第二讲不规则图形面积的计算(二)

第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。

例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。

解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。

例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。

分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.＝（157-7）×2÷20=15（厘米）。

不规则图形的面积一、情境导入，引入新知。

（5分钟）1.（课件出示画面）秋天，落叶满地，小马、小羊在林间的小路上散步。

它们分别捡起一片树叶后，为谁的树叶面积大而争论了起来。

2.组织学生们讨论：你认为谁说得对呢？3.揭示课题。

（1）引导学生从比较中发现树叶是不规则的，不能直接观察出树叶的大小。

（2）你能帮小马、小羊解决这个难题吗？通过今天的学习大家一定行。

接下来我们就来探讨如何估算不规则图形的面积。

1.认真观察、思考。

2.学生讨论并交流各自的想法。

3.（1）学生观察发现。

（2）学生带着好奇心与老师共同进入新知的探究。

1.我会填。

(1)2.5dm2=(250)cm236cm2=(0.36)dm20.48m2=(48)dm27200cm2=(0.72)m2(2)一个三角形的面积是24cm2，与它同底等高的平行四边形的面积是（48）cm2。

(3)如果一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等，平行四边形的高是7cm，那么三角形的高是(14)cm。

二、动手操作、探究不规则图形的面积。

（25分钟）1.提出问题。

我们已经会计算组合图形的面积了，那么不规则的树叶的面积我们应该采用什么样的数学方法来计算呢？2.解决问题。

（1）课件出示教材100页例5，让学生独立观察，交流了解到的信息。

1.观察树叶，思考老师提出的问题。

2.（1）观察教材100页例5的树叶图，明确每个小方格的面积都是1cm2。

（2）认真观察，动脑思考。

（3）自由交流自己喜欢的方法。

（可以先在小方2.计算下列各图形的面积。

（单位：cm）S=9×6=54(cm2)。

S=4.8×2.5÷2=6(cm2)3.每个小方格的面积是（2）引导学生动脑思考：你打算用什么方法求树叶的面积？（3）交流自己喜欢的方法。

（4）用数方格的方法计算不规则图形的面积时，应注意什么？（5）引导学生动手操作，验证自己的猜想。

（6）汇报自己的计算方法和结果。

不规则几何图形面积计算方法有一次坐车，曾与一位大学一年级的学生坐邻座。

问她现在还学不学数学，她说正学呢，学微积分。

问微积分有什么用，她想了想，说：“可以求不规则图形的面积”。

我将手拍在我们前面座椅的靠背上，问：“用你高中以前的知识，你怎么求我的手掌印的面积？”她马上说：“这没有办法求。

我们求面积都是求的规则图形的面积。

这个没有办法求。

”她没有用过新课程下的数学教材。

对于用过新课程下的数学教材的学生来说，这样的问题，小学生应当能够解决了。

新世纪小学数学教材安排了探索不规则图形及物体的测量方法，如，“估计自己脚印的面积”的活动，“学生可以在脚印上画出透明的正方形格子，由此进行估计。

对于感兴趣的学生，教师还可以引导他们计算出鞋印覆盖住的整方格数，得到鞋印面积的不足近似值；再计算出被鞋印接触过的所有方格数，得到鞋印面积的过剩近似值，鞋印的实际面积介于二者之间。

根据经验，学生还可能认识到方格分得越细，不足近似值和过剩近似值越接近，这种认识实际上蕴涵了微积分的基本思想。

[1]”大方格不能上文说“根据经验，学生还可能认识到……”，似乎是编写者“一厢情愿”的猜度。

我们看到下面的材料，想来你会体会到编写者这样设计的意义和价值。

这是一位教师在上课中的实录节选。

例2[2] 求一块不规则图形的面积．这与数学中的常规问题是不同的，我们在数学中面对的一般都是规则图形，可以直接用公式计算，或者通过适当割补后再用公式计算．如何解决这一问题呢?我们把它交给学生，竟然得到了如下一些成果：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”．[1]义务教育课程标准实验教科书·数学教师教学用书(四年级上册)·致教师（一），北京师范在学出版社，[2]试谈以人为本的三维课堂教学，/jy zx/Print.asp方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近．方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为．方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是．我们欣赏一下学生的思路，你会发现，这里的每一种方法都有极其深刻的背景。

不规则图形面积的估算知识精讲1.认识不规则图形像树叶、手掌等形状的图形，既不是长方形、正方形、三角形、平行四边形等基本图形，也不能通过分割、添补成基本图形，就叫作不规则图形。

2.不规则图形面积的估算方法不规则图形的面积无法直接利用面积公式计算，也难以直接运用计算组合图形面积的方法计算，一般通过一些特殊的方法估算。

方法1：利用数方格法估算。

将需要估算面积的图形放在方格纸中，将图形所占所有方格代表的面积相加，大约就是不规则图形的面积。

数方格时，占满1格记1格，占半格记作0.5格；对于大于半格和小于半格的部分，可以有不同的计数方法，如可以将大于半格和小于半格的合在一起，记作1格，也可以简化处理，将大于半格的记作1格，不满半格的记作0。

如估算下面树叶的面积，可以先数出占满格的有18个，超过半格的有11个，不满半格的有7个，所以这片树叶的面积大约是29平方厘米。

方法2：看作基本图形估算。

根据图形的特点，把不规则图形看作一个或几个基本图形，利用面积公式估算其面积。

仍以上面的树叶为例，也可以将其近似看作一个平行四边形，底是5个小方格的边长，高是6个小方格的边长，根据平行四边形的面积公式，可知该树叶的面积大约是5×6=30（cm2）。

名师点睛数方格估算面积时，方格分割越细越精确用数方格法估算不规则图形的面积时，方格分割越细，分的格子就越多，无法准确计算的图形面积就越少，因此估算出的面积就越准确。

典型例题例1：下图中每个小方格的面积都是1dm2，请你估算图中阴影部分的面积。

解析：可以利用数方格法估计。

满格的有10格，超过半格的有4格，不满半格的有1格，所以阴影部分的面积大约为14dm2。

答案：14dm2。

例2：下图中每个小方格的面积是1cm²，阴影部分的面积大约是多少平方厘米？解析：可以把阴影部分近似看成一个长方形（如下图），长是8cm，宽是4cm，因此阴影部分的面积大约是8×4=32（cm²）。

不规则面积计算公式(二)不规则面积计算公式在数学和几何学中，计算不规则形状的面积是一项常见的任务。

不规则形状是指不符合常见几何图形的形状，例如梯形、矩形或圆形。

本文将介绍一些常见的不规则面积计算公式，并举例解释说明。

下面是一些常见的不规则面积计算公式：1. 多边形的面积计算公式对于任意一个简单闭合多边形，可以使用以下公式计算其面积：S = 1/2 * (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1- x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn)其中，(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) 是多边形的各个顶点坐标。

该公式通过将多边形划分为多个三角形来计算面积，并累加这些三角形的面积。

例如，考虑一个三角形，其顶点坐标为 (0, 0), (4, 0), (0, 3)。

可以使用上述公式计算其面积：S = 1/2 * (0*4 + 4*3 + 0*0 - 0*0 - 4*3 - 0*4)= 1/2 * (0 + 12 + 0 - 0 - 12 - 0)= 1/2 * 0= 0因此，该三角形的面积为 0。

2. 圆形的面积计算公式圆形是一种常见的不规则形状，其面积可以使用以下公式计算：S = π * r^2其中，π 是一个数学常量，约等于，r 是圆的半径。

例如，考虑一个半径为 5 的圆，可以使用上述公式计算其面积：S = π * 5^2≈ * 25≈因此，该圆的面积约为。

3. 曲线围成的面积计算公式对于由曲线围成的不规则形状，可以使用积分来计算其面积。

具体而言，可以使用以下公式：S = ∫[a, b] y(x) dx其中，y(x) 是曲线的方程，[a, b] 是曲线在 x 轴上的投影区间。

例如，考虑由曲线 y = x^2 围成的形状，要计算其面积，可以使用上述公式：首先，找出曲线与 x 轴的交点，即解方程 x^2 = 0，得到 x = 0。

不规则图形面积的求法求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。

一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。

例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD ， 由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°， ∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O CD S S ππ323602602=⨯⨯例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2 取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。

连结OM 交 BD 于E; 则△OED ≌△MEB∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O M D S S 43601902ππ=⨯⨯ (２）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。

例3、 在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O 交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°， RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，得∠A ＝45°且AC＝AD ＝BD ＝CD＝∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝∴CDB 11S CD BD 422S ∆⨯⨯⨯阴影＝＝＝例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且 AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ， 弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。

解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，AB AE =＋半圆；A图2图4又∵ AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ＝ 1AB CD AC BD 2（＋＋＋）＝半圆， ∴ AE ＝ CD ，所以A E C DS m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。

五年级奥数竞赛试题第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S A∪B＝S A＋S B-S A∩B）合并使用才能解决。

例1 如图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。

解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2 如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。

解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。

例4 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。

分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.解：BC的长=[3.14×（20/2）2÷2-7] ×2÷20＝（157-7）×2÷20=15（厘米）。

不规则四边形的面积计算方法一、引言不规则四边形是一种具有四个不等长边和四个不等角的几何形状。

与正方形、长方形等规则四边形不同，不规则四边形的面积计算方法稍显复杂。

本文将为读者介绍一种常用的计算不规则四边形面积的方法。

二、确定不规则四边形的边长和角度在计算不规则四边形的面积之前，我们需要确定该四边形的边长和角度。

可以通过测量或已知条件来获取这些参数。

下面以一个具体的例子作为说明。

假设我们有一个不规则四边形ABCD，已知边长分别为AB=3cm，BC=5cm，CD=4cm，DA=6cm，角度分别为∠B=90度，∠C=100度，∠D=120度，如图1所示。

三、将不规则四边形分割为三角形和梯形为了简化计算，我们可以将不规则四边形分割为若干个三角形和梯形，然后计算每个子图形的面积，最后将它们相加得到整个四边形的面积。

1. 分割三角形ABC和ADC我们将不规则四边形分割为两个三角形ABC和ADC，如图2所示。

这两个三角形的面积可以通过以下公式计算得出：三角形ABC的面积S1 = 1/2 * AB * BC * sin(∠B)三角形ADC的面积S2 = 1/2 * CD * DA * sin(∠D)2. 分割梯形BCD接下来，我们将梯形BCD分割为两个三角形BCD'和BDD'，如图3所示。

这两个三角形的面积可以通过以下公式计算得出：三角形BCD'的面积S3 = 1/2 * BC * (CD' + BD') * sin(∠C)三角形BDD'的面积S4 = 1/2 * BD' * DD' * sin(∠D')四、计算子图形的面积并求和现在我们已经得到了四个子图形的面积，分别是S1、S2、S3和S4。

将它们相加即可得到整个不规则四边形的面积。

不规则四边形的面积S = S1 + S2 + S3 + S4五、具体计算根据上述方法，我们可以具体计算出这个例子中不规则四边形的面积。

面积计算学习如何计算不规则形的面积对于不规则形的面积计算，我们可以通过多种方法进行求解，例如将不规则形分割成几何图形再计算各个图形的面积，或者利用数学公式进行计算。

下面将介绍两种常用的计算不规则形面积的方法：多边形拆分法和积分法。

一、多边形拆分法这种方法适用于边界为折线的不规则形。

我们可以将不规则形分割成多个规则的图形，如三角形、矩形或梯形，然后计算各个图形的面积之和即可得到整个不规则形的面积。

举个例子，假设我们需要计算以下图形的面积：（插入图片）首先，我们可以将该图形分割成两个三角形和一个矩形。

计算每个图形的面积并求和：三角形1的面积：S1 = 0.5 ×底边1 ×高1三角形2的面积：S2 = 0.5 ×底边2 ×高2矩形的面积：S3 = 长 ×宽最后，将三个图形的面积相加即可得到整个图形的面积：总面积 = S1 + S2 + S3二、积分法积分法适用于边界为曲线的不规则形，它通过数学上的积分运算来求解面积。

以一个弯曲的河岸线为例，我们可以使用积分法计算其封闭区域的面积。

首先，我们需要找到曲线方程 y=f(x)。

然后，确定积分的上下界，即曲线的起点和终点。

根据曲线的形状，我们可以设置适当的积分上下界。

接下来，使用面积元素的微元法。

将曲线上的微小线段 dx 划分为无穷多个小段，计算每个面积元素的面积 dS，然后对这些微小的面积元素进行累加，即可得到整个曲线封闭区域的面积。

面积元素的面积 dS 可以通过微积分中的曲线积分公式进行计算：dS = y dx最后，进行积分运算，在给定的积分上下界内对面积元素的微小面积 dS 进行累加，得到整个不规则形的面积。

需要注意的是，在使用积分法时，曲线方程的选择和确定积分上下界的方法取决于具体的不规则形状。

总结：不规则形的面积计算可以通过多边形拆分法和积分法进行求解。

多边形拆分法适用于边界为折线的不规则形，将不规则形分割成规则的图形进行面积计算；积分法适用于边界为曲线的不规则形，通过积分运算对面积元素进行累加得到整个不规则形的面积。

人教版数学五年级上册《不规则图形的面积》教案一、教学目标1.知识与能力：学生掌握不规则图形面积的计算方法，包括分割、逼近等。

2.过程与方法：培养学生观察、探究、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作精神和实践创新的意识。

二、教学重难点•重点：不规则图形面积的计算方法。

•难点：不规则图形的分割和逼近思维。

三、教学准备1.教材：人教版数学五年级上册。

2.教具：板书、计算器、图形模型等。

3.环境：整洁、安静、气氛活跃的教室。

四、教学过程1. 导入（5分钟）教师出示几个不规则图形，让学生观察并思考如何计算其面积。

2. 概念讲解（10分钟）教师引导学生理解不规则图形面积计算的基本概念，包括分割、逼近等方法。

3. 分组讨论（15分钟）学生分组讨论不规则图形面积计算的实际问题，分享各自的解题思路。

4. 案例分析（10分钟）教师给出一个具体的不规则图形面积计算案例，引导学生分析问题并找出解题方法。

5. 练习与巩固（20分钟）学生进行多个练习，巩固不规则图形面积计算方法，重点训练分割和逼近思维。

6. 拓展应用（10分钟）教师提供一些拓展应用题目，让学生运用所学知识解决更复杂的问题。

7. 总结（5分钟）教师帮助学生总结本节课学到的知识点，鼓励学生发表自己的见解和体会。

五、作业布置布置不规则图形面积计算的作业，要求学生按照课上所学方法完成。

六、教学反思本节课的教学重点是让学生掌握不规则图形面积计算的方法，引导学生在实际问题中运用所学知识解决问题。

在教学过程中，需要注意引导学生形成合作习惯，培养他们的解决问题的能力。

以上是本节课教案的主要内容，希望能够帮助学生更好地理解不规则图形面积计算的方法。

不规则图形面积教案一、教学目标：1. 让学生掌握不规则图形的面积计算方法。

2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3. 培养学生的团队合作意识和沟通能力。

二、教学内容：1. 不规则图形的定义及特点。

2. 不规则图形面积的计算方法。

3. 实际问题中的应用。

三、教学过程：1. 导入：通过展示不规则图形，引发学生对不规则图形面积计算的兴趣。

2. 新课讲解：讲解不规则图形的定义、特点和面积计算方法。

3. 案例分析：分析具体的不规则图形，引导学生运用所学方法计算面积。

4. 实践操作：学生分组，合作完成不规则图形面积的计算。

5. 总结提升：师生共同总结不规则图形面积计算的方法和技巧。

四、教学评价：1. 课堂问答：检查学生对不规则图形面积计算方法的掌握程度。

2. 实践作业：布置相关课后练习，巩固所学知识。

3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和沟通能力。

五、教学资源：1. 不规则图形的图片和资料。

2. 计算工具（如直尺、三角板等）。

3. 课后练习题。

4. 小组讨论记录表。

六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究不规则图形的面积计算方法。

2. 利用直观教具，帮助学生形象地理解不规则图形的特点和面积计算过程。

3. 组织小组讨论和实践活动，提高学生的合作能力和实践能力。

4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导和帮助，使他们在原有基础上得到提高。

七、教学步骤：1. 第一步：让学生观察不同形状的不规则图形，引导学生发现不规则图形的特征。

2. 第二步：讲解不规则图形的面积计算方法，如分割、逼近等方法。

3. 第三步：让学生进行实际操作，用所学方法计算给定的不规则图形的面积。

4. 第四步：组织学生进行小组讨论，分享计算方法和经验，互相学习和提高。

5. 第五步：教师进行总结和点评，指出学生的优点和需要改进的地方。

八、教学拓展：1. 让学生尝试解决更复杂的不规则图形面积计算问题，提高他们的解题能力。

2. 引导学生将不规则图形的面积计算方法应用到实际生活中，如计算物体表面的面积等。