周 世 国 讲 义第二章 连续函数第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。
例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。
通常我们说物理量()t f 随时间t 的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量()t f 在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t 的改变量非常小，相应地量()t f 的改变也应该非常小.用极限的语言来说： ()()00l i m t t f t f t →=.推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：（1）由定义1可见，函数在0x 点处连续，则0x 点必属于()x f 的定义域,这()0lim x x f x A →=定义的前提有本质的区别；（2）如果()x f 在0x 点处连续，则函数()x f 在0x 点首先必有极限，而且极限值就 是函数()x f 在0x 点处的定义值，因此()x f 在连续点处的极限很好求； （3）如果()x f 在0x 点处连续，则()()lim x x x x f x f lim x →→=.2.连续的第一个等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果对0,0>∃>∀δε，使当0x x ε-<时，就有()()0f x f x ε-<成立，称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求00x x <-（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.3.定义2.若自变量从初始值0x 变化到终值x ,相应地函数值由()0f x 变化到()x f ，则称0x x -为自变量的增量，并计为0x x x ∆=-；而称()()0f x f x -为函数的增量，计为()()0y f x f x ∆=-.注意：显然()()0y f x f x ∆=-又可表示为：()()00y f x x f x ∆=+∆-由此可见()()0y f x f x ∆=-是0x x x ∆=-的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果lim 0x y ∆→∆=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果()()00lim x x f x f x -→=，则称()x f 在0x 点处左连续，并称0x 点为函数()x f 的左连续点；2.定义4.如果()()00lim x x f x f x +→=，则称()x f 在0x 点处右连续，并称0x 点为函数()x f 的右连续点.定理1.()x f 在x 0点处连续⇔()x f 在x 0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数()x f y =的曲线在0x 点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，则称函数()x f 在开区间()b a ,内连续；若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，而且在点a 处右连续，在点b 处左连续则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.注意：在在闭区间[]b a ,上连续的函数的图形特征是曲线位于[]b a ,上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数()c x f ≡在()+∞∞-,连续.证明：任取0x ()+∞∞-∈,，下证()x f 在0x 点处连续，即要证()()00lim x x f x f x →=，也就是要证： c c x x =→0lim .事实上，对,0>∀ε要使()()0||||0f x f x c c ε-=-=<，可取δ为任意正实数，则当0||x x ε-<时，就有 ()()0||f x f x ε-<成立。
