模糊综合评价法（见课件）模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．一、单因素模糊综合评价的步骤 1．根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集合},,,{21m u u u U =例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}．2．给出评价等级（evaluation grade ）集合},,,{21n v v v V =如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价指标的权重（weight ）},,,{21m W μμμ =权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ．4．确定评价矩阵R请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为()1.0,2.0,4.0,3.02=R ()2.0,3.0,2.0,2.03=R那么该项成果的评价矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W ⨯=1)(μ，n m ji r R ⨯=)(，那么()()n mn m m n n m s s s r r r r r rr r r R W S ,,,,,,2121222211121121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==μμμ其中“ ”为模糊合成算子．进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四种：(1) ),(∨∧M 算子(){}n k r r s jkj mj jk j mj k ,,2,1,,min max )(11=∧=≤≤=∨μμ＝符号“∧”为取小， “ ∨” 为取大．例如：n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()2.03.03.03.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧∨∧∨∧=S =)2.03.03.0(∨∨ =3.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (2) (M ﹒),∨算子{}n k r r s jk j mj jk j mj k ,,2,1,max )(11=⋅⋅=≤≤=∨μμ＝例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()08.012.012.015.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1⨯∨⨯∨⨯=S =)08.009.015.0(∨∨ =15.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (3) ),(⊕∧M 算子“⊕”是有界和运算，即在有界限制下的普通加法运算．对t 个实数t x x x ,,,21 有⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⊕⊕⊕∑=t i i t x x x x 121,1min ．利用),(⊕∧M 算子，有()n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧⊕∧⊕∧=S =)2.03.03.0(⊕⊕ =0.8其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (4) (M ﹒),⊕算子n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中3.0(1=S •3.0()5.0⊕•4.0()3.0⊕•)2.0 =)08.009.015.0(⊕⊕ =0.32以上四个算子在综合评价中的特点是：),(∨∧M 和(M ﹒),∨在运算中能突出对综合评判起作用的主要因素，在确定W 时不一定要求其分量之和为1，即不一定是权向量，故为主因素突出型．),(⊕∧M 和(M ﹒),⊕在运算时兼顾了各因素的作用，W 为名符其实的权向量，应满足各分量之和为1，故为加权平均型．最后通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：(1) 最大隶属原则模糊评判集S =),,,(21n S S S 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度，按最大隶属度原则作出综合结论，即),,,m ax (21n S S S M =M 所对应的元素为综合评价结果．该方法虽简单易行，但只考虑隶属度最大的点，其它点没有考虑，损失的信息较多．(2) 加权平均原则加权平均原则是基于这样的思想：将等级看作一种相对位置，使其连续化．为了能定量处理，不妨用“n ,,2,1 ”依次表示各等级，并称其为各等级的秩．然后用S 中对应分量将各等级的秩加权求和，得到被评事物的相对位置．这就是加权平均原则，可表示为∑∑==⋅=n i k ini ki iss u 11*)(νμ （12－1）其中k 为待定系数（k ＝1或k ＝2），目的是控制较大的i s 所起的作用．可以证明，当∞→k 时，加权平均原则就是最大隶属原则．例如：对()2.0,3.0,3.0,3.0=S ，评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}，各等级赋值)(i νμ分别为{4，3，2，1}，仿照普通加权平均法的计算公式，有*=1k u =2.03.03.03.02.013.023.033.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.64即该项成果的综合评价结果为好稍偏一般．(3) 模糊向量单值化如果给等级赋予分值，然后用S 中对应的隶属度将分值加权求平均就可以得到一个点值，便于比较排序．设给n 个等级依次赋予分值n c c c ,,,21 ，一般情况下（等级由高到低或由好到差），n c c c >>> 21，且间距相等，则模糊向量可单值化为∑∑==⋅=n i kini ki iss cc 11 （12－2）其中k 的含义与作用同（12－1）中的k 相同．多个被评事物可以依据（12－2）式由大到小排出次序．以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法，如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法．二、多级模糊综合评判有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分，或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类．可先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判．如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再作分类，得到三级以至更多级的综合评判模型．注意要逐级分别确定每类的权重．以二级综合评判为例给出其数学模型： 设第一级评价因素集为},,,{21m u u u U =各评价因素相应的权重集为},,,{21m W μμμ =第二级评价因素集为},,,{21ik i i i u u u U = m i ,,2,1 =相应的权重集为},,,{21ik i i i W μμμ =相应的单因素评判矩阵为：[]nk jl i r R ⨯= k l ,,2,1 =二级综合评判数学模型为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mR W R W R W W B2211三、模糊综合评判应用举例某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表12-1，病人医疗质量各等级频数分布见表12—2．表12-1 很好、好、一般、差的标准指标 很好 好 一般 差 疗效 治愈 显效 好转 无效 住院日≤1516~2021~25＞25 费用（元） ≤14001400~18001800~2200＞2200表12-2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表 指标很好 质量好 等级一般差疗效01年 02年 160 170380 41020 1040 60住院日01年 02年 180 200 250 310130 12040 20费用01年 02年 130 110270 320130 12070 100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价．1．据评价目的确定评价因素集合评价因素集合为U ={疗效，住院日，费用}． 2．给出评价等级集合如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价因素的权重设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即）（3.0,2.0,5.0=W4．2001年与2002年两个评价矩阵R 分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.05．综合评价作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊乘积运算．如果突出疗效，且只需对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行总体工作情况给出一个总体评价结论，可采用),(∨∧M 算子，确定模糊评判集S ，按最大隶属度原则进行评判：n k s R W S ⨯==111)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 =()117.0217.0500.0267.0n k s R W S ⨯==122)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0=()154.0185.0500.0262.0按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2001年与2002年医疗质量评价结果均为“好”．如果突出疗效，且对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行排序，也可采用),(∨∧M 算子确定的模糊评判集S ，按加权平均原则进行评判：将评价等级很好，好，一般，差分别赋值为4，3，2，1． 2001年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i ii iik ss u νμ=117.0217.0500.0267.0117.01217.02500.03267.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.8332002年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i i i i i k s s u νμ=154.0185.0500.0262.0154.01185.02500.03262.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.790 2001年的工作质量略好于2002年．以上评判结果均没有充分兼顾住院日与费用的作用，如果充分考虑各因素的作用在作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊运算的时候可以采用),(⊕∧M 算子或(M ﹒),⊕算子．。
