(新教材)高中数学人教A必修第一册同步课件：4.1 指数

2
(1)8 3 ，
(2)
(
16
－3
)4
81
2
83
2
(23 )3
3 2
23
22
4
(
16
)
3 4
(
2
4(
)
3 4
)
( 2)3
27
81
3
3
8
例3、用分数指数幂的情势表示下列各式：
(1)a 2 3 a 2 ; (2) a 3 a .
练习：a a a
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3
11
(a a 3 )2
an
4
例如，53
1
1
2
，a 3
1
1
4
53
3 54
2
a3
3 a2
3、0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
说明： (1)分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规 定的合理性； (2)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数； (3)关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对 任意有理数r，s，均有下面的性质：
a
2 1
a
2 1
.
a 2a 2
(1) 7
(2) 47
(3) 8
若a
0且a
1
1
7，求a 2
1
1
a 2及a 2
1
a 2的值.
a
解 ：∵ a 0且a 1 7， a
1
所 以(a 2
a
1 2
)2
a

我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
分数指数幂是什么？
【问题1】



可以理解为
个 相乘吗？

不可以.显然

法，如



不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义
=
的量，只是情势不同
【问题2】分数指数能约分吗？
因为在实数的定义里，两个数的

【4】 0的任何次方根都是0.记作： =
偶次方根结果是非负数，即任意实数
的偶次方是非负数.
什么是根式？
【定义】式子

叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数

被开方数

根据n次方根的定义，
可得：
比如：

−






=，
= ,
= −
【1】
研究的一般性要求：
> , >
，
此时法则一定成立.
③

= > , ∈
【1】求下列各式的值.

(1)
【解】(1)
(2)


=


(2)

=

−
=

16
81
3
−
4
=





=





=





=


=

到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适
应于实数指数幂，即对于任意实数, ,均有下面的运算性质.
r

+
a
(1) = ( > 0, , ∈ );
①as＝ar－s(a>0，r，s∈R).
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
知识点三 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任
意有理数, ,均有下面的运算性质.
(1) = + ( > 0, , ∈ );
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
总结：根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
a
n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a

m
n
m
n
n
＝ am (a>0，m，n∈N*，且

1
a
m
n
＝n
1
am
(a>0，m，n∈N*，
且 n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 .
m
n
m
注意点：(1)分数指数幂 a 不可理解为 n 个 a 相乘，它是根式的一种写法.
当是偶数时， = ||
知识点二 分数指数幂
思考2：
5
4
5
10
10 =
5
12 =
4
=?
4
12 =? ( > 0)
(2 )5 = 2 =
(3 )4 = 3 =

一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N*
正数的 n 次方根是一
个正数
n是

a 的 n 次方根用符号 表示
奇数
负数的 n 次方根是一
个负数
正数 a 的正的 n 次方根用符号
正数的 n 次方根有
性质

两个,这两个数互为相
表示,负的 n 次方根用符号
n是


(3)化简 ( + ) −


(-) 的结果为
.
;

解析:(1)由 n 次方根的定义可得 x=± .
- ≥ ,
(2)依题意有
解得 m≤3.
-∈,

, ≥ -,


(3) ( + ) − (-) =|x+3|-(x-3)=
-, < -.
, ≥ -,
(2)0的任何次幂都等于0.( × )

(3) + + = + .( ×


(4)(-2) =


(-) .( ×
)
)
合作探究·释疑解惑
探究一 根式的化简与求值
【例 1】 (1)若 x6=2 021,则 x=

(2)若 - +

;
-有意义,则实数 m 的取值范围是
答案:(1)± (2)(-∞,3] (3)
-, < -

反思感悟
根式化简与求值的基本原则
(1)被开方数(式)中不能含有能开得尽方的因数或因式.
(2)被开方数是带分数的要化成假分数.
(3)被开方数(式)中不能含有分母,使用 = (a≥0,b≥0)