算法实验二 分治法 众数问题
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一. 实验目的及实验环境实验目的:熟练掌握运用分治法解决问题。
实验环境:windows下的Ubuntu虚拟机二. 实验内容利用分治法求一个数组的最大值、最小值(要求:数组的大小和数组的长度随机产生)三.方案设计分治法解决问题就是要将原问题分解成小问题,再将小问题分解成更小的问题,以此类推,直到最终分解的问题能够一步解决即可。
代码要求最后要输出数组的最大值、最小值。
所以,在用分治法求最值的函数max_min()中,需要将设置参数int *max,int *min。
即void max_min(int a[],int m,int n,int *max,int *min)。
这样就可以直接得到最大值、最小值。
该函数使用递归来实现,而递归的终止条件是最后分得的数组中只有一个或两个元素,当分得的数组元素个数大于2时,就进行递归调用。
四.测试数据及运行结果正确的3组运行结果:出现的错误:若将代码中的随机数函数返回值的类型改变,则会出现错误结果,甚至编译不通过。
五.总结1.实验过程中遇到的问题及解决办法;实验过程中,用分治法求最大值、最小值时,如果用返回值求最大值和最小值,则需要两个函数。
这样就会导致代码冗余,不会达到代码的复用性功能。
所以要将两个功能用一个函数直接实现就可以使用参数指针的形式。
2.对设计及调试过程的心得体会。
算法设计的课内实验既要实现实验的功能,还要讲究代码中算法的精妙、简单以及它的效率。
不能同其他高级语言的课内实验一样仅仅考虑如何完成该实验的功能,这样就可以真正地体验到算法与设计这门课的意义。
平时做实验时我们可以用不同算法实现,这样不仅可以积累平常上课学到的知识,还可以为以后的算法设计能力奠定基础。
平常更多地进行思考,可以让我们在求职时更受益。
六.附录:源代码(电子版)#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>void max_min(int a[],int m,int n,int *max,int *min){int middle,hmax,hmin,gmax,gmin;if(m==n){ *max=a[m];*min=a[m];}else if(m==n-1){if(a[m]>a[n]){*max=a[m];*min=a[n];}else{*max=a[n];*min=a[m];}}else{max_min(a,m,middle,&gmax,&gmin);max_min(a,middle+1,n,&hmax,&hmin);if(gmax>hmax)*max=gmax;else*max=hmax;if(gmin<hmin)*min=gmin;else*min=hmin;}}int main(){int i;int max,min;srand((unsigned)time(NULL));int n=rand()%10+1;printf("数组的个数:%d\n",n);int a[n];for(i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%50+1;printf("%d\t",a[i]);}max_min(a,0,n-1,&max,&min);printf("最大数:%d,最小数:%d\n",max,min);retur n 0;}。
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号:**************姓名:*************班级:*************日期:2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型,并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析,以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务:以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案,本次实验成绩按百分制计,完成各小题的得分如下,每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
(30分)2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
(30分)3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
(40分)提交结果:算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数:";cin>>n;cout<<"请输入数据:";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列:"<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号:**************姓名:*************班级:*************日期:2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析,以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务:从以下题目中任选一题完成,要求应用递归与分治策略设计解决方案。
二分法题目
二分法是一种常用的算法,它能够高效地在有序数组中查找目标值。
在这里,我们将介绍一些经典的二分法题目,帮助大家更好地理解和掌握这个算法。
1. 搜索插入位置
给定一个已排序的数组和一个目标值,如果在数组中找到这个目标值,则返回它的索引。
如果没有找到,则返回它应该被插入的位置的索引。
2. 寻找旋转排序数组中的最小值
假设一个按照升序排列的数组在预先未知的某个点上进行了旋转,例如,数组 [0,1,2,4,5,6,7] 经旋转后可能变为
[4,5,6,7,0,1,2]。
请找出其中最小的元素。
3. 寻找峰值
峰值元素是指其值大于左右相邻值的元素。
给定一个输入数组nums,其中nums[i] ≠ nums[i+1],找到峰值元素并返回其索引。
数组可能包含多个峰值,在这种情况下,返回任何一个峰值所在位置即可。
4. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给定一个按照升序排列的整数数组 nums,和一个目标值target。
找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
5. 寻找两个有序数组的中位数
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请找出
这两个有序数组的中位数,并且要求算法时间复杂度为
O(log(m+n))。
这些问题都可以用二分法解决,对于每个问题,我们将给出具体的解题思路和代码实现。
希望本文能够对大家学习和掌握二分法有所帮助。
二分算法与分治的关系
二分算法和分治算法都是一种解决问题的方法,它们之间有一定的关系,但又有着明显的区别。
首先,二分算法是一种在有序数组中查找特定元素的算法。
它通过将数组分成两半,然后确定目标值可能在哪一半,不断缩小搜索范围直到找到目标值或者确定目标值不存在。
二分算法的关键在于每次都将搜索范围缩小一半,因此时间复杂度为O(log n)。
这种算法通常用于快速查找有序数组中的元素,比如二分查找。
而分治算法则是一种解决问题的思想,它将一个大问题分解成多个相似的小问题,然后分别解决这些小问题,最后将它们的解合并起来得到大问题的解。
分治算法通常包括三个步骤,分解(Divide)、解决(Conquer)、合并(Combine)。
经典的分治算法有归并排序和快速排序等。
二分算法可以被看作是分治算法的一种特殊情况,因为它也是将问题分解成两个子问题,然后递归地解决这些子问题。
但与一般的分治算法不同的是,二分算法并不需要将子问题的解进行合并,而是通过比较来确定最终的结果。
总的来说,二分算法是一种特殊的分治算法,它们都是解决问题的有效方法,但适用的场景和具体实现方式有所不同。
在实际应用中,我们需要根据具体的问题特点来选择合适的算法。
分治法的步骤分治法是一种常见的算法设计策略,它将问题分解成更小的子问题,然后递归地解决每个子问题,最后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
下面将详细介绍分治法的步骤。
一、分治法的定义和基本思想分治法是一种算法设计策略,它将一个大问题分解成若干个相互独立且结构相同的小问题,递归地求解这些小问题,并将它们的结果组合起来得到原问题的解。
在实际应用中,分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。
二、分治法的步骤1. 分解:首先将原问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题。
这个过程通常称为“分解”(divide)。
2. 解决:对每个子问题进行递归求解。
如果子问题足够小而可以直接求解,则直接求解。
这个过程通常称为“解决”(conquer)。
3. 合并:将所有子问题的结果合并成原问题的结果。
这个过程通常称为“合并”(combine)。
三、应用场景1. 排序算法:例如归并排序、快速排序等。
2. 查找算法:例如二分查找。
3. 图论算法:例如最大子数组、矩阵乘法、汉诺塔等。
四、分治法的优缺点1. 优点:分治法可以有效地解决一些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务,具有较高的效率和可扩展性。
2. 缺点:分治法需要额外的空间来存储子问题的结果,而且在递归过程中可能会出现栈溢出等问题,需要进行合理的优化。
同时,如果分解得不够合理或者子问题之间存在依赖关系,则可能会导致算法效率下降。
五、总结分治法是一种常见的算法设计策略,它将一个大问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题,并递归地求解这些子问题。
在实际应用中,分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。
虽然分治法具有较高的效率和可扩展性,但也存在额外空间开销和栈溢出等问题,需要进行合理优化。
众数(Mode)是统计学中用于描述数据集分布形态的一个重要概念。
它表示一组数据中出现次数最多的数值。
与平均数(均值)和中位数不同,众数关注的是数据的集中趋势,特别是数据集中出现频率最高的数值。
在许多实际应用中,众数提供了关于数据集分布的重要信息,有助于了解数据的特征和规律。
**众数的计算方法**:计算众数的过程相对直观和简单。
以下是计算众数的基本步骤:1. **列出数据集**:首先,将所有的数据点列出来。
这可以是一组数值、一组观测值或者任何形式的数据集合。
2. **计数**:对于每个不同的数据点,计算它在数据集中出现的次数。
这可以通过简单的计数或者使用电子表格软件等工具来完成。
3. **找出出现次数最多的数据点**:在计数完成后,找出出现次数最多的数据点。
这个数据点就是众数。
**众数的性质与特点**:1. **不受极端值影响**:众数关注的是数据集中的出现频率,而不是数据的实际大小。
因此,与众数不同,平均数和中位数可能会受到极端值的影响。
2. **多众数可能性**:在某些数据集中,可能存在多个众数,即有两个或多个数据点具有相同的最高出现频率。
3. **非数值型数据适用**:众数不仅适用于数值型数据,还可以用于非数值型数据,如分类数据(性别、职业等)。
**众数在实际应用中的意义**:1. **市场研究**:在市场调查中,众数可以帮助研究人员了解消费者最喜欢的产品、服务或品牌。
这对于企业制定市场策略和营销计划具有重要意义。
2. **社会科学研究**:在社会科学研究中,众数可以帮助研究者了解社会现象的分布情况,如人口年龄分布、教育程度分布等。
3. **生物学与医学研究**:在生物学和医学领域,众数可以用于描述生物种群的特征、疾病分布情况等。
4. **质量控制**:在生产过程中,众数可以帮助企业了解产品质量的分布情况,从而找出可能存在的问题并采取相应措施。
**众数与平均数、中位数的区别**:1. **平均数(均值)**:平均数是一组数据的总和除以数据的个数。
分治算法的例子1. 哎呀,你知道吗,比如有一个大任务是把一堆杂乱的数字排序。
这就好像整理一个超级乱的房间一样。
我们可以把这堆数字分成两部分,分别排序,然后再合起来,这就是分治算法呀!就像你先整理房间的左边,再整理右边,最后整个房间就整齐啦!2. 嘿,想象一下要在一个巨大的图书馆里找一本书。
我们可以把图书馆分成几个区域,每个区域再派人去找,这也是分治算法呀!难道不是很神奇吗?就像大家分工合作去找那本神秘的书。
3. 哇哦,你看计算一个很大很大的矩阵的乘法。
这简直像一座难以翻越的大山!但我们可以把它分成小块,分别计算,再组合起来,这不就是分治算法的魅力吗?就如同一点点攻克一座高山。
4. 你想想,要解决一个超级复杂的迷宫问题。
我们可以把迷宫分成几个部分呀,一部分一部分地去探索,然后汇总结果,这不是分治算法在起作用吗?这多像一点一点解开迷宫的秘密呀!5. 嘿呀,比如统计一个很大区域里的人口数量。
我们可以把这个区域划分成小块,分别统计,最后汇总,这就是分治算法呀!跟把一个大蛋糕切成小块来数有什么区别呢!6. 哎呀呀,要找出一堆物品中最重的那个。
我们可以把物品分成几组,找出每组最重的,再比较,这不就是用了分治算法嘛!是不是很像在一堆宝藏中找最耀眼的那颗宝石呀!7. 哇塞,要对一个超级长的字符串进行操作。
那我们就把它分成小段来处理嘛,这就是分治算法的精彩之处呀!好比把一条长长的绳子分段来摆弄。
8. 你瞧,像解决一个大的图像识别问题。
我们把图像分成小部分,一部分一部分地去分析识别,最后拼起来,这绝对是分治算法的厉害所在!就如同一片片拼凑出一幅美丽的图画。
我的观点结论就是:分治算法真的是超厉害的,它能把复杂的大问题化简,就像一把神奇的钥匙能打开很多难题的大门!。
南阳理工学院算法设计与分析报告册开课学院:计算机与软件工程学院实验项目:分治算法实验实验时间:实验地点:指导教师:学生姓名:学生学号:专业班级:18大数据2019-2020学年第2学期一、实验目的1.了解分治策略算法思想及基本原理2.掌握使用分治法求解问题的一般特征3.掌握分解、治理的方法4.能够针对实际问题,能够正确的分解、治理,设计分治算法。
5.能够正确分析算法的时间复杂度和空间复杂度二、实验平台1.Windows操作系统或Linux操作系统2.Python3.x3.pyCharm或sublime或jupyter notebook三、实验内容最小值问题:求n个元素的最小值四、算法设计1.问题分析要用分治法求列表的最小值,就要将列表中的元素进行分组,分开求最小值,最后再求总的最小值。
2.问题建模采用先分后治的思想将元素分成两部分求解,最后再合起来求解。
3.算法描述先创建一个tlist列表用于存n个元素,然后定义一个函数getmin求最小值,getmin函数传入1个列表和两个整数作为参数,然后定义一个分治的中点,分别从中点的左侧和右侧调用递归的方式进行求最小值,最后再将两个解进行合并求总的最小值。
五、算法源码def getmin(l,low,high):min1=0 #左边最小值min2=0 #右边最小值if(low==high): #当问题的规模为1时return l[low]elif(low==high-1): #只剩两个值时if(l[low]<l[high]):return l[low]else:return l[high]else:mid=(low+high)//2 #选取分治的中点# 调用递归min1=getmin(l,low,mid) #求左边的最小值min2=getmin(l,mid,high) #求右边的最小值return min(min1,min2) #合并n=int(input("请输入数字个数:"))print("数字分别为:")tlist=[0]*nfor i in range(n):tlist[i]=int(input())min=getmin(tlist,0,len(tlist)-1)print("最小值为:%d" %min)六、测试数据请输入数字个数:512 19 3 45 100最小值为:3请输入数字个数:625 19 34 9 1 0最小值为:0七、程序运行结果(要求:截图说明算法运行的结果)八、算法分析(分析算法的时间复杂度和空间复杂度)因为需要对n个数字进行比较所以时间复杂度为:O(n)。
众数问题 问题描述:给定含有n个元素的集合S,每个元素在集合中出现的次数称为该元素的重数。多重集S中重数最大的元素称为众数。 例如,S={1,2,2,2,3,5}。多重集S的众数是2,其重数是3. 算法设计:对于给定的由n个自然数组成的多重集S,计算S的众数及其重数。 数据输入:输入数据由input.txt的文本文件提供,文件第一行为多重集S中元素个数n;在接下来的n行中有n个自然数。 结果输出:将结果输出到文件output.txt。输出文件有2行,第一行是众数,第二行是重数。
输入文件示例 输出文件示例 input.txt output.txt 6 众数为:2 1 重数为:3 2 2 2 3 5
设计思想: 1.一行一行读入处理,并将其变成数字; 2.排序函数【sort()】中用”j”记录最大值的下标,,返回其下标,以便在a数组中找到原始数据。
#include #include #include using namespace std; #include
int sort(int A[], int n, &Max) //排序求最大值,返回其下标,用Max存最大值 { Max=A[0]; int j; //'j'用来记录最大值的下标 for( i=1;iif(A[i]>Max) { Max=A[i]; j=i; }
if(j>0) return j; else return 0; }
int ch_change_digital(char str[]) //将str[]变成数字 { int x=0; for( i=0;ix=x*10+str[i]-'0';
return x; }
void main() { ifstream ifile; ofstream ofile; ifile.open("众数问题\\input.txt");
char str[5]; ifile.getline(str,5); n=ch_change_digital(str); //n为第一行值
众数的算法分析 版权申明:本⽂为博主窗户(Colin Cai)原创,欢迎转帖。
如要转贴,必须注明原⽂⽹址 /Colin-Cai/p/12664044.html 作者:窗户 QQ/微信:6679072 E-mail:6679072@ 所谓众数,源于这样的⼀个题⽬:⼀个长度为len的数组,其中有个数出现的次数⼤于len/2,如何找出这个数。
基于排序 排序是第⼀感觉,就是把这个数组排序⼀下,再遍历⼀遍得到结果。
C语⾔来写基本如下:int find(int a, int len){sort(a, len);return traverse(a, len);} 排序有时间复杂度为O(nlogn)的算法,⽐如快速排序、归并排序、堆排序,⽽遍历⼀遍排序后的数组得到结果是时间线性复杂度,也就是O(n)。
所以整个算法时间复杂度是O(nlogn)。
寻找更好的算法 上⾯的算法实在太简单,很多时候我们第⼀感就可以出来的东西未必靠谱。
我们是不是可以找到⼀种线性时间级别的算法,也就是Θ(n)时间级别的算法?Θ是上下界⼀致的符号。
其实我们很容易证明,不存在⽐线性时间级别低的算法,也就是时间o(n),⼩o不同于⼤O,是指低阶⽆穷⼤。
证明⼤致如下: 如果⼀个算法可以以o(n)的时间复杂度解决上述问题。
因为是⽐n更低阶的⽆穷⼤,那么⼀定存在⼀个长度为N的数组,在完成这个算法之后,数组内被检测的元素⼩于N/2。
假设算法运算的结果为a,然后,我们把这个数组在运算该算法时没有检测的元素全部替换为成同⼀个不是算法所得结果a的数b。
然后新的数组,再通过算法去运算,因为没有检测的数不会影响其算法结果,结果⾃然还是a,可实际上,数组超过N/2次出现的数是b。
从⽽导致⽭盾,所以针对该问题的o(n)时间算法不存在。
我们现在可以开始想点更加深⼊点的东西。
我们⾸先会发现,如果⼀个数组中有两个不同的数,将数组去掉这两个数,得到⼀个新数组,那么这个新数组依然和⽼数组⼀样存在相同的众数。
平均数,中位数,众数的算法
平均数算法:
平均数又称算术平均数,是若干个数值相加然后除以这些数值的个数的结果。
其计算公式为:平均数 = 总和 ÷统计数量。
例如,若有3个数值分别为10、20、30,则它们的平均数为(10+20+30) ÷ 3 = 20。
中位数算法:
中位数是指按照数值大小排列的一组数据中居于中间位置的数值,即把所有数从小到大排序后,第(n+1)/2个数为中位数(其中n为数据的个数)。
例如,若有5个数值分别为3、5、7、9、11,则它们的中位数为第(5+1)/2=3号数值,即7。
众数算法:
众数是指一组数据中出现次数最多的数值。
在某些情况下,一组数据可能没有众数,或者有多个众数。
例如,若有5个数值分别为2、4、5、5、6,则它们的众数为5。
要确保计算结果准确,一般需要按照以下步骤进行计算:先对数据进行排序,然后统计每个数值出现的频数,最后找出出现频数最大的数值即可。
第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答(第2版)算法实现题2-1 输油管道问题(习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题(习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题(习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题(习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题(一)67算法实现题2-11 集合划分问题(二)68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题(习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题(习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题(习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题(习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题(习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题(习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题(习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题(习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题(习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题(习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题(习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物(习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题(习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题(习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题(习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题(习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题(习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题(习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题(习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题(习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题(习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题(习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题(习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题(习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题(习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题(习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题(习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题(习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题(习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题(习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题(习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题(习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题(习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题(习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题(习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法(一)153习题5\|2 装载问题改进回溯法(二)154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题(习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题(习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题(习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题(习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题(习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题(习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题(习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题(习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题(习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题(习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题(习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题(习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题(习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题(习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题(习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题(习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题(习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题(习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题(不重复监视)(习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题(习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一(习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二(习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题(习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题(习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题(习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题(习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题(习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题(习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题(习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题(习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题(习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题(习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题(习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题(习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题(习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题(习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法(习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法(习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法(习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法(习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover(习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit(习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit(习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing(习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing(习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题(习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题(习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题(习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题(习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题(习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题(习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题(习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题(习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题(习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度(习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题(习题11-5) 416参考文献422。
带有众数的问题统计学中,众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。
对于带有众数的问题,我们可以通过统计分析来解决。
本文将以实例为基础,从定义众数开始,逐步介绍如何计算众数以及如何应用众数解决问题。
1. 众数的定义众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。
通常来说,一个数据集可以有一个或多个众数。
如果所有数值都只出现一次,那么该数据集没有众数。
2. 如何计算众数要计算众数,首先需要将数据集进行排序,然后找到出现次数最多的数值。
以下是一个计算众数的简单示例:例子1:考试成绩学生A:80分学生B:90分学生C:85分学生D:85分学生E:92分学生F:90分将这组数据从小到大进行排序:80, 85, 85, 90, 90, 92可以看出,在这个数据集中,85和90出现的次数最多,都出现了两次。
因此,该数据集有两个众数,分别为85和90。
3. 应用众数解决问题众数在实际问题中有广泛的应用,尤其在统计和数据分析领域。
以下是一些使用众数解决问题的示例:例子2:销售额分析某零售店每天记录当天的销售额,经过一段时间的统计,得到以下数据:1000元, 500元, 800元, 1200元, 900元, 500元, 800元, 1000元, 1200元计算众数可以帮助我们确定销售额中的常见金额,进而帮助零售店制定更合理的促销策略。
在这个例子中,500元、800元、1000元和1200元均出现了两次,因此这四个数字都是众数。
例子3:调查结果分析某市进行了一项民意调查,调查问卷中有一个问题是选择自己最喜欢的颜色。
经过统计,得到以下数据:红色, 蓝色, 绿色, 红色, 蓝色, 黄色, 蓝色, 红色, 红色通过计算众数,可以确定最受欢迎的颜色是红色,因为红色出现的次数最多。
4. 注意事项和局限性在计算众数时,需要考虑以下几个注意事项和局限性:- 如果数据集存在多个数值出现次数相同且均为最大值,那么就存在多个众数。
- 如果数据集中所有数值都只出现一次,那么该数据集没有众数。