两条平行线间的距离课件

③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0， d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0，适合公式．
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点． ∵直线AB的斜率kAB＝4， 若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1， 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
点到直线的距离 两条平行线间的距离
点到直线的距离与两条平行线间的距离
定义 公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点 到 直 线 的 垂 线 夹在两条平行直线间公垂
段的长度

线段的长度
点 P0(x0，y0)到直 两条平行直线 l1：Ax＋By 线 l：Ax＋By＋C ＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2
点到直线的距离
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解] (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由 点到直线的距离公式可得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|－2－6|＝8.
由题意，得|C1－3 6|＝2， 所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝ 52|＋C－－6|122， 解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|3－4|＝1.
[类题通法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般 式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适 用．

得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2

第一页，共25页。
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的