无锡滨湖区无锡市太湖格致中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)

江苏省无锡市滨湖区太湖格致中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．2B6．如图，在直角坐标系中，C(3,3)，那么点D的坐标是（A．（4，2）B的直径，点7．如图，AB是OA ．10︒8．我国古代数学家赵爽（公元二次方程（正根）的几何解法，以方程方法是：构造如图，大正方形的面积是中间小正方形的面积，即程：228=0x x --解法的构图是A ．．C ．．9．如图，在ABC 中，∠分别是AC 、AB 边上的高，连接若2BC =，则DE 的长为(A ．5B ．210．在平面直角坐标系xOy y 轴的正半轴上，始终保持AB 为边向右上方作正方形P ，连接OP ．（1）直线A．1个B二、填空题△11．如图，要使AFE12．若△ABC与△A1B1C113．已知关于x的一元二次方程14．已知直角三角形的两条直角边分别为15．如图，树AB在路灯树AB与路灯O的水平距离16．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为旋转1周需要24min（匀速）转开始1周的观光，启动17．已知：在平面直角坐标系55AP BP +的值最小，此时18．如图，ABC 中，CA 长线于E ，若2B DAC ∠=∠三、解答题19．用适当的方法解方程：(1)230x x -=；(2)2250x x --=；(3)(1)(25)4x x +-=．20．已知：32x y =，求下列各式的值(1)y ；(1)ABC 与ADE V 相似吗？为什么？(1)设仓库垂直于墙的一边长为x 米，则仓库平行于墙的一边长为(2)以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？23．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ()4,4C ．、(1)以点O 为位似中心，将 111A B C △；点(),P a b 为ABC _______．(2)ABC 外接圆的圆心坐标为24．已知在ABC 中，BC >的一点P ．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．(1)如图1，若90A ∠=︒，使得点P 到BC 的距离等于PA ；(2)如图2，若90A ∠<︒，使得点P 到BC 的距离等于PA ；(3)在（2）的条件下，若75,45,6A C AB ∠=︒∠=︒=，则PA =______中，BD为角平分线，28．如图，ABC(1)如图1，请说明::AB BC AD CD =；(2)如图2，若90,2ABC AB ∠=︒=；请直接利用（1）的结论求出22AD CD +的最小值．。

一、选择题1．当2z =时，100501z z ++=（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i -2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．25．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限6．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 7．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -8．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．若11iai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-12．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．5二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．化简：202020191z i i ⎛⎫=+=⎪ ⎪+⎝⎭________.15．661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭_______________. 16．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 17．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 18．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．19．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________ 20．若复数 z =21ii-,则3z i + =__________ 三、解答题21．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 22．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若mz z+是实数，求实数m 的值． 23．复数()()212510,1225,z a ai za a i =++-=-+-，其中a R ∈ .（1）若2a =-，求1z 的模； （2）若12z z +是实数，求实数a 的值.24．已知i 为虚数单位，当实数m 为何值时，复数是()2262m m z m m i m+-=+-：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．4．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，22476555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．7．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了2b x -±=.9．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．B解析：B 【分析】设11ibi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1ibi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.12．C解析：C 【分析】 先求出8625iz -=，再求出||z 得解. 【详解】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-， ()1010202010102101010082222i 2i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43ii n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.15．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题 解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*ni n ∈N 的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.【详解】661i⎛⎫+=⎪⎪-⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+=⎪⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦ii i i i ii.故答案为：2i【点睛】本主要考查了有关i的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.16．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：1i-【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i=-++为纯虚数，210a∴-=，且10a+≠，解得1a=20001112(1)111(1)(1)i iii i i i++-∴===-+++-.故答案为：1i-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 17．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和解析：6【分析】利用立方差公式，由38z=，得()2(2)240z z z-++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z+++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z=，得()2(2)240z z z-++=.又z为虚数，得2240z z++=.∴()3232222428026z z z z z z+++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用.18．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题． 19．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集 解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】 因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域； 又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示， 由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.20．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数5【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值.详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =三、解答题21．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题22．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．【详解】 解： （Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-． 所以33z i =-为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭m z z +是实数，306m ∴-=，即18m =为所求． 【点睛】 本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题23．（1）（2）5a =-或3a =.【解析】（1）2a =-，则136z i =+，则1z ===， ∴1z的模为. （2）()()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++-因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =故5a =-或3a =.24．（1）2m =；（2）0m ≠且2m ≠；（3）3m =-.【分析】（1）由实数定义可知实部为零，由此可构造方程求得结果；（2）由虚数定义可知虚部不为零，结合分式分母不为零可构造不等式组求得结果； （3）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此可构造方程组求得结果.【详解】 （1）由2200m m m ⎧-=⎨≠⎩得：2m = ∴当2m =时，复数z 是实数 （2）由2200m m m ⎧-≠⎨≠⎩得：0m ≠且2m ≠ ∴当0m ≠且2m ≠时，复数z 是虚数 （3）由226020m m m m m ⎧+-=⎪⎨⎪-≠⎩得：3m =- ∴当3m =-时，复数z 是纯虚数 【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数、虚数和纯虚数的定义；易错点时忽略无论复数为什么类型，分式分母不能为零的要求.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。

第二章《复数》达标检测【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】一、单选题1．已知(26)12i x yi +=+，其中x ､y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．12B ．32C ．2D ．2【答案】C【分析】根据2612x xi yi +=+，利用复数相等求得x ，y ，再利用求模公式求解.【详解】因为2612x xi yi +=+，所以21x =，62x y =， 解得12x =，332y x ==，所以x yi +==， 故选：C.2．设复数z 满足|(1)|1z i -+=，则||z 的最大值为 （ ）A 1B 1C ．2D ．3【答案】B【分析】设,,z a bi a b R =+∈，得出,a b 的关系，结合其几何意义求解最值.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，()|(1)|111z i a b i -+=-+-=，()()22111a b -+-=，||z =22111x y 上的点到原点距离的最大值，1.故选：B3．在复数范围内（i 为虚数单位），下列命题正确是（ ）A ．2i i >B ．若0(,)a bi a bC +=∈，则0a b ； C ．若1z R z+∈，则||1z = D ．若z z =，则z R ∈ 【答案】D【分析】由复数的定义和复数运算可得结果.【详解】纯虚数不能比较大小，所以A 不正确；0(,)a bi a b C +=∈，当,1==-a i b 时成立，所以B 不正确；1z R z+∈，当2=∈z R 时成立，所以C 不正确； ,,==+=-z z z a bi z a bi ，0,∴=∈b z R ,所以D 正确故选：D4．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数12ai z i+=为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】先化简复数z ，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出a 的值．【详解】 21(1)12222ai ai i a z i i i ++===-， 复数12ai z i+=为“等部复数” 122a ∴=-， 1a ∴=-故选：A ．5．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（）．A ．iB ．i -C ．1D ．1- 【答案】A【分析】通过计算607i i =-即可求解它的共轭复数.【详解】因为()15160743i i i i =⋅=-，所以它的共轭复数为i .故选：A6．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ）A ．1-B ．12-C ．13D ．1【答案】B【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B7．若cos sin z i θθ=+(R i θ∈，是虚数单位),则22z i --的最小值是（ ）A ．B C ．1 D ．1【答案】D【分析】 易得复数z 表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数22i +表示的点Z 的距离，由数形结合的思想可得答案．【详解】解：由复数的几何意义可知：cos sin z i θθ=+表示的点在单位圆上，而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数22i +表示的点Z 的距离，由图象可知：22z i --的最小值应为点A 到Z 的距离，而222222OZ =+= ，圆的半径为1，故22z i --的最小值为221-，故选D ．【点睛】本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题．8．对任意复数(,)z x yi x y R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z x y +B ．2z z x -C ．222z x y =+D ．2z z y -=【答案】A【分析】利用复数模的概念，结合基本不等式判断即可.【详解】(,)z x yi x y R =+∈，2222z x y xyi ++=222222||2()z x y x y x y x y ∴=+++=+，z x y ∴+，即A 正确，C 错误；又2z z y -=，可排除B 与D ，故选：A .【点睛】本题考查复数求模，考查复数的概念的应用，属于基础题.9．设()(,,)b i i c ai a b c R +=+∈，则a b c ++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】先计算()i c ai a ci +=-+，再根据复数相等求解即可.【详解】解：因为()i c ai a ci +=-+，所以b i a ci +=-+，所以,1b a c =-=，故1a b c ++=．故选：C.【点睛】本题考查复数相等的概念和复数乘法运算，是基础题. 10．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z i i i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B【分析】根据复数代数形式的运算法计算出z ，再根据定义求出z .【详解】 解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.二、多选题11．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【答案】BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.12．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1【答案】AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.三、填空题13．已知220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则复数z m ni =+的虚部是______.【分析】利用复数的乘方，将220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，转化为122m ni +=-+，从而得到复数z ，进而可求得其虚部.【详解】因为220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122m ni +=-+所以12z =-+所以复数z故答案为：2 【点睛】本题主要考查复数的乘方和复数相等以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．满足条件|||34|z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹方程是___________.【答案】22(1)25x y +-=【分析】设z x yi =+，利用条件|||34|z i i -=+即可得出【详解】设z x yi =+，,x y R ∈， 因为|||34|z i i -=+，即()|1||34|x y i i +-=+，=即22(1)25x y +-=， 所以满足条件|||34|z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹方程是22(1)25x y +-=， 故答案为：22(1)25x y +-=.【点睛】本题考查的是复数的模的计算及其几何意义.15．已知复数22z a i a i =--是负实数，则实数a 的值为___________．【答案】1【分析】将复数写成标准式，再根据复数为负实数得到方程，解得即可；【详解】解：因为()22221z a i a i a a i =--=-+-为负实数，所以21020a a ⎧-=⎨-<⎩解得1a =故答案为：1【点睛】本题考查复数的类型求参数的值，属于基础题.16．下列说法中正确的是________.（填序号）∵若()()213x i y y i -+=--，其中x ∈R ，C y R ∈，则必有()2113x y y -=⎧⎨=--⎩； ∵21i i +>+；∵若一个数是实数，则其虚部不存在；∵若1z i=，则31z +在复平面内对应的点位于第一象限.【答案】∵【分析】∵根据已知可得，y ∈{虚数}，利用复数相等的概念，可判断∵的正误；∵利用虚数不能比大小，可判断∵的正误；∵由实数的虚部为0，可判断∵的正误；∵由1z i i ==-，知311z i +=+，可判断∵的正误. 【详解】对于∵，x ∈R ，C y R ∈，即y ∈{虚数}，所以()2113x y y -=⎧⎨=--⎩不成立，故∵错误；对于∵，若两个复数不全是实数，则不能比大小，由于2,1i i ++均为虚数，故不能比大小，故∵错误；对于∵，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，故∵错误；对于∵，若1z i i==-，则311z i +=+， 在复平面内对应点为(1,1)，在第一象限，故∵正确.故答案为:∵.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复数的概念和应用，熟练掌握复数概念是解题的关键，属于基础题.四、解答题17．已知复数1Z ，2Z 在复平面内对应的点分别为(2,1)A -，(,3)B a .（1）若12Z Z -=a 的值；（2）复数12z Z Z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值.【答案】（1）3a =-或1a =-（2）9a =-【分析】（1）利用复数的几何意义和模的计算公式即可得解；（2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出.【详解】（1）由复数的几何意义可知：12z i =-+，23z a i =+，12|22|z z a i -=---==3a ∴=-或1a =-.（2）12(2i)(3i)(23)(6)i z z z a a a =⋅=-+⋅+=--+-，依题意可知点(23,6)a a ---在直线y x =-上，∵6(23)9a a a -=---⇒=-.【点睛】本题考查复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，属于基础题.18．已知复数()21332z a i a =+-+，()2231z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）. （1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围（2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值.【答案】（1）21a -<<-； （2）13.【分析】（1）由复数在复平面上对应点落在的象限列不等式求解即可；（2）由虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，则1z 也是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，再结合根与系数的关系求解即可.【详解】解：（1）由条件得，()21232342z z a a i a ⎛⎫-=-+-- ⎪+⎝⎭因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有23202340a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩， 即210241a a a a +⎧<⎪+⎨⎪><-⎩或，即12241a a a ⎧-<<-⎪⎨⎪><-⎩或，解得21a -<<-.（2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根， 所以1z 也是实系数一元二次方程260x x m -+=的根， 所以11662z z a +==+，即1a =-， 把1a =-代入，则132z i =-，132z i =+， 所以22113(2)13m z z =⋅=+-=.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.19．已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求a 的取值范围.【答案】17a <<【分析】先计算复数1z ，再利用复数的模、解不等式，即可得答案．【详解】1(1)15i z i +=-+，∴115(15)(1)231(1)(1)i i i z i i i i -+-+-===+++-，22z a i =--，∴22z a i =-+，12||z z =-=1||z =，∴<17a <<．∴a 的取值范围是17a <<．【点睛】本题考查复数的除法运算法则、模的计算、不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．20．已知关于x 的一元二次方程2230x kx k +-=()k R ∈的虚根为12,x x .（1）求k 的取值范围，并解该方程；（2）若123321i x x i=++，求k 的值.【答案】（1）30k -<<，1x k =-，2x k =-；（2）k =. 【分析】（1）利用方程有两个虚根可以得出判别式的符号，可得k 的取值范围，利用求根公式可得方程的解； （2）利用共轭复数模长相等，化简已知条件，结合模长公式可求.【详解】（1）因为一元二次方程2230x kx k +-=有两个虚根，所以24120k k ∆=+<，解得30k -<<；由求根公式可得，1x k ==--，2x k =-. （2）因为12,x x 互为共轭复数，所以12x x =，因为123321i x x i =++，所以1312i x i ==+，所以22932k k k ++=，解得k =k =（舍）.故34k =-. 【点睛】本题主要考查实系数方程复数根的求解，明确求根公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A ．2a ≠，或1a ≠ B ．2a ≠，且1a ≠ C ．2a =，或0a = D ．0a =2．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）.①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0 B ．1C ．2D ．33．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．已知复数132z i =--，则z z +=（ ） A ．132i -- B ．132i -+ C ．132i + D ．132i - 5．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 7．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --8．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．129．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数11ii+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 14．设i 为虚数单位，复数z满足()()21z i+=，则z =______．15．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.16．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.17．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 18．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________19．已知i 是虚数单位，则复数21iz i-=+的共轭复数是_______. 20．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．参考答案三、解答题21．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.22．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ． 23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值； (2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 24．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 25．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值. 26．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C 【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.2．B解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得132z z i +=+，从而求得结果. 详解：根据132z i =--，可得132z i =-+，且13144z =+=，所以有131312222z z i i +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．B解析：B 【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++， 即()()222211x y x y -+=++， 解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.8．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.9．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+．则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.10．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C11．A解析：A 【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11ii+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得a b +的值.12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】根据复数的除法运算化简求得再结合复数的模的运算公式即可求解【详解】由则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模的运算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解 解析：2【分析】根据复数的除法运算，化简求得1z =-，再结合复数的模的运算公式，即可求解. 【详解】由()222(2ii =-+=-，则1z ====-，所以12z =-=. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题 解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.16．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题 解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-． 故答案为：66i - 【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可. 【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321 x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B⎛⎫⎪⎝⎭，，由321x yx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C⎛⎫⎪⎝⎭，，所以11172242222S=⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.19．【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简求出复数z进而求得其共轭复数从而求得结果详解：因为所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题在解题的过程中需要对复数解析：1322i+【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z，进而求得其共轭复数，从而求得结果.详解：因为2(2)(1)13131(1)(1)222i i i iz ii i i----====-++-，所以1322z i=+，故答案是1322i+.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.20．1【解析】由|z－2|＝|z＋2|知z对应点的轨迹是到(20)与到(－20)距离相等的点即虚轴|z －1|表示z 对应的点与(10)的距离∴|z －1|min ＝1点睛：要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为解析：1【解析】由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.22．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果 【详解】 （Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+， 故195442z =+=． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220b b a b-=+， 由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．56-或76【分析】 若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；②∆<0m <<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m =综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题. 26．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长； （2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A ．2a ≠，或1a ≠ B ．2a ≠，且1a ≠ C ．2a =，或0a =D ．0a =2．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．23．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数4．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >5．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32 6．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)7．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）A ．12B 1C ．1D ．129．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 10．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．15i + B ．1i - C ．15i - D ．1i +12．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2C D二、填空题13．已知1i z z -=-+，则复数z =______.14．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.15．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________． 16．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；17．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．已知复数z 满足(1)z i m i +=-(其中i 是虚数单位).（1）在复平面内，若复数z 的共轭复数对应的点在直线70x y +-=上，求实数m 的值；（2）若||1z ，求实数m 的取值范围.22．已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.23．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x .（1）若134x i =+，求p 的值； （2）若121x x -=，求实数p 的值.24．（1）已知1-（其中i 为虚数单位）是关于x 的方程1x ba x+=的一个根，求实数a ，b 的值；（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？25．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R . (1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹; (2)求方程实根的取值范围.26．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C 【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.2．B解析：B 【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -. 【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定. 【详解】()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误；z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C 【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.4．A解析：A 【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点.【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确； 对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩ 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 8．A解析：A 【解析】 【详解】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()11111122i i i z i ii i +===+--+，则z的实部为12，故选A. 9．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论. 【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．B解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-.故答案为：i - 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复解析：38； 【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果. 【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数， 所以32z i =-- ② 把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38 【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点 解析：[551]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.17．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的解析：12-【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解. 【详解】 因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基 解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】 本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <，所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）7m =；（2）[1-，1].【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案.【详解】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =；（2）由||1z 1， 解得：11m -. ∴实数m 的取值范围[1-，1].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩.若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p=或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 24．（1）2a b ==；（2）120.【分析】（1）根据题意，将1x =-代入方程1x b a x +=1=，变形可得1()14b i a ++-=，由复数相等的定义分析可得答案； （2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，②选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，1是方程1x b a x +=的一个根，则有11a =，变形可得：1()14b i a ++=，则有1140b a ⎧+=⎪⎪=， 解可得2a b ==；（2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，此时有2111342248C C C A =种情况，即有48个没有重复数字的三②选出的3个数字中不含0，此时有21334372C C A =种情况，即有72个没有重复数字的三位数；故可以组成4872120+=个没有重复数字的三位数．【点睛】本题主要考查复数的除法运算、复数相等以及排列组合的应用，属于基础题． 25．(1)轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)[4,0]-.【分析】(1)由复数相等的定义化简得出0t y x =-，将其代入200220t t xy ++=中即可得出所求点的轨迹方程；(2)将方程的根转化为直线与圆的交点问题，由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得方程实根的取值范围.【详解】解:(1)设方程实根为0t .根据题意得200(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R ,即()()2000220t t xy t x y i ++++-=. 根据复数相等的充要条件,得20002200t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩① 由①得0t y x =-,代入200220t t xy ++=得2()2()20y x y x xy -+-+=即22(1)(1)2x y -++=.所以所求的点的轨迹方程是22(1)(1)2x y -++=,轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)由(1)得圆心为(1,1)-,半径r =直线0t y x =-与圆有公共点,2,即022t +,所以040t -.故方程实根的取值范围是[4,0]-.【点睛】本题主要考查了复数相等的定义以及直线与圆的位置关系，属于中档题.26．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -=（1）由212z z i -=，可得212z z i =-， 代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i -=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.。

一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－ C ．12i －D ．12i 4．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．1 5．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，86．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-18．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4 B ．－1C ．4或－1D ．1或69．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +11．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．15i + B ．1i - C ．15i - D ．1i +12．若11iai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 16．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B AC A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________17．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____．18．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________19．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．20．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.三、解答题21．已知复数z 满足：||13z i z =+-，求22(1)(34)2i i z++的值．22．当实数m 为何值时，复数()22656z m m m m i =--+++分别是 （1）虚数； （2）纯虚数； （3）实数.23．已知复数()()()121z m m m i =-++- (m R ∈，i 为虚数单位) (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值； (2)若2m =，设1z ia bi z +=+- (,ab ∈R )，试求+a b . 24．已知复数1z 满足：111z i z =++.（1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值.25．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ； （2）求z ω-的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】 由()()()()11711768341112i i i iz i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．B解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部.【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.3．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．A解析：A 【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=，即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.6．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.7．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 8．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.9．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论. 【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．B解析：B 【分析】设11ibi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1ibi a b R ai+=∈+，所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.二、填空题13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题 解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =.【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以34z i =+， 故答案为：34i + 【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出. 【详解】 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-.故答案为：1i -. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复解析：3：4：5 【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案. 【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a b d i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥,又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则43BC AC ==，所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5, 故答案为：3:4:5. 【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.17．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ． 【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．18．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可. 【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.19．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.三、解答题21．34i +【分析】先根据复数相等解得z ，再根据复数运算法则求解【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，而||13z i z =+-130i a bi -++=则410{,43330a a z ib b =--=⇒=-+=-= 所以2222(1)(34)2(34)2(34)3422(43)2(34)i i i i i i i z i i i ++++===+-++ 【点睛】本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.22．（1）m≠-2且m≠ -3; （2）m=3； （3）m=-2或m=-3.【分析】由已知条件分别得到（1）虚数：得到 256m m ++≠0；（2）纯虚数：得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0（3）实数；2 56m m ++=0；分别解之即可．【详解】复数()22656z m m m m i =--+++是：（1）虚数：得到 256m m ++≠0，解得m≠-2且m≠ -3;（2）纯虚数： 得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0解得m=3（3）实数：2 56m m ++=0解得m=-2或m=-3故答案为m≠-2且m≠ -3; m=3； m=-2或m=-3.【点睛】本题考查了复数的基本概念；关键是由题意，得到复数的实部和虚部的性质．23．（1）2m =-；（2）85 【解析】 分析：（Ⅰ）先把复数 整理成z a bi =+的形式，由虚部等于0得到实数m 的值； （Ⅱ）把复数z i z i+-整理成a bi +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．详解：（Ⅰ）若z 是纯虚数，则()()m 1m 2010m ⎧-+=⎨-≠⎩，()()m 1m 20,10,m ⎧-+=⎨-≠⎩解得m 2=-. （Ⅱ）若m 2=，则z 4i =+.∴()()()()42i 3i 4i i 42i 71a bi i 4i 13i 3i 3i 55+-++++====++-++- ()()()()42i 3i 4i i 42i a bi 4i 13i 3i 3i +-++++====+-++- 71 i 55+， ∴7a 5=，1b 5=，∴8a b 5+=. 点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算．对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．24．（1）1z i =-；（2）1a =-.【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，221(1)(1)a b i a bi a b i +=+++=+++，22100,,11b a b a b a +=⎧=⎧⎪∴∴⎨⎨=-+=+⎩⎪⎩ ∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，1a ∴=-.【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.26．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z abi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，122z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 22z i i i ωθθθθ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。

一、选择题1．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ）A ．12B ．12－ C ．12i － D ．12i 3．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，8 4．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 5．已知复数，是z 的共轭复数，则= A ． B ． C ．1D ．2 6．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A 2B ．2C ．22D 57．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ） A ．[]28, B ．10103⎡⎤⎣⎦ C ．[]1,9 D ．[]3,8 8．设313i z i +=-，则232020z z z z ++++=（ ） A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 9．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 11．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i 二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________． 14．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．15．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______. 16．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.17．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______. 18．i 表示虚数单位，则201211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______. 19．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____20．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________．三、解答题21．已知复数1z 、2z 满足1||71z =、2||71z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．已知复数1z mi =+（m R ∈，i 为虚数单位），且()1i z -为实数.（1）求复数z ；（2）设复数1z x yi =+（x ，y R ∈）满足11z z -=，求1z 的最小值.23．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z zω=+是实数，且12ω-<<，11z u z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值.24．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 25．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位.（1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥. 26．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值；（2）若212z z =，求m ，n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．A解析：A【解析】【分析】 通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果.【详解】 ∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-，∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】 本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题. 3．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值.【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=，即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.4．A解析：A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 5．A解析：A【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，， 故答案为：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．D解析：D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi7．A解析：A【分析】 利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解．【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i i z i i i i +++====--+，20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．9．B解析：B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 10．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.11．D解析：D【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为a bi -．12．B解析：B【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+，又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3.故选：B.二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】 根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-， 则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以2z ==.故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为 解析：24【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可．【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -==故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 15．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的 解析：4【分析】 本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值．【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=，则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤． 故12z z +的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．16．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题解析：1122i + 【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.故答案为：1122+. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.17．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复 解析：38；【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数，所以32z i =-- ②把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题18．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简再利用复数的乘法计算可得【详解】解：且……故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方属于基础题解析：1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简11i i+-，再利用复数的乘法计算可得． 【详解】 解：()()()211111i i i i i i ++==--+ 且1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =…… 2012201245034111i i i i i ⨯+⎛⎫∴==== ⎪-⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.19．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】由题得，z在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．20．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（11+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围【详解】由题意集解析：15b15-≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为以（1，1+b）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴22++-≤．1(1b1)4可得：15b15-≤≤，故答案：15b15-≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题三、解答题21．1247ziz+=±，12||4z z+=.【分析】设复数1z、2z在复平面上对应的点为1Z、2Z，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z+=-，进而得到以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z、2z在复平面上对应的点为1Z、2Z，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z+=-，故以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ⊥，则1212||||4z z z z+=-=，()()212717147717171zz++==±=±--+.【点睛】本题的易错点在127171zz+=-，原因是12,z z可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）1z i∴=+；（221【分析】(1)设复数1z mi=+，化简()1i z-, 由复数的相等求解.(2) 设1z x yi=+（x，y R∈）,由11z z-=得()()11x yi i+--=，可得,x y的关系，从而解出答案.【详解】解：（1）由1z mi =+（m R ∈），得()()()()()11111i z i mi m m i -=-+=++-，()1i z -为实数，10m ∴-=，1m ∴=.1z i ∴=+（2）设1z x yi =+（x ，y R ∈），1z i =-，11z z -=， ()()11x yi i ∴+--=，即()()111x y i -++=，()()22111x y ∴-++=，即复数1z 在复平面内对应的点的轨迹是以()1,1-为圆心，以1为半径的圆.1z ∴11=.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．23．（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【分析】 （1）化简ω得到22221()a b z a b i z a b a bω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a zω=+=， 根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a aω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值. 【详解】（1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<.（2）由题意知111a bi bi u a bi a---==+++， 所以2222211222(1)(1)1b a a u a a a a a a ω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立， 所以2u ω-的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.24．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 25．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析. 【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥. 【详解】 （1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.26．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.。

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -6．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -9．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．110．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则ab的值为（ ）A ．32-B ．23-C ．23 D ．3211．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.14．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.15．如果复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 16．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.17．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．18．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________19．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___． 20．定义运算a c ad bc b d=-，复数z 满足i 1i 1iz =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=. （1）求14z i +-的最小值与最大值； （2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．设m R ∈，复数22(56)(3)m m m m i -++-(i 为虚数单位)是纯虚数． （1）求m 的值；（2）若2mi -+是方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2OM 的取值范围.25．设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 26．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．D解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为2z =所以()221,2-==-i zi所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点.【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足20a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.212143z ai a =+=+=，解得：2a =±，当2a =-不满足条件；C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.4．B解析：B 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.6．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.7．C解析：C运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.8．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .9．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．B解析：B 【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值. 【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=， 因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 11．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③ 【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由221111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确；④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③ 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1 【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：23-【分析】先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b---=即得解. 【详解】由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b ii i i -----+==++-， 因为复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得． 【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限， ∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去）， ∴z=﹣．故答案为﹣ 【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．18．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：[1,5] 【解析】 分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1的距离，等于5；即1z i --的取值范围是1,5⎡⎤⎣⎦，故答案为1,5⎡⎤⎣⎦.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.19．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：23-3π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是2121222(111sin )232332πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++， 因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+，即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）2.（2）4p =，8q =．【分析】（1）根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）将2mi -+代入方程20x px q ++=，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．【详解】（1）复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数， 2256030m m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩解得：2?30?3m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且 2m ∴=（2）2mi -+是方程20x px q ++=的一个根由（1）可得2m =，即：22i -+是方程20x px q ++=的一个根2(22)(22)0i p i q ∴-++-++=即(2)(28)0p q p i -++-=20280p q p -+=⎧∴⎨-=⎩解得：4p =，8q =．【点睛】本题解题关键是掌握纯虚数定义和复数相等求参数方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．1z i =+,3⎡-+⎣【详解】分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得234OM πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围. 详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件 解得11a b =⎧⎨=⎩，所以1z i =+. ()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++()()22211OM sin cos θθ=-++ ()32sin cos θθ=--322sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为1sin 14πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以334πθ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭ 3≤+即233OM -≤≤+故所求1z i =+，2OM 的取值范围是3⎡-+⎣.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220b b a b -=+， 由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.26．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．。

一、选择题1．当z =时，100501z z ++=（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i -2．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i4．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或65．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C D - 6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --7．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．18．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．)2 B ．)1C ．)2-D ．)1-二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.14．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.15．复数2018|)|z i i i =+（i 为虚数单位），则||z =________. 16．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.17．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i 为虚数单位），且z =，则实数a =________．18．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________.19．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 20．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________；三、解答题21．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.22．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．24．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.25．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．26．已知i 是虚数单位，复数11()z ai a R =-∈，复数2z 的共轭复数234z i =-. （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【详解】()()()()212121,1,1111i i i iz i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.5．A解析：A 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.6．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.7．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了2b x -±=.9．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0AAC ==则0212AC z AC -<-<+,0212z <-< 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③ 【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由221111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确；④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③ 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤ ⎥⎝⎦时，cos sin 122θθ≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，1cos sin 22θθ-<<<<sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．15．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1 【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值. 【详解】解：由题得222|13|1(3)1211z i i =++=+-=-=，||1z ∴=.故答案为：1. 【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.16．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故 解析：221+【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221． 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.17．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值.【详解】解：∵ ()14i z a i +=+，∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴ z == 解得：0a =，故答案为：0.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.18．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可.【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆. 34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= .故答案为：4.【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 19．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.20．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 三、解答题21．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.22．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题23．（1）12z =；（2）13a > 【分析】 (1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴1z = （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．25．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=①(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-= 又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外， 所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法26．（1）4；（2）54. 【分析】（1）先求出124(4)z +z =+a i -，再根据12z z R +∈，求出实数a 的值；（2）由已知得1234(34)25z a a i z --+=，再根据12z z 是纯虚数求出a 的值即得解. 【详解】 223434z i z i =-∴=+（1）由已知得12(1)(34)4(4)z +z =ai ++i =+a i --12,40z z R a +∈-=∴4a ∴=（2）由已知得121(1)(34)34(34)34(34)(34)25z ai ai i a a i z i i i -----+===++- 12z z 是纯虚数，340340a a -=⎧∴⎨+≠⎩,解得34a=，135 144z i∴=-==.【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.。

一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．32．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．22i -+ D ．22i -- 5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --6．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立 C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =8．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -10．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（ ）A ．2B ．C ．2D ． 12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________. 14．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________. 15．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________．16．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.17．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________.18．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________． 19．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．20．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则1i ()1ia +=-________. 三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 23．计算下列各式： （1）32322323i ii i+-+-+； （2）()3111ii i i+++-；24．已知复数1z mi =+（m R ∈，i 为虚数单位），且()1i z -为实数. （1）求复数z ；（2）设复数1z x yi =+（x ，y R ∈）满足11z z -=，求1z 的最小值. 25．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R . (1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹; (2)求方程实根的取值范围.26．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离． 则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．解析：D 【分析】 根据100501zz ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．4．A解析：A 【解析】 【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7．C解析：C 【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z zz ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确. 【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =x =9．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.11．A解析：A 【分析】先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解. 【详解】1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆； 2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆； 331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C .3132+z z z z --的最小值为2||||||2(44)222172CE CF AD +=-=++=. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+，所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．2【分析】首先将题中所给的式子进行化简求得从而得到其虚部的值【详解】根据可得所以所以复数的虚部为故答案为：2【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模复数的虚部属于简单解析：2 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值. 【详解】根据(12)|34|i z i -=+，可得(12)5i z -==， 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-， 所以复数z 的虚部为2， 故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.14．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= . 故答案为：4. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.15．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可. 【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等. 即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥，所以1z -的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题.16．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③ 【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.18．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4 【解析】 【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可 【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1， ∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4， ∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆． 则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5， ∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题． 19．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．4【解析】∵∴∵表示满足的最小正整数∴当时满足第一次成立∴故答案为 解析：4【解析】 ∵21(1)1211(1)(1)11i i i i i i i +++-===--++ ∴1()()1i a a i i+=- ∵()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ∴当4n =时满足1n i =第一次成立∴()4a i =故答案为4.三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限， 所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-.（2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.23．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+；（2）()())3338111i i i i i i i i i+++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（1）1z i ∴=+；（21【分析】(1)设复数1z mi =+，化简()1i z -, 由复数的相等求解.(2) 设1z x yi =+（x ，y R ∈）,由11z z -=得()()11x yi i +--=，可得,x y 的关系，从而解出答案.【详解】解：（1）由1z mi =+（m R ∈），得()()()()()11111i z i mi m m i -=-+=++-，()1i z -为实数，10m ∴-=，1m ∴=.1z i ∴=+（2）设1z x yi =+（x ，y R ∈），1z i =-，11z z -=， ()()11x yi i ∴+--=，即()()111x y i -++=，()()22111x y ∴-++=，即复数1z 在复平面内对应的点的轨迹是以()1,1-为圆心，以1为半径的圆.1z ∴11=.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．25．(1)轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)[4,0]-.【分析】(1)由复数相等的定义化简得出0t y x =-，将其代入200220t t xy ++=中即可得出所求点的轨迹方程；(2)将方程的根转化为直线与圆的交点问题，由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得方程实根的取值范围.【详解】解:(1)设方程实根为0t .根据题意得200(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R ,即()()2000220t t xy t x y i ++++-=. 根据复数相等的充要条件,得20002200t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩① 由①得0t y x =-,代入200220t t xy ++=得2()2()20y x y x xy -+-+=即22(1)(1)2x y -++=.所以所求的点的轨迹方程是22(1)(1)2x y -++=,轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)由(1)得圆心为(1,1)-,半径r =直线0t y x =-与圆有公共点,2,即022t +,所以040t -.故方程实根的取值范围是[4,0]-.【点睛】本题主要考查了复数相等的定义以及直线与圆的位置关系，属于中档题.26．（1）12z =-+.(2）ABC S ∆=. 【解析】 分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解. 详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-，故2222z a b abi z a bi =-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，2b=，122z i =-+.（Ⅱ）由（Ⅰ），得1322z i=-+，21322z i=--，31z=.z，2z，3z在复平面上对应点A，B，C，如图所示：故1233311sin234 ABCSπ∆=⨯⨯⨯⨯=.点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A ．2a ≠，或1a ≠ B ．2a ≠，且1a ≠ C ．2a =，或0a =D ．0a =2．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）ABC ．2D ．43．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i 4．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 5．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( )A ．1 BC ．2D6．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 7．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -8．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2iC ．12-D ．2i -9．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．若11iai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 11．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A 1B C ．3D ．212．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.14．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.15．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 16．已知1i z z -=-+，则复数z =______.17．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个. 18．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 19．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________. 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数． (1)求实数a 的值； (2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 23．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 24．已知m ∈R ，复数z ＝()()22211m m m m i m +++--，当m 为何值时：（1）z ∈R ； （2）z 是虚数； （3）z 是纯虚数.25．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数.（1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.26．已知方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ. （1）若2i α=-，求,p q 的值； （2）若3p =，且||1αβ-=，求q 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C 【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.2．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =， 所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.4．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.5．A解析：A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离． 数形结合，得最小距离为1 故选A ． 【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．6．B解析：B 【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A 【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==8．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C.10．B解析：B 【分析】设11ibi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1ibi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果. 【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=， 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③ 【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由221111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确；④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③ 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1 【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.16．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-.故答案为：i - 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36 【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解. 【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36. 【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.18．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：13+【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴114z z -=+，解得1z =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.19．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题 解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可. 【详解】因为()1z i i =-1i =+， 所以 1z i =-， 故填1i - 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i 【解析】 设z=a+bi(a,b ∈R), 因为|z|=3,所以a 2+b 2=9. 又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数, 所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220b b a b-=+， 由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）1m =-+1m =-2）1m ≠-+1m ≠-1m ≠；（3）0m =或2m =-.【分析】（1）解221m m +-=0，1m ≠，即可得解；（2）虚部不为0，则该复数为虚数，则2210m m +-≠，1m ≠即可得解；（3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠即可得解.【详解】（1）z ∈R ，所以221m m +-=0，1m ≠，212m -±==-所以，当1m =-+1m =--z ∈R ；（2）z 是虚数，则2210m m +-≠，1m ≠，当1m ≠-+1m ≠--1m ≠时，z 是虚数；（3）z 是纯虚数，()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠，所以0m =或2m =-时，z 是纯虚数.【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解.25．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围. 26．（1）6,15p q ==；（2）94q =或154q =. 【分析】（1）由实系数一元二次方程两虚数根互为共轭虚数,结合根与系数关系即可求出,p q 的值; （2）对方程是否为实数根进行分类讨论,然后再利用韦达定理和模长公式即可得出结果.【详解】（1）方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ, 2i α=-，则2i β=+,由根与系数关系可得,24,63p p αβ+==∴=,5,153q q αβ==∴= 6,15p q ∴==；（2）3612,2,3q q αβαβ∆=-+==当0,3,,q αβ∆≥≤为实数根,1αβ-===,解得94q =;当0,3,,q αβ∆<>1αβ-==,解得154q =. 94q ∴=或154q = 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的分类讨论,根的特征,以及根与系数的关系,考查计算能力，属于中档题.。

一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．3 2．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i) 5．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12 D ．-16．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 7．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 8．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 10．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 11．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__14．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 15．已知1i z z -=-+，则复数z =______.16．定义运算a cad bc b d =-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______.17．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 18．已知复数()2a i z a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 19．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________．20．若复数 z =21i i-,则3z i + =__________ 三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <. 22．已知()()212162=10,25,,51z a i z a i a R i a a--=+-∈+-为虚数单位.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求12z z ⋅的值.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 25．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 26．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 2．D解析：D【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解. 【详解】因为z = 所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ，故选：D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 3．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.4．A解析：A【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．C解析：C【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.6．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 7．D解析：D【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．B解析：B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 9．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.10．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-， 因为32a i i-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】 先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】 根据新运算定义，得到z 1i 1i i =+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解. 【详解】 由z 1i 1i i =+，得i i 1i z -=+，得12i 2i iz +==-. 故答案为：2i -【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 17．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1【分析】先把122ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.18．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的 解析：12- 【分析】 先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.【详解】 因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12-【点睛】 本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可.【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等.即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥， 所以1z -的最小值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题. 20．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）3；（2）3i -+.【分析】（1）求出12z z +，再根据复数的分类求出a 值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算．【详解】（1）()2116105z a i a =--+，()22251z a i a=+--， ()()()()2212162162102525105151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=--++-=++--- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭由题意知12z z +为实数， ∴()()225100,50,10,a a a a ⎧---=⎪⎨+≠⎪-≠⎩，解得3a =. （2）当3a =时，12z i =-，21z i =-+， 12z i =+， 则()()12213z z i i i ⋅=+-+=-+.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭复数的概念，考查复数的分类，属于基础题．23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）5；（2）22i -或22-+. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，i 22z=-或22i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.25．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数， 所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ，∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 26．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又25w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b += 又25w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A ．2a ≠，或1a ≠ B ．2a ≠，且1a ≠ C ．2a =，或0a =D ．0a =2．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i -- 3．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．14．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 5．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-16．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 7．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --8．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,89．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 10．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D11．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.14．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________． 15．复数31+i i 1i+-的值是______. 16．复数2018|(3)|z i i i =-+（i 为虚数单位），则||z =________. 17．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.18．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________． 19．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____20．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.三、解答题21．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.22．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数． (1)求实数a 的值； (2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 24．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .25．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）.（1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z . 26．已知复数()2122315,52z i z ii =-=-+．求：（1）21z z +；（2）12·z z ； （3）12z z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C 【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.2．B解析：B 【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．3．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．B解析：B 【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 6．A解析：A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 7．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.8．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-，2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.10．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③ 【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由221111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确；④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③ 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -， 又因为22(22)(30)5AB =--+-=，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.15．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0 【分析】先利用复数的除法运算计算1+i1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题.16．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1 【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值. 【详解】解：由题得2|1|1211z i =+==-=，||1z ∴=.故答案为：1. 【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.17．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题解析：1122i + 【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数. 【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.故答案为：1122+. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.18．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可.【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等. 即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.21111z bi b -=-+=+≥，所以1z -的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题.19．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积． 【详解】由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．20．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.三、解答题21．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-（2）若z 在复平面内对应的点位于三象限，则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.22．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数， 所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦ 【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.25．（1）3,1a b ==-（25【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =- ∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．26．（1）3；（2）79i --；（3）1131010i +． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得2z ，（1）求出2z ，由复数代数形式的加法运算求21z z +;（2）由复数代数形式的乘法运算求12·z z ； （3）由复数代数形式的除法运算求12z z . 【详解】221551555(3)(34)(2)34(34)(34)i i i i z i i i i ----===+++- 515135i i -==-． （1） 12(23)(13)3z z i i +=-++=．（2） ()()12·231329979z z i i i i =--=--=--． （3） 1223(23)(13)13(13)(13)z i i i z i i i --+==--+ 293113101010i i ++==+． 【点睛】 本题主要考查复数的代数形式的加法、乘法、除法运算法则，复数的共轭复数，属于中档题.。

一、选择题1．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．32．设i 为虚数单位，复数23iz i+=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -7．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2iC ．12-D ．2i -9．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A BC D11．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i - D ．3i 12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．i 表示虚数单位，则201211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.15．计算：66232123i i ⎛⎫-++= ⎪ ⎪+⎝⎭_______________. 16．若复数z 满足53z z i +=+，则复数z =________________. 17．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 18．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．19．给出下列四种说法： ①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==； ④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确说法的为 __________．20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值．22．当实数m 为何值时，复数()22656z m m m m i =--+++分别是（1）虚数； （2）纯虚数； （3）实数.23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数． (1)求实数a 的值； (2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 24．已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为(2,1)A -，(,3)B a ，（a R ∈）. （1）若125z z +≤，求a 的值；（2）若复数12·z z 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值. 25．已知复数1z mi =+（m R ∈，i 为虚数单位），且()1i z -为实数. （1）求复数z ；（2）设复数1z x yi =+（x ，y R ∈）满足11z z -=，求1z 的最小值. 26．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B 【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可. 【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 5．C解析：C 【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.6．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.7．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ．此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.8．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C. 10．A解析：A 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】 由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin θ=所以14z =-±，故答案为：144i -± 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简再利用复数的乘法计算可得【详解】解：且……故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方属于基础题解析：1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简11ii+-，再利用复数的乘法计算可得． 【详解】解：()()()211111i i i i i i ++==--+ 且1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =……2012201245034111i i i i i ⨯+⎛⎫∴==== ⎪-⎝⎭故答案为：1 【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.15．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题 解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*ni n ∈N 的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.【详解】66+=⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦i i i i i i i .故答案为：2i 【点睛】本主要考查了有关i 的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.16．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用解析：115【分析】由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可 【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =,故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用17．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7 【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部. 【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.18．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四 【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--． （2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-， 又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <，所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限 【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③. 【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断. 详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：23-32π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积. 详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )23233πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94． 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．（1）m≠-2且m≠ -3; （2）m=3； （3）m=-2或m=-3.【分析】由已知条件分别得到（1）虚数：得到 256m m ++≠0；（2）纯虚数：得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0（3）实数；2 56m m ++=0；分别解之即可．【详解】复数()22656z m m m m i =--+++是：（1）虚数：得到 256m m ++≠0，解得m≠-2且m≠ -3;（2）纯虚数： 得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0解得m=3（3）实数：2 56m m ++=0解得m=-2或m=-3故答案为m≠-2且m≠ -3; m=3； m=-2或m=-3.【点睛】本题考查了复数的基本概念；关键是由题意，得到复数的实部和虚部的性质． 23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解；（2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数， 所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．(1)15a -≤≤;(2)1a =-.【解析】分析：（1）由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z z ，的代数形式，通过复数的模125z z +≤，列出不等式即可求出a 的范围； （2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出结果．详解：1）由题意可知12z i =-+,23z a i =+∴()1224z z a i +=-+ ∴()2212216z z a +=-+ ∴()221625a -+≤即()()510a a -+≤ ∴15a -≤≤ 由12z i =-- ∴()()()()12·23326z z i a i a a i =--+=--+ 由12·z z z =对应的点在二、四象限的角分线上可知()()3260a a --+=∴1a =-点睛：本题考查了复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，先由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z i =-+,23z a i =+求出a 的范围，再借助12·z z 的积，然后运用题设建立方程求解．25．（1）1z i ∴=+；（221【分析】(1)设复数1z mi =+，化简()1i z -, 由复数的相等求解.(2) 设1z x yi =+（x ，y R ∈）,由11z z -=得()()11x yi i +--=，可得,x y 的关系，从而解出答案.【详解】解：（1）由1z mi =+（m R ∈），得()()()()()11111i z i mi m m i -=-+=++-，()1i z -为实数，10m ∴-=，1m ∴=.1z i ∴=+（2）设1z x yi =+（x ，y R ∈），1z i =-，11z z -=， ()()11x yi i ∴+--=，即()()111x y i -++=，()()22111x y ∴-++=，即复数1z 在复平面内对应的点的轨迹是以()1,1-为圆心，以1为半径的圆.1z ∴11=.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．26．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省无锡市滨湖区太湖格致中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将ABC 折叠，使点C 与点B 重合，折痕l 与边BC 交于点D ，连接AD ，则AD 是ABC 的（）A ．角平分线B ．高线C ．中线D ．无法确定3．若等腰三角形有一个内角为110︒，则这个等腰三角形的底角是（）A ．70︒B ．45︒C ．35︒D ．50︒4．如图，点F ，B ，E ，C 在同一条直线上，ABC DEF ≌△△，若34A ∠=︒，36F ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB AD =，BC DC =，将仪器上的点A 与PRQ ∠的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A 、C 画一条射线AE ，AE 就是PRQ ∠的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD 的面积是()A ．36B ．24C ．12D ．107．到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边中垂线的交点8．下列说法：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的说法有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知：如图ABC 中，=60B ∠︒，80C ∠=︒，在直线BA 上找一点D ，使ACD 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个10．如图，直线MN PQ ⊥，垂足为O ，点A 是射线OP 上一点，=2OA ，以OA 为边在OP 右侧作=23AOF ∠︒，且满足=4OF ，若点B 是射线ON 上的一个动点（不与点O 重合），连结AB ，作AOB 的两个外角平分线交于点C ，在点B 在运动过程中，当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为（）A ．90︒B ．67︒C ．23︒D ．68︒二、填空题13．如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，还需添加一个条件，这个条件可以是14．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=的平分线分别交DE 于点E 、D ，若AC 15．如图，已知线段20m AB =，射线点向A 运动，每秒走1m ，Q 点从B 点向出发秒后，在线段MA 上有一点17．如图，在四边形ABCD 中，若2CD AB ＝，四边形ABCD 的周长为18．如图，在ABC 中，AB AC ==点M 、N 分别是边AD 和AB 上的动点，连接为．三、证明题19．已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，BE DF =，AF CE =，AF CE ∥.求证：ABF CDE ≌△△.四、解答题20．已知在ABC 中，20AB =，8BC =，22AC m =-．(1)求m 的取值范围；(2)若ABC 是等腰三角形，求ABC 的周长．21．利用网格线作图．(1)如图1，ABC 为格点三角形，在BC 上找一点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等，然后在射线AP 上找一点Q ，使QB QC =．(2)如图2，四边形ABCD 为格点四边形，在四边形A ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．22．已知：如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点O ．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．五、作图题23．如图，已知 ABC ．(1)用直尺和圆规按下列要求作图：①作 ABC 的角平分线AD ；②作∠CBE ＝∠ADC ，BE 交CA 的延长线于点E ；③作AF ⊥BE ，垂足为F ．(2)直接判断图中EF 与BF 的数量关系．六、问答题24．如图，在ABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，BD 垂直平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ．连接DE ．(1)若ABC 的周长为19，DEC 的周长为7，求AB 的长．(2)若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，求∠CDE 的度数．七、证明题25．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．【感悟】（1）如图1，AD 是ABC 的高线，2C B ∠=∠，若2CD =，5AC =，求BC 的长．小明同学的解法是：将ABC 沿AD 折叠，则点C 刚好落在BC 边上的点E 处．……请你画出图形并直接写出答案：BC =___________．【探究】（2）如图2，2ACB B ∠=∠，AD 为ABC 的外角CAF ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，则线段AB AC CD 、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【拓展】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，8AD =，10DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②若2D B ∠=∠，则AB 的长为___________．26．已知等腰直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D 、E 分别在边BC 、边AC 上，连接DE ，以D 为直角顶点在DE 右侧作等腰直角DEF 中，连接FC ．(1)如图1，点D与点B重合时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；=时，点M、N分别为EF和AC的中点，(2)如图2，BD CD①探究AE、FC和AC三条线段之间的数量关系并证明；BC=，直接写出MN的最小值．②若10。

一、选择题1．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+2．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-3．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．34．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >5．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．326．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( ) A ．1 B 2C ．2D7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i -- B ．122-+ C ．122i + D ．122-9．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限10．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i +11．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --12．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.15．已知1i z z -=-+，则复数z =______. 16．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.17．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.18．已知复数()22356()=-+-+∈z k k k k i k R ，且0z <，则k =________. 19．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.23．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.24．（1）已知1-（其中i 为虚数单位）是关于x 的方程1x ba x+=的一个根，求实数a ，b 的值；（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2zR i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的2．D解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a -+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a -<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的.对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．A解析：A 【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点.【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离． 数形结合，得最小距离为1 故选A ． 【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．7．B解析：B 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.8．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，5z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．11．B解析：B 【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 12．D解析：D 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -． 二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-，则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以2z ==.. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin4θ=± 所以14z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-.故答案为：i - 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数. 【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.17．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根， 则 ()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数，所以32z i =-- ②把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题18．2【分析】由知为实数且的实部小于零由此可构造方程求得结果【详解】解得：故答案为：【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题关键是能够明确复数只有在虚部为零即为实数时才可以比较大小解析：2.【分析】由0z <知z 为实数且z 的实部小于零，由此可构造方程求得结果.【详解】0z < z R ∴∈ 2256030k k k k ⎧-+=∴⎨-<⎩，解得：2k = 故答案为：2【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题，关键是能够明确复数只有在虚部为零，即为实数时才可以比较大小.19．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1或4. 【分析】 （1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=； 当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题23．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；（2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根， 因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.24．（1）2a b ==；（2）120.【分析】（1）根据题意，将1x =-代入方程1x b a x +=可得11a =，变形可得1()14b i a ++-=，由复数相等的定义分析可得答案； （2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，②选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，1是方程1x b a x +=的一个根，则有11a =，变形可得：1()14b i a ++=，则有1140b a ⎧+=⎪⎪=，解可得2a b ==；（2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，此时有2111342248C C C A =种情况，即有48个没有重复数字的三位数；②选出的3个数字中不含0，此时有21334372C C A =种情况，即有72个没有重复数字的三位数；故可以组成4872120+=个没有重复数字的三位数．【点睛】本题主要考查复数的除法运算、复数相等以及排列组合的应用，属于基础题． 25．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x =综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围26．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -=【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-， 代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i -=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．已知复数z 满足()20161i z i-=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 3．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．324．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 5．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 6．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -8．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 9．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ）A ．52B ．1C ．1-D ．52- 10．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．2 12．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限二、填空题13．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______. 14．已知1i z z -=-+，则复数z =______.15．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________. 16．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．17．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 18．已知复数[(1)]z a ai i =++（i 是虚数单位）是虚数，且||1z =，则实数a 的值是______19．已知复数()()()4231234a i z i i -=-+⋅-，且1z =，则实数a =_________. 20．若复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 三、解答题21．已知复数1z i =-.（1）设25341z z ω=+-+，求ω的值；（23≥的实数a 的取值范围. 22．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标；（2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.23．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z .24．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+. （1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.25．已知复数1z mi =+（m R ∈，i 为虚数单位），且()1i z -为实数.（1）求复数z ；（2）设复数1z x yi =+（x ，y R ∈）满足11z z -=，求1z 的最小值.26．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．B解析：B【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】 20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.3．B【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=.故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.5．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.6．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 7．A【解析】 令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==8．A解析：A【分析】 利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 9．A解析：A【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：z =，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值.【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A.【点睛】 实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =2b x -±=. 10．C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 12．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．二、填空题13．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的 解析：4【分析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值．【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=， 则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤． 故12z z +的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．14．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 16．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算 解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 17．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：1+【分析】 先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】 设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：13i +. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.18．【解析】【分析】计算复数根据结合模长公式即可解出实数的值【详解】由题：复数是虚数则即解得或（舍）所以故答案为：【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值注意概念辨析一个复数是虚数则虚部不为零 解析：0【解析】【分析】计算复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，根据||1z =，结合模长公式即可解出实数a 的值．【详解】由题：复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，是虚数，则10a +≠，||1z ==，即2220a a +=，解得0a =或1a =-（舍）所以0a =．故答案为：0【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．19．【分析】化简的表达式根据列方程由此求得的值【详解】依题意由于即即即即解得故填：【点睛】本小题主要考查复数的除法乘法和乘方运算考查复数模的运算考查运算求解能力属于中档题解析：2±【分析】化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值.【详解】依题意，()()()433434a i z i i -=--⋅-()()()()44343434i i a i i ---⋅-=-42534a i i -⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭()()()()434253434a i i i i ⎡⎤-+=-⋅⎢⎥-+⎣⎦()434432525a a i ++-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦，由于1z =，即()4344325125a a i ++-⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦，即()()44344334431252525a a i a a i ++-++-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，即()24334125255a a i -++=，即223443125255a a +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2±【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 20．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题21．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞.【分析】 （1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误； （2）将复数1z i =-≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【详解】（1）1z i =-.()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=； （2|1|a a i +-≥≥， 即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-，解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.22．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞.【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.23．（1）5；（2或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，z =或. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．25．（1）1z i ∴=+；（21【分析】(1)设复数1z mi =+，化简()1i z -, 由复数的相等求解.(2) 设1z x yi =+（x ，y R ∈）,由11z z -=得()()11x yi i +--=，可得,x y 的关系，从而解出答案.【详解】解：（1）由1z mi =+（m R ∈），得()()()()()11111i z i mi m m i -=-+=++-，()1i z -为实数，10m ∴-=，1m ∴=.1z i ∴=+（2）设1z x yi =+（x ，y R ∈），1z i =-，11z z -=， ()()11x yi i ∴+--=，即()()111x y i -++=，()()22111x y ∴-++=，即复数1z 在复平面内对应的点的轨迹是以()1,1-为圆心，以1为半径的圆.1z ∴11=.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．26．1【解析】 分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．所以1k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 3．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．324．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26 B ．24，26 C ．12，0 D ．6，85．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2 C ．D 7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i - 8．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．19．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．i 为虚数单位，复平面内表示复数2i z i -=+的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．12．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______. 15．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.16．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.17．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．18．若复数z 满足||1z =，则()()z i z i +-的最大值是________.19．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____20．复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____三、解答题21．已知()()212162=10,25,,51z a i z a i a R i a a--=+-∈+-为虚数单位.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求12z z ⋅的值.22．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b . （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-．（Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ． 25．复数()()212510,1225,z a a i z a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .（1）若2a =-，求1z 的模；（2）若12z z +是实数，求实数a 的值.26．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B解析：B【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=.故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值.【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题. 5．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 6．D解析：D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi7．A解析：A【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8．A解析：A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 9．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 11．D解析：D【分析】 先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】 结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段；（3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线. 12．A解析：A【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】 由题意可得：2211i z i i i i i +=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：14-± 【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z .【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++== 2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin θ=所以144z =-±，故答案为：144i -± 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题. 14．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的 解析：4【分析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值．【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=， 则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤． 故12z z +的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．15．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++.. 【点睛】 本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.16．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.17．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算 解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 18．【分析】设求出后再求其模利用可求模的最大值【详解】设则故其中当时故答案为：2【点睛】本题考查复数的乘法共轭复数以及复数的模处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实 解析：2【分析】设,,z a bi a b R =+∈，求出()()z i z i +-后再求其模，利用221a b +=可求模的最大值.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，则()()()22()()111z i z i a b i a b i a b +-=+-+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 故()22()()122z i z i a b b +-=+-=-，其中[]1,1b ∈-. 当1b =-时，max ()()2z i z i +-=，故答案为：2.【点睛】本题考查复数的乘法、共轭复数以及复数的模，处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实数化即把复数的模的问题归结实部和虚部的问题（即实数范围内的问题），本题属于中档题.19．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分： 则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．20．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题 解析：9522i -+ 【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值.【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】 本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题.三、解答题21．（1）3；（2）3i -+.【分析】（1）求出12z z +，再根据复数的分类求出a 值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算．【详解】（1）()2116105z a i a =--+，()22251z a i a=+--， ()()()()2212162162102525105151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=--++-=++--- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭由题意知12z z +为实数， ∴()()225100,50,10,a a a a ⎧---=⎪⎨+≠⎪-≠⎩，解得3a =. （2）当3a =时，12z i =-，21z i =-+， 12z i =+， 则()()12213z z i i i ⋅=+-+=-+.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭复数的概念，考查复数的分类，属于基础题．22．（1）3a b ==；（2）min z =【分析】（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可.【详解】（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根， ()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==. （2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，=z 对应的点Z到点()1,1-的距离为， 构成的图形是以()11,1O -为圆心，为半径的圆，如图所示.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，12OO =22r = ∴当1z i =-时，z 有最小值，且min 2z =【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题. 23．（1）1262z =；（2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-. 又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-. （1）13251122i z i i -+==---，∴126z = （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】 （Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+，故152z ==． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.25．（1）（2）5a =-或3a =.【解析】（1）2a =-，则136z i =+，则1z ===， ∴1z的模为.（2）()()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++- 因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =故5a =-或3a =.26．①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【分析】对于复数z a bi =+(),a b R ∈，若0b =，则z 为实数；若0b ≠，则z 为虚数；若0b ≠且0a =，则z 为纯虚数；得到不等式解得；【详解】解：()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =. ②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠. ③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.【点睛】本题考查复数的基本概念，需注意实部的分母不能为零，属于基础题.。

一、初二物理声现象实验易错压轴题（难）1．学习吉他演奏的过程中，小华发现琴弦发出声音的音调高低是受各种因素影响的，他决定对此进行研究。

经过和同学们讨论，提出了以下猜想：猜想一：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的横截面积有关。

猜想二：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的长短有关。

猜想三：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的材料有关。

为了验证上述猜想是否正确，他们找到了下表所列9种规格的琴弦进行实验。

（1）为了验证猜想一，应选用编号为_______________的琴弦进行实验。

（2）为了验证猜想二，应选用编号为_______________的琴弦进行实验。

（3）表中有的材料规格还没填全，为了验证猜想三，必须知道该项内容。

请在表中填上所缺数据_____,___。

（4）随着实验的进行，小华又觉得琴弦音调的高低，可能还与琴弦的松紧程度有关，为了验证这一猜想他还需进行操作是__________________。

【答案】ABC ADF 80 1.02 选定某一根琴弦，调节它的松紧程度，比较音调是否变化【解析】【详解】(1)[1]为了验证猜想一，即要保证材料和长度相同，横截面积不同，观察编号A、B、C的数据，它们的材料都是铜，长度都是60cm，横截面积不同，这三种规格的琴弦符合要求；(2)[2]为了验证猜想二，即要保证材料和横截面积相同，长度不铜，观察编号A、D、F的数据，它们的材料都是铜，横截面积都是0.76 mm2，长度不铜，这三种规格的琴弦符合要求；(3)[3][4]为了验证猜想三，即要保证长度和横截面积相同，材料不同，观察G、H可知，它们长度都是80cm，横截面积都是1.02 mm2，一个是钢材料，另一个是尼龙材料，此时编号E材料是铜，只要长度也是80cm，横截面积也是1.02 mm2即可验证猜想三；(4)[5]为了验证这一猜想，他需要选定某一根琴弦，调节它的松紧程度，比较音调是否变化。

2．在学习吉他演奏的过程中，小明发现琴弦发出声音的音调高低是受各种因素影响的，他决定对此进行研究，经过和同学们讨论，提出了以下猜想：猜想一：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的横截面积有关；猜想二：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的长短有关；猜想三：琴弦发出声音的音调高低，可能与琴弦的材料有关．为了验证上述猜想是否正确，他们找来下表的几种规格的琴弦进行实验：（1）为了验证猜想一，应选用编号为___、___的琴弦进行实验；（2）选用编号A、C的两根琴弦进行实验，是为了验证猜想_______；（3）如果小明还想验证猜想三，则他可以选择编号为_______、_______的琴弦进行实验，此时表中所缺的数据应该填_______．【答案】A B 二 C D 0.76【解析】（1）根据控制变量法的思路，为了验证猜想一，应选择长度和材料相同，而横截面积不同的琴弦，所以应选用编号为A和B的琴弦进行实验；（2）选用编号A、C的两根琴弦进行实验，材料和横截面积相同，而长度不同，所以是为了验证猜想二；（3）验证猜想三，同样根据控制变量法的思路，应保证横截面积和长度相同，而材料不同的琴弦进行实验，所以则他可以选择编号为C和D的琴弦进行实验；则此时表中所缺的数据应该填入和C的横截面积相同，即0.76mm2．点睛：关键是实验中控制变量法的应用，当一个结果受多个因素的影响时都使用此方法进行实验，实验时让一个因素变化，而其它因素都控制相等或相同即控制变量．3．（1）由图（a）可知当线轴的甲轮刚接触到棉布时，其速度的大小将（变小/不变/变大），而乙轮的速度不变；（2）从图（a）、（b）两种类似现象可知，光由空气斜射入玻璃时而发生折射现象的原因可能是．（3）下列几个研究案例中与本题的研究方法相同的是…A．用水波来形象地认识声波；B．探究蒸发快慢与哪些因素有关；C．在探究发声的音叉是否在振动时，将一个乒乓球靠近它，观察到乒乓球被弹开；D．将闹钟放在钟罩内，通过抽气来探究声音能否在空气中传播．【答案】（1）变小；（2）光由空气进入水中的速度变慢了；（3）A．【解析】试题分析：（1）要解决此题，需要掌握阻力对物体运动的作用．同时要知道若物体不受力，将保持原来的运动状态不变．（2）分析（a）和（b），要注意从中找出相同点，总结规律．（a）发生折射是由于速度发生了变化，从（a）联想（b）的原因．（3）要解决此题需要知道类比法．将物理现象与生活现象类比，找出它们的相同点．更容易理解．解：（1）在滚动过程中，由于甲首先到达细布，受到摩擦力而速度变小；乙此时仍在光滑的木板上，由于不受摩擦，所以乙的速度不变．（2）从（a）图看，由于甲端的运动速度发生了变化，甲端的运动方向发生了偏折，所以（b）中光线的传播方向发生了变化，可能是由于光的传播速度发生了变化，即可能是光由空气进入水中的速度变慢了．（3）此题这种研究方法为类比法，在前面电学中，将水流类比为电流、水压类比为电压、通过水波认识声波等都属于此种研究方法．选项B探究蒸发快慢与哪些因素有关运用了控制变量法；选项C在探究发声的音叉是否在振动时，将一个乒乓球靠近它，观察到乒乓球被弹开，运用了转换法；选项D将闹钟放在钟罩内，通过抽气来探究声音能否在空气中传播，运用了理想实验法．故只有A符合题意．故答案为：（1）变小；（2）光由空气进入水中的速度变慢了；（3）A．【点评】此题主要考查了学生接受新知识的能力，在此题中关键要找出生活现象和物理现象的相同点，运用类比法将知识进行迁移，这也是我们学习能力的一种体现，在平时要注意总结．4．（1）把正在发声的手机放在玻璃罩内（如图甲所示），逐渐抽出其中的空气听到的声音越来越小，最后几乎听不到铃声，这说明______．（2）图乙是探究“”的实验装置图，把平面镜放在水平桌面上，再把一张可以沿ON 向前或向后折的纸板竖直地立在平面镜上，纸板上的ON垂直于镜面。