第5章 系统的稳定性

第5章生态系统及其稳定性第5节生态系统的稳定性【学习目标】1.阐明生态系统的自我调节能力2举例说明抵抗力稳定性和恢复力稳定性3.简述提高生态系统稳定性的措施4.设计并制作生态缸，观察其稳定性【学习重难点】1．阐明生态系统的自我调节能力2.抵抗力稳定性和恢复力稳定性的概念【自主学习与点拨】知识点一、生态系统的自我调节能力生态系统的自我调节能力的基础：负反馈调节在生态系统中普遍存在1．生态系统所具有的或自身结构和功能相对稳定的能力，叫做生态系统的稳定性。

2．负反馈调节在生态系统中普遍存在，它是生态系统的基础。

知识点二、抵抗力稳定性和恢复力稳定性3．生态系统的稳定性表现在两个方面：一方面是生态系统并使的能力，叫做抵抗力稳定性；另一方面是生态系统在的能力，叫做恢复力稳定性。

4．一般来说，生态系统中的组分越，食物网越，其自动调节能力就，抵抗力稳定性就。

知识点三、提高生态系统的稳定性5．提高生态系统的稳定性，一方面要，对生态系统的利用应该，不应超过生态系统的自我调节能力；另一方面，对人类利用强度较大的生态系统，应实施相应的投入，保证生态系统内部的协调。

【思考与交流】〖例1〗下列生态系统中自动调节能力最强的是（）A. 温带阔叶林 B．热带雨林 C．寒带针叶林 D. 温带草原解析：生态系统具有抵抗力稳定性主要是由于其内部具有一定的自动调节能力，生态系统的自动调节能力有大有小。

一般地说，生态系统的成分越单纯，营养结构越简单，自动调节能力就越小。

题中的四个生态系统中生物成分最复杂的是热带雨林，在热带雨林生态系统中，动植物种类繁多，营养结构非常复杂，假如其中的某种植食性动物大量减少，它在食物网中的位置还可以由这个营养级的多种生物代替，整个生态系统的结构和功能仍然能够维持在相对稳定的状态，其自动调节能力最强。

答案:B。

〖例2〗(2000年上海卷)在某个池塘生态系统中，因污染导致水生植物大量死亡后，池塘中首先减少的物质是（）A．CO2 B．O2 C．硝酸盐 D．磷酸盐解析：生态系统发展到一定阶段，都具有一定的自动调节能力。

第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。

若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。

线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。

若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。

而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。

因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。

5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。

一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。

2）特征方程的各项系数的符号都相同。

此即系统稳定的必要条件。

按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。

Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。

Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。

建立表的方法请参阅相关的例题或教材。

运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。

Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。

第5章系统稳定性稳定性: 受扰偏离平衡点, 依自身特性回到平衡点. 对SISO稳定性判别：特征值法、Hurwitz法等；对NL稳定性判别: 李雅普诺夫第一, 二法等.§ 5.1 输入-输出稳定性1. 线性单变量系统的输入-输出稳定(BIBO)及判定定义5.1若线性因果系统对任何有界(bound)输入()10()|()|,[,)u t u t k t t ≤∀∈+∞系统的输出()y t 也有界(bound), 即20|()|,[,)y t k t t ≤∀∈+∞,则称系统是输入-输出稳定的, 简称为BIBO 稳定.稳定性分析(线性,因果,初时松驰,单变量) 设系统在≥0()t τ时刻对()t δτ-的响应为(,)g t τ,则由线性性, 对0(),u t t t ≥, 有()(,)()d tt y t g t u τττ=⎰ (5.1)注：这也是一种描述线性系统的方法.定理5.1 系统(5.1)为BIBO 稳定的 0k ⇔∃>, 使0|(,)|d ,[,)tt g t k t t ττ≤∈+∞⎰, (5.2)2τ1τ1()d u ττ2()d u ττ()u t tO tO11(,)()d g t u τττ22(,)()d g t u τττ系统线性证 充分性设 10(),|()|,[,)u t u t k t t ≤∀∈+∞, 则 0[,)t t ∀∈+∞, 有11|()||(,)||()|d |(,)|d t tt t y t g t u k g t k k τττττ≤≤≤⎰⎰,故 ()y t 有界, 充分性得证.必要性 反证法.若(5.2)不成立, 则对0K ∀>,0t t >总有, 使|(,)|d tt g t K ττ>⎰,取1,(,)0()sgn((,))0,(,)01,(,)0t g t u g t g t g t τττττ-<⎧⎪===⎨⎪>⎩,使()(,)()d |(,)|d t tt t y t g t u g t K τττττ==>⎰⎰,()y t ⇒无界, 证毕.推论 若系统(5.1)为时不变的, 则有0()()()d ty t g t u τττ=-⎰. (5.3)那么, 定常系统(5.3)为BIBO 稳定的0k ⇔∃>, 使|()|d g t t k +∞≤⎰.2. 线性多变量系统的输入-输出稳定及判定 设则11()(,)()d tm m r r t Y t G t U τττ⨯⨯⨯=⎰, 0[,)t t ∈+∞, (5.4)其中1u 2u ru M 1y 2y my M ijg 系统111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)r r m r m m mr g t g t g t g t g t g t G t g t g t g t ττττττττττ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M O M L, ij g 表示：第j 个()j u t 对i 个()i y t 脉冲响应.与SISO 类似，有定理5.2 系统(5.4)为BIBO 稳定的0,k ⇔∃>使(,)G t τ的每一个元素(,)ij g t τ都有≤⎰0(,)d tij tg t k ττ, (,)t ∈-∞+∞,1,2,,;1,2,,i m j r ==L L .略证 对()y t 中的()i y t 满足[]011|()|(,)()(,)()d ti i ir r t y t g t u g t u τττττ=++⎰L11(,)()d (,)()d tti ir r ttg t u g t u ττττττ≤++⎰⎰L ，(1,2,,i m =L ).从而 输入有界 输出有界；反之，类似SISO 反证得.定理5.3 设⨯()m r G s 是线性定常多变量系统传递函数,则系统为BIBO 稳定的k ⇔∃, 使()G t 的每个()ij g t (1,2,,;1,2,,i m j r ==L L )满足|()|d ij g t t k +∞≤⎰ (5.5)或等价地,()G s 的每一个元素()ij g s 的所有极点均具有负实部.证时域结论包含在定理5.2中; 复域结论, 简述如下:将()ij g s 展为()l l k l s βλ- (1l k K ≤≤分母多项式最高次数). 拉氏反变换1l l k t l t e λβ-, 1l k K ≤≤.→ ()ij g t 为有限个1l l k t l te λβ-之和,→ 当且仅当<Re()0l λ时, 式0|()|d ij g t t k +∞≤⎰成立.。