成都市新都一中2021届高三数学(理)国庆假期作业卷1附答案解析

四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.C ．命题“存在R x ∈，使得210x x ++<” 的否定是：“对任意R x ∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．3．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ） A ．35 B ．35C ．5D ．5-4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞5．根据表格中的数据，可以断定方程2x e x =+的一个根所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥7．已知单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为（ ）A ．12-B ．12C ．D ．28．根据如下样本数据，得到回归直线方程0.78.2y x =-+，则（ ）A ．5a =B ．变量x 与y 正相关C ．可以预测当11x =时，0.4y =D ．变量x 与y 之间是函数关系9．函数())f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12C ．2D ．311．已知函数()2()ln ,xxf x e e x -=++则使得(2)(3)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．()()1,33,-+∞C ．()3,3-D ．()(),13,-∞-+∞12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、填空题 13．复数52i -的共轭复数是___________. 14．已知函数()()324,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩对任意不相等的实数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围为______.15．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：2214y x -=的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在圆C ：()()22321x y -+-=上运动，直线OP 与E 的右支交于M .记直线MA ，MB ，MP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k ⋅⋅的取值范围是______.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．19．如图，正方体1111ABCD A B C D -，棱长为a ，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，且AE BF x ==.（1）当x 为何值时，三棱锥1B BEF -的体积最大？（2）求三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值； （3）求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围.20．过(0,1)F 的直线l 与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y . （1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值. 21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在0,内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为2213y x +=，曲线C 2参数方程为2cos (1sin x y ααα=-+⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,4R πθρ=∈．（1）求C 1的参数方程和l 的直角坐标方程； （2）已知P 是C 2上参数2πα=对应的点，Q 为C 1上的点，求PQ 中点M 到直线l 的距离取得最大值时，点Q 的直角坐标.参考答案1．D 【分析】分别解出集合A 、B ，再求R A C B ⋂即可. 【详解】(){}{}{}lg 660|6A x y x x x x x ==-=->=<， {}{}{}021220x x B x x x x =>=>=>， {}0R C B x x =≤，所以{}{}{}|600R A C B x x x x x x ⋂=<⋂≤=≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，考查了用韦恩图表示集合，涉及对数函数的定义域，解指数不等式，属于基础题. 2．D 【详解】试题分析：A ．利用否命题的定义即可判断出；B ．利用“或”命题的定义可知：若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题；C ．利用命题的否定即可判断出；D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．解：对于A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，因此不正确； 对于B ．若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C ．“存在x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，因此不正确对于D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确． 故选D ．考点：命题的真假判断与应用．3．B 【分析】令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a . 【详解】令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项，以及利用通项求等差数列中的项，属于基础题. 4．D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”. 5．C 【分析】令()2x f x e x =--，方程20x e x --=的根即函数()2xf x e x =--的零点，由()10f <，()20f >知，方程20x e x --=的一个根所在的区间为()1,2．【详解】解：令()2xf x e x =--，由图表知，()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，即()()120f f <，根据零点存在性定理可知()f x 在()1,2上存在零点，即方程20x e x --=的一个根所在的区间为()1,2， 故选：C ． 【点睛】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及零点存在性定理的应用，属于基础题． 6．C 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的． 7．A 【分析】由向量投影的概念可求得向量1e 在向量2e 方向上的投影. 【详解】由于单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为121cos32e π=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量投影的计算，考查平面向量投影概念的应用，考查计算能力，属于基础题. 8．A 【分析】对选项,A 利用回归直线过样本点的中心求出5a =，所以选项A 正确；对选项B ,可知变量x 与y 负相关，所以选项B 错误；对选项,C 当11x =时，0.5y =,所以选项C 错误；对选项D ,变量x 与y 之间是相关关系，所以选项D 错误.【详解】对选项,A 由题意可得：357964x +++==，6321144a ay ++++==，由回归直线过样本点的中心，得110.768.24a+=-⨯+，解得5a =，所以选项A 正确； 对选项B ,由0.70b =-<，可知变量x 与y 负相关，所以选项B 错误； 对选项,C 当11x =时，0.5y =,所以选项C 错误；对选项D ,变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，所以选项D 错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质及应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．D 【分析】利用排除法，先判断奇偶性，再取特殊值即可得结果. 【详解】解：由题意知函数的定义域为R())lnf x x x =，则())lnf x x x -=-，有()()()22ln 10x x f x x f x ⎡⎤-=+-=⎣⎦-，得()()f x f x =-，所以函数()f x 为偶函数，排除选项A ，B ；又())1ln 10f =<，排除选项C.故选：D.【点睛】此题考查了函数图像的识别，注意奇偶性、特殊值的使用，属于基础题. 10．A 【分析】切点为M ，由通径长得22b PF a =，由椭圆定义得212b PF a a=-，2c OM =，1OF c =，这样可得出2112PF PF =，即得,,a b c 的等式，从而可求得离心率e ． 【详解】如图，设直线1PF 与圆2224c x y +=相切于点M ，连接OM ，则2c OM =， 椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，2PF x ⊥轴，∴22=P b PF y a =，∴21222b PF a PF a a =-=-，1OM PF ⊥，2PF x ⊥轴，∴121OMF PF F ∽，∴121OM OF PF PF =，即2222ac cb b a a=-，解得c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式（齐次式）．本题结合通径长，椭圆的定义，圆的切线的性质得出所要求的等式，从而得解． 11．D 【分析】先求出()'x x x xe ef x e e ---=++2x ，再由f （x ）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|，解之即可求出使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围． 【详解】解：∵函数f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2，∴()'x xx xe ef x e e---=++2x ， 当x ＝0时，f ′（x ）＝0，f （x ）取最小值， 当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， ∴f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|， 整理，得x 2﹣2x ﹣3＞0， 解得x ＞3或x ＜﹣1，∴使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：D ． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 12．C 【分析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02x g x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 13．2i -+ 【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】 解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+ 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题． 14．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 在R 上为减函数，从而得到32001324log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，再解不等式组即可. 【详解】由题知：对任意不相等的实数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数，故32001324log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得：2273a ≤<.故答案为：22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题. 15．【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c ﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得， ∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16．33⎡-+⎣【分析】设()00,M x y ，根据双曲线的方程，得到A ，B ，求出124k k ⋅=，再设MP 的方程为3y k x =，根据直线3y k x =与圆()()22321x y -+-=有交点，得出圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】设()00,M x y ，因为直线OP 与E 的右支交于M ，所以220014y x -=，即220044x y -=，又双曲线E ：2214y x -=的左、右顶点分别为()1,0A -，()10B ,， 因此220000122200004411411MA MBy y y x k k k k x x x x =⋅=⋅===+----， 又点P 在圆C ：()()22321x y -+-=上运动， 所以直线OP 与圆C ：()()22321x y -+-=有交点， 所以圆心()3,2到直线OP 的距离小于等于半径1，又3OP MP k k k ==，所以直线OP 的方程为3y k x =，即30k x y -=， 所以圆心()3,2到直线OP的距离为1d =≤，即23381230k k -+≤，3k ≤，因此123343k k k k ⎡⋅⋅=∈+⎣.故答案为：33⎡-+⎣.【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，考查双曲线的简单性质，属于常考题型. 17．（1）21n a n =+；（2）69nn + 【分析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得n b 的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 【详解】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =，21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前n 项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得1,a d ，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前n 项和.18．（1）0.02a =（2）各抽3，2，1人．（3）35【详解】分析：（1）根据所有小长方形面积的和为1，求a 的值，（2）根据分层抽样按比例抽取人数，（3）先根据枚举法求总事件数，再求第4组至少有1人被抽中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 详解：（Ⅰ）()0.0050.010.030.035101a ++++⨯=，0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ， 5组人为1C ，共有2615C =种，符合有：()11A B ()12A B ()21A B()22A B ()31A B ()32A B()12B B ()11,B C ()21,B C 9种，∴93155P ==． 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 19．（1）2a x =；（2）（3）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）直接将三棱锥1B BEF -的体积用x 表示出来，再求二次函数的最大值；（2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大，连接1,BO B O ，说明1BOB ∠即为二面角1B EF B --的平面角，再求出1BOB ∠的正切值； （3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角，再解三角形，用x 表示出1cos HA E ∠，从而求出异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 【详解】解：（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面ABCD 所以()122211()()3266624B BEFa a a a a V a x x a a x x x ax x -⎡⎤⎛⎫=⋅-⋅⋅=-=-+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2ax =时，三棱锥1B BEF -的体积最大. （2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大.所以11,BE BF B E B F ==，因此BO EF ⊥，1B O EF ⊥， 所以1B OB ∠就是二面角1B EF B --的平面角.在Rt BEF △中112222BO EF a ==⋅=，在1Rt BB O 中，11tan BB B OB BO∠==三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值为. （3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则在正方形ABCD 中，所以11HF A B =，11//HF A B ，所以11//A H B F ， 所以1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角.在1Rt A AH 中，1A H =在1Rt A AE △中，1A E =在Rt HAE 中，HE =，在1HA E 中，22221112211cos 2A H A E EH a HA E A H A E a x +-∠==⋅+，因为0x a <≤，所以22222a x a a <+≤，所以222112a x a≤<+， 所以11cos 12HA E ≤∠<，所以103HA E π<∠≤所以异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，几何法求二面角的余弦值，求异面直线所成的角，还结合考查了求函数的最值和取值范围，属于中档题. 20．（1）1-；（2）32. 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；（2）求出QF ，AB ，利用数量积公式证出QF AB ⊥，即MN AB ⊥，运用弦长公式表示出四边形的面积，结合不等式求出最小值． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-， 即：2111124:x l y x x =-，同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即01y =-.（2）因为12,22x x FQ +⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以()2222222121212120222x x x x x x FQ AB y y ---⋅=--=-=，所以QF AB ⊥，即MN AB ⊥，()21212||2444AB y y k x x k =++=++=+，同理24||4MN k=+， ()2222111||81182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖∣， 当且仅当1k =±时，四边形AMBN 面积的最小值为32. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题． 21．（Ⅰ）e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（I ）对原函数求导，根据()f x 在(0,)+∞内的单调性得ln 24x a x+在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数ln 2()x g x x+=，求出其最大值即可求出a 的取值范围; （Ⅱ）函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，等价于'()ln 240f x x ax =+-=在()0,x ∈+∞内有两根1x ，2x ，将极值点代入作差，设120x x <<，得到0a <时原不等式成立；0a >时，将原不等式转化为12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令12x t x =，(0,1)t ∈，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+，证明()(1)0h t h >=，即原不等式成立. 【详解】（I ）由题可知()ln 24f x x ax +'=-，0x >，f x 在0,内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤'在0,内恒成立， 即ln 24x a x x≥+在0,内恒成立， 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln x g x x --'=， ∴当10ex <<时，0g x ，即()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内为增函数， 当1x e >时，0g x ，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数， ∴()max g x =1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即4a e ≥，4e a ≥， ∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在0,内有两根1x ，2x ， 1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧∴⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-， 不妨设120x x <<，当0a <时，1212x x a+>恒成立， 当0a >时，要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--， 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 令12x t x =，(0,1)t ∈， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，22(1')()0(1)t h t t t --∴=<+， ()h t ∴在(0,1)t ∈上单调递减，()(1)0h t h ∴>=，2(1)ln 1t t t -∴>+， 即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立， 1212x x a∴+>. 【点睛】 本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.22．（1）cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；0x y -=； （2）13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由椭圆的参数方程的形式得到曲线C 1的参数方程，又由直线l 的极坐标方程可知直线l 过原点，斜率为1，则可求出l 的直角坐标方程．（2）由题意写出P ，Q 的坐标，可得M 的坐标，利用点到直线距离求解Q 坐标即可．【详解】（1）1C的参数方程为cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）； l 的直角坐标方程为0x y -=.（2）由题设(2,0)P -，由（1）可设(cos )Q ββ，于是11cos 2M ββ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.M到直线l距离d==，当23πβ=时，d，此时点Q的直角坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查运用参数解决问题的能力，是基础题．。

2021年四川省成都市新都区高三摸底测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20P x x x =-≥，{}|12Q x x =<≤，则()RP Q 等于（）A ．[)0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．[]1,2答案：C【解析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.解：由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C.点评：本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（） A ．12i B ．12C ．32i -D ．32-答案：D【解析】根据复数的四则运算，化简复数z ，即可求得其虚部. 解：因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.点评：本题考查复数的运算，以及复数虚部的辨识，属基础题.3．已知n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，则1358102)3()36a a a a a ++++=（，则11=s （） A ．66 B ．55C ．44D ．33答案：D 【解析】因为数列是等差数列，所以1358103962)3()661236a a a a a a a a （++++=+==，故63a =，所以1161133s a ==，故选D.4．若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（） A ．12B ．15C ．16D ．1答案：D【解析】先将指数式化成对数式，求出,a b ，再利用换底公式的推论log log 1a b b a ⋅=以及对数的运算法则即可求出．解：因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==． 故选D ．点评：本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论log log 1a b b a ⋅=的应用以及对数的运算法则的应用．5．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（） A ．20x y -= B ．0x y -= C ．20x y += D ．20x y -=答案：B【解析】根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程解：∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---， ∴2(1)0a x -=，1a =，()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=． 故选B ．点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般． 6．已知α是锐角，若1sin()44πα-=，则cos2=α A ．78BC ．78-D． 答案：D【解析】144sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，α是锐角，cos 4πα⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 则22sin sin cos 4444sin ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14=+=23221212648cos sin αα+=-=-⨯=-故选D7．给出下列说法：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差22s <；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是（） A ．①②④ B ．②③④C ．①③④D ．②④答案：B【解析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是不正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.解：解:对于①中，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，但不一定过一个样本点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得744471x ⨯+==+,根据方差的计算公式()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：B点评：本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键，属于基础题.8．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4答案：B【解析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.解：奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B.点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.9．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（）． A ．()1,2 B ．32(1,]4C ．()2,+∞D ．32[,)4+∞ 答案：B【解析】由已知可得以AF 为直径的圆与渐近线有公共点，得出,,a b c 的不等量关系，结合222c a b =+，即可求解.解：抛物线2:8C y ax =的焦点为(2,0)F a ，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥， 不妨设渐近线方程为by x a=， 则以AF 为直径的圆与渐近线有公共点， 即AF 的中点3(,0)2a 到直线0bx ay -=的距离2a d ≤， 即22332,3,22abab a d b c c a b ==≤≤+ 22222299,89,8c b c c a a ∴≤≤∴≤3214e ∴<≤. 故选：B.点评：本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.10．已知函数12()sin(),12xxf x x x R α-=+∈+，则当[0,]απ∈时函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：C【解析】观察到四个选项均有奇偶性,且1212xxy -=+为奇函数,故分析sin()y x α=+有奇偶性的情况即可.解：由选项知函数图像关于y 轴或关于原点对称,故0α=,2πα=或απ=.①若0α=,则函数12()sin 12x x f x x -=+,因为()1212()sin sin 1212x xx xf x x x -----=-=++为偶函数,故图像关于y 轴对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为A.②若2πα=,则函数12()cos 12xxf x x -=+为奇函数,图像关于原点对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为D.③若απ=,则函数12()sin 12x xf x x -=-+为偶函数,图像关于y 轴对称.当0x +→时,函数()0f x >,此时对应的图像为B.故不可能是C. 故选：C点评：本题主要考查了函数图像的判定方法与技巧,主要分析函数的奇偶性与函数在0x +→时的正负等.属于中等题型.11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90PBC ∠=︒，2PA =，若三棱锥P ABC -的体积为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（） A ．18π B ．24πC ．36πD ．40π答案：D【解析】取PC 的中点O ，由题目分析可知球心位于O 点，根据题目中的几何条件解出底面边长BA ，AC ，然后求解球体的半径，得出外接球表面积. 解：由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥； 又BC PB ⊥，PAPB P =，所以BC ⊥平面PAB ，从而BC AB ⊥， 所以AC 是ABC 外接圆的直径．设PC 的中点为O ，在直角PAC 中，有OA OP OC ==； 在直角PBC 中，有OP OC OB ==， 所以O 是三棱锥P ABC -外接球的球心． 由三棱锥P ABC -的体积为6得：2111112633233ABC S PA AB BC AB BC AB ⨯=⨯⨯⨯=⨯==△， 此时218AB =，236AC =，所以22240PC PB AC =+=，从而三棱锥外接球的半径为10=R ，所以外接球的表面积为2440R ππ=， 故选：D ．点评：本题考查与球体结合的相关计算问题，考查椎体的外接球半径计算，难度一般.解答时，要根据题目条件确定出球心位置是解题的关键.12．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0=>a f x x a 且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（） A ．(625,)+∞ B ．(4,64) C ．(9,625) D ．(9,64)答案：C【解析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.解：先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C.点评：本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 二、填空题13．已知向量()()3,1,1a b t =-=,，若(2)a a b ⊥-)，则向量a 与向量b 的夹角为___________. 答案：4π【解析】由(2)a a b ⊥-，得到(2)0a a b ⋅-=，求得2t =，进而得到()()3,12,1a b =-=,，再结合向量的数量积和夹角公式的坐标运算公式，即可求解. 解：由题意，向量()()3,1,1a b t =-=,，则()232,3a b t -=--， 因为(2)a a b ⊥-，所以(2)3(32)(1)(3)1260a a b t t ⋅-=⨯-+-⨯-=-=，解得2t =，所以()()3,12,1a b =-=,，则10,5,32115a b a b ==⋅=⨯-⨯=， 由2cos ,105a b a b a b⋅===⨯⋅ 又因为,[0,]a b π∈，所以向量a 与向量b 的夹角为4π. 故答案为：4π.点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量的夹角公式的应用，以及向量垂直的坐标表示及运算，其中解答中熟记向量的数量积和夹角的坐标运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =________m.答案：1006【解析】试题分析：由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006【考点】正弦定理及运用．15．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 答案：33【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得33sin x x ==代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上） 答案：①③④【解析】①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是12，1，64，2，…，22n -，12n -，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前n 项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算57.510T =<，610.50T =>即可判定④正确.解：①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45， 16，26，36，46，56，17，27，37，47，57，67，18，28，38，所以2438a =，故①正确. ②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，… 是12，1，64，2，…，22n -，12n -， 由等差数列定义121222n n ---=（常数） 所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列， 故②不正确.③因为数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：21(1)12224n n n n nT n -+=+⨯=， 故③正确.④由③知：1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，1112131415a a a a a ++++，161718192021a a a a a a +++++，是12，1，64，2，52，12345615677777777+++++=+. 因为57.510T =<，610.50T =>所以存在20k =，使2010S <，2110S ≥，且205=7a . 故④正确.故答案为：①③④.点评：本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题. 三、解答题17．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 答案：（1）480；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1. 【解析】（1）根据频率即可计算出；（2）可知X 可取的值为0,1,2，分别计算出概率，即可得出分布列，进而求出数学期望.解：（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为()6000.5000.2500.050480⨯++=；（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为400.0502⨯= 乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为400.1004⨯=， 从甲班抽到的学生人数X 可取的值为0,1,2，则()032436105C C P X C ===，()122436315C C P X C ===，()212436125C C P X C ===， 所以的分布列为：12P15 35 15则X 的数学期望为：()0121555E X =⨯+⨯+⨯=.点评：本题考查频率分布直方图的理解，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.18．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，M ､N ､F 分别是A C '､BC ､A C ''的中点.（1）证明：//MN 平面CFB '；（2）底面△A B C '''是边长为2的正三角形，C 在底面上的射影为F ，且=1CF ，当P 是CB '的中点时，求二面角P A C B '''--的大小. 答案：（1）证明见解析；（2）30.【解析】（1）连接A B '，则//MN A B '，连接BC '，交B C '于G ，连接FG ，则//FG A B '，故//MN FG ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题知，CF ⊥平面A B C '''，可得CF A C ''⊥，又B F A C '''⊥，可证A C ''⊥面CFB '，A C FP ''⊥，故PFB '∠即为所求二面角的泡沫胶；在Rt CFB '中，即可求得PFB '∠的值，进而求出结果．解：（1）证明：连接A B '，M ､N 分别是A C '､BC 的中点，//MN A B '∴，连接BC '，交B C '于G ，连接FG ，由F 为A C ''的中点，G 为C B '的中点，可得//FG A B '，则//MN FG ，FG ⊂平面CFB '，MN ⊄平面CFB '，//MN ∴平面CFB '；.C 在底面的投影为F ，CF ∴⊥平面A B C '''，CF A C ''∴⊥，因为A B C '''是边长为2的正三角形，∴B F A C '''⊥，B F CF F '=，∴A C CFB '''⊥面，A C FP ''⊥，PFB '∴∠是平面PA C ''与平面A B C '''所成角的平面角，FB '1CF =，=2CB '，∴1PF =，60CFP ∴∠=，30PFB '∴∠=即二面角P A C B '''--的大小为30.点评：本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．已知向量2cos ,13sin ,cos 222x x x m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()1f x m n =⋅+． （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，f （x ）=1，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 且满足2cos 2b A c ≤-求()f B 的取值范围． 答案：（1）3π；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得1()sin 62f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得解；（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得cos B ≥，进而可得0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用三角函数的图象与性质即可得解.解：（1）由题意21cos ()13cos cos 1sin 122222x x x xf x m n x +=⋅+=⋅-+=-+111cos sin 2262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为()1f x =，所以sin 612x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以66x ππ-=即3x π=；（2）由2cos 2b A c ≤可得2sin cos 2sin B A C A ≤，因为()C A B π=-+，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2(sin cos cos sin )B A A B A B A ≤+2sin cos A A B ≤，由(0,)A π∈可得sin 0A >，所以cos B ≥，所以0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以,066B ππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，1sin ,062B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以11()sin 0,622f B B π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 点评：本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S S =，4223a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，证明：38n b ≤. 答案：（1）23n a n =-+；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据535S S =，4223a a =-，列出方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式. （2）由312123112n n n b b b b a a a a +++⋯+=-，得到当2n ≥时，311211231112n n n b b b b a a a a ---+++⋯+=-， 两式相减求得12n n n b a =-，进而求得数列{}n b 的通项公式，结合数列的单调性，即可求解.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为535S S =，4223a a =-，可得()()1111510533323a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩，解得11a =，2d =-， 所以1(1)(2)23n a n n =+-⨯-=-+， 即数列{}n a 的通项公式23n a n =-+.（2）因为*12312311,2n n n b b b b n a a a a +++⋯+=-∈N ， 当2n ≥时，*12311123111,2n n n b b b b n a a a a ---+++⋯+=-∈N ， 两式相减可得：111111222n n n n n b a -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭， 所以11(23)22n n n n b a n -⨯=⨯= 又由1n =时，1111122b a =-=-，所以111122b a =-=-，也符合上式，所以1(23)2n nb n =-⨯， 又因为1111125(21)(23)222n n n n n n b b n n +⋅⋅-+-=-⨯--⨯=， 可得当2n ≤时，10n n b b +->；当3n ≥时，10n n b b --<， 所以数列{}n b 先单调递增再递减，可得338n b b =的最大值为，所以38n b ≤. 点评：本题主要考查了等差数列的通项公式求解，利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的单调性的判定及应用，其中解答中熟练化简数列的递推公式，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)16A x y -+=，圆内一点(1,0)B -，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点E ，当P 在圆上运动时， （1）求点E 的轨迹方程；（2）过A 的直线与点E 的轨迹方程交于H G 、两点，若线段HG 的中点为M ，且2MN OM =，求四边形OHNG 面积的最大值.答案：（1）22143x y +=；（2）92. 【解析】（1）利用椭圆的定义即可求解.（2）直线HG 斜率不为0，设为1x ty =+，将直线与椭圆方程联立，消x 整理出关于y的一元二次方程，利用韦达定理可得21221612OHGt S OA y y +=-=△，由2MN OM =，2GHN OHG S S =△△，根据3OHG GHN OHG S S S S +==△△△，利用基本不等式即可求解.解：（1）由题意知EB ED=，所以42EB EA PE EA PA AB +=+==>=， 所以E轨迹是焦点为A ､B ，长轴为4的椭圆的，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以24a =，2b 3=，所以椭圆方程为22143x y +=即点E 的轨迹的方程为22143x y +=；（2）因为直线HG 斜率不为0，设为1x ty =+，设()11,G x y ，()22,H x y ，联立221,143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690t y ty ++-=，所以222=3636(34)144(1)0t t t ∆++=+>， 122634t y y t -+=+，122934y y t -=+ 所以2121612OHGt S OA y y +=-=△ ∵2MN OM =，∴2GHN OHG S S =△△， 设四边形OHNG 的面积为S ，则222222181181831343111OHGGHNOHGt S SSSt t t t +=+====++++ 21(1)t m m +≥，再令13y m m=+， 则13y m m=+在[)1,+∞单调递增，所以1m =时，min 4y =，此时0t =，取得最小值4，所以max 92S =. 【点睛】本题考查了椭圆的定义求标准方程、直线与椭圆的位置关系，此题对计算能力要求较高，属于难题. 22．已知函数()ln 13xf x a x =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x ､2x ，且12x x >，求证：211111x x a +>. 答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求得()f x '，对参数a 进行分类讨论，即可利用导数求得函数单调性； （2）根据零点定理，用12,x x 表示a ，通过换元法，求目标不等式转化为()()()()111ln 1311u g u u u u -=->+的值域问题，利用导数即可得证.解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1333a x af x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上是增函数 当0a >时，()03f x x a '>⇔>；()003f x x a '>⇔<<， 所以()f x 在()0,3a 上是减函数，在()3,a +∞上是增函数 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当0a >时，()f x 在()0,3a 上是减函数，在()3,a +∞上是增函数 （2）若函数()f x 有两个零，点1x ，2x ，根据（1），可得0a >. 不妨设210x x <<，由()()120f x f x ==，得11223ln 30,3ln 30,x a x x a x --=⎧⎨--=⎩两式相减，得11223ln x x x a x -=，解得12123ln x x ax x -=， 要证明211111x x a +>，即证()12211211113ln x x x x x x -+>即证()()12122111ln311x x x x x x ->+，设()121x u u x =>，则()()111ln 311u u u ->+ 则()()()()111ln 1311u g u u u u -=->+，则()()()()2221114401111u g u u u u u -'=-=≥++，所以()g u 在()1,+∞上为增函数，从而()()10g u g >=，即()()111ln 311u u u ->+成立，因此，()21110x a x -+>成立.即211111x x a +>点评：本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及用导数证明不等式恒成立问题，涉及构造函数法，属综合中档题.。

2021年高三上学期国庆假期作业数学理试题含答案复习题一1．下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面2．已知、是两个不同平面，、是两条不同直线，下列命题中假命题．．．是（）A．若∥,, 则 B．若∥,, 则∥C．若,, 则∥ D．若,, 则3．已知平面，，直线，若，，则 ( ) A．垂直于平面的平面一定平行于平面B．垂直于直线的直线一定垂直于平面C．垂直于平面的平面一定平行于直线D．垂直于直线的平面一定与平面,都垂直4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或(C) (D)5．=_________________6、若复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m=____________。

为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.7. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．复习题二1.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（）A．12 B．24 C．36 D．482.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A. B. C. D.3.复数的虚部是（）A． B． C．–1 D．4．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数5．若曲线在点P处的切线斜率为1,则点P的坐标为__________________6．已知0＜a＜1，log a m＜log a n＜0，则m，n与1的大小关系______已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．7.已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．复习题三1.复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.的展开式中的常数项为（）A． B. C. D.3.某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．324．已知f(x)是定义在(－∞，0)上的减函数，且f(1－m)＜f(m－3)，则m的取值范围是( ) A．m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．1＜m＜25．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是 腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体 积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则 球的表面积是_____．6．函数f(x )=x 3－3x +1, x ∈［－3,0］的最大值为__________，最小值为__________7．函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．37.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠B AF=90º，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P 在棱DF 上． （Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．PF EDA复习题四1．已知函数等于( )A．－1 B．－2 C．2 D．32．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（）种A. B. C. D.3.计算定积分___________.4.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )A．B．C．D．5.已知向量，且A、B、C三点共线，求实数k的值．6.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若k a－2b与a垂直，求实数k的值．7.已知：｜a｜＝2，｜b｜＝5，〈a，b〉＝60°，求：①a·b；②(2 a＋b)·b；③｜2a＋b｜；④2 a＋b与b的夹角 的余弦值33．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．复习题五1．函数的图象在点P处的切线方程是，则_____。

绝密★启用前理科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题共60分）一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1,2}-C ．{0,1}D ．{1,0}-2.已知i 是虚数单位，设11izi，则复数2z +对应的点位于复平面 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.抛物线22y x =的焦点坐标为A ．B ．1(4，0)C ．D ．4.已知0.2log 2a =，，，则A.c a b <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<5、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβC ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n6.若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2α= A ．45B ．1C ．2D ．35-7.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．41y x =-B ．24y x =-C ．42y x =-D ．26y x =-8.已知函数sin()y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，且此函数的图像如图所示，则此函数的解析式可以是A ．1sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 28y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.下列命题中的真命题有A ．已知,a b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充分而不必要条件 B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1xx e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011x x e +≤C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂.“//m β”是“//αβ”的充要条件D ．“”的否定为“2,2xx R x ∀∈≤”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为A ．162π-B ．16π+C ．16π-D ．162π+11.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A 到D 修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A ，B ，C ，D 在同一水平面内），则A ，D 间的距离为A ．651213-kmB ．65123-km C．35123-kmD ．351213-km12、已知双曲线,O 为坐标原点，P,Q 为双曲线上两动点，且,则面积的最小值为（）A ．20B ．15C ．30D ．25第II 卷（非选择题共90分）二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021-2022年高三国庆节定时测试（三）数学（理）试题含答案一、选择题：1．已知集合M={y|y ≥-1），N={x|-1≤z ≤1），则=（ ）A.[-1,1]B.[-1,+∞）C.[1,+ ∞)D.2．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列同时满足条件①是奇函数；②在[0，1]上是增函数；③在[0，1]上最小值为0的函数是（ ）A ．y=x 3-3x B. y= sinx+2x C ． D ．4．设点P 是曲线上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为a ，则角a 的取值范围是（ ）25.[,).(,]32652.[0,)[,).[0,)[,)2623A B C D ππππππππππ5．下列4个命题：①命题“若x 2 -3 x+2=0，则x=l ”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2-3 x+2≠0”； ②若p ：（x 一1）(x-2)≤0，q ：≥1，则p 是q 的的充分不必要条件； ③若p 或q 是假命题，则p 且q 是假命题；④对于命题p ：存在x ∈R ，使得x 2+x+1<0．则，p ：任意x ∈R ，均有x 2+x+l ≥0;其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B 2个C ．3个D 4个6．设函数在区间(1，2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (-ln3,-ln2)B. (0,ln2)C. (ln2,ln3)D. (ln2,+ ∞) 7．函数，（a ，b ∈R ），若1()2014,(lg 2015)2015f f ==则（ ） A. xx B.2014 C xx D. -xx8．如图，正方形ABCD 的顶点A(0，)，B （，0），顶点C 、D 位于第一象限，直线l ： 将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为，则函数s=的图象大致是（ ）9．设，则的最小值是 （ ） A ．2 B ． C ． D ．10．已知函数01(),()'()(1,2,3,)xxi f e x e g x g x i -=+==⋅⋅⋅，则 A. xx+ln8 B ．4032+ln4C. xx+21n2 D ． 4032+ln2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 11．已知函数，则函数的值为 。