中山市高二级2016-2017学年度第二学期期末统一考试理科数学

中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数z满足2-=-⋅，则z=z i i zA．1i-+B．1i-C．1i+D．1i--2．设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A．0.2 B．0.8 C．0.2或0.8 D．0.163．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030 附表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 经计算K的观测值为10，，则下列选项正确的是()A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A ．假设,,a b c 都是偶数；B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个偶数D ．假设,,a b c 至多有两个偶数 5．函数2()ln f x x x =-的单调递减区间是A. 20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B.2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭C. 2,2⎛⎤-∞-⎥ ⎝⎦，20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ D.22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为A.73B ．4C ．－1D ．1 7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.128．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布 N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 4139．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )x 3 4 5 6 y2.5t44.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关 B ．t 的值是3.15C ．回归直线一定过(4.5,3.5)D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是 A. 150 B. 210 C. 240 D. 30011. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，如果把这个数列{}n a 排成如图形状，并记,A m n （）表示第m 行中从左向右第n 个数，则10,4A （）的值为 A ．1200 B ．1280 C ．3528D ． 361212． 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x R ∈恒成立，则下列不等式均成立的是A ．()()()()2ln 220,20f f f e f <<B ．()()()()2ln 220,20f f f e f >> C. ()()()()2ln 220,20f f f e f <> D ．()()()()2ln 220,20f f f e f >< 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13. 直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值为 14.1202x xdx -+=⎰15. 已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则0241()(a a a a +++35)a a + 的值等于 .16. 已知函数()()22,ln 2,f x x x a g x x x =++=-，如果存在11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分10分）在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含2x 的项．18．（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+， (1)求123,,a a a ，并猜想数列{}n a 的通项公式 (2)用数学归纳法证明你的猜想．19.（本小题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度/x C 20 22 24 26 28 30 32 产卵数/y 个6 10 21 24 64 113 322 2t x = 400 484 576 676 784 900 1024 ln z y =1.792.303.043.184.164.735.77xtyz其中2i i t x =，7117i i t t ==∑，ln i i z y =，7117i i z z ==∑，附：对于一组数据11(,)μν，22(,)μν，……(,)n n μν，其回归直线v βμα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii μμννβμμ==--=-∑∑，ανβμ=-．（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C 时的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.855.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.20. （本小题满分12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？21.（本小题满分12分）对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立. （1）试给出这个常数M 的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P ；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q ：“存在一个常数M ，使得不等式333333a b c a b cM a b b c c a a b b c c a++≤≤++++++++对任意正数a ，b ，c 恒成立．”观察命题P 与命题Q 的规律，请猜想与正数a ，b ，c ，d 相关的命题．22. （本小题满分12分）已知函数2321()ln 342()2f x x x ax x a a a a =--+--+∈R 存在两个极值点．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1x 和2x 分别是()f x 的两个极值点且12x x <，证明：212e x x >．中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题： CCABA ABBBA DA 二、填空题：13．ln21-； 15．4π； 15．256-； 16．21(ln 2]4-∞-，.三、解答题：17.解(1)第3项的二项式系数为2615C =， ………………………………… 2分又22436240T C x ⎛== ⎝，所以第3项的系数为240. …………… 5分(2)663166(1)2kk k k k k kk T C C x ---+⎛==- ⎝，令32k -=，得1k =. 所以含2x 的项为第2项，且22192T x =- ……… 10分18.解(1)当1n =时，11111()2a a a =+，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). ……… 1分 当2n =时，122211()2a a a a +=+，∴21a ． ……… 2分 当3n =时，1233311()2a a a a a ++=+，∴2a ……… 3分猜想：n a =. ………4分 (2)证明：①当1n =时，显然成立． ………5分 ②假设n k =时，k a = 则当1n k =+时，11111111()()22k k k k k k ka S S a a a a ++++=-=+-+,即1111()k k k k a a a a ++-=-+=-=-∴1k a +=………11分由①、②可知，*n N ∀∈，n a =. ………12分19.解：（1）对于模型①：设2t x =，则21212y C x C C t C =+=+其中711721()()0.43()ii i ii tt y y C tt ==--==-∑∑， ……………………… 1分21800.43692217.56C y C t =-=-⨯=- …………………… 3分所以20.43217.56y x =-， ………………… 4分当30x =时，估计产卵数为210.4330217.56169.44y =⨯-= …… 5分对于模型②：设ln z y =，则34ln y C x C =+其中713721()()0.32()ii i ii zz x x C x x ==--==-∑∑，………………………………… 6分43 3.570.3226 4.75C z C x =-=-⨯=- ……………………… 8分所以0.32 4.75x y e-=， ………………………………… 9分当30x =时，估计产卵数为0.3230 4.754.852127.74y ee ⨯-===………… 10分 （2）因为2212R R <，所以模型②的拟合效果更好 ………………………………… 12分20. 解：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3……………1分()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===；…………4分应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯= ………………………………………5分设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3……………………………6分()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………9分 应聘者乙正确完成题数η的分布列为：()160123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,3B η⎛⎫⎪⎝⎭∴()2323E η=⨯=） …………10分（2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，()2(1)3D np p η=-=所以()()D D ξη<……………………………………………11分 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定； 从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大………………12分21. 解：（1）令a b =得：2233M ≤≤，故23M =； ……3分（2）先证明2223a b a b b a +≤++.∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a b a b a b a b b a +++≤++， 即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立.∴2223a b a b b a +≤++. ……6分 再证明2322a ba b b a≤+++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a a b b b a a b b a +++≥++，即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立.∴2322a ba b b a≤+++. ……9分 （3）猜想结论：存在一个常数M ，使得不等式 44444444a b c d a b c dM a b b c c d d a a b b c c d d a+++≤≤+++++++++++对任意正数a ，b ，c ，d 恒成立. ……12分22. 解：（Ⅰ）由题设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x ax '=-， ……… 1分 故函数()f x 有两个极值点等价于其导函数()f x '在(0,)+∞有两个零点． 当a = 0时()ln f x x '=，显然只有1个零点01x =． ……………………… 2分当a ≠0时，令()ln h x x ax =-，那么11()axh x a x x-'=-=． 若a < 0，则当x > 0时()0h x '>，即()h x 单调递增，所以()h x 无两个零点. … 3分 若a > 0，则当10x a <<时()0h x '>，()h x 单调递增；当1x a>时()0h x '<，()h x 单调递减，所以11()()ln 1h x h a a ≤=-. 又(1)0h a =-<，当x →0时→-∞，故若有两个零点，则11()ln 10h a a =->，得10a e <<． ……………………………………… 5分综上得，实数a 的取值范围是1(0,)e． ……………………………………… 6分（Ⅱ）要证212e x x >，两边同时取自然对数得212ln ln n 2e l x x +>=． ……… 7分由()0f x '=得1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x +-==+-. 所以原命题等价于证明12121212()(ln ln )ln ln 2x x x x x x x x +-+=>-．………… 8分因为12x x <，故只需证1212122()ln ln x x x x x x --<+，即1121222(1)ln 01x x x x x x --<+．…… 9分令12x t x =，则01t <<，设2(1)()ln (01)1t g t t t t -=-<<+，只需证()0g t <．… 10分 而22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g <=．综上得212e x x >．……………………………………………………………… 12分高二数学（理科）试卷第11页（共4页）。