《平面向量的数量积》课件1-优质公开课-人教B版必修4精品
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人教版B版高中数学必修4：平面向量的数量积_课件3(1)
解析：(1)设 a 与 b 的夹角为 θ， 则由(a＋2b)·(a－b)＝－6， 得|a|2＋|a|·|b|cos θ－2|b|2＝－6， 即 1＋1×2cos θ－2×4＝－6， 所以 cos θ＝12，故 θ＝π3. (2)设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＞0， 即 1×2－2λ>0，所以 λ<1， 又当 a 与 b 共线时，1×λ－(－2)×2＝0，解得 λ＝－4， 所以实数 λ 的取值范围为{λ|λ<1 且 λ≠－4}．
【拓展演练 1】 已知点 O 是△ABC 所在平面上的一点，CA＝CB， 设 a＝O→A，b＝O→B，c＝O→C，若|a|＝4，|b|＝2，求 c·(a－b)．
解析：因为|C→A|＝|C→B|，所以C→A2＝C→B2， 所以(O→A－O→C)2＝(O→B－O→C)2， 即O→A2－2O→A·O→C＋O→C2＝O→B2＋O→C2－2O→B·O→C， 16－2a·c＝4－2b·c，所以 c·(a－b)＝6.
3.在四边形 ABCD 中，A→C＝(1,2)，B→D＝(－4,2)，该四边
ห้องสมุดไป่ตู้
形的面积为( C )
A. 5
B．2 5
C．5
D．10
解析：因为A→C·B→D＝－4＋4＝0，所以A→C⊥B→D， 所以四边形 ABCD 的面积为 S＝12|A→C|·|B→D|＝12× 5×2 5＝5.选 C.
4.已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，
15 ＝3 52
2
2，选
A.
2.已知△ABC 为等边三角形，AB＝2，设点 P，Q 满足A→P
＝λA→B，A→Q＝(1－λ)A→C，λ∈R，若B→Q·C→P＝－32，则 λ＝( A )
高中数学【人教B版】向量的数量积上课课件PPT1
平面向量的数量积
目标与要求 准备与导入 探究与深化 练习与评价 回顾与小结 作业与拓展 资源与链接
教学目标
学习要求
目标与要求 准备与导入 探究与深化 练习与评价 回顾与小结 作业与拓展 资源与链接
〔教学目标〕 知识与技能 1. 。 2. 。 过程与方法 1. 。 2. 。 态度与价值观 。
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(1)a 0 0 (2)0a 0 (3) a b a b
(4)若a
0, 则
对
于
任
一
非
零b有a
b
0
(5)若a
b
0,
则a,
b至少有一个为0
( 6) 对a 于b 任c 意a是两个单位向量，则a 2
b2
(8)若a
c
b
c,
c
0,
则a
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高中数学【人教B 版】向量的数量积上课课件P P T 1 【P P T 教研课件】
〔练习与评价二〕
(X-1)
例3.已知a b c 0,且 a 4，b 3，c 5，
求：1 a c；2 a b b c c a
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〔学习要求 〕
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教学目标
学习要求
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〔教学目标〕 知识与技能 1. 。 2. 。 过程与方法 1. 。 2. 。 态度与价值观 。
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(1)a 0 0 (2)0a 0 (3) a b a b
(4)若a
0, 则
对
于
任
一
非
零b有a
b
0
(5)若a
b
0,
则a,
b至少有一个为0
( 6) 对a 于b 任c 意a是两个单位向量，则a 2
b2
(8)若a
c
b
c,
c
0,
则a
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〔练习与评价二〕
(X-1)
例3.已知a b c 0,且 a 4，b 3，c 5，
求：1 a c；2 a b b c c a
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〔学习要求 〕
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)
性质
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
新人教版必修4高中数学2.4.1《平面向量的数量积》课件
(4) cos
a b
a b
研究向量夹角问题
投影的概念
b cos （ a cos ) 叫做向量 b在 a方向上（向量
在 b方向上）的投影. a
B
b
O θ
B1 A
a
数量积的几何意义
向量 a与
向上投影
b的数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方
b cos 的积.
例1.已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60°, 求(a 2b) (a - 3b).
解：（a 2b） （ a 3b） a a a b 6b b
| a | a b 6 | b |
2
2
| a |2 | a || b | cos60° 6 | b |2
数量积的定义
已知两个非零向量 a 与b ，我们把数量 a b cos
叫做 a 与b 的数量积（或内积）. 记作 a b 即a b a b cos ， 其中θ 是 a与b 的夹角. 规定:零向量与任一向量的数量积为0.
思考1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时 候为正，什么时候为负？ 当 0 90 当 90 180
a b 1, k 6.
2 2
2
2
1.向量的数量积定义，向量的投影，向量几何意义
a b a b cos a, b
2.向量数量积的性质
特别地，a a | a |2 或 | a | a a .
3.向量数量积的运算律
（） 1 a b b a； （2） ( a) b (a b) a (b)；
2.已知 a , b , c 是非零向量，下列说法正确的是：______ A、若 a c b c ，则 a b
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
高中数学(人教B版)教材《向量的数量积》完美课件1
向量的数量积满足模的性质，即 $|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}}$。
03
CATALOGUE
向量的数量积的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过向量的数量积，可以计算出 合力的大小和方向，也可以计算
出分力的大小和方向。
速度和加速度
在物理中，速度和加速度都是向量 ，通过向量的数量积可以计算出物 体在某段时间内的位移和速度变化 。
01
分配律是数量积的一个基本性质，可以用来简化计算。
结合几何意义理解
02
通过结合向量的几何意义，可以更直观地理解数量积的计算过
程。
掌握特殊情况的处理方法
03
对于一些特殊情况，如两个向量垂直或平行，需要掌握相应的
处理方法。
易错点解析
理解概念不准确
对于数量积的概念理解不准确，导致在计算中出 现错误。
运算错误
性质
01
02
总结词：向量的数量积 的性质
详细描述
03
04
05
1. 向量的数量积满足交 换律，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
2. 向量的数量积满足分 配律，即$(mathbf{A} + mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
向量与自身的数量积为该向量的模的 平方，即$vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$。
运算性质
向量的数量积满足非负性，即 $vec{a} cdot vec{b} geq 0$， 当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$同
平面向量的数量积公开课ppt课件
积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
《平面向量的数量积》公开课课件
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时， ab = |a||b|。
特例：aa = |a|2或 | a | a a
b O a
1．两个非零向量夹角的概念
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量
aபைடு நூலகம்
和
b
的夹角，范围是：
0
≤
≤
180
特别地: a 0 0 a 0
例3 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例4 3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 ABBC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 ABBC 0 ,则△ABC 是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 ABBC 0
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
AB CD AB CD cos180 4 4 ( 1) 16
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
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规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1 ）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · |b| ．
b c • ( a b ) c • a c
1
1
平面向量数量积运算律
运算律总结如下：
（1）（交换律） a b b a
（ 2)
（3）（分配律）(a b) c a c b c
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 2 2 （2）(a b) a 2a b b | a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ， 求 (a 2b) (b 3b) 例3 已知 | a | 3 ， a与b不共线），当 | b | 4（且 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a, b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos a, b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
AB b, 在向量c上的射影为 A1B1， OB a b，在向量c上的射影为OB1， 所以： c • (a b) c • OB
平面向量数量积运算律
c • c A1B1 而 ca c b ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1
互相垂直？
平面向量数量积运算律
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
求 (a a 3b ) 2b) (
解： (a 2b) (a 3b) 2 2 a 3a b 2b a 6b 2 2 a a b 6b 2 o 2 ∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
cos a, b cos a, b cos a, b
所以（ a b) （ a) b a ( b)
a b | a || b | cos a, b | a | (| b | cos a, b ) | a | b1 如图所示： OA a, 在向量c上的射影是OA1，
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b (a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
即： a b b a
交换律
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b (a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
( a ) b ( a b ) a ( b)
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
（3）有如下常用性质：
①（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）
＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
②ａ２＝｜ａ｜２
b a | b || a | cos b, a
显然 a, b b, a AOB
A
而 ∣∣ a ∣∣=∣∣ b b ∣∣ a
o
B1
B
所以 | b || a | cos b, a | a || b | cos a, b
特别地 a a | a |2 或 | a | a a （4）cos a b
| a || b |
2、判断垂直
3、求向量的模
（ 5） a · b ≤| a | · |b|
4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律 a b | a || b | cos a, b
平面向量数量积运算律
（1 ）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · |b| ．
b c • ( a b ) c • a c
1
1
平面向量数量积运算律
运算律总结如下：
（1）（交换律） a b b a
（ 2)
（3）（分配律）(a b) c a c b c
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 2 2 （2）(a b) a 2a b b | a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ， 求 (a 2b) (b 3b) 例3 已知 | a | 3 ， a与b不共线），当 | b | 4（且 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a, b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos a, b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
AB b, 在向量c上的射影为 A1B1， OB a b，在向量c上的射影为OB1， 所以： c • (a b) c • OB
平面向量数量积运算律
c • c A1B1 而 ca c b ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1
互相垂直？
平面向量数量积运算律
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
求 (a a 3b ) 2b) (
解： (a 2b) (a 3b) 2 2 a 3a b 2b a 6b 2 2 a a b 6b 2 o 2 ∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
cos a, b cos a, b cos a, b
所以（ a b) （ a) b a ( b)
a b | a || b | cos a, b | a | (| b | cos a, b ) | a | b1 如图所示： OA a, 在向量c上的射影是OA1，
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b (a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
即： a b b a
交换律
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b (a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
( a ) b ( a b ) a ( b)
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
（3）有如下常用性质：
①（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）
＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
②ａ２＝｜ａ｜２
b a | b || a | cos b, a
显然 a, b b, a AOB
A
而 ∣∣ a ∣∣=∣∣ b b ∣∣ a
o
B1
B
所以 | b || a | cos b, a | a || b | cos a, b
特别地 a a | a |2 或 | a | a a （4）cos a b
| a || b |
2、判断垂直
3、求向量的模
（ 5） a · b ≤| a | · |b|
4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律 a b | a || b | cos a, b