张盛杰--轴对称——最短路径问题

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。

龙源期刊网 运用“轴对称”解决最短路径问题作者：刘军来源：《初中生世界·八年级》2014年第10期在学习“轴对称图形”时，我们经常会遇到与最短路径有关的问题，同学们往往在处理这类问题时感到困难. 这类问题通常会转化成“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称的性质是实现这一转化的有效方法之一. 只要我们能把握轴对称的性质，那么问题便迎刃而解.在苏科版八（上）“轴对称图形”一章的课后习题中就有这样一个问题：如图1，点A、B在直线l同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P. （1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？（2）在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由.【解析】（1）由点B与点B′关于直线l成轴对称可知PB=PB′，则AB′=AP+PB′=AP+PB. （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边”及（1）的结论可知，AQ+QB>AB′=AP+PB.这个问题还可以进一步说明直线l上的点P能使得线段PA+PB的和最小.下面再通过对几个最短路径问题的分析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解题策略，真正能做到融会贯通，一通百通.一、已知两点在一条直线的同一侧例1 （将军饮马）古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点P，才能使路程最短？【点拨】分别作点A、B关于OM、ON的对称点A1、B1，连接A1B1，分别交OM、ON于点C、D，即得点C、D就是所求的两点.利用“轴对称”解决最短路径问题的关键是根据轴对称的性质，将不在一条直线的线段转化到同一条直线上，然后用“两点之间，线段最短”来解决. 解决这类问题，还需要认真审题，不仅要注意图形，而且要重视问题的要求，才能够有效地解决此类问题.（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）。

轴对称解决实际问题（最短路程问题）（1）利用轴对称解决几何极值问题仅仅是轴对称应用的一个方面，比较典型的是平面镜成像、光的反射等问题也经常用到轴对称。

（2）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。

（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。

问题1（分析1）如何用数学的方法解决这个问题？把这条河抽象为一条直线，而把将军的出发地（山脚）和宿营地分别看作直线同侧的两个点，建立几何模型，（如图①）把实际问题转换成“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。

（分析2）连结AB ，作AB 的垂直平分线交直线a 于P 点，根据线段的垂直平分线的性质定理有PA ＝PB ，此时PA ＋PB 是否最短？（如图②） (用几何画板的度量及计算功能否定这种作法)(分析3)作A 点关于直线a 的对称点A ′连结P A ′,由轴对称的性质知PA ＝PA ′,那么PA ＋PB ＝PA ′＋PB ，P 点在何处PA ′＋PB 最短？（如图③）由一名学生上讲台拖动P 点，显然当B 、P 、A ′三点共线时PA ′＋PB 最短。

探索得出作法：（如图④）（1）作A 点关于直线a 的对称点A ′. （2）连结BA ′，交直线a 于P 点. P 点即为所求。

如何证明？ (分析4)在直线a 上另取一点P ′，连结PA 、A P ′、B P ′、 P ′A ′，（如图⑤）要证PA ＋PB 最小，由任意性， 只要证 ：PA ＋PB ＜A P ′＋B P ′， 由对称性可知：PA ＝PA ′, P ′A ＝P ′A ′只要证：PA ′＋PB ＜P ′A ′＋B P ′只要证： A ′B ＜P ′A ′＋B P ′而△BA ′P ′中，有三角形两边之和大于第三边，问题得证。

a · · B A 图① a · · B A 图② P a · · B A 图③ A ′ · · P a · · B A 图④ A ′ · P a · ·B A 图⑤A ′ · P P ′问题2、如图，已知牧马营地在P 处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。

轴对称及最短路径问题一、知识讲解1．轴对称、轴对称图形（1）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线称为对称轴。

对称轴一定为直线。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点。

2．轴对称图像的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

新旧图像具有对称性。

（2）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。

3．等腰三角形（1）性质：①两底角相等。

②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

4．等边三角形（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。

（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5．特殊直角三角形（补充）（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：2；（2）等腰直角三角形各边长比为1：1。

二、要点补充轴对称是关于某一直线对称的图形，要注意图形中隐藏的条件，要将分散的条件集中起来达到解题的目的。

本讲的学习要特别注意分类讨论思想及转化思想的运用。

要点1在平面直角坐标系中，若已知A、B两点的坐标（或位置）要求第三个点C，使得A、B、C三点构成等腰三角形的方法如下：①连接AB，以点A（或点B）为圆心，线段AB的长度为半径作圆，圆周上除点B（或点A）的所有的点，都可以与点A、点B构成等腰三角形。

②连接AB，作线段AB的垂直平分线l，该垂直平分线l上除该线与线段AB交点外的所有的点都能与点A、点B构成等腰三角形。

轴对称--最短路径问题
解题思路：（1）作两点任意一点的对称点
（2）将对称点与另一点进行连线，连线与原直线的交点为动点的位置
（3）对称点与另一点连线的线段长度是所求线段之和的最小值（依据是“两点间线段最短”和“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”）
一、两点在直线同侧模型
例题1..如图，A为马棚，B为帐篷，牧马人某一天要从马棚牵出马，到河边给马喝水，然后回到帐篷请你帮助他确定这一天的最短路线。

变式1.（2008•深圳）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是．
变式2..如图，在正方形ABCD中，AD=8，DM=2，N是AC上一动点，求DN+MN的最小值
变式3.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．
变式4.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．。

最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题问题作法图形原理类型一BA 连接AB，与l的交点即为点PPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短类型二 BAl 作点A关于l的对称点A’,连接A’B,与l的交点即为点PBAPA’AP+PB的最小值为A’B的值，两点之间，线段最短类型三L2PL1在直线l1，l2上分别找点M,N，使△PMN周长最小分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P’,P’’,连接P’P’’,与两直线的交点为M,NL2P’’M PN L1P’PM+PN+MN的最小值为P’P’’的值，两点之间，线段最短类型四L1PQL2在直线L1,L2上分别找点M,N，使四边形PMNQ的周长最小做点P,Q分别关于直线L1,L2的对称点P’,Q’,连接P’Q’,与两直线的交点M,NL1M PQN L2PM+MN+PN的最小值为P’Q’的值，两点之间线段最短（二）用平移解决造桥选址问题例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ aMN由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。

这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小？如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。

因此，线段A’B最短。

因此，线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。

L2A MA’ BN例2，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。

现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？PL1L2Q 1L2解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。