han线代课件5-2

定义1 设A是复数域上的n阶方阵, 如果存在复数 0 和n维非零列向量 X 0 , 使得 AX 0 0 X 0 , 则称λ0是A的一个特征值, X0是A的属于λ0的一个特征向量 二、特征值和特征向量的直接性质 性质1 如果 X1 , X 2 ,, X t 都是A的属于λ0的特征向量,则 k1 X1 k2 X 2 kt X t （k1 , k2 , , kt 不全为0）也是A属于λ0的特征向量. 设λ为Ａ的特征值， X 0为A的属于的特征向量。 性质2 则 k 为 kA的特征值，特征向量不变 m m A 则 为 的特征值，特征向量不变 性质3
一、定义 定义 使得 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，
P AP B,
1
则称矩阵 Ａ与Ｂ相似．记作：Ａ∽Ｂ．
二、性质 （1） 反身性：Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； （3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ， 则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 rank A = rank B （5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ B m
注意（1） Ｐ中的列向量 p1 , p2 ,
, pn 的排列顺序要与
1 , 2 , , n 的顺序一致．
因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， （ 2）
因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
（ 3） 又 A E 0的根只有ｎ个（重根按重数计算） 所以如果不计i 的排列顺序， 则 是唯一的．
2 X 1 1 , 0
求出一个基础解系
1 X 2 0 ; 1
1 0 0 又解 (3E-A)X=0, A 2 5 2 2 4 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 3E A 2 2 2 0 0 0 2 4 4 0 求出一个基础解系 X 3 1 , 则Q [ X1 X 2 X 3 ]可逆, 1 2 1 0 1 － 1 Q 1 0 1 , Q AQ= 1 0 1 1 3

• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.

在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
线性代数（第五版）
2013.12.14修改汇总
修改人：xiaobei93521
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.

an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx