湘教版八年级下册27(正方形)课件

∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG=∠AED=90°.
∴ ∠ADE+∠DAE=90°.
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴ ∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE，
∴ ∠AFB=∠DEG=∠AED.
∠AFB=∠AED,
在△ABF和△DAE中，∠ADE =∠BAF, ∴ △ABF≌△DAE(AAASD).= AB.
矩形
邻边 相等
正方形
我发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
我发现：
有一个角是直角的菱形叫 正方形
正方形定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
(可从平行四边形、矩形、菱形入手判别） 定义法
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形。 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形。
求证第:△一A步B:根O、据题△意B画C出O图、形△CDO、
△DAO是第全二等步:的写等出已腰知直角三角形.
B
C
第三步：写出求证
证分明第析: 四∵:步利四:用进边行正形证方A明B形C的D性是质正,方对形角,线相等且互相垂直平
分,每∴条A对C角=B线D平,A分C⊥一B组D对,A角O.=平B分O=可C以O产=D生O线. 段等量 是关腰等系直腰,角∴垂直三△直角角A可三B形以角O.产、形生,△并直B且角CO,于、是△可C以DO得、到四△个DA全O等都的等
矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形。
讨论总结:正方形有那些性质?
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
正方形的性质=
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
性
质
边

(lǐyóu)：∵△AOD≌△EOB，∴AD=BE，
又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当 ∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足 ∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
第三十一页，共四十九页。
第三十二页，共四十九页。
【火眼金睛】
如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，若 AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么(shén me)图形？证明你
一组对角(duìjiǎo)，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
第十二页，共四十九页。
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (
)C
A.对角线相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相(hù 平分 xiāng) D.对角线互相垂直
第十三页，共四十九页。
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点(dǐngdiǎn)A，B，C，D正好
B
A
E
ADF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，A E∴B ED=F,AF.
(2)略
第十一页，共四十九页。
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线” 1.边：四条边都相等且每组对边平行.
2.角：四个角都是直角.
3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分
(2)求正方形EFGH的面积.
第四十五页，共四十九页。
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG， 同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形( ， jǔxíng) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，

5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
同学们再见
1.如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且 CE=AC，AE交CD于F，那么∠AFC的度数为o 。
A
D
F
A
D
F
B
C
EB E C
G
2.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试 猜测AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜测．
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形〔√ 〕
×
辨一辨 ----以下说法对吗?
〔1〕四个角都相等的四边形是正方形( × ) 〔2〕四条边都相等的四边形是正方形( × ) 〔3〕对角线相等的菱形是正方形( √ ) 〔4〕对角线互相垂直的矩形是正方形( √ )
(5) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(× )
E
D
求证：DECF是正方形
CF
B
3. 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C
1.如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形
图2-60
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′. ∴ 四边形 A'B'C'D'是菱形. 又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°， ∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D′A′B′= 90°. ∴ 四边形 A'B'C'D'是正方形.

可以先判定四边形是 矩形，再判定这个矩 形有一组邻边相等.
也可以先判定四边形是菱 形，再判定这个菱形有一 个角是直角.
举 例
例2 如图2-60， 已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形
ABCD 四条边上的点， 并且AA′= BB′= CC′= DD′.
求证：四边形
是正方形.
图2-60
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB = BC = CD = DA.
∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D′A′B′= 90°.
∴ 四边形
是正方形.
图2-60
随堂训练
1.已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的 边长和面积.
答：边长为 面积为 8 cm2.
2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么 这个矩形一定是正方形吗？为什么？
答：一定是. 由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得 此矩形的四条边都相等，即为正方形.
图2-57
我们把有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形叫做正方形.
平行四边形
Байду номын сангаас
一组邻边相等
有一个角是直角
菱形
正方形
矩形
有一个角是直角
一组邻边相等
图2-58
正方形既是矩形又是菱形.
正方形的四条边都 相等，四个角都是直角.
结论
可以知道：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
结论
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线， 以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.

A O B
D
C
7
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归纳
★由正方形定义知： 正方形具有菱形、矩 形的一切性质！
A
O
D
B
C
1、正方形是轴对称图形。 2、正方形的四条边都相等。 3、正方形的四个角都相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。
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3、在正方形ABCD中，E在BC上， BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的 长度之和最小可达到_____________
A
P
D
G
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F E C
18
B
智力冲浪
4.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、 ∠B的平分线交于点D。DE⊥AC， DF⊥AB。试 说明四边形CEDF为正方形 C 解：过点D作DG⊥AB，垂足为G F ∵AD是∠CAB的平分线 E DE⊥AC，DG⊥AB D
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1
平行四边形 有一个角 是直角
矩形
正方形
平行四边形 有一组邻 边相等
菱形
正方形
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2
一、正方形的定义
正方形：有一组邻边相等的矩形是正方形。 ①、正方形既是邻边相等的特殊矩形，又是有一个 角是直角的特殊菱形。 ②、正方形既具有矩形的性质有具有菱形的性质。
E M G D A N B C
22
F
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正方形的性质
边：平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：相等、互相垂直平分、每条对角线平分 一组对角 正方形的判定

C (A)
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四边形
中心对称图形 （对角线的交点）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形， 又是轴对称图形（四条）
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
1
2
3
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
例 题 欣 赏
从 条 件 分 析
从 结 论 分 析
证题思路分析
情境一： 观察体会
平行四边形
矩形
矩形
矩形
菱形
ห้องสมุดไป่ตู้
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
你能给正方形下一个定义吗？ 矩形
平行四边形
正方形
菱形
情景二
A
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
D
A
D
B
C
B
C
问题:
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
__________________ 等腰直角三角形
1．正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的

性质1
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
性质2
正方形的对角线相等且互相垂直平分。
对称性：
正方形是中心对称图形 它也是轴对称图形
性质：
(C) A
D(B) O
(1)它具有平行四边形的一切性质， (D)B
C(A)
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分。
(2)具有矩形的一切性质： 四个角都是直角，对角线相等。
且每一条对角线平分一组对角。
四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
四边形 平行四边形
矩形
正 方 菱形
形
菱形的性质
具有平行四边形一切性质 边: 四条边相等
对称性：轴对称 中心对称 互相垂直
对角线: 分别平分两组对角

┓90°
问题: 从这个图形中你能知道什么？ 你是怎样想到的？
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的 菱形，是一个内角为直角的菱形，也是正方形.
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
A
A′ B
1.正方形的一边和对角线的夹角为__4_5_°_______. 2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是__正__方__形___.
3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 __1_2__c_m_________.
4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了___2_a__+_1___.
B
∴∠EDF=90 °，即∠1+∠3=90 °，
F C
又∵∠2+∠3=90 °，
∴∠1=∠2.

正方形的判定
一组邻边 相等
有一个内角 是直角
一组邻边相等且 有一个角是直角
有一个内 角是直角
一组邻边 相等
【例题】
例3 已知:正方形ABCD中,点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上,且 AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?并证明你的结论.
3
2
1
证明：四边形EFGH是正方形， 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=AD=DC=BC． 又因为AE=BF=CG=DH， 所以AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF， 即BE=AH=DG=CF， 所以△AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．所以EH=HG=FG=EF， 因为∠1=∠3．又∠3+∠2=90°所以∠1+∠2=90°． 所以四边形EFGH是正方形．
【跟踪训练】
1.ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E， 经测EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
【解析】 连接AC.
A
D
因为四边形ABCD是正方形
所以∠B=90°，AB=BC
因为EC=50m，EB=30m
E
所以 BC= CE2-BE2 =40m
所以 S正方形ABCD=(40 m)2=1600(m2)B
对角线相等
平行四 边形
√
√
矩形
√
√ √
√
菱形
正方形
√√ √√
√
√√ √√
√
正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱 形的性质。
【例题】
A
例1 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对

2.7 正方形
2.7 正方形
2.7 正方形
解：(1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都 是正方形, ∴ A B = AD, ∠ A = ∠ AGF = ∠ AEF = 9 0 °, AG=AE=GF=EF, ∴DG=BE, ∠DGF=∠BEF=90°.
DG=BE, 在△DGF和△BEF中, ∵ ∠DGF=∠BEF,
.
∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABE=45°,
∴∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.
2.7 正方形
例题4 已知：如图2 - 7 - 12所示, 在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, 垂 足为D, AN是△ABC的 外角∠CAM的平分线, CE⊥AN, 垂 足为E. (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时, 四边形 ADCE是 正方形？并给出证明.
2.7 正方形
2.7 正方形
2.7 正方形
解： (1)证明：如图所示, ∵AB=AC, ∴∠3=∠4. ∵AE平分∠CAM, ∴∠1=∠2. 又∵∠1+∠2=∠3+∠4, ∴2∠1=2∠3, ∴∠1=∠3,∴AE∥BC. 又∵AD⊥BC, ∴∠EAD=∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN, ∴∠AEC=90°, ∴四边形ADCE是矩形.
2.7 正方形
2.7 正方形
证明： ∵四边形AEFC是菱形, ∴FC=AC, AC∥EF. 又∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD, AC=BD, OB= BD, ∴BD=FC, BD⊥EF, ∴OB= FC,∠EBO=90°. 又∵EH⊥AC, ∴∠BOH=∠EHO=∠EBO=90°, ∴四边形OBEH是矩形, ∴OB=EH, ∴EH= FC.
2.7 正方形

∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义）
又∵正方形是平行四边形.
A
D
∴正方形是矩形, （矩形的定义）
正方形是菱形.(菱形的定义)
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
B
C
AB= BC=CD=AD.
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于 点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
4.已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC
的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. A
∵DF⊥AC , DE⊥BC ,
EM
B
F
C
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
四 正方形判定的定理
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B ,
D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD.
N
B
C
A
D
请同学们动手完成以 上证明？
A
D
O
B
C
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用 矩形和菱形的定理来完成该题.
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊 的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.

2.7 正方形
锦囊妙计
找中间量解题 在几何证明中, 当两个量之间的关系不易直 接证明时, 可 考虑作辅助线构造第三个量, 给相关 的两个量“牵线搭桥”, 从 而解决问题.
2.7 正方形
题型三 正方形的判定
例题3 [上海中考] 已知：如图2-7-11, 在四 边形 A B C D中 , A D∥ B C , AD=CD, E是对角线BD上 一点, 且EA=EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)如果BE=BC, 且∠CBE∶∠BCE=2∶3， 求 证：四边形ABCD是正方形.
2.7 正方形
2.7 正方形
2.7 正方形
解： (1)证明：如图所示, ∵AB=AC, ∴∠3=∠4. ∵AE平分∠CAM, ∴∠1=∠2. 又∵∠1+∠2=∠3+∠4, ∴2∠1=2∠3, ∴∠1=∠3,∴AE∥BC. 又∵AD⊥BC, ∴∠EAD=∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN, ∴∠AEC=90°, ∴四边形ADCE是矩形.
GF=EF,Leabharlann ∴△DGF≌△BEF(SAS), ∴DF=BF.
2.7 正方形
(2)BE=DG. 证明如下： 根据题意, 得AD=AB, AG=AE, ∠DAB=∠EAG= 90°, ∴∠DAG=∠BAE.
AB=AD, 在△ABE和△ADG中, ∵ ∠BAE=∠DAG,
AE=AG, ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴BE=DG.
2.7 正方形
题型四 正方形对称性的应用
例题5 [临沂中考]正方形 ABCD的边长为a, E, F分别是对 角线BD上 的两点, 过点E, F分别 作AD, AB的平行线, 如图2-7-13 所示, 则图中阴 影部分的面积之 和等于_____ ．