Chapter 11-2 量子跃迁(下)

式(12)表明, t 和E不能都任意小下去,而要受到一
定的制约.此即能量-时间不确定度关系的物理含 义.
关于能量的不确定度关系,往往容易为初学者误解, 应该提到,在非相对论情况下,时间t只是一个参
量,而不是属于某一特定体系的力学量.因此,即 不能套用不确定度关系的普遍论证方法(见§4.3.1), 4.3.1 而且物理含义也不尽相同.
Γ ,而
Γτ ≈
激发态
(5)
Γ
v
x
γ
x
基态
图
11.6
图 11.7
下面对能量不确定度关系给一个较普遍的描 述.设体系的Hamilton量为 H ,A为另一个力 学量(不显含t).按照§4.3.1给出的不确定度关 系 其中
1 E A > [ A, H ] 2
(6)
1/ 2
(H H )2 E =
因此只需考虑电场的作用.
此外,对于可见光,波长 λ 为 (4000~7000)×1010 m a (玻 尔半径).在原子大小范围内 k r ≈ (2π / λ)a 1, 电 场变化极微,可以看成均匀电场,所以
E = E 0 cos ω t 它相应的电势为
(2)
(3) 常数项对于跃迁无贡献,不妨略去.因此,入射 可见光对于原子中电子的作用可表示为 (4) H ′ = eφ = D.E0 cos ωt = W cos ωt 其中 W = D.E0 , D = er (电偶极矩)
然光引起的跃迁速率
ω k ′k = D k ′k
2
ρ (ω
2
k ′k
)
4π 2e 2 r k ′k = 2 3
ρ ( ω k ′k
)
(12)
可以看出,跃迁快慢与入射光中角频率为 ω k ′k 的光 强度 ρ (ωk ′k )成比例.如入射光中没有这种频率成分, 则不能引起 Ek → Ek′ 两能级之间的跃迁.跃迁速率 2 还与 r 成比例,这就涉及初态与末态的性质.设
但对于光的受激和辐射现象,可以在非相对论量子 力学中采用半经典方法来处理,即把光子产生和湮 灭的问题,转化为在电磁场的作用下原子在不同能 级之间跃迁的问题.在这里,原子已作为一个量子 力学体系来对待,但辐射场仍然用一个连续变化的 经典电磁场来描述,并未进行量子化,即把光辐射 场当作一个与时间有关的外界微扰,用微扰论来近 似计算原子的跃迁速率.
所以
1 1 2 cos θ = ∫ d cos θ = 4π 4π
2
d ∫ sin θ cos2 θ dθ = 1/ 3 ∫
0 0
ω k ′k =
π
6
2
D k ′k
2
E 02 δ ( ω k ′k ω )
(10)
这里 E 0 是角频率为 ω 的单色光的电场强度.以上 讨论的是理想的单色光,自然界不存在严格的单色 光(只不过有的光的单色性较好,例如激光).对于这 种自然光引起的跃迁,要对式(10)中各种频率的成 分
(5)
ω 对于可见光, 很大(例如 λ ≈ 5000×1010 m 的光, ≈ 4×1015 /s ω ω ).对于原子的光跃迁, k ′k 也很大.式(5)中的两项, 只当 ω ≈ ωk ′k 时,才有显著的贡献.
为确切起见,下面先讨论原子吸收光的跃迁,Ek′ > Ek , 此时,只当入射光 ω ≈ ωk ′k = ( Ek ′ Ek ) / 的情况,才会引 起 Ek → Ek ′ 的跃迁,此时
这里 τ A 是 A 改变 A 所需的时间间隔,表征 A 变化 的快慢的周期.在给定状态下,每个力学量 A都有 相应的 τ A .在这些 τ A 中,最小的一个记为 τ ,它 当然也满足式(10),
E τ ≥
或写成
/2
(11) (12)
E t ≥ / 2
此即所谓能量-时间不确定度关系.式中E 表示能量 的不确定度,而 t 为该状态的特征时间,可理解为 状态性质有明显改变所需要的时间间隔,或变化的 周期.
[ H , t ] = i , t = i t 但此做法是不妥当的.应该强调,H是表征体系随
时间演化特性的力学量.
例如,中心力场V ( r ) 中的粒子 2 H = p / 2m + V ( r ) 由于H的各向同性,才有角动量 l = r × p 守恒, 如我们随便地令H = i t ,而不管是否中心力场,均 可得出
k ′k
原子初态: k = nlm ,
宇称 ∏ = ( 1)
l l′
原子末态: k ′ = n′l ′m′ , 宇称 ∏′ = ( 1)
C k(1 ) ′k W k ′k e i ( ω k ′k ω ) 1 = ω k ′k ω 2
(6)
因此从 k → k ′(≠ k ) 的跃迁概率
Wk ′k sin 2 [ (ωk ′k ω)t / 2] Pk ′k (t ) = Ck(1) (t ) = ′k 4 2 [ (ωk ′k ω) / 2]2
同样的变化周期.这个周期 T 是表现体系性质 变化快慢的特征时间,记为 t = T .按照以上 分析,它与体系的能量不确定度 E 有以下关系 t E ≈ (3) 对于一个定态,能量是完全确定的,即 E = 0 . 定态的特点是所有(不显含t)力学量的概率分布
都不随时间变化,即变化周期 T = ∞ .或者说特 征时间 t = ∞ ,这并不违反关系式(3). 例2 设自由粒子状态用一个波包来描述(图 11.6),波包宽度 ≈ x ,群2.1节中已经提出,由于微观粒子具有波动性, 人们对于粒子的概念应有所修改.把经典粒子概 念全盘都搬到量子力学中来,显然是不恰当的. 使用经典粒子概念来描述微观粒子必定会受到一 定的限制.这个限制集中表现在Heisenberg的不 确定度关系中.下面我们来讨论与此有关,但含 义不尽相同的能量-时间不确定度关系.先讨论 几个特例.
v
,相应于
经典粒子的运动速度.波包掠过空间某点所需时 间 t ≈ x ν .此波包所描述的粒子的动量的不 确定度为 p ≈
x .因此其能量不确定度为 E ≈ (E p )p = vp ,所以
x t E ≈ v p = x p ≈ v
(4)
例3 设原子处于激发态(图11.7).它可以通过 自发辐射(见11.6节)而衰变到基态(稳定态),寿 命为 τ .这是一个非定态,其能量不确定度E , 称为能级宽度 Γ .实验上可以通过测量自发辐 射光子的能量来测出激发态的能量.由于寿命的 限制,自发辐射光子相应的辐射波列的长度 x ≈ cτ ,因而光子动量不确定度 p ≈ x ≈ cτ , 能量( E = cp )的不确定度 E = cp ≈ τ ,由于 观测到的光子能量有这样一个不确定度,由之 而得出的激发态能量也有一个不确定度,即宽度
2 2
(7)
当时间t充分长以后,只有 ω ≈ ω k ′k 的入射光才对 的跃迁有明显贡献(共振吸收).此时
Pk ′k (t ) =
πt
4
2
Wk ′k δ ((ωk ′k ω) / 2)
2
(8)
而跃迁概率为
ω k ′k
d π = Pk ′k = 2 dt
= =
2
W k ′k
2
δ ( ω k ′k ω )
在不确定度关系 x.px ≥ / 2中, x与 px 都是指同一时 刻而言.因此,如果把 x 或者 px 之一换为t, 试问
"同一时刻"的 t 表示何意?这是很难理解的.此 外,如果套用§4.3.1不确定度关系的论证方法,就 必须计算 [ H , t ],但与H不同,t并非该体系的力学 量,有人令 H = i t ,于是得出
φ = E.r + 常数
将 H ′代入跃迁振幅的一级微扰公式
C k ′k
(1 )
1 = i
∫e
0
t
iω k ′k t
H k′ ′k d t
W k ′k = 2i
∫
0
t
e i ω k ′k t ( e iω t + e iω t ) d t
W k ′k e i ( ω k ′k + ω ) t 1 e i ( ω k ′k ω ) t 1 = + ω k ′k + ω ω k ′k ω 2
l , H = l , i =0 t
l , H = 0
即 l 都是守恒量,这显然是不妥当的.
以上做法来自对Schrodinger 方程的不正确理解.事 实上 Schrodinger 方程
i ψ (t ) = Hψ (t ) t
只是表明:在自然界中真正能实现的ψ ( t ) 的演化, 必须满足上述方程.它绝不表明,对于任意函数 ψ ( t ) ,上式都成立.因此随便让 H = i ,往往会引 起误解.
π
2 2
2
D k ′k . E 0 δ (ω k ′k ω ) D k ′k
2
2
π
2
E 02 cos 2 θδ (ω k ′k ω )
(9)
其中 θ 是 Dk ′k 与 E0 的夹角.
如果入射光为非偏振光,光偏振( E 0 )的方向是完全 无规的,因此把 cos 2θ 换为它对空间各方向的平均值, 即 2π π
令 ρ (ω )表示角频率为 ω 的电磁场的能量密度,利用
2π 1 2 2 ρ (ω) = ( E + B )(对时间求平均,周期T= ) ω 8π T E 02 (ω ) 1 1 2 = E = dt cos 2 ω t 4π 4π T ∫ 0
1 2 E 0 (ω ) = 8π
(11)
E 02 换为 8π ∫ dωρ (ω ),就得出非偏振自 可把式(10)中
1/ 2
( A A)2 , A =
分别表示在给定的状态下能量和力学量 A 的不 确定度.