用加减消元法解二元一次方程组同步练习1

6.4 用加减消元法解二元一次方程组 同步练习【主干知识】认真预习教材，尝试完成下列各题:1．方程组231534m n m n +=⎧⎨+=⎩中，n 的系数的特别是_______，所以我们只要将两式________，•就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的． 2．方程组532534m n m n -+=⎧⎨+=⎩中，m 的系数的特别是________，所以我们只要将两式________，就可以消去未知数m ，化成一个一元一次方程，进而求得方程组的解．3．•用加减法解二元一次方程组时，••两个方程中同一个未知数的系数必须________•或_______，•即它们的绝对值______．•当未知数的系数的符号相同时，•用_______；当未知数的系数的符号相反时，用_______．•当方程组里两个方程的同一个未知数的系数成整数倍时，可以利用________性质，将方程经过简单变形，•使这个未知数的系数的绝对值________，再用加减法消元，进一步求得方程组的解．4．方程组421721x y x y +=⎧⎨-=⎩里两个方程只要两边________，就可以消去未知数________．5．方程组3133131x y x y +=⎧⎨-=-⎩的两个方程只要两边_______，就可以消去未知数_______．6．用加减法解二元一次方程组21349x y x y -=⎧⎨+=⎩时，你能让两个方程中x 的系数相等吗？•你的办法是_________． 7．用加减法解方程组326231x y x y +=⎧⎨+=⎩时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ）966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=+=⎩⎩⎩⎩ A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（4）（1） 8．用加减法解二元一次方程组2931x y x y +=⎧⎨-=-⎩．【点击思维】1．用加减法解二元一次方程组的关键是使方程组里两个方程中同一个未知数系数的绝对值_______，然后把方程两边分别相______或____，实现化二元为______，从而解出它的解．2．自己总结出用加减法解二元一次方程组的一般步骤．3．判断正误：（1）已知方程组238329x yx y+=⎧⎨+=⎩则x、y的值都是负值（）（2）方程组373272282383xxx yx x yy-⎧=⎪-=⎧⎪⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩与有相同的解（）（3）方程组606030%60%10%60220x y x yx y x y+=+=⎧⎧⎨⎨+=⨯+=⎩⎩与解相同（）4．解下列方程组:（1）35132718x yx y-=⎧⎨+=⎩2(2)34x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【典例分析】例1 用加减法解方程组2931x y x y +=⎧⎨-=-⎩思路分析：用加减法解二元一次方程组时，必须使方程组中①②两方程所含同一个未知数的系数相同或互为相反数．现在该方程组不具备这个条件，所以我们要想办法转化成这样的条件．方法一：观察x 的系数：②中x 的系数是①中的3倍，•所以可得①×3，使x 的系数相等，然后减去②，可消去x ；方程二：观察y 的系数：①中y•的系数是②中的2倍，所以可将②×2，便y 的系数互为相反数，再与①相加可消去y ，两种方法皆可达到消元的目的．解：②×2，得6x-2y=-2 ③ ③+①得，7x=7,x=1把x=1代入①，得1+2y=9，2y=8，y=4 所以14x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解． 方法点拨：用加减法解二元一次方程组时应当注意：①当方程组比较复杂时，应先化简，如去分母、去括号、合并同类项等，将两方程化成ax+by=c 的形式；②当需将一未知数的系数扩大时，要根据等式的性质，一定要两边同乘以某一个倍数； ③在求出一未知数的值之后，可以将它代入化简后的方程组的任意一个方程中，求出第二个未知数的值；④要想知道解是否正确，可将求得的解代入原方程组的两个方程加以检验． 例2 选择适合的方法解下列方程组：2(2)4379:2:5(1)(2)(3)2247550025022500000x x y x y x y x y x y x y ++=+==⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=-=+=⎩⎩⎩ 思路分析：（1）方程组中，方程①中含有（x+2y ），因此，只需将方程②x+2y=2•整体代入①即可化“二元”为“一元”．（2）方程组里两个方程中未知数y 的系数互为相反数，因此只要两方程相加即可化“二元”为“一元”．（3）方程组中的第1个方程中两个未知数之间是比值关系，可化成x=25y ，然后代入②，用代入法求解；•还可设x=2a ，y=5a ，将x=2a ，y=5a 代入②中，求得a 的值，然后再分别代入x=2a ，y=5a 中，•求得x 、y 的值，这样求解，可避免分数． 解：（1）把②代入①得x+2×2=4，解之，得x=0 把x=0代入②，得2y=2，解之，得y=1 所以原方程组的解是01x y =⎧⎨=⎩（2）①+②，得7x=14，解之，得x=2 把x=2代入②得，8-7y=5，解之，得y=37所以原方程组的解是237xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．（3）设x=2a，y=5a，并把它们代入②，得500×2a+250×5a=22 500 000 解之，得a=10 000，把a=10000分别代入x=2a，y=5a中，得x=20 000，y=50 000所以原方程组的解是2000050000xy=⎧⎨=⎩．方法点拨：代入法和加减法是解二元一次方程组的基本方法．以后解这种类型的题时，如果没有提出具体要求，应根据方程组的特别，•选择其中一种比较简单的方法．选用解法时，一般是当其中某个未知数的系数为1（更特别的，像x=…）时，•选用代入法较为简便；当两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，选用加减法比较简便；其他情况，自己灵活运用．【基础能力训练】1．对于方程组2353433x yx y-=⎧⎨+=⎩而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗？你的方法是_______；若让两个方程中y的系数互为相反数，你的方法是________．2．用加减消元法解方程组358752x yx y-=⎧⎨+=⎩将两个方程相加，得（）A．3x=8 B．7x=2 C．10x=8 D．10x=103．用加减消元法解方程组231354y xx y+=⎧⎨-=-⎩，①-②得（）A．2y=1 B．5y=4 C．7y=5 D．-3y=-34．用加减消元法解方程组23537x yx y-=⎧⎨=+⎩正确的方法是（）A．①+②得2x=5 B．①+②得3x=12C．①+②得3x+7=5 D．先将②变为x-3y=7③，再①-③得x=-25．已知方程组5112mx n xmy n y+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩的解是，则m=_______，n=_______．6．在方程组341236x yx y+=⎧⎨-=⎩中，若要消x项，则①式乘以_______得______③；•②式可乘以______得________④；然后再③④两式_______即可．7．在341236x yx y+=⎧⎨-=⎩中，①×③得________③；②×4得_____④，这种变形主要是消________．8．•用加减法解0.70.31725x yx y+=⎧⎨-+=⎩时，•将方程①两边乘以________，•再把得到的方程与②相________，可以比较简便地消去未知数________．9．方程组356234x yx y-=⎧⎨-=⎩，②×3-①×2得（）A．-3y=2 B．4y+1=0 C．y=0 D．7y=-810．已知23x yx y-=⎧⎨+=⎩，则xy的值是（）A．2 B．1 C．-1 D．211．方程组1325y xx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A．3333...2422 x x x xB C Dy y y y==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩12．已知2441x xy y=-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩和都是方程y=ax+b的解，则a和b的值是（）A．1111...2222 5311 a a a aB C Db b b b⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎩⎩⎩⎩13．用加减法解下列方程组：（1）383799215(2)(3) 274753410 x y m n x yx y m n x y+=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=+=⎩⎩⎩152343(1)4(4)(4)(5)(6)3532115(1)3(5)7525x x yx y x y x y y x y x +-⎧+=-=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨-=-=+⎩⎩⎪=+⎩14．用合适的方法解下列方程组：（1）4022356515(2)(3)322242133y x x y x y x y x y x y =-+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=-=-=-⎩⎩⎩349323(4)4(5)12105353217x z x y x yy x x y z -=-⎧+--⎪===-⎨⎪++=⎩15．如果二元一次方程组1532234ax by x ax by y -==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩的解是，则a-b=______．【综合创新训练】16．在方程y=kx+b 中，当x=2时，y=2；当x=-4时，y=-16，求当x=1时，y=_______． 17．已知a 、b18．若方程组431(1)3x y ax a y +=⎧⎨+-=⎩的解与x 与y 相等，则a 的值等于（ ）A ．4B ．10C ．11D ．12 19．已知方程组22331x y kx y k +=⎧⎨+=-⎩的解x 和y 的和等于6，k=_______．20．甲、乙两位同学一起解方程组2,32ax bycx y+=⎧⎨-=-⎩，甲正确地解得11xy=⎧⎨=-⎩，乙仅因抄错了题中的c，解得26xy=⎧⎨=-⎩，求原方程组中a、b、c的值．21．已知232x y ax y a+=⎧⎨-=⎩，求xy的值．【探究学习】皇帝巧算牛马价有一年，康熙皇帝微服南巡，在扬州城一个集市上看见两个公差正和几个卖牛马的伙计争执，只听伙计苦苦央求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买4•匹马，6头牛，共48两银子；这位大爷，您买3匹、5头牛，共38两银子，加起来，•一共是86两银子，可是你们只给了80两，还少6两，我们可亏不起这么多呀！•”而两位公差不仅不补给银子，反而瞪眼呵斥，强赶牛、马要走．正在这时，身着便服的康熙，走到公差面前说：“买卖公平，这是天经地义的事，一匹马，一头牛都有个价，要想买牛马，该付多少银子，就付多少银子，怎么能仗势欺人！”甲公差见此人竟敢当众管教他们，大怒：“你找死呀！你知道一匹马、一头牛是什么价？”康熙微微一笑，略略思索了一会儿，便说：“我事先不知道，但可以算出来，马每匹6两，牛每头4两！”伙计们和围观的人一听无不惊奇，而公差去恼羞成怒，上前就要抓康熙，此时，康熙从口袋里掏出玉玺，公差一看，方知皇帝驾到，吓得魂飞魄散，连忙跪下求饶．原来，康熙是一位精通数学的皇帝，他当时是用算术的方法求出马和牛的价格的．同学们，你不妨用二元一次方程算一算，看与康熙皇帝求得的结果一样吗？答案:【主干知识】1．相等相减 2．互为相反数相加3．相等互为相反数相等减法加法等式的相等4．两边分别相加 5．相减 x 6．让①两边同乘以37．C 8．14 xy=⎧⎨=⎩【点击思维】1．相等加减一2．①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；•②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；•③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．（1）× x若x、y均是负值，那么右边也应是负的，故不对．（2）×将y=372x-变形可得3x-2y=7，再将y=283x+变形，得2x-3y=-8与右边方程组中的第②个方程不一致，所以不对．（3）∨将30%x+60%y=10%×60化简，得x+2y=20．4．把①式两边乘2，得6x-10y=26 ③把②式两边乘3，得6x+21y=243 ④④-③得31y=217，y=7把y=7代入①得3x-35=13解得 x=16所以原方程组的解是167 xy=⎧⎨=⎩（2）该题可有个简单方法：用①+②+③得2x+2y+2z=9即x+y+z=4.5 ④④-①得 z=2.5④-②得 x=1.5④-③得 y=0.5所以原方程组的解是1.50.52.5 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩【基础能力训练】1．①×3，②×2 ①×4，②×32．D 3．C 4．D 5．2 36．2 6x+8y=2 3 6x-9y=18 相减7．9x+12y=3 8x-12y=24 y 8．10 加 x 9．C 10．B 11．A 12．B13．（1）41423133(2)(3)(4)311037132m x x x y n y y ⎧⎧===⎧⎪⎪=⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=⎩⎪⎪⎪=-=⎩⎪⎪⎩⎩（5）52(6)75x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 14．（1）代入法5876x y =⎧⎨=-⎩ （2）加减法131698x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）代入法或加减法03x y =⎧⎨=⎩（4）可化成方程组3220312x y x y +=⎧⎨--=⎩代入法或加减法皆可128x y =⎧⎨=-⎩（5）代入法及加减法都用123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩15．0【综合创新训练】16．-1 解析：把x=2，y=2及x=-4，y=-16分别代入到y=kx+b 中，组成一个二元一次方程组2234164k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=-⎩⎩解这个方程组得，所以y=kx+b 此时就化为y=3x-4，当x=1时，y=3×1-4=-1． 17．-3 解析：组成一个方程组49739724a b a a b b +=-=-⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩解得把它们代入到1a b + 中得1a b +=731722424-+-==-3． 18．C 解析：由x 与y 相等，先求得x 与y 的值为17，代入到ax+（a-1）y=3中求得a=11． 19．72 解析：由x+y=6代入到方程组中，可化为661231313y k y k y k y k =--=-⎧⎧⎨⎨+=--=-⎩⎩即 解得k=72．20．把11xy=⎧⎨=-⎩代入到原方程组中，得232a bc-=⎧⎨+=-⎩可求得c=-5，乙仅因抄错了c而求得26x y =⎧⎨=-⎩，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把26xy=⎧⎨=-⎩代入到ax+by=2中得2a-6b=2即a-3b=1．把a-3b=1与a-b=2组成一个二元一次方程组5223112aa ba bb⎧=⎪-=⎧⎪⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩解得．故a=52，b=12，c=-5．21．把②代入①得2x+y=3（x-2y），化简得7y=x即xy=7．【探究学习】设马每匹x两，牛每头y两，根据题意，得46486 35384x y xx y y+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩,解这个方程组,得，与康熙皇帝用算术方法求得的结果是一致的．。