07高数B(2)A卷参考解答与评分标准

2007数二真题答案详细解析年数学二的真题是高考数学题目中一道相对较难的题目。

本文将对这道题目进行详细解析，分析其解题思路和解题方法，帮助读者更好地理解和掌握数学常识。

本题属于数学二试卷中的选择题，题目如下：已知数列{a_n}的通项公式为：a_n=n(n-1)^2，(n=1,2,3,...)。

则有命题：S_n=a_1+a_2+...+a_n=(n^2-1)^2。

要判断该命题的真假，我们需要先对数列{a_n}进行分析。

观察数列的通项公式a_n=n(n-1)^2，我们可以发现n(n-1)^2是一个关于n 的三次多项式。

三次多项式的一般形式可以表示为：P(n) = an^3 + bn^2 + cn + d其中a、b、c、d是常数。

在这个问题中，我们需要验证命题S_n=(n^2-1)^2是否成立，也就是判断数列的前n项和等于(n^2-1)^2。

为了方便计算，我们将等式两边展开：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = (1(1-1)^2) + (2(2-1)^2) + ... + (n(n-1)^2)= (1*0^2) + (2*1^2) + ... + (n(n-1)^2)= 0 + 2 + 8 + ... + n(n-1)^2现在我们需要找到这个数列的通项公式，这样才能求出前n项的和。

观察数列0, 2, 8, ... ，我们可以发现这个数列的通项与原数列{n(n-1)^2}相差一个常数。

因此，我们推测该数列的通项公式为：b_n = n(n-1)^2 + k其中k是常数。

为了求解该数列的通项公式，我们可以先求解数列0, 2, 8, ... 的通项公式，再进行适当的变换。

观察数列0, 2, 8, ... ，我们可以发现这个数列中的每一项均等于相应的n(n-1)^2的2倍。

因此，该数列的通项公式为：b_n = 2n(n-1)^2现在我们已经得到了数列{b_n}的通项公式，我们可以将其代入前面的求和公式中，得到：S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n = 2(1(1-1)^2) + 2(2(2-1)^2) + ... + 2(n(n-1)^2)= 2(1*0^2) + 2(2*1^2) + ... + 2(n(n-1)^2)= 2(0 + 2 + 8 + ... + n(n-1)^2)= 2(0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3)现在我们需要求解数列0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3的和。

07-08-2高数（A B）期末试卷A参考答案及评分标准08.1.15模板资料资源共享模板资料 资源共享一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．()2112lim e e xxx x→-=；2．设1sinxy x=，则1sin 21111d sin cos ln d xy xx x x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭； 3．已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim1sin 2h f h f h→--=-；4．对数螺线e θρ=在2πθ=对应的点处的切线方程是2e x y π+=；5．设5()22y y x x ππ=<<是由方程2200e d cos d 0y x t t t t -=⎰⎰确定的隐函数，则()y x 的单调增加区间是3522ππ⎝⎭，单调减少区间是3,22ππ⎝⎭； 6．曲线2e x y x -=的拐点坐标是()21,e-，渐进线方程是0y =；7．22223lim 31239n nn n n n n n π→∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭； 8．)231cos2cos sin d 42x x x x ππ-+=⎰9．二阶常系数线性非齐次微分方程2sin y y x ''+=的特解形式为*cos sin y Ax x Bx x =+.二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 10. 2202d x x x x -⎰解222202d (11)1(1)d x x x x x x x -=-+--⎰⎰222220(1)1(1)d 2(1)1(1)d 1(1)d x x x x x x x x =---+---+--⎰⎰⎰12021d 02t t t π=-++⎰ （1,sin ,d cos d x t t t θθθ-===）模板资料 资源共享222200152sin cos d (1cos 4)d 2428πππππθθθθθ=+=-+=⎰⎰11．(arctan 1d x x ⎰解 ((1arctan 1d arctan 1222xx x x x x x x=+-++⎰， 令2,d 2d x t x t t ==，2121d ln(22)22222x t x t x x x C t t x x ==++++++⎰，原式(()arctan 1ln 22x x x x x C =-++12。

《高等数学（二）》试卷（A ）参考答案及评分标准1.求曲12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程2. 解：x x xe e x y 22)(+='， （1分）2)0(='y （1分）切线方程：12+=x y （2分） 法线方程：121+-=x y （2分） 3. 12+=x e y x, 求)(x y '. 解：)1ln(2121ln 2+-=x x y （3分） )121(12122+-+='x xx e y x （3分）4. 求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解. 解：1）052=+'+''y y y特征方程为 0522=++r r ，解为 i r 21±-= （2分）通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x+=- （2分）2）设特解为 xAe y =*，代入 求得 41=A （1分） 故原方程通解为 x xe x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=- （1分）5. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定，求微分dy .解：2220y y xyy y e -''+-= （4分） dx xyey dy y 222-=- （2分）6. 求极限)cot 11(lim 20x x x x -→.解： )cot 11(lim 20x xx x -→xx xx x x s i n c o s s i n l i m 20-=→ （2分）30cos sin limx xx x x -=→ （2分）313sin lim 20==→x x x x （2分） 7. 确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.解： !!sin 33n n n n n ≤， （1分） 由比值判别法判断，级数∑∞=13!n n n 收敛 （3分）由比较判别法判断原级数绝对收敛 （2分） 8.计算定积分20x ⎰.解： 设t x sin 2=，2cos dx tdt = （1分）2sin 2222204sin 2cos x tx t tdt π==⋅⎰⎰（1分）2204s i n 2t d t π=⎰（2分）202(1cos4)t dt ππ=-=⎰ （2分）9. 确定幂级数111n nn x na∞-=∑收敛半径及收敛域，其中a 为正常数. 解： a a a nn n 1l i m1==+∞→λ （2分）收敛半径为 a R = （1分）当a x =时，级数发散 （1分）当a x -=时，级数收敛 （1分） 故收敛域为 ),[a a - （1分）10. 求⎰++-dx x x x x )1(322. 解：1123)1(3222++-=++-x x x x x x x （3分） C x x x dx x x x x +-+-=++-⎰arctan )1ln(ln 3)1(3222 （3分）11. 求解微分方程x e x y y sin cos -=+'. 解： 1) 0cos =+'x y yx d xydycos -= （1分） C x y ~s i n ln +-= （1分） x Ce y sin -= （1分） 2) x e x u y sin )(-= （1分） x x xe x u e x u y sin sin cos )()(---'='x x e e x u x y y s i ns i n )(c o s --='=+', 解得，()u x x C =+ （1分） 故 x e C x y sin )(-+= （1分）四、综合题：（本题共4个小题，总分30分）1. (本题7分) 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数.解：∑∞=-=+='022)1(11n nn x x y （3分） ∑∞=++-==01212)1(a r c t a n n n n xn x y （3分） ]1,1[-∈x （1分） 2. (本题7分)计算n →∞+++解：2214121222222+≤++++++≤+n n nn n n nn n （3分）由limlim1n n →→== （3分）可得1n →∞+++= （1分）3. (本题8分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x xxx x f xϕ，其中()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，(1) 确定a 的值，使)(x f 在0=x 处连续； (2) 求)(x f '.解：（1）0lim ()1x f x a -→=+ （1分）()11cos lim ()lim x x x xf x xϕ++→→-+-=0()(0)1cos lim (0)00x x x x x ϕϕϕ+→--⎡⎤'=+=+=⎢⎥⎣⎦， （1分） 于是，当1-=a 时，)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f （1分） （2） 当0x >时，2(()sin )(()cos )'()x x x x x f x xϕϕ'+--=， （1 分） 当0x <时， '()x f x e = （1分）当 0x =时，已知()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，由2()cos (0)()cos (0)lim lim x x x xf x xx f xxϕϕ+++→→---'==0()sin ()(0)sin (0)1lim lim 22222x x x xx x xx x ϕϕϕϕ++→→'''''+-⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦=1 （1分）11lim )0(0=-='-→-xe f x x （1分）因为(0)(0)1f f -+''==，所以'(0)1f =.由此得2(()sin )(()cos ),0()1,0,0x x x x x x x x f x x e x ϕϕ'+--⎧>⎪⎪'==⎨⎪<⎪⎩（1分）4.(本题8分)设)(x f 在),1[+∞具有连续导数，且满足方程⎰=+-x dt t f t x f x 1221)()1()(，求)(x f .解： 0)()1()()(222=+-'+x f x x f x x xf （1分）记 )(x f y =，易见 1)1(=y （1分） y x x y x )12(22+-='dx xx x y dy 2212+-= （2分） C xx x y ~1ln 2ln +--= （1分） xx xx x e xC Cey 121ln 2---== （1分） 由1)1(=y 可知，1=C （1分）综合可得 xx e xy 121-= （1分）。