第一章 第三节

第三节 nR 中的开集、闭集和Borel 集一、nR 的几个基本概念度量空间：设X ≠∅，(,)d x y 是定义在X X ⨯（:d X X R ⨯→）上的一个二元实函数，若(,)d x y 满足：（1）非负性：对任意,x y X ∈，(,)0d x y ≥，且(,)0d x y x y =⇔=； （2）对称性：对任意,x y X ∈，(,)(,)d x y d y x =；（3）三角不等式：对任意,,x y z X ∈，(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+， 则称(,)d x y 为,x y 之间的距离或度量，(),X d 称为距离（度量）空间．特别，取n X R =，(,)d x y =()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==，则(),X d 称为n 维欧式空间，仍记为nR ．注：实变函数涉及的函数主要是nR 的点集上的实函数．集合的直径与有界集：设nE R ⊂，(){}diam sup ,,E d x y x y E =∈称为E 的直径；E 有界⇔0diam E ≤<+∞．E 有界的其他描述方法：如球覆盖和方覆盖．开球（球邻域）、闭球和球面：设0n x R ∈，0δ>，()(){}00,,n B x x R d x x δδ=∈<称为以0x 为心的开球（球邻域），简记为()0B x ； ()(){}00,,n B x x R d x x δδ=∈≤称为以0x 为心的闭球，简记为()0B x ； ()(){}00,,n S x x R d x x δδ=∈=称为以0x 为心的球面，简记为()0S x ．n R 中的区间及区间的体积：设i I （1,2,,i n =）为R 上的n 个区间，则121ni n i I I I I =∏=⨯⨯⨯称为n R 上的区间；若iI （1,2,,i n =）都是开区间，则称1n i i I =∏为开区间；若i I （1,2,,i n =）都是闭区间，则称1ni i I =∏为闭区间；若i I （1,2,,i n =）都是同类的半开半闭区间，则称1ni i I =∏为半开半闭区间；设121ni n i I I I I =∏=⨯⨯⨯是nR 上的区间，则121nin i I I I I =∏称为1ni i I =∏的体积．二、开集、闭集的定义及基本性质1、开集的定义与性质：定义：设nG R ⊂，G 是开集是指对任意x G ∈，存在()B x G ⊂；易见，,n R ∅均为开集；()0B x 是开集；nR 上的开区间等都是开集．开集的性质：τ表示nR 中的开集全体，则 （1）,n R τ∅∈；（2）对任意12,G G τ∈，总有12G G τ⋂∈，即τ对集合的有限交运算封闭； （3）对任意G ατ∈，α∈Λ，总有G αατ∈Λ∈，即τ对集合的任意并运算封闭．注：τ是nR 上的一个拓扑--------称为欧式拓扑． 2、闭集的定义与性质：定义：设nF R ⊂，F 是闭集是cF 是开集； 易见，开集和闭集在集合的余运算下是对偶的；,n R ∅均为闭集；()(){}00,cB x x d x x δ=>是闭集；()()(){}{}000,cS x B x x d x x δ=⋃>是闭集指对任意x G ∈，存在()B x G ⊂；闭集的性质：μ表示nR 中的闭集全体，则 （1）,nR μ∅∈；（2）对任意12,F F μ∈，总有12F F μ⋃∈，即μ对集合的有限并运算封闭； （3）对任意F αμ∈，α∈Λ，总有F ααμ∈Λ∈，即μ对集合的任意交运算封闭．注意：一列开集的交不一定是开集；一列闭集的并不一定是闭集；τμ．三、开集、闭集的等价条件1、开集的等价条件1）点关于点集的一种分类关系（点集的内点、外点和边界点） 邻域的推广：设nx R ∈，若G 是开集，且x G ∈，则称G 为x 的一个邻域，\{}G x 为x 的一个去心邻域； 显然，()B x 就是x 的一个邻域，()\{}B x x 是x 的一个去心邻域． 点集的内点、外点和边界点： 设n x R ∈，nE R ⊂，（1）若存在x 的一个邻域G ，使得G E ⊂，则称x 为E 的内点，记0E 为E 的内点全体-------称为E 的内部（或内核或开核），显然0E E ⊂；（2）若存在x 的一个邻域G ，使得G E ⋂=∅，即cG E ⊂，则称x 为E 的外点，显然E 的外点一定不属于E ，其全体就是()c E；（3）若对x 的任意邻域G ，总有G E ⋂≠∅，cG E ⋂≠∅，则称x 为E 的边界点，记E ∂表示E 的边界点全体-----称为E 的边界．点关于点集的内点，外点和边界点关系是一个分类关系注：设nE R ⊂，则()n c R E E E=⋃∂⋃；记0E E E E E =⋃∂=⋃∂-----称为E 的闭包，则()()0c c E E =是闭集．()()0c c E E E∂=⋃是闭集．2）开集的等价条件 定理：设nE R ⊂，则 （1）0E 是开集；（2）E 是开集⇔0E E =．2、闭集的等价条件1）点列收敛设n k x R ∈，1,2,k =，0n x R ∈，若()0lim ,0k k d x x →∞=，则称{}k x 当k →∞时收敛于0x ，记为：0lim k k x x →∞=或0k x x →（k →∞）．注：1）如何用邻域来反映点列收敛？2）点列收敛与坐标收敛有何关系？即，记()()00012012,,,,,,,k kk k n n x x x x x x x x ==，则0k x x →（k →∞）与0k i i x x →（k →∞）1,2,,i n =有何关系？2）点关于点集的另一种分类关系（点集的聚点、孤立点和外点） 设n x R ∈，nE R ⊂，（1）若对x 的任一个邻域G ，总有\{}G x E ⋂≠∅，则称x 为E 的聚点，记E '为E 的聚点全体-------称为E 的导集；（2）若存在x 的一个邻域G ，使得\{}G x E ⋂=∅，若x E ∈，即{}G E x ⋂=，则称x 为E 的孤立点，E 的孤立点全体所成的集称为E 的孤立点集，显然E 的孤立点集⊂E ；若x E ∉，即G E ⋂=∅，即cG E ⊂，则称x 为E 的外点，其全体就是()c E ．点关于点集的聚点，孤立点和外点的关系也是一个分类关系 注：设nE R ⊂，则{}()0nc R E E E '=⋃⋃的孤立点全体，{}E E E E E ''=⋃=⋃的孤立点全体---------闭包的另一种表示．注：10孤立点集是至多可数集20聚点的等价条件：设nx R ∈，nE R ⊂，则下面的说法等价： （1）x 为E 的聚点；（2）对x 的任一球邻域(,)B x δ，总有(,)\{}B x x E δ⋂≠∅； （3）存在E 中一列彼此互异的点列{}k x ，使得k x x →（k →∞）； （4）对x 的任一个邻域G ，总有G E ⋂为无限集． 证明：（1）⇒（2）显然；（2）⇒（3）只要δ取一列适当的趋于0的数列即可把满足要求的彼此互异的点列{}k x 取出来；（3）⇒（4）由极限定义的邻域形式即可； （4）⇒（1）显然． 注意：由等价形式立即可得，x 不是E 的聚点，即x E '∉⇔存在x 的一个邻域G ，使得G E ⋂为有限集． 30导集和闭包保持集合的有限并运算，但保持可数并运算；事实上，设有一列点集{}n E ，则()1212n n E E E E E E ''''⋃⋃⋃=⋃⋃⋃， ()1212n n E E E E E E ⋃⋃⋃=⋃⋃⋃，但11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭，11n n n n E E ∞∞==⊃． 证明？3）闭集的等价条件定理：设nE R ⊂，则下面的说法等价： （1）E 为闭集； （2）E E '⊂； （3）E E =；（4）对E 中的任意一列点{}k x ，若k x x →，则x E ∈． 证明 （1）⇒（2）对任意x E '∈，倘若x E ∉，即cx E ∈．因c E 为开集，存在()c B x E ⊂，从而()B x E ⋂=∅，这与x E '∈（x 为E 的聚点矛盾），故x E ∈．（2）⇒（3）显然，事实上，E EE E E E '⊂'=⋃=． （3）⇒（4）事实上，对E 中的点列{}k x ，k x x →，由聚点的等价条件，或者x E ∈或者x E E E '∈⊂=，即必有x E ∈．（4）⇒（1）反证法：倘若E 不是闭集，即cE 不是开集，则存在cx E ∈，使得对x 的任意球邻域(,)B x δ，都有(,)B x E δ⋂≠∅，于是，通过取δ为一列适当的趋于0的数列即可在E 中选取点列{}k x ，使得k x x →，从而x E ∈，这与cx E ∈矛盾，故E 必为闭集．注：利用上述等价条件可更为方便地判断一些集是闭集，例如，E '是闭集（因为易得()E E '''⊂）；E 为有限点集，则E 为闭集（因为易得E E '=∅⊂）；同理nE R ⊂整点集，则E 为闭集．四、聚点原理、Borel 有限覆盖定理和林德洛夫（Lindelof ）至多可数覆盖定理聚点原理和有限覆盖定理是nR 中的两个基本定理，是nR 完备性的两种表现形式： 聚点原理：若nE R ⊂是有界无限点集，则E 至少有一个聚点（即E '≠∅）； 致密性定理：若{}k x 是nR 中的有界无限点列，则{}k x 至少有一个收敛子列{}i k x ；Borel 有限覆盖定理：若nE R ⊂是有界闭集，ℑ为E 的一个开覆盖，则存在ℑ中的有限个开集，记为12,,,m G G G ，使得12m E G G G ⊂⋃⋃⋃．问题：若nE R ⊂不是有界闭集，则是否存在ℑ中的一列开集，记为12,,,,k G G G ，使得1k k E G ∞=⊂？林德洛夫（Lindelof ）至多可数覆盖定理：若nE R ⊂，ℑ为E 的一个开覆盖，则存在ℑ中的一列开集，记为12,,,,k G G G ，使得1k k E G ∞=⊂．证明 对任意x E ∈，由ℑ为E 的一个开覆盖可得，存在开集x G ∈ℑ，使得x x G ∈．由有理点的稠密性，存在有理点x x q G ∈和有理正数x r ，使得(,)x x x x B q r G ∈⊂，显然{}(,)x x B q r x E ∈是至多可数集，且仍覆盖E ，记{}{}11(,)(,),,(,),k k xx x x x x B q r x E B q r B q r ∈=，则相应的开集12,,,,k x x x G G G 也覆盖E ．注：试用林德洛夫至多可数覆盖定理证明：nR 任一个非空开集G 总可表示成至多可数个开区间的并集．五、几类与开集、闭集相关的集1、自密集和完全集 设nE R ⊂，自密集：若E E '⊂，则称E 是自密集（特点：E 没有孤立点）． 例如，∅，n Q ，()cn Q（无理点集），nR ，开区间，闭区间，半开半闭区间，非空开集都是自密集．完全集：若E E '⊂且E E '⊂，即E E '=，则称E 是自密集（特点：E 没有孤立点的闭集）． 例如，∅，nR ，闭区间都是完全集．思考：（1）非空有限点集一定不是自密集，更不是完全集； （2）有限个完全集的并仍是完全集； （3）一列完全集的并不一定是完全集； （4）完全集的交集不一定是完全集．记住一个结论：设E ≠∅是完全集，则E c =． 2、稠密集和疏朗集 设nE R ⊂，稠密集：若n E R =（即对任意n x R ∈以及x 的任意邻域G ，总有G E ⋂≠∅），则称E 在nR 中稠密，或E 是nR 中的稠密集．显然，E 是稠密集⇔对任意非空开集G ，G E ⋂≠∅（今后判断稠密集的常用方法）．易见，nQ ，()cnQ （无理点集）均为n R 中的稠密集．疏朗集：若对任意的非空开集G ，总存在G 的非空开子集V G ⊂，使得V E ⋂=∅（即c V E ⊂），则称E 为疏朗集．易见，∅，有限点集，整点集都是疏朗集；疏朗集一定没有内点，但无内点的集并不一定是疏朗集．稠密集与疏朗集： 设nE R ⊂，（1）若E 为疏朗集，则cE 为稠密集，但反之不成立；证明 对任意非空开集G ，由E 为疏朗集可得，存在非空开子集V G ⊂，使得cV E ⊂，从而c V E G ⊂⋂，故c E G ⋂≠∅，即cE 为稠密集．反之，取n E Q =即可． （2）若E 为稠密开集，则cE 为疏朗闭集； 证明 显然，cE 为闭集，下证c E 为疏朗集．事实上，对任意非空开集G ，取V G E =⋂≠∅，显然V 为开集，cV E ⋂=∅，故c E 为疏朗集．综合（1）（2）得，（3）E 为稠密开集⇔cE 为疏朗闭集．3、三分Cantor 集三分Cantor 集构造图如图示，我们将[]01，中永远去不掉的点所成的集称为三分Cantor 集，记为P ． 注：10P 的两种表示方法：[]12n=111P 0,1\(())n n n k n k F I -∞∞====；20 P 是闭集，完全集； 30 P 是疏朗集； 40 P c =； 50 mP 0=； 60nk=1P ∏称为nR中的Cantor 集，nk=1P c =∏．思考：（1）如何解释疏朗集不一定是至多可数集？（2）如何解释在[]01，去掉一个不可数集，不一定改变其长度？4、F σ型集、G δ型集和Borel 集1）F σ型集：若nE R ⊂能表示成可数个闭集的并，则称E 是F σ型集；G δ型集：若n E R ⊂能表示成可数个开集的交，则称E 是G δ型集．注：10 开集是G δ型集，闭集是F σ型集；20 问题：开集是F σ型集，闭集是G δ型集？可见，F σ型集和G δ型集都是比开集、闭集更广的两类集；30 至多可数个F σ型集的并仍为F σ型集，至多可数个G δ型集的交仍为G δ型集；40 F σ型集与G δ型集在余运算下相互转化；从而，nR 中至多可数集一定F σ型集，至多可数集的余集一定是G δ型集；50 问题：有理数集Q 是否G δ型集？无理数集c W Q =是否F σ型集？2）Borel 集记τ表示开集全体，则由τ生成的σ代数()στℜ称为Borel 体，其中的元素称为Borel 集． Borel 集一定是从开集出发经过至多可数次并、交、差、余运算得到的（Borel 集的结构）． 易见，开集，闭集，F σ型集和G δ型集都是Borel 集．六、开集的结构开集的结构定理：（1）R 上的任一个非空开集总可表示称至多可数个互不相交的开区间的并；（2）nR （2n ≥）上的任一个非空开集总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间的并．注：10（1）中构成R 中非空开集G 的互不相交的每个开区间(),αβ满足：(),G αβ⊂，且,G G αβ∉∉，它们都称为G 的构成区间．20 开集的结构定理的更一般的说法：（1）R 上的任一个开集或为∅，或总可表示称至多可数个互不相交的开区间的并；（2）nR （2n ≥）上的任一个开集或为∅，总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间的并．七、点与集合间的距离，集合与集合间的距离1、点与集合间的距离，集合与集合间的距离的定义设nx R ∈，nE R ⊂，记(){},inf (,)inf (,)y Ed x E d x y y E d x y ∈∈=称为x 与E 间的距离；设12,n E E R ⊂，记(){}121212,,inf (,),inf(,)x E y E d E E d x y x E y E d x y ∈∈∈∈=称为1E 和2E 间的距离．注：由定义可得10 (){}{}122112,i n f (,)i n f(,)d E E d x E x E d y E y E=∈=∈； 事实上，对任意1x E ∈，2y E ∈，由定义，()()12,,d E E d x y ≤，()()2,,d x E d x y ≤对第一个不等式两边先对2y E ∈取下确界得，()()122,,d E E d x E ≤；再对1x E ∈取下确界得，(){}1221,inf (,)d E E d x E x E ≤∈．对第二个不等式两边同时对1x E ∈，2y E ∈取下确界得，{}()2112inf (,),d x E x E d E E ∈≤．综上所述，即得结论．20 若x E ∈，则(),0d x E =，反之不一定成立，如取0x =，(0,1)E =即可； 30 x E ∈⇔(),0d x E =；事实上，x E ∈⇔存在E 中的一列点{}k x ，使得k x x →，即(),0k d x x →⇔(),0d x E =．40 特别，若E 为闭集，则x E ∈⇔(),0d x E =；50 若12E E ⋂≠∅，则()12,0d E E =，反之不一定成立，如取1(0,1)E =，2(1,2)E =即可．引理（(),d x E 在nR 上的连续性）：设nE R ⊂，记()(),f x d x E =（nx R ∈），则()f x 在n R 上一致连续．事实上，对任意,nx y R ∈，z E ∈，由()()(),,,d x z d x y d y z ≤+，()()(),,,d y z d x y d x z ≤+对z E ∈取下确界可得()()(),f x f y d x y -≤，()()(),f y f x d x y -≤，即()()(),f x f y d x y -≤．2、距离可达到的条件（1）点到集合间的距离可达到的条件：设0n x R ∈，nE R ⊂为非空闭集，则存在0y E ∈，使得()()000,,d x y d x E =． （2）集合间的距离可达到的条件：设,nE F R ⊂均为非空闭集，且至少有一个有界，则存在0x E ∈，0y F ∈，使得 ()(),,d x y d E F =．思考：如何利用（1）和连续函数的最值性来证明？注：（2）中,n E F R ⊂都无界，结论不一定成立．3、闭集的分离性分离性定理：设,n E F R ⊂均为非空闭集，若E F ⋂=∅，则存在两个开集12,G G ，使得，1E G ⊂，2F G ⊂，且12G G ⋂=∅．4、闭集一定是G δ型集，开集一定是F σ型集先证一个结论：设n E R ⊂，0δ>，则{}()(,),n x R d x E U E δδ∈<为开集，且(),E U E δ⊂．再证结论：设n E R ⊂为闭集，取1n δ=（1,2,n =），则1,U E n ⎛⎫ ⎪⎝⎭为一列包含E 的开集，下证：11,n E U E n ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭．易见，11,n E U E n ∞=⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，反之，对任意11,n x U E n ∞=⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有，1,x U E n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而()1,0d x E n <→，所以(),0d x E =，注意到E 是闭集得，x E ∈，所以，11,n E U E n ∞=⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭，故11,n E U E n ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭．。