a 2＋14．(2015·某某)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－6x＋95．(2015·枣庄)如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为()A．140B．70C．35D．246．(2015·某某)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝()A．1 B．－2 C．－1 D．27．(2015·某某)计算(x－3)(x＋2)的结果是________．8．(2015·某某)计算：a(a2÷a)－a2＝________．9．(2015·某某)计算：b(2a＋5b)＋a(3a－2b)＝________．10．(2015·呼和浩特)分解因式：x3－x＝________．11．(2015·)分解因式：5x3－10x2＋5x＝________．12．(2015·某某)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为________．13．(2015·某某)若a2－3b＝5，则6b－2a2＋2 015＝________．14．(2015·某某A卷)计算：y(2x－y)＋(x＋y)2.15．(2015·某某)先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝ 3. 16．(2015·某某)已知a＋b＝－2，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a的值．17．(2015·某某)当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，则(a＋b－1)(1－a－b)的值为()A ．－16B ．－8C ．8D ．1618．(2015·某某)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为() A ．3B ．4C ．5D ．619．(2015·随州)先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a －5b)＋3a 5b 3÷(－a 2b)2，其中ab ＝－12.20．(2015·内江)(1)填空： (a －b)(a ＋b)＝________； (a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝________； (a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝________； (2)猜想： (a －b)(an －1＋an －2b ＋…＋abn －2＋bn －1)＝________(其中n 为正整数，且n≥2)；利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2. 参考答案 考点解读考点1 ①乘积 ②字母 ③数字 ④指数的和 ⑤和 ⑥次数最高 ⑦多项式 ⑧相同 ⑨相同 ⑩同类 考点 2 ○11系数 ○12不改变 ○13改变 ○14a m ＋n ○15a mn ○16a n b n ○17a m －n ○18系数 ○19指数 ○20相加 ○21ma ＋mb ＋mc ○22相加○23ma ＋mb ＋na ＋nb ○24指数 ○25相加 ○26a 2－b 2○27a 2±2ab ＋b 2 考点3 ○28乘积 ○29m(a ＋b ＋c) ○30(a ＋b)(a －b) ○31(a±b)2○32提公因式 ○33公式法 各个击破 例1 C题组训练 1.C 2.A 3.A 4.54a例2 原式＝a 2－2ab ＋a 2＋2ab ＋b 2＝2a 2＋b 2. 当a ＝－1，b ＝2时，原式＝2＋2＝4.题组训练 1.D 2.A 3.A 4.原式＝4a 2－1－4a 2＋4a ＝4a －1. 例3 D题组训练 1.A 2.(x＋3)(x－3) 3.2(a－1)2 4.2y(x＋2)(x－2) 5.y(x－3)(x＋3) 例4 18题组训练 1.B 2.6 3.14.原式＝6a2＋3a－(4a2－1)＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1.∵2a2＋3a－6＝0，∴2a2＋3a＝6.∴原式＝6＋1＝7.整合集训基础过关1．B2.C3.C4.D5.B6.C22＋3a210．x(x＋1)(x－1)11.5x(x－1)212.－313.2 00514.原式＝2xy－y2＋x2＋2xy＋y2＝x2＋4xy.15.原式＝(a＋2b)[2a－(a＋2b)]＝(a＋2b)(a－2b)＝a2－4b2.把a＝－1，b＝3代入，得原式＝(－1)2－4(3)2＝－11.16.原式＝a2－2a＋1＋2ab＋b2＋2a＝(a＋b)2＋1.把a＋b＝－2代入，得原式＝2＋1＝3. 能力提升17．A18.C19.原式＝4－a2＋a2－5ab＋3ab＝4－2ab，当ab＝－12时，原式＝4＋1＝5.20.(1)a2－b2a3－b3a4－b4(2)a n－b n(3)原式＝(2－1)(28＋26＋24＋22＋2)＝342.。

多结论判断题在四川中考中，多结论判断题一般位于选择题或填空题的最后一个，综合性很强，难度很大，且考查频率较高，属于拉分题，复习时要注意这类题型的练习．类型1 代数结论判断题(2014·南充)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＝0；③当m≠1时，a ＋b ＞am 2＋bm ；④a －b ＋c ＞0；⑤若ax 21＋bx 1＝ax 22＋bx 2，且x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2.其中正确的有( )A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【解答】 ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线对称轴为x ＝－b 2a＝1， ∴b ＝－2a ＞0，即2a ＋b ＝0，故②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0.∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线对称轴为x ＝1，∴函数的最大值为a ＋b ＋c.∴当m≠1时，a ＋b ＋c ＞am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ＞am 2＋bm ，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在(3，0)的左侧，而对称轴为x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在(－1，0)的右侧．∴当x ＝－1时，y ＜0，∴a －b ＋c ＜0，故④错误；∵ax 21＋bx 1＝ax 22＋bx 2，∴ax 21＋bx 1－ax 22－bx 2＝0，∴a(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b(x 1－x 2)＝0.∴(x 1－x 2)[a(x 1＋x 2)＋b]＝0.又x 1≠x 2，∴a(x 1＋x 2)＋b ＝0，即x 1＋x 2＝－b a. ∵b ＝－2a ，∴x 1＋x 2＝2，故⑤正确．故选D.本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左边；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右边；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于(0，c)；抛物线与x 轴交点个数由Δ决定，Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1．(2015·南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m－2n≤1.其中正确结论的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．(2013·自贡)已知关于x 的方程x 2－(a ＋b)x ＋ab －1＝0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③x 21＋x 22＜a 2＋b 2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确结论的所有序号)3．(2013·绵阳)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a ＋b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若－1＜m ＜n ＜1，则m ＋n ＜－b a；④3|a|＋|c|＜2|b|.其中正确的结论是________(写出你认为正确结论的所有序号)．4.(2013·德阳)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＜m(am ＋b)(m≠1的实数)，其中正确结论的序号有________．类型2 几何结论判断题(2015·攀枝花)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点(不与端点重合)，且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H.给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②S 四边形BCDG ＝32CG 2；③若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；④CG 与BD 一定不垂直；⑤∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】 ①∵ABCD 为菱形，∴AB ＝AD.∵AB ＝BD ，∴△ABD 为等边三角形．∴∠A ＝∠BDF ＝60°.又∵AE ＝DF ，AD ＝BD ，∴△AED ≌△DFB.故本选项正确；②∵∠BGE ＝∠BDG ＋∠DBF ＝∠BDG ＋∠GDF ＝60°＝∠BCD ，即∠BGD ＋∠BCD ＝180°，∴点B 、C 、D 、G 四点共圆．∴∠BGC ＝∠BDC ＝60°，∠DGC ＝∠DBC ＝60°.∴∠BGC ＝∠DGC ＝60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N(如图1)，则△CBM ≌△CDN(AAS)，∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN ＝2S △CMG .∵∠CGM ＝60°，∴GM ＝12CG ，CM ＝32CG ，∴S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2×12×12CG ×32CG ＝34CG 2，故本选项错误； ③过点F 作FP ∥AE 于P 点(如图2)，∵AF ＝2FD ，∴FP ∶AE ＝DF ∶DA ＝1∶3.∵AE ＝DF ，AB ＝AD ，∴BE ＝2AE.∴FP ∶BE ＝FP ∶12AE ＝1∶6.∵FP ∥AE ，∴PE ∥BE ，∴FG ∶BG ＝FP ∶BE ＝1∶6，即BG ＝6GF ，故本选项正确； ④当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时(如图3)，由(1)知，△ABD ，△BDC 为等边三角形，∵点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∴∠BDE ＝∠DBG＝30°.∴DG ＝BG.在△GDC 与△GBC 中，∵DG ＝BG ，CG ＝CG ，CD ＝CB ，∴△GDC ≌△GBC ，∴∠DCG ＝∠BCG，∴CH ⊥BD ，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE ＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B.图1 图2 图31．(2015·绥化)如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠AD C ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE.下列结论：①∠CAD＝30°，②S ABCD ＝AB·AC，③OB ＝AB ，④OE ＝14BC ，成立的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．(2015·达州)如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC＝90°，②AD ＋BC ＝CD ，③S △AOD ∶S △BOC ＝AD 2∶AO 2，④OD ∶OC ＝DE∶EC，⑤OD 2＝DE·CD，正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．(2015·湖州)如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，点F ，G 分别在AD ，BC 上，连接OG ，DG ，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A ．CD ＋DF ＝4B ．CD －DF ＝23－3C ．BC ＋AB ＝23＋4D ．BC －AB ＝24．(2014·攀枝花)如图，正方形ABCD 的边CD 与正方形CGFE 的边CE 重合，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于H ，连接OH 、FH ，EG 与FH 交于M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE ；②HO12BG ；③点H 不在正方形CGFE 的外接圆上；④△GBE∽△GMF.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2013·南充)如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与t 的函数关系的图形如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE ＝5 cm ；②当0＜t≤5时，y ＝25t 2；③直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t ＝294秒．其中正确的结论个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．16．(2013·广元)以如图1(以O 为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图2的有________(只填序号)．①只要向右平移1个单位；②先以直线AB 为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O 旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB 的中点旋转180°即可．7．(2015·南充)如图，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：①DQ＝1；②PQ BQ ＝32；③S △PDQ ＝18；④cos ∠ADQ ＝35.其中正确结论是________．(填写序号)8．(2015·广元)如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G.连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC.关于下列结论：①∠BAD ＝∠ABC；②GP＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的是________(只需填写序号)．9．(2013·攀枝花)如图，分别以直角△ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向△ABC 外作等边△AB D 和等边△ACE，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，∠ACB ＝90°，∠BAC＝30°.给出如下结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD＝4AG ；④FH＝14BD.其中正确结论的为________(请将所有正确的序号都填上)．10．(2015·宜宾)如图，在正方形ABC'D 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H.给出下列结论：①△ABE ≌△DCF ；②FP PH ＝35；③DP 2＝PH·PB；④S △BPD S 正方形ABCD ＝3－14. 其中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．11．(2014·德阳)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 为AB 边上一点，∠BCE ＝15°，且AE ＝AD.连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH.下列结论正确的是________．(填序号)①AC⊥DE；②BE HE ＝12；③CD＝2DH ；④S △BEH S △BEC ＝DH AC.参考答案类型1 代数结论判断题1．D 2.①② 3.①③④ 4.①③④类型2 几何结论判断题1．C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.②③④7.①②④8.②③9.①③④10．①③④11.①③④。

与圆有关的几何综合题(2015·德阳)如图，已知BC是⊙O的弦，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若E、F分别是AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【思路点拨】(1)连接OB，证OB⊥AB即可；(2)取AB的中点G，连接DG，易证得△EGD≌△FCD，从而猜测出BE ＋DF的值是个定值，这个定值应该等于AB长的一半．【解答】(1)证明：∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴OD⊥BC，AO平分∠BAC.∴∠BAD＝30°.∵∠BMC＝60°，∴∠BOA＝∠BMC＝60°.∴∠BAD＋∠BOA＝90°.∴∠ABO＝90°.∴OB⊥AB.∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠BAD＝30°，OB⊥AB，OB＝2，∴AB＝2 3.取AB的中点G，连接DG，∴AG＝BG＝ 3.∵∠ABD＝60°，∴△BDG是等边三角形．∴∠DGE＝60°，GD＝BD.∵∠FCD＝60°，CD＝BD，∴∠FCD＝∠EGD，GD＝CD.∵∠EDF＝120°，∴∠FDC＋∠BDE＝60°.∵∠BDG＝60°，∴∠EDG＋∠BDE＝60°.∴∠EDG＝∠FDC.∴△EGD≌△FCD.∴FC＝EG.∴BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝ 3.即BE＋CF的值是定值，这个值是 3.动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值．动态问题中的定值往往包含关于角度、线段、面积等定值问题．解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关系．要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．1．(2015·内江)如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．(1)试说明CE是⊙O的切线；(2)若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；(3)设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．2．(2015·乐山)已知Rt△ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD ＝DC ，延长CB 交⊙O 于点E.(1)图1的A 、B 、C 、D 、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说明理由；(2)如图2，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.①若CF ＝CD 时，求sin ∠CAB 的值；②若CF ＝aCD(a ＞0)时，试猜想sin ∠CAB 的值．(用含a 的代数式表示，直接写出结果)3．(2014·南充)如图，已知AB 是⊙O 的直径，BP 是⊙O 的弦，弦CD⊥AB 于点F ，交BP 于点G ，E 在DC 的延长线上，EP ＝EG.(1)求证：直线EP为⊙O的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝33.求弦CD的长．4．(2014·攀枝花)如图，以点P(－1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点(B在C的左侧)，交y轴于A、D两点(A 在D的下方)，AD＝23，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB.(1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状(不必证明)，求出点M的坐标；(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE 的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．参考答案1．(1)连接OC.∵CA＝CE ，∠CAE ＝30°，∴∠E ＝∠CAE＝30°，∠COE ＝2∠A＝60°.∴∠OCE ＝90°.∴CE 是⊙O 的切线．(2)过点C 作CH⊥AB 于H.由题可得CH ＝h.在Rt△OHC 中，CH ＝OC·sin ∠COH ， ∴h ＝OC·sin60°＝32OC.∴OC ＝2h3＝233h.∴AB ＝2OC ＝433h.(3)作OF 平分∠AOC，交⊙O 于F ，连接AF 、CF 、DF ，则∠AOF＝∠COF＝12∠AOC ＝12(180°－60°)＝60°.∵OA ＝OF ＝OC ，∴△AOF 、△COF 是等边三角形．∴AF＝AO ＝OC ＝FC.∴四边形AOCF 是菱形．∴根据对称性可得DF ＝DO.过点D 作DM⊥OC 于M ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC＝30°.∴DM ＝DC·sin ∠DCM ＝DC·sin30°＝12DC.∴12CD ＋OD ＝DM ＋FD.根据两点之间线段最短可得：当F 、D 、M 三点共线时，DM ＋FD(即12CD ＋OD)最小．此时FM ＝OF·sin ∠FOM ＝32OF ＝6，则OF ＝4 3.∴AB ＝2OF ＝8 3.∴当12CD ＋OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为8 3.2.(1)存在．AE ＝CE.连接AE ，∵∠ABC ＝90°，∴AE 为⊙O 的直径．连接ED ，∴∠ADE ＝90°.又∵AD＝DC.∴ED 为AC 的中垂线．∴AE＝CE.(2)①连接AE 、DE.∵EF 是⊙O 的切线，∴∠AEF ＝90°.由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED ＋∠EAD＝90°，∠AED ＋∠DEF＝90°.∴∠EAD ＝∠DEF.∴△AED∽△EFD. ∴AD ED ＝ED DF .∴ED 2＝AD·DF. 又AD ＝DC ＝CF ，∴ED 2＝2AD·AD＝2AD 2. 在Rt△AED 中，∵AE 2＝AD 2＋ED 2＝3AD 2，∴sin ∠CAB ＝sin∠CED＝sin∠AED＝AD AE ＝13＝33.②sin ∠CAB ＝a ＋2a ＋2.3.(1)证明：连接OP.∵EP＝EG ，∴∠EPG ＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG ＝∠BGF.∵OP＝OB ，∴∠OPB ＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BFG ＝∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG ＋∠OPB＝90°.∴直线EP 为⊙O 的切线．(2)证明：连接OG .∵BG 2＝BF ·BO ，∴BG BO ＝BFBG .又∵∠OBG＝∠GBF，∴△BFG ∽△BGO.∴∠BGO ＝∠BFG＝90°.∴BG ＝PG.(3)连接AC 、BC.∵sinB ＝33，∴OGOB ＝33.∵OB ＝r ＝3，∴OG ＝3，由(2)得∠GBF＋∠FGB＝90°，∠OGF ＋∠FGB＝90°，∴∠GBF ＝∠OGF.∴sin∠OGF＝33＝OFOG .∴OF ＝33·OG ＝33·3＝1.∴BF＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠A CF ＋∠BCF＝90°.∵∠ACF ＋∠A＝90°，∴∠BCF ＝∠A.∴△BCF∽△CAF.∴CF AF ＝BF CF .∴CF 2＝BF·FA.∴CF＝BF·FA＝2×4＝2 2.∴CD ＝2CF ＝4 2.4.(1)连接PA.∵PO⊥AD，AD ＝23，∴OA ＝12AD ＝ 3.∵点P 坐标为(－1，0)，∴OP ＝1.∴PA＝OP 2＋OA 2＝12＋（3）2＝2.∴BP＝CP ＝2.∴B(－3，0)，C(1，0)．(2)延长AP 交⊙P 于点M ，连接MB 、MC.线段MB 、MC 即为所求．四边形ACMB 是矩形． 理由如下：∵△MCB 由△ABC 绕点P 旋转180°所得，∴四边形ACMB 是平行四边形．∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB ＝90°.∴平行四边形ACMB 是矩形．过点M 作MH⊥BC，垂足为H.在△MHP 和△AOP 中，∵∠MHP ＝∠AOP，∠HPM ＝∠OPA，MP ＝AP ，∴△MHP ≌△AOP.∴MH ＝OA ＝3，PH ＝PO ＝1.∴OH＝2.∴点M 的坐标为(－2，3)．(3)在旋转过程中∠MQG 的大小不变．∵四边形ACMB 是矩形，∴∠BMC ＝90°. ∵EG ⊥BO ，∴∠BGE ＝90°.∴∠BMC ＝∠BGE＝90°.∵点Q 是BE 的中点，∴QM ＝QE ＝QB ＝QG.∴点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图所示．∴∠MQG＝2∠MBG.∵∠COA＝90°，OC ＝1，OA ＝3，∴tan ∠OCA ＝OA OC ＝ 3.∴∠OCA ＝60°.∴∠MBC ＝∠BCA＝60°.∴∠MQG ＝120°.∴在旋转过程中∠MQG 的大小不变，始终等于120°.。