上海市高中数学2019-2020学年度高二数学同步教学案复数的平方根与立方根,实系数一元二次方程

上海市高中数学2019-2020学年度高二数学同步教学案复数的平方根与立方根，实系数一元二次方程【知识梳理】1、复数的平方根如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根。

【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；（2）复数的平方根一般不要记为z 。

2、复数的立方根若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根。

【注】1的立方根有三个：1，ω，2ω（其中i 2321+-=ω），满足210ωω++=。

3、实系数的一元二次方程:实系数的一元二次方程02=++c bx ax （a 、b 、c R ∈，且0≠a ）(1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；(3)当042<-=∆ac b 时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根 i ab ac a b a i b ac b x 2422422-±-=-±-= 21x x =—，∴2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=. 这时两根仍然满足韦达定理：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。

（2）实系数一元二次方程02=++c bx ax 在复数范围内总有两个解1x 、2x ，总可以进行因式分解：))((212x x x x a c bx ax --=++。

【典型例题分析】（一）复数的平方根与立方根例1、求下列复数的平方根（1）-7（2）-3+4i答案：（1）（2）1+2i 或-1-2i变式练习：设2,,,z C z a a R ∈=∈求实数z. 解析：分类讨论a>0时，z =a<0时，z =；a=0时，z=0.223212101ωωωωωωωωω=-+===设复数则1，，都是1的立方根。

的性质：+，， 例2、利用1的立方根ω，求下列实数的立方根。

(1)64 ；(2)-125答案：略变式练习：计算复数12z =的值。

答案：-64。

（二）实系数一元二次方程例1、在复数范围内分解因式：2223x x ++【分析】若12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的根，则有2ax bx c ++=()()12a x x x x --【解】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭变式练习1：已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q ++=的一个根，则p q ⋅=【答案】8-例2、复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【分析】由210z z ++=知，z 是1的两个立方虚根，故令z w =【解】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++= 所以原式()()4428211w w w w w w w w =++=-+=+=+=-【点拨】本题的关键是由210z z ++=得，z w =z w =或例3、若12,z z 为虚数且为实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，求,p q 的值。

【分析】由条件虚数且为实系数一元二次方程两根，故两根互为共轭，即21z z =，又212z z =，由两个条件可求出12,z z ，再利用根与系数求,p q【解】设()1,,0z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-，于是()2a bi a bi +=-，即222a b abi a bi -+=-，从而221222a ab a ab b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=±⎪⎩即此一元二次方程的根为12-±所以1112222p i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112222q i i ⎛⎫⎛⎫=-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 例4、设,αβ为实系数一元二次方程两虚根，且2R αβ∈，求αβ的值。

【分析】本题未给出具体方程，但要求αβ具体的值，两个人条件中第一个条件只能说明αβ=，而条件2R αβ∈有两个等价形式：2αβ的虚部为零或22ααββ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于条件一中涉及到共轭问题，因此考虑第二种形式 由2R αβ∈得22ααββ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22ααββ=，因,αββα==，故22αββα= 从而31αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因,αβ为共轭复数，故αβ为虚数，即αβ=本题若直接设(),,0a bi a b R b α=+∈≠,a bi β=-代入2R αβ∈得出a 与b 的关系，同样可求出αβ的值，不妨试一试。

例5、已知z 为复数（1）若10z z+=，求z （2）若122z z -<+<，求z 【解】（1）22110010z z z z z++=∴=∴+= 21z z i ∴=-∴=± （2）设1k z z=+，则22,k k R -<<∈故 从而2210,40z kz k -+==-<V 故该实系数一元二次方程有两共轭虚根,αβ，由韦达定理1αβ=g ，即21ααα==g 所以1αβ==，即满足122z z -<+<的复数z 必然有1z =例6、设虚数12,z z 满足212z z =，若12,z z 又是一个实数系一元二次方程的两根，求12,z z【分析】由于12,z z 是实数系一元二次方程的两根，因此12,z z 互为共轭。

【解】设12,z a bi z a bi =+=-(),,0a b R b ∈≠由212z z =，得222a b abi a bi -+=-于是2211222a a a b a ab b b b ⎧⎧=-=-⎪⎪⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨⎨=-⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩1211,22z z ∴=-=--或1211,22z z =--=- 例7、求实数m ，使方程()()2210x m i x mi ++++=至少有一个实根。

【错解】由()()2224180m i mi m =+-+=-≥V2m m ⇒≤-≥【错解分析】本题错在把实数系一元二次方程的根判别式套用到复数系一元二次方程中，事实上，判别式对复数系一元二次方程不成立，正确的解法是将复数问题实数化。

【正解】设,z t t R =∈为原方程的根，则原方程化为()()2120t mt t m i ++++= 2110220t t mt m t m =±⎧++=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩m 故当2m =±时，方程至少有一个实数。

例8、设方程0222=+-m x x 的两根为21,x x ，且321=-x x ，求实数m 的值。

【答案】11744m =-或变式练习：设α，β是关于x 的方程230x x m -+=的两根，m ∈R ，且9αβ+=，试求m 的值。

【答案】81184-或【课堂小练】1、已知关于x 的二次方程0342=++-i zx x 有实根，求复数z 的模的最小值。

答案：2、设,2321i w --=则23,__________w w ==2,1_____w w ++=。

·【答案】1,22i -+ 1， 0 3、若i 21+是方程),(,022R c b c bx x ∈=++的一个根，则=b __________，=c _________。

【答案】4,- 104、在复数范围内分解因式：8522+-x x =_________________________。

【答案】11222x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5、164-x 在复数范围内分解成一次式的乘积为 。

【答案】()()()()2222x x x i x i +-+- 6、在复数集中分解因式：2321x x -+= 。

【答案】3x x ⎛⎝⎭⎝⎭7、若方程220()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|= 。

8、已知实系数方程0)1(2=+--k x k x 的虚根的模等于5，求k 的值，并解此方程。

【答案】5k = 2x i =±9、已知关于x 的方程222440xax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=，求实数a 的值。

【答案】1322a =或10、已知方程02=++m x x 有两个根1x ，2x ，R m ∈。

（1）若3||21=-x x ，求m ； （2）若3||||21=+x x ，求m 。

【答案】（1）522-或 （2）924-或 11、若关于x 的实系数一元二次方程052=++m x x 的两个虚根1x 、2x 满足321=-x x ，则实数m 的值是( ) (A) 17 (B)217 (C) 8 (D ） 4 【答案】B12、复数i 43+-的平方根是 。

【答案】2,2i i +--13、1的立方根是 。

【答案】1，12-±14、求值：（1）()()615122143i i i i --+++- （2）()()()i i i 4091123+-+ 【答案】（1）111i - （2）4931241i -15、设复数()()R a i a a a a z ∈+-+-+=其中,67222，当a 取何值时，z 所对应的点在复平面的第四象限内？【答案】16a <<16、若()R b a bi a z ∈+=,满足5=z ,且()()i b a b a 3443++-是纯虚数，求复数z 。

【答案】4,34,3a b a b ===-=-或17、复数()()i k k k k -+--22232在复平面内对应的点在第二象限，求实数k 的取值范围。

【答案】20k -<<18、设复数()0,,≠∈+=b R b a bi a z ，22b a bi a bi a w +-++=是实数，且21<<-w 。

（1）求z 的值； （2）求z 的实部a 的取值范围。

【答案】（1）1 （2）112a -<<19、已知复数()()ii i z +-++=21312，且i b az z +=++12，求实数b a ,的值。

【答案】3,4a b =-=【课堂总结】1、关于复系数一元二次方程()200,,,ax bx c a a b c C ++=≠∈24b ac =-V 一般不能用来判断这个方程根的情况，然而实系数一元二次方程中根与系数的关系对于复系数一元二次方程仍适用，即有1212,b c x x x x a a+=-=。