第17讲凸二次规划的有效集方法 ppt课件

凸优化问题的二次规划算法研究第一章引言1.1 研究背景凸优化问题是数学规划中的一个重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。

在实际问题中，许多优化问题可以转化为凸优化问题，而二次规划是一类重要的凸优化问题。

二次规划在实际应用中具有广泛的需求和重要性，因此研究二次规划算法具有重要的理论和应用意义。

1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题中的二次规划算法进行深入研究和分析，探讨其数学原理和求解方法。

通过对不同算法进行比较和评估，为实际应用提供可行性和可靠性。

第二章二次规划基本概念2.1 二次规划定义对于一个凸函数f(x)和一组线性等式约束g(x)，满足约束条件下求解以下形式目标函数最小值：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 02.2 函数形式在实际应用中，目标函数f(x)通常是一个多项式，并且约束条件g(x)可以是一组线性等式或不等式。

第三章二次规划求解方法3.1 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解二次规划问题的方法。

通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个无约束优化问题。

3.2 内点法内点法是一种高效的求解二次规划问题的方法。

通过将约束转化为罚函数，将原问题转化为一个无约束优化问题。

第四章二次规划算法比较4.1 拉格朗日乘子法 vs 内点法比较拉格朗日乘子法和内点法两种常用的二次规划算法。

从理论和实际应用角度比较两种算法的优劣，分析其适用场景和效率。

4.2 其他相关算法介绍其他一些与二次规划相关的算法，如梯度下降、牛顿迭代等。

分析这些算法与传统方法之间的差异和优劣，并探讨其在实际应用中的适用性。

第五章二次规划在实际应用中的案例分析5.1 工程优化设计以工程设计中常见的最小成本、最大效益等目标函数为例，分析二次规划在工程优化设计中的应用。

5.2 金融投资组合优化以金融投资组合优化为例，分析二次规划在金融领域中的应用。

通过构建合适的目标函数和约束条件，实现最优的投资组合。

《非线性规划》课程设计题目：二次规划起作用集方法院系：数理学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：119084112 数112指导教师：日期：2014年6月19日摘要二次规划（QP）是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束函数是线性函数的非线性规划.二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一.关键词：二次规划；起作用集；乘子向量AbstractQuadratic programming (QP) refers to the objective function for the quadratic function of the decision variables x, and the constraint function is a linear function of nonlinear programming, quadratic programming problem is the simplest nonlinear constraint optimization problems, and some nonlinear programming can be transformed into solving a series of quadratic programming problem, so the solving methods of quadratic programming is also one of the basis of solving nonlinear programming.Keywords: Quadratic programming; Work set; Multiplier vector目录一、二次规划的概念与性质1.1模型一1.2模型二二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤2.1方法2.2计算步骤三、算例总结一、二次规划的概念与性质 1.1模型一⎩⎨⎧+=≥==+=.,,1,,,,2,1,.;21)(min L m j b x a m i b x a t s x c Hx x x f j j i i T T(1) 式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m),j a (j=m+1,···,L)均为n 维行向量.另L m m b b b b b ,,,,,,121 +都是已知实数，且m ≤n(L ≥m).定理一 设*x 是上式正定二次规划的最优解，且在点*x 处的起作用约束集为*J ，则*x 是下述等式约束问题的唯一解：.,.21)(min *J i b x ta s xc Hx x x Q i i T T∈=+=1.2模型二只含有等式约束的二次规划：.,,2,1,.;21)(min m i b x ta s x c Hx x x f i i T T==+=（2）式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m)为n 维行向量.定理二 规划（2）式的K-T 对),(**Λx 是存在唯一的，且),(**Λx 为（2）式的K-T 对的充要条件是它们满足方程组：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b c x AA H T 0二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤2.1方法对于一般正定二次规划（1)式，由定理一可知，只要能找到*x 所满足的起作用约束指标集*J ，就可以通过求解等式约束（2）式二次规划化问题得到*x .但是*x 未知，*J 不能一下求出，可采用逐步改进的方法：先求出问题（1）式的一个可行点)(k x ，计算点)(k x 处有起作用约束指标集k J ，并求解相应的等式约束的二次规划问题(2)式.设其最优解为)(ˆk x ，乘子向量为k Λ.令k P =)(ˆk x－)(k x，即认为k P 是从点)(k x出发至)(ˆk x的方向，如求出了k P 也就找到了)(ˆk x ，)(ˆk x =)(k x +k P .因此求解（2）式可以化成求解：.,0.)(21)(21)(min )()(1k k i k T k k T k kT k k Tk J i P a t s P x f HP P P c Hx HP P x f ∈=∇+=++= （3)设)(ˆk x 的起作用约束指标集为1+k J ，则根据)(ˆk x 与)(k x 之间不同关系来调整k J （当然要使目标函数值不断减少）.按照这种思路继续，就有可能得到*J ，从而求得（1）式的最优解*x . 2.2步骤第1步：选定初始可行点)1(x 及相应的起作用约束指标集1J ，使)(1J i a i ∈线性无关.令k:=1.第2步：求解含有等式约束的正定二次规划问题(3)，设其解为k P .第3步：若k P =0（即)(ˆk x=)(k x），则计算相应的乘子向量k Λ，转第4步.若k P ≠0，转第5步.第4步：若),,2,1(\m J j k ∈∀；都有0)(≥k j λ成立，则)(k x为规划（1）式的最优解，计算结束；否则求出)},,2,1(\|min{)()(m J j k k j k q ∈=λλ，令)1(+k x =)(k x，1+k J =k J \{q}, k:=k+1,返回第2步.第5步：若)(ˆk x =)(k x +k P （k P ≠0）满足i i b x a ≥，k J L m m i \},,2,1{ ++∈（即)(ˆk x 也满足规划（1）的可行域），则令)1(+k x =)(k x，计算)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J ，令k:=k+1，返回第2步.否则（即)1(+k x 不是规划（1）式的可行解）转第6步.第6步：从)(ˆk x 点出发沿方向k P 进行一维搜索.记)1(+k x =)(k x +k k P α，计算步长：}0,\),,2,1(|min{ˆ)(<++∈-=k i k ki k i i k P a J L m m i P a x a b α易见k aˆ为正数.因此对每个k J L m m i \},,2,1{ ++∈，i k k k i b P x a ≥+)ˆ()(α必成立. （因为)(k x是可行解，k aˆ是正数，当k k P a >0时更成立） 取k α=min{1,k aˆ}. 记 )1(+k x=)(ˆk x +k k P α.计算点)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J .令k:=k+1，返回第2步. 三、算例用起作用约束集方法计算（书上例题409页）：⎩⎨⎧≥-≥----+-=.0,,623.;102)(min 212121222121x x x x t s x x x x x x x f用LINGO 求解，程序如下： MODEL: Sets:num_i/1,2/:c,x; endsets data: c=-3, -2; enddata[OBJ]min=(x(1)^2－x(1)*x(2)+2*x(2)^2－x(1)－10*x(2); @sum(num_i(i):c(i)*x(i)>=－6; @for(num_i(i):x(i)>=0;);END运行该程序可得1x =21，2x =49，为原规划问题的最优解.总结二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一. 参考文献[1]何坚勇·最优化方法·北京：清华大学出版社，2007.。

二次规划问题的既约积极集方法
在进行二次规划问题的解算时，可使用既约积极集(KKT)方法，该方法为一个优化理论，可用于求解线性和非线性的最优化问题.
简单来说，KKT方法是将最优化问题定义为一个联立的系统方程，并采用关于该系统方程的满足条件，再通过求解有关方程组来求解该最优化问题.
KKT方法的实现步骤大致如下：
(1)先定义最优化问题，包括目标函数和约束条件；
(2)然后定义一组拉格朗日算子，即每个约束条件都由一个拉格朗日乘子来反映；
(3)将所定义的最优化问题转换为一个联立的系统方程，其中包括目标函数、约束条件和对应的拉格朗日乘子；
(4)接着通过求解该联立系统方程来获取最优解；
(5)最后利用KKT方法的满足度保证该最优解的可行性.。