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倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料

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倒立摆系统的建模及Matlab 仿真1.系统的物理模型考虑如图(1)面内运动的二维问题。

图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：l =1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。

2.系统的数学模型2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。

为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。

设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有u l z dtd m dt z d M =++)sin (2222θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。

由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θθ2 项。

于是有u ml z m M =++θ)( ③ θθg l z =+④ 联立求解可得u Ml Ml m M u MM mg z1)(1-+=+-=θθθ2.2列写系统的状态空间表达式。

选取系统变量4321,,,x x x x ， []Tx x x x x 4321,,,=则u Mlx Ml m M xx x u Mx M mg x x x 1)(134433221-+==+-==即[]Cxx x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M Mmgz z dt d x ===+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000110100)(0010000000011θθ 代入数据计算得到：[][]0,0001,1010,0110010000100001==-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=D C B A T3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==01101110100101101032B A BA AB BQ k ，rank(k Q )=4,故被控对象完全可控 由特征方程 0)11(22=-=-λλλA I 解得特征值为 0，0，11±。

出现大于零的特征值，故被控对象不稳定3.2确定希望的极点希望的极点n=4，选其中一对为主导极点1s 和2s ，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导极点决定，远极点只有微小影响。

根据二阶系统的关系式，先确定主导极点1.021≤=--ςπξσe p 可得59.0≥ξ，于是取6.0=ξ；取误差带02.0=∆有ns t ξω4=，则 1.67=n ω，闭环主导极点为22,11ξξω-±-=j s n =-1±0.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的5倍，取154,3-=s3.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点状态反馈的控制规律为kx u -=，[]321k k k k k =；状态反馈系统的状态方程为Bv x BK A x+-=)( ，其特征多项式为 0122033141010)11()()(k k k k k k BK A I ----+-+=--λλλλλ ⑤希望特征多项式为3692.49964.28632)8.01)(8.01()15(2342++++=++-++λλλλλλλj j ⑥比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵[]92.8154.33492.499.36----=k4.设计全维观测器4.1判断系统的能观性[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==100001000010001)()(32C A C A C A CQ T T T g ，rank(g Q )=4,故被控对象完全可观 4.2确定观测器的反馈增益全维观测器的动态方程为GCx Bv x GC A x++-= )(；其特征多项式为 )11()11()11()(312021304g g g g g g GC A I --+--+-++=--λλλλλ ⑦取观测器的希望极点为：-45，-45，-3+3j ，-3-3j ；则希望特征多项式为3465013770258396)8.01)(8.01()15(2342++++=++-++λλλλλλλj j ⑧比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵[]TG 6498414826259496--=5.降维状态观测器的设计5.1建立倒置摆三维子系统动态方程设小车位移z 由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（三维）状态观测器，通过重新排列被控系统变量的次序，把需由降维状态观测器估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量分离开。

将z 作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡z z y u z z z z dt d θθθθθθ 1000010100010011001000010 ⑨简记为：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡211212122211211210x x I y y u b b x x A A A A x x式中[]T zx θθ =1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=01110001011A ，[]T A 00012=，T b ]101[1-=y z x ==2，[]TA 00121=，21A =0，02=b ，11=I被控系统的n-q 维子系统动态方程的一般形式为v x A x+=1111 ，121x A z =' 式中u b u b y A v 1121=+=,z y u b y A yz ==--='222 z '为子系统输出量。

故倒置摆三维子系统动态方程为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθ zz u z z dt d 00110101101000105.2.判断子系统的可观测性A1=[0 -1 0;0 0 1;0 11 0];C1= [1 0 0];Qg1=obsv(A1,C1);r=rank(Qg1)运行Matlab 程序；结果为r=3,故该子系统可观测 降维状态观测器动态方程的一般形式为()()()[]y h xy A h A h A h A u b h b A h A +=-+-+-+-=ωωω122122*********式中h=[]Th h h 210。

考虑被控对象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为y h h h x y h h h h h h h h u h h h ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=2101120210120210111010111001ωωω5.3确定三维状态观测器的反馈矩阵h三维状态观测器的特征多项式为()()()20120321111111h h h h A h A I --+--++=--λλλλ设希望的观测器闭环极点为-45，-3+3j ，-3-3j ，则希望特征多项式为()()()8102885133334523+++=-++++λλλλλλj j比较以上两式系数，解得h=[]1371-29951-故所求三维状态观测器的动态方程为y y x x y u ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=113712995100000100001000016663213878230210101113711029901511ωωω 6.Matlab 仿真分析6.1源程序通过Matlab 对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为Inversion_pendulum_system.m 的源程序 %倒立摆系统建模分析%a)判断系统能控性和能观性 clear all ; clcA=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0]; D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc); n=size(A); if rc==ndisp('The system is controlled.') elseif rc<ndisp('The system is uncontrolled.') endVo=obsv(A,C); ro=rank(Vo); if ro==ndisp('The system is observable.')elseif ro~=ndisp('The system is no observable.')end%b)判断系统稳定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(length(find(Re>0))~=0)disp('The system is unstable and the ubstable poles are:')v(find(Re>0))elsedisp('The system is stable!');end% c)极点配置与控制器-全维状态观测器设计与仿真pc=[-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15];po=[-45 -45 -3+3*j -3-3*j];K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D); %将受控过程创建为一个LTI对象disp('受控对象的传递函数模型：');H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;disp('观测器——控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0) %将观测器-控制器创建为一个LTI对象disp('观测器——控制器的极点：');f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc; %控制器和对象串联disp('观测器——控制器与对象串联构成的闭环系统模型：'); Gcl=feedback(GpGc,1,-1) %闭环系统disp('闭环系统的极点和零点：');c_poles=pole(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgain(Gcl) %低频增益N=1/lfg % 归一化常数T=N*Gcl; %将N与闭环系统传递函数串联x0=[100 10 30 10 0 0 0 0];%初始条件向量t=[0:0.01:1]'; %时间列向量r=0*t; %零参考输入[y t x]=lsim(T,r,t,x0); %初始条件仿真plot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8)) %由初始条件引起的状态响应title('\bf状态响应')legend('x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat')figure(2)step(T)title('\bf阶跃响应')figure(3)impulse(T)title('\bf脉冲响应')6.2 程序运行结果The system is controlled.The system is observable.P =1 0 -11 0 0v =3.3166-3.3166The system is unstable and the ubstable poles are:ans =3.3166K =-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G =962594-14826-64984受控对象的传递函数模型Transfer function:s^2 - 1.776e-015 s - 10-----------------------s^4 - 11 s^2观测器——控制器模型：a =x1 x2 x3 x4 x1 -96 1 0 0 x2 -2557 49.92 333.5 81.92 x3 1.483e+004 0 0 1 x4 6.495e+004 -49.92 -323.5 -81.92b =u1x1 -96x2 -2594x3 1.483e+004x4 6.498e+004c =x1 x2 x3 x4y1 36.9 49.92 334.5 81.92d =u1y1 0Continuous-time model.观测器——控制器的极点：f_poles =1.0e+002 *-1.4948 + 1.8786i-1.4948 - 1.8786i1.7424-0.0328观测器——控制器与对象串联构成的闭环系统模型：a =x1 x2 x3 x4 x5 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 -1 0 36.9 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 11 0 -36.9 x5 96 0 0 0 -96 x6 2594 0 0 0 -2557 x7 -1.483e+004 0 0 0 1.483e+004 x8 -6.498e+004 0 0 0 6.495e+004 x6 x7 x8x1 0 0 0x2 49.92 334.5 81.92x3 0 0 0x4 -49.92 -334.5 -81.92x5 1 0 0x6 49.92 333.5 81.92x7 0 0 1x8 -49.92 -323.5 -81.92b =u1x1 0x2 0x3 0x4 0x5 -96x6 -2594x7 1.483e+004x8 6.498e+004c =x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 y1 1 0 0 0 0 0 0 0 d =u1 y1 0Continuous-time model. 闭环系统的极点和零点： c_poles =-45.0000 -45.0000 -15.0001 -14.9999 -3.0000 + 3.0000i -3.0000 - 3.0000i -1.0000 + 0.8000i -1.0000 - 0.8000i c_zeros = 3.1623 0.2263 -0.1707 -3.4312 -3.1623 lfg =1.0000 N =1.0000由控制器——全维状态观测器实现的倒立摆系统在初始条件下引起的状态变量的响应、输出变量的阶跃响应和脉冲响应如下图图(2)状态响应()t x （虚线）和()t x（实线）第11 页共11 页图(3)阶跃响应()t y 图(4)脉冲响应()t y。

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倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料

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第1 页共11 页倒立摆系统的建模及Matlab仿真1.系统的物理模型考虑如图(1)所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1gl=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。

2.系统的数学模型2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。

为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。

?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin?即：??①绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有．第2 页共11 页2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即：nis?l?ocgcosincoszs?ls??②以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。

由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。

于是有???M?zm?u?ml??)(③????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。

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基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真

基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真

基于Matlab的一级倒立摆模型的仿真一．倒立摆模型的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想的实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反应控制中的典型问题：如非线性问题、鲁莽性问题、镇定问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检测新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

二．倒立摆模型的数学建模质量为m的小球固结于长度为L的细杆上（细杆质量不计），细杆和质量为M的小车铰链相接分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转东伟正方向，水平向右为水平方向上的正方向。

当细杆白顺时针想要运动时水平方向施加的里应该是水平相应。

对方程组进行拉普拉斯变化，得到摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：位移X对外力F的传递函数：三．在Matlab中输入得到的反馈矩阵：采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。

首先，在M A T L A B的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中设置非零初值（这里我们设置为[0 0 0.1 0]。

然后运行仿真程序。

得到的仿真曲线从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在θ=0（即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态），另外说明下黄线代表位移，紫线代表角度。

四．总结由实验中可知，倒立摆系统是一个非线性的较复杂的不稳定系统，故要满足故要满足稳定性要求，就得对系统进行线性化近似和稳定控制。

当然我们调节出来的只是一个理想模型，在实际中会更加复杂，稳定性也会更难获得。

在这次实验中掌握了倒立摆仿真的整个过程，熟悉了MATLAB仿真软件Simulingk的使用，也对系统有了更好的理解。

一阶倒立摆控制系统设计matlab

一阶倒立摆控制系统设计matlab

一阶倒立摆控制系统设计matlab一、控制系统简介控制系统是指通过对某些物理系统或过程的改变以获取期望输出或行为的一种系统。

其中涉及到了对系统的建模、分析以及控制方法的选择和设计等多方面的问题。

控制系统可以通过标准的数学和物理模型来描述，并可以通过物理或者仿真实验进行验证。

本文将围绕一阶倒立摆控制系统设计和仿真展开。

主要内容包括：1.一阶倒立摆系统简介2.系统建模3.系统分析4.设计控制器5.仿真实验及结果分析一阶倒立摆(controlled inverted pendulum)是一种比较常见的控制系统模型。

它的系统模型简单，有利于系统学习和掌握。

一般而言，一阶倒立摆系统是由一个竖直的支杆和一个质量为$m$的小球组成的。

假设球只能在竖直方向上运动，当球从垂直平衡位置偏离时，支杆会向相反的方向采取动作，使得小球可以回到平衡位置附近。

为了控制一阶倒立摆系统，我们首先需要对其进行建模。

由于系统并不是非常复杂，所以建模过程相对简单。

假设支杆长度为$l$，支杆底端到小球的距离为$h$，支杆与竖直方向的夹角为$\theta$，小球的质量为$m$，地球重力为$g$，该系统的拉格朗日方程可以表示为：$L =\frac{1}{2}m\dot{h}^{2}+\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}-mgh\cos{\theta}-\frac{1}{2}I\dot{\theta}^{2}$$I$表示支杆的惯性矩，它可以通过支杆的质量、长度以及截面积等参数计算得出。

$h$和$\theta$分别表示小球和支杆的位置。

我们可以通过拉格朗日方程可以得出系统的动力学方程：$b$表示摩擦系数，$f_{c}$表示对支杆的控制力。

由于一阶倒立摆会发生不稳定的倾斜运动，即未受到外部控制时会继续倾斜。

我们需要对系统加上控制力，使得系统保持在稳定的位置上。

在进行控制器设计之前，我们需要对系统进行分析，以便更好地了解系统在不同条件下的特性表现。

直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR

直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR

直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。

图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。

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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。

首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。

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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

小车的动能：错误!未找到引用源。

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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。

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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。

对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。