量子力学第二章总结
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第二章
1.波函数/平面波：
（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数
2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.
3.波函数的几率解释/波恩解释：
（1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：
ω(r,t) ={dW(r,t)/dτ}= C|Ψ(r,t)|2
5.平方可积：
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞|Ψ(r,t)|2 dτ= 1
而得常数C 之值为：
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 dτ
若 ∫∞|Ψ(r , t)|2dτ→∞,则C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化：
C∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 dτ= 1
（波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态）
C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 dτ
现把上式所确定的C开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数：
Ψ(x,y,z,t)=C½Φ(x,y,z,t)
在t时刻 在（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是：
ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2
故把（1）式改写成
∫∞|Ψ(r , t)|2dτ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
8.δ—函数
δ(x-x0)= 0 x≠x0
∞ x=x0
∫+∞
-∞δ（x-x0）dx=1
9.波函数的标准化条件：
（1）单值、有限、连续
（2）正交 归一 完备
10.态叠加原理：
态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn ……
是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加
Ψ= C1Ψ1+ C2Ψ2+……+CnΨn 也是体系的一个可能状态。
11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程：
两个方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。
→哈密顿算符
这两个算符都是能量算符
12.薛定谔方程:
13.几率流密度
单位时间内通过τ的封闭表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J解释为概率密度矢量。
14.质量守恒定律：
15.电荷守恒定律：
16.状态波函数或态函数
所谓态函数,就是指它们的数值由系统的状态唯一地确定,而与系统如何达到这个状态的过程无关。
17.量子力学的基本假定
(1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性、单值性三个条件。
(2)力学量用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量得算符.表示力学量的算符有组成完备系的本征函数。
(3)将体系的状态波函数Ψ用算符F的本征函数Φ展开（FΦn=λnΦn FΦλ=λΦλ）:
Ψ=ΣCnΦn+∫CλΦλdλ,
则在Ψ态中测量力学量F得到结果为λn的概率为|Cn|2,得到结果在λ→λ+dλ范围内的概率是|Cλ|2dλ
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系状态（全同性原理）
18.定态/定态波函数/定态S方程：
求解薛定谔方程 的特解
(1)
由此可见，体系处于(1)式所描写的状态是，能量具有确定值，所以这种状态成为
定态..(1)式称为定态波函数（在定态中概率密度和概率流密度都与时间无关）
(2)
函数Ψ由方程（2）和具体问题中的波函数应满足地条件得出，方程(2)为定态薛定谔方程
