2015北京初三一模26题探究创新题

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1 (朝)26.阅读下面材料: 小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°, BE是AC边上的中线,点D在BC边上,CD:BD=1:2,AD与BE 相交于点P,求APPD的值. 小昊发现,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,通过构造△AEF,经过推理和 计算能够使问题得到解决(如图2). 请回答:APPD的值为 .

参考小昊思考问题的方法,解决问题: 如图 3,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在BC的延长线上,AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,DC:BC:AC=1:2:3 .

图1 图2 图3 2

(1)求APPD 的值; (2)若CD=2,则BP= .

(东)26. 在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AGBE于点G,交BD于点F.

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系; 明明发现,AF与BE分别在AOF△和BOE△中,可以通过证明AOF△和BOE△全等,得到AF与BE的数量关系; 请回答:AF与BE的数量关系是 . (2) 如图2,若四边形ABCD是菱形, 120ABC,请参考明明思考问题的方法,求AFBE 的值.

GB

FE

O

D

CA

图1 图2 3

(西)26.阅读下面的材料: 小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题:

如果α,β都为锐角,且1tan2,1tan3,求的度数. 小敏是这样解决问题的:如图1,把,放在正方形网格中,使得ABD, CBE,且BA,BC在直线BD的两侧,连接AC,可证得△ABC是等腰直角三角形,

因此可求得=∠ABC=°. 请参考小敏思考问题的方法解决问题:

如果,都为锐角,当tan4,3tan5时,在图2的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON=,由此可得=______°.

(大) 26.数学课上,老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形,使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上.有一部分同学是这样画的:如图1,先在扇形OAB内画出正方形CDEF,使得C、D在OA上,F在OB上,连结OE并延长交弧AB与G点,过点G,作GJOA于点J,作GHGJ交OB于点H,再作HIOA于点I. (1)请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗?如果是,请给出你的证明;如果不是,请说明理由; (2)还有一部分同学用另外一种不同于图....1.的方法...画出的,请你参照图1的画法,在图2上画出这个正方形(保留画图痕迹,不要求证明). 4

(房)26.小明遇到这样一个问题: 如图1,在锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为△ABC的高,求证:∠AFE=∠ACB. 小明是这样思考问题的:如图2,以BC为直径做半⊙O,则点F、E在⊙O上, ∠BFE+∠BCE=180°,所以∠AFE=∠ACB. 请回答:若∠ABC=40,则∠AEF的度数是 . 参考小明思考问题的方法,解决问题: 如图3,在锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为△ABC的高,求证:∠BDF=∠CDE.

(门)26.阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,试判断BC和AC、AD之间的数量关系. 小明发现,利用轴对称做一个变化,在BC上截取CA′=CA,连接DA′,得到一对全等的三角形,从而将问题解决(如图2).

A'DDCBCBAA 图1 图2

请回答:(1)在图2中,小明得到的全等三角形是△ ≌△ ; (2)BC和AC、AD之间的数量关系是 . 参考小明思考问题的方法,解决问题: 如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9. 求AB的长.

图1 图2 图3 OFE

D

A

BC

FE

DBAC

FE

DBAC

图3 DCBA5

BC

DA

(石)26.阅读下面材料: 小红遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,90CA,60D,34AB,3BC,求AD的长.

小红发现,延长AB与DC相交于点E,通过构造Rt△ADE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2). 请回答:AD的长为 . 参考小红思考问题的方法,解决问题: 如图3,在四边形ABCD中,21tanA,135CB, 9AB,3CD,求BC和AD的长.

(通)26.(1)请你根据下面画图要求,在图①中完成画图操作并填空. 如图①,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,∠PAM=∠A. 操作:(1)延长BC. (2)将∠PAM绕点A逆时针方向旋转60°后,射线AM交BC的延长线于点D. (3)过点D作DQ//AB. (4)∠PAM旋转后,射线AP交DQ于点G. (5)连结BG.

结论:ABAG= .

图3 图1 图2 BCD

A

EBCD

A6 (2)如图②,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=36°,进行如下操作:将△ABC绕点A按逆时针方向旋转度角,并使各边长变为原来的n倍(n >1),得到△''ABC. 当点B、C、'B在同一条直线上,且四边形''ABBC为平行四边形时(如图③),求和n的值.

(中)26. 有这样一个问题:探究函数2112yxx的图象与性质。 小东根据学习函数的经验,对函数2112yxx的图象与性质进行了探究。 下面是小东的探究过程,请补充完成: (1)函数2112yxx的自变量x的取值范围是___________; (2)下表是y与x的几组对应值。 x … 3 2 1 12 13 13 12 1 2 3 …

y … 256 32 12 158 5318 5518 178 32 52 m …

求m的值;

图① 图② 图③ 7

(3)如下图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,格局描出的点,画出该函数的图象;

(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2,结合函数的图象,写出该函数的其他性质(一条即可):________________。

(怀)26.阅读下面材料: 小聪遇到这样一个有关角平分线的问题:如图1,在△ABC中, ∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6求BC的长.

小聪思考:因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE. 这样很容易得到△DEC≌△DAC,经过推理能使问题得到解决(如图2). 请回答:(1)△BDE是_________三角形. (2)BC的长为__________.

y 6 54 3 2 1

1 2 4 3 x O -4 -3 -2 -1

-1

-2 -3 -4

y 6 54 3 2 1

1 2 4 3 x O -4 -3 -2 -1 -1 -2

-3 -4 备用图

ABC

D

图1 ED

CB

A

图2 A

BCD图3 8

参考小聪思考问题的方法,解决问题: 如图3,已知△ABC中,AB=AC, ∠A=20°,BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2. 求AD的长.

(平)26.阅读下面材料: 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 小聪将命题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E. 小聪想:要想解决问题,应该对∠B进行分类研究. ∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. 第一种情况:当∠B是直角时,如图1, 在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF, ∠B=∠E=90°,根据“HL”定理,可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况:当∠B是锐角时,如图2,BC=EF,∠B=∠E<90°,在射线EM上有点D,使DF=AC,画出符合条件的点D,则△ABC和△DEF的关系是 ; A.全等 B.不全等 C.不一定全等 第三种情况:当∠B是钝角时,如图3,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF, ∠B=∠E>90°,求证:△ABC≌△DEF.

BADE

CF

图1

图3 AB

CF

ED

图2 M

FEBCA