线性切换系统稳定性方法论述
- 格式：pdf
- 大小：195.30 KB
- 文档页数：2
ｚｕｌ 牛 ｌ ／ Ｕ 弟 期
—鬲面丽 面
教 育教 学研 究
线性切换系统稳定性 方法论述
于河 赵庆 （ 辽宁对外经贸学院 辽宁大连 １ ６ ２ ） １ ０ １
【 摘要 ｌ切换 系统是一 类重要的混 杂 系统 ， 是指 由一组连 续或 离散 动态子 系统 组成 ， 并按 某种 切换规 划在各 子 系统 间切换 的动 力裹统 对切换 系统的研究具有重要的理论意 义和应 用价值 。切换控制在很 多实 际系统 中得 到 了应用 ， ： 如 计算机控削 秉皖 ．电力系统等 秉境 。 井 引起 了国内外学者的广泛 关注。本文概括 了线性 切换 系统的稳定性 问题 以及 证明稳 定性 的 Ｌｙ ｐ ｎｏ ａ ｕ ｖ函数方法。
一 一
） ＋ ＋ ０ ６ ２ １ｓ ３ ０ 列 劳 ＝ ６ １ｓ＋ ｚ＋ ０ ＋ ＝
斯表 为 ， 见表 ３ ： 可 见第 一列元符号改 变两次 ， 所以有 两个
一
正 实部根 ， 统不 稳定 。 系 第 二种 方法是 用一 个小 正数 ￡ 代替 第一 列 中等于零 的元素 ， 续劳斯表 的列 写， 继 最后 取 ０即可。如式（ — ９ 的劳斯表为， ３８） 见
切换 系统是 从控 制科 学的 角度来研 究混 杂 系统理 论的 重要模 型 。切换 系统一 般包括 １劳斯稳定判据 组有 限（ 无限） 系统和一个描述子系统 或 个子 闭 环 系 统 的 稳 定性 可 以 由 劳斯 判 据给 之 间如 何切换 的切换 规则 。每一 个子 系统 由 出 。设 系统 的 闭环 特性 方程 为 个确定的微分方程或 差分 方程描述 ， 且在某 Ｄ（） ａＳ ＋ ｌ 叫＋ ＋矗一 疗 ＝０ １ １ ＝ ｏ ａｓ ＂ … ＋ （ ．） Ｉ 时刻有且只有一个子 系统处于激活状 态 ， 具 将式（．） １１ 的各项 系数构造 劳斯表 １ １从 －， 体 是哪 个子 系统 由切 换规 则决定 。子 系统 之 表的结构知 ， 劳斯表有（＋ ） ， 、二行各 ｎ １行 第一 间发生切换时 ， 系统状态或 保持 不变或发生一 元素是特征方程 各项的系数 ， 以后各元素 按表 定的跳变。 卜１ 所示规律逐 行进行 ， 运算 中空位 置为零 。 本文 主要介 绍 系统稳 定性 的一种 劳斯稳 １劳斯 稳定判据 ） 定判据研究方法￣ ａ ｔ ｖ Ｎ ｙ ｐｍｏ 函数方法和一 些 Ｌ 特征 方程 （ ．） １ １所表征的线 性系统稳定 的 常见的关于稳定性方 面的问题 ， 对系统稳定性 充分必要条件是 ， 劳斯表 中第一列各元素 严格 的研究分 门别类 ， 以便于 以后 的研究 。 为正 ； 如果 劳斯表 第 一列 中 出现 小 于零 的数 对于 系统 的稳定 性是我 们研 究的 比较 多 值， 系统不 稳定 ， 第一行 各元素符号 改变 的 且 的方面。稳定性 可以这 样定义 ： 当一个实际的 次数， 代表特征方 程（ ．） 实根的数 目。 １ １正 系统处于一个平衡的状 态时 ， 如果受到外来作 ２劳斯稳定 判据的特殊 情况 ） 用 的影 响时 ， 系统 经过一个过渡过 程仍然能够 应用劳斯判据 建立的劳斯表 ， 有时会遇 到 回到原 来的平衡状态 ， 我们称这 个系统就是稳 两种情况 ， 使计算无 法进行 ， 因此需要 进行相 定 的， 否则称 系统 不稳定 。对 于稳 定的系统振 应 的数学处理 ， 而处理的原 则是 不影响劳斯稳 荡是 减幅 的 ， 而对于不 稳定的 系统 ， 荡是增 定 判 据 的 判断 结 果 。 振 幅 的振 荡。前者会平衡 于一个状态 ， 后者却会 劳斯表 中某行第一 列元等 于零 不断 增大直到 系统被 损坏 。 如果 出现这种 情况 ， 计算劳 斯表下一行第 这些定理都是基于 系统 的数学模 型 ， 根据 元时 ， 出现无穷 现象 ， 劳斯稳定 判据无 会 使 数学 模型的形式 ， 经过一定的计算 就能够得 出 法 使 用 。例 如 系统特 征 方程 为 稳定 与否 的结论 ， 些定 理中 比较 有名 的有 ： 这 Ｄ（ ＝ ＋３ ＋Ｓ 十３ ＋ｌ （ ．） ｓ ＝０ １ ２ 劳斯判据 、 赫尔维茨判据 、李亚谱 若夫三个定 列劳斯表为 ， 见表 ２ 。 理 。这些稳 定性 的判 别方法 分别适 合于 不同 有两 种方法 可以 解决这 种情 况 。第一种 的数学模 型 ， 前两者主 要是通过判 断系统的特 方 法是用 因子（＋ ） ｓ ａ 乘原 特征方程 ， ａ是正实 征值是否 小于零来判定 系统是 否稳定 ， 后者主 再对新特征 方程应 用劳斯判据 判断 。如用 要是 通过 考察 系统能量是 否衰 减来 判定稳 定 数 ， （＋ ） ｓ ３乘式（－ ９ ， ３ ８ ）得新特征 方程为 性。
【 键 字 】 切 换 系统 稳 定 性 Ｌ ａ ｕ ｏ 关 ｙ ｐ ｎ ｖ函数 线性 矩 阵不 等 式
【 中图分类号 】Ｇ６ ７ ３ ３． ຫໍສະໝຸດ 【 献标识 码】 Ａ 文
【 文章编 号】 １ ７ —８ ０ （ ０ ） ７ ０ ９ －０ ２９２ １ ０－ ２２ ２ ６３ ０
判据的要求继续运算下去。辅助方程的次数 通常 为偶 数 ， 表 明数 值 相 同符号 相 反的根 它
表 ４ ：
劳斯 表第一列变符号 两次 ， 系统有两个正 实部根 ， 系统不稳定 。显然两种处理方 法判断 结果 相同。劳斯 表中 出现全 零行 。 若 系统 存在 对称坐 标原 点的极 点时 会出 现全零行这 种情况 。当劳 斯表中出现垒零行 ， 可 用全零 行上面 一行 的系数 构造一 个辅 助方 程 Ｆｓ ０并将辅助方程对 Ｓ （＝ ， ） 求导 ， 数方程 其导 的系数代替 全零行的各元素 ， 按劳斯 稳定 就可
—鬲面丽 面
教 育教 学研 究
线性切换系统稳定性 方法论述
于河 赵庆 （ 辽宁对外经贸学院 辽宁大连 １ ６ ２ ） １ ０ １
【 摘要 ｌ切换 系统是一 类重要的混 杂 系统 ， 是指 由一组连 续或 离散 动态子 系统 组成 ， 并按 某种 切换规 划在各 子 系统 间切换 的动 力裹统 对切换 系统的研究具有重要的理论意 义和应 用价值 。切换控制在很 多实 际系统 中得 到 了应用 ， ： 如 计算机控削 秉皖 ．电力系统等 秉境 。 井 引起 了国内外学者的广泛 关注。本文概括 了线性 切换 系统的稳定性 问题 以及 证明稳 定性 的 Ｌｙ ｐ ｎｏ ａ ｕ ｖ函数方法。
一 一
） ＋ ＋ ０ ６ ２ １ｓ ３ ０ 列 劳 ＝ ６ １ｓ＋ ｚ＋ ０ ＋ ＝
斯表 为 ， 见表 ３ ： 可 见第 一列元符号改 变两次 ， 所以有 两个
一
正 实部根 ， 统不 稳定 。 系 第 二种 方法是 用一 个小 正数 ￡ 代替 第一 列 中等于零 的元素 ， 续劳斯表 的列 写， 继 最后 取 ０即可。如式（ — ９ 的劳斯表为， ３８） 见
切换 系统是 从控 制科 学的 角度来研 究混 杂 系统理 论的 重要模 型 。切换 系统一 般包括 １劳斯稳定判据 组有 限（ 无限） 系统和一个描述子系统 或 个子 闭 环 系 统 的 稳 定性 可 以 由 劳斯 判 据给 之 间如 何切换 的切换 规则 。每一 个子 系统 由 出 。设 系统 的 闭环 特性 方程 为 个确定的微分方程或 差分 方程描述 ， 且在某 Ｄ（） ａＳ ＋ ｌ 叫＋ ＋矗一 疗 ＝０ １ １ ＝ ｏ ａｓ ＂ … ＋ （ ．） Ｉ 时刻有且只有一个子 系统处于激活状 态 ， 具 将式（．） １１ 的各项 系数构造 劳斯表 １ １从 －， 体 是哪 个子 系统 由切 换规 则决定 。子 系统 之 表的结构知 ， 劳斯表有（＋ ） ， 、二行各 ｎ １行 第一 间发生切换时 ， 系统状态或 保持 不变或发生一 元素是特征方程 各项的系数 ， 以后各元素 按表 定的跳变。 卜１ 所示规律逐 行进行 ， 运算 中空位 置为零 。 本文 主要介 绍 系统稳 定性 的一种 劳斯稳 １劳斯 稳定判据 ） 定判据研究方法￣ ａ ｔ ｖ Ｎ ｙ ｐｍｏ 函数方法和一 些 Ｌ 特征 方程 （ ．） １ １所表征的线 性系统稳定 的 常见的关于稳定性方 面的问题 ， 对系统稳定性 充分必要条件是 ， 劳斯表 中第一列各元素 严格 的研究分 门别类 ， 以便于 以后 的研究 。 为正 ； 如果 劳斯表 第 一列 中 出现 小 于零 的数 对于 系统 的稳定 性是我 们研 究的 比较 多 值， 系统不 稳定 ， 第一行 各元素符号 改变 的 且 的方面。稳定性 可以这 样定义 ： 当一个实际的 次数， 代表特征方 程（ ．） 实根的数 目。 １ １正 系统处于一个平衡的状 态时 ， 如果受到外来作 ２劳斯稳定 判据的特殊 情况 ） 用 的影 响时 ， 系统 经过一个过渡过 程仍然能够 应用劳斯判据 建立的劳斯表 ， 有时会遇 到 回到原 来的平衡状态 ， 我们称这 个系统就是稳 两种情况 ， 使计算无 法进行 ， 因此需要 进行相 定 的， 否则称 系统 不稳定 。对 于稳 定的系统振 应 的数学处理 ， 而处理的原 则是 不影响劳斯稳 荡是 减幅 的 ， 而对于不 稳定的 系统 ， 荡是增 定 判 据 的 判断 结 果 。 振 幅 的振 荡。前者会平衡 于一个状态 ， 后者却会 劳斯表 中某行第一 列元等 于零 不断 增大直到 系统被 损坏 。 如果 出现这种 情况 ， 计算劳 斯表下一行第 这些定理都是基于 系统 的数学模 型 ， 根据 元时 ， 出现无穷 现象 ， 劳斯稳定 判据无 会 使 数学 模型的形式 ， 经过一定的计算 就能够得 出 法 使 用 。例 如 系统特 征 方程 为 稳定 与否 的结论 ， 些定 理中 比较 有名 的有 ： 这 Ｄ（ ＝ ＋３ ＋Ｓ 十３ ＋ｌ （ ．） ｓ ＝０ １ ２ 劳斯判据 、 赫尔维茨判据 、李亚谱 若夫三个定 列劳斯表为 ， 见表 ２ 。 理 。这些稳 定性 的判 别方法 分别适 合于 不同 有两 种方法 可以 解决这 种情 况 。第一种 的数学模 型 ， 前两者主 要是通过判 断系统的特 方 法是用 因子（＋ ） ｓ ａ 乘原 特征方程 ， ａ是正实 征值是否 小于零来判定 系统是 否稳定 ， 后者主 再对新特征 方程应 用劳斯判据 判断 。如用 要是 通过 考察 系统能量是 否衰 减来 判定稳 定 数 ， （＋ ） ｓ ３乘式（－ ９ ， ３ ８ ）得新特征 方程为 性。
【 键 字 】 切 换 系统 稳 定 性 Ｌ ａ ｕ ｏ 关 ｙ ｐ ｎ ｖ函数 线性 矩 阵不 等 式
【 中图分类号 】Ｇ６ ７ ３ ３． ຫໍສະໝຸດ 【 献标识 码】 Ａ 文
【 文章编 号】 １ ７ —８ ０ （ ０ ） ７ ０ ９ －０ ２９２ １ ０－ ２２ ２ ６３ ０
判据的要求继续运算下去。辅助方程的次数 通常 为偶 数 ， 表 明数 值 相 同符号 相 反的根 它
表 ４ ：
劳斯 表第一列变符号 两次 ， 系统有两个正 实部根 ， 系统不稳定 。显然两种处理方 法判断 结果 相同。劳斯 表中 出现全 零行 。 若 系统 存在 对称坐 标原 点的极 点时 会出 现全零行这 种情况 。当劳 斯表中出现垒零行 ， 可 用全零 行上面 一行 的系数 构造一 个辅 助方 程 Ｆｓ ０并将辅助方程对 Ｓ （＝ ， ） 求导 ， 数方程 其导 的系数代替 全零行的各元素 ， 按劳斯 稳定 就可
