高数二复习题

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。

高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。

7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。

8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。

9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。

10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。

13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。

14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。

四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。

16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。

答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。

高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。

答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。

答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。

答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。

答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。

答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。

解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。

设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。

由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。

显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。

高数二专升本真题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间(-∞,-4)上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减2. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,2)处的切线斜率是（）A. 0B. 3C. 6D. 93. 已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2-1，求f(g(x))的表达式是（）A. 2(x^2-1)-1B. 2x^2-3C. x^2-1D. x^2-2x+14. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 函数y=ln(x)的图像与直线y=2x的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知级数∑(1/n^2)（n从1到∞）是收敛的，那么它的和S是（）A. π^2/6B. eC. 1D. 27. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的值域是（）A. [-1,0]B. [0,1]C. [-1,1]D. [1,e]8. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标是（）A. (0,0)B. (2,8)C. (1,4)D. (4,16)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求f'(x)是（）A. 3x^2-6x-9B. x^2-6x-9C. 3x^2-9x+5D. x^3-9x^2+510. 函数y=e^x的图像是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条双曲线D. 一条指数曲线二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^3+2x^2-5x+7，则f'(x)=________________。

12. 函数y=x^2-4的极小值点是x=______________。

13. 定积分∫(1,e) e^x dx的值是________________。

14. 函数f(x)=x/(x+1)的渐近线是x=______________。

高中数学二试题库及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的图像与x轴有两个交点，则下列说法正确的是（）。

A. \( a > 0 \)且\( b^2 - 4ac > 0 \)B. \( a < 0 \)且\( b^2 - 4ac > 0 \)C. \( a > 0 \)且\( b^2 - 4ac < 0 \)D. \( a < 0 \)且\( b^2 - 4ac < 0 \)2. 已知\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为（）。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)3. 集合\( A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} \)，\( B = \{x | x^2 - 5x + 6 < 0\} \)，则\( A \cap B \)为（）。

A. \( \{2, 3\} \)B. \( \{2\} \)C. \( \{3\} \)D. 空集4. 若\( \log_2 8 = 3 \)，则\( \log_2 32 \)等于（）。

A. 3B. 5C. 6D. 95. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图像关于（）对称。

A. y轴B. x轴C. 原点D. 直线y = x6. 已知\( \tan \alpha = 2 \)，求\( \sin \alpha \)的值（）。

A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{2}{\sqrt{3}} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)7. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)的极大值点是（）。

高等数学二试卷及答案1、高等数学二试卷及答案一、单项选择题〔共16题，共30分〕1.设a为常数，则级数A.发散B.条件收敛C.确定收敛D.收敛性与a 的取值有关2.以下级数中确定收敛的级数是A.B.C.D.3.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x,y)在点处连续；②f(x,y)在点处的两个偏导数连续；③f(x,y)在点处可微；④f(x,y)在点处的两个偏导数存在.A.231B.321C.341D.314n4.在空间直角坐标系中，方程组z²=x²+y²,y=1代表的图形为A.抛物线B.双曲线C.圆D.直线5.二元函数z=f(x,y)在点可微是其在该点偏导数存在的A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条2、件6.方程2z=x²+y²表示的二次曲面是A.抛物面B.柱面C.圆锥面D.椭球面7.二重积分定义式中的，λ代表的是A.小区间的长度B.小区域的面积 C.小区域的半径nD.以上结果都不对8.设L为：x=1,0≤y≤3/2的弧段，则 A.9B.6C.3D.3/29.设，其中区域D由x²+y²=a²所围成，则I=A.B.C.D.10.若，则〔〕A.B.C.D.11.在空间直角坐标系中，方程组代表的图形为A.直线nB.抛物线C.圆D.圆柱面12.设A,B是n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则A.r(A,AB)=r(A)B.r(A,BA)=r(A)C.r(A,B)3、=max{r(A),r(B)}D.13.以下矩阵中阵，与矩阵相像的是A.B.C.D.14.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导。

且,则〔〕A.B.C.D.n15.设函数f〔x〕=，g〔x〕=。

若f〔x〕+g〔x〕在r上连续，则〔〕A.a=3,b=1B.a=3,b=2C.a=-3,b=1D.a=-3,b=216.以下函数中在x=0处不行导的是A.B.C.D.二、填空题〔共6题，共20分〕17.二元函数z=sin(2x+3y)，则18.曲线x=cos³t，y=sin³t，在t=π/4对应处的曲率。

专升本高数二试题一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2-12x+5的极值点的横坐标为（）。

A. 1B. -1C. 2D. 32. 以下级数中，收敛的级数是（）。

A. 1/n^2B. e^(-n)C. sin(n)D. ln(n)3. 微分方程dy/dx = x^2 - y，初始条件为y(0) = 1，其解为（）。

A. y = x^3 - x^2 + 1B. y = x^3 - x + 1C. y = x^2 - x + 1D. y = x^2 - x^3 + 14. 以下曲线图形中，表示函数f(x) = |x|的是（）。

A. [图1]B. [图2]C. [图3]D. [图4]5. 积分∫(0到π) sin(x) dx的值为（）。

A. 0B. πC. 2D. 无法确定二、填空题6. 若lim(x→0) [f(x)g(x)] = 3，且lim(x→0) g(x) = 2，则lim(x→0) f(x) = _______。

7. 函数y = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的拐点为 _______。

8. 微分方程d^2y/dx^2 + p(x)dy/dx + q(x)y = 0是二阶线性微分方程，其中p(x) = x^2 - 2x，q(x) = 2x - 3，则其通解为 _______。

9. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点x=1处的切线方程为 _______。

10. 积分∫(0到2) x^2 * e^x dx的第一类换元积分法的换元变量为_______。

三、解答题11. 求函数f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2x在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

12. 求由曲线y = x^2，直线x = -1，x = 2和x轴所围成的平面图形的面积。

13. 求微分方程dy/dx - 2y = 4x的通解，并画出其对应的方向场。

14. 求由曲线y = 2^x和y = x^2所围成的区域的面积。

专升本高数二复习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=2x^3-3x^2+5在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 7C. -1D. 52. 曲线y=x^2+3x-2在x=-1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 33. 函数y=sin(x)的不定积分是（）。

A. cos(x)B. -cos(x)C. sin(x)D. x4. 已知∫f(x)dx=2x^2+C，f(x)=（）。

A. 4xB. 2xC. 4D. 25. 函数y=e^x的n阶导数是（）。

A. e^xB. ne^xC. n!e^xD. n^ne^x6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. ∞7. 函数y=ln(x)的定义域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)8. 曲线y=x^3-2x^2+x在x=1处的极值是（）。

A. 极小值B. 极大值C. 无极值D. 不确定9. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是（）。

A. -1B. 0C. 1D. 310. 微分dy=3x^2dx表示的函数f(x)是（）。

A. f(x)=x^3+CB. f(x)=x^3-CC. f(x)=3x^3+CD. f(x)=3x^3-C二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^4-2x^3+x^2-3的二阶导数是 _ 。

2. 函数y=x^2-4x+7在x=2处的值是 _ 。

3. 曲线y=sin(x)+cos(x)的拐点是 _ 。

4. 函数y=ln(x)+e^x的不定积分是 _ 。

5. 函数y=x^3+2x^2-5x+7的导数是 _ 。

6. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 _ 。

7. 函数y=e^x的反函数是 _ 。

8. 函数y=x^2+1的值域是 _ 。

9. 函数y=x^3-6x^2+11x-6的极小值点是 _ 。

10. 函数y=2x^2-5x+3的导数是 _ 。

高等数学II试题6套高等数学II试题一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设由方程确定，则。

2．函数在点沿方向的方向导数最大。

3．为圆周，计算对弧长的曲线积分= 。

4．已知曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标为或。

5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为，则的傅里叶级数在收敛于。

二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设连续，交换二次积分的积分顺序。

2．计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。

3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分化为球坐标系下的三次积分。

4．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求。

5．求微分方程的通解。

三、(10分)计算曲面积分，其中∑是球面的上侧。

四、(10分)计算三重积分，其中由与围成的区域。

五、(10分)求在下的极值。

六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。

七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。

高等数学（下）模拟试卷五一．填空题（每空3分，共21分）．已知函数，则。

．已知，则。

．设L为上点到的上半弧段，则。

．交换积分顺序。

.级数是绝对收敛还是条件收敛？。

．微分方程的通解为。

二．选择题（每空3分，共15分）．函数在点的全微分存在是在该点连续的（）条件。

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要．平面与的夹角为（）。

A． B． C． D．．幂级数的收敛域为（）。

A． B． C． D．．设是微分方程的两特解且常数，则下列（）是其通解（为任意常数）。

A． B．C． D．．在直角坐标系下化为三次积分为（），其中为，所围的闭区域。

A． B． C．D．三．计算下列各题（共分，每题分）1、已知，求。

2、求过点且平行直线的直线方程。

3、利用极坐标计算，其中D为由、及所围的在第一象限的区域。

四．求解下列各题（共分，第题分，第题分）、利用格林公式计算曲线积分，其中L为圆域：的边界曲线，取逆时针方向。

、判别下列级数的敛散性：五、求解下列各题（共分，第、题各分，第题分）、求函数的极值。

高等数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于（）。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3x+1D. x^2+3x+1答案：A2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx的值是（）。

A. 3/2B. 2C. 1D. 1/2答案：A3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值是（）。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C4. 若矩阵A=| 1 2 |，矩阵B=| 3 4 |，则AB的行列式值是（）。

| 5 6 | | 7 8 |A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值是_________。

答案：22. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)的值是_________。

答案：13. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f''(x)的值是_________。

答案：6x-64. 设矩阵A=| 1 2 |，求矩阵A的逆矩阵A^-1是_________。

| 2 3 |答案：| -3/2 1/2 || 1/2 -1/3 |三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，代入x=1得到f'(1)=8，然后求f(1)=6，所以切线方程为y-6=8(x-1)，即8x-y-2=0。

2. 计算定积分∫(0到π) sinx dx。

答案：∫(0到π) sinx dx = [-cosx](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。

3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=3an-2，求数列的前5项。

答案：a1=1，a2=3a1-2=1，a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，所以前5项为1, 1, 1, 1, 1。

1. 求微分方程y x dxdy23=的通解. 2. 求微分方程()()0x 22=−++dy y x y dx xy 满足初始条件1,0==y x 的特解. 3. 求微分方程x e y x sin 3+=''的通解. 4. 求微分方程056=+'−''y y y 的通解. 5. 求微分方程096=+'+''y y y 的通解. 第八章1. 已知()4,2,3−=a()2,1,1−=b ，求b a •，b a ⨯.2. 求过点()111，，且与平面013z -y x 2=++平行的平面方程.第九章1. 设xy x z sin 2=，求yx z x z dz y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.2. 设，求yx ux u du y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.3. 求函数()568,33+−+=xy y x y x f 的极值.4. 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值.5. 求()1ln 12222−+++=y x yx z 的定义域.6. 求()22,yx xy y x f +=，求()1,1−f .7. ()()220,1,2lim yx xyy x +−→计算二重积分：1. ()⎰⎰+=Dd y x I δ2,其中D 区域是由2,2==x x y 及x 轴围城的区域.2. ⎰⎰=Ddxdy y x I 22,其中D 区域是由双曲线1=xy ，直线2=x 和x y =围城的区域.3. ()⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 是圆环9422≤+≤y x .4. 三重积分计算:dxdydz z G⎰⎰⎰cos xsiny ，其中(){}20,20,10,,ππ≤≤≤≤≤≤=z y x z y x G5. 三重积分计算：()dxdydz z y x G ⎰⎰⎰++其中(){}20,10,11,,≤≤≤≤≤≤−=z y x z y x G .第11章1. ⎰L xyds ，其中L 为x y 2=从()00，到()21，的直线段.2. ⎰L ds y ，其中L 为抛物线2x y =从()00，到()11，的一段弧.3. ()⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周222a y x =+.4. 计算曲线积分()()dy x y dx L −++⎰y x ,其中L 为 （1）抛物线x y =2从()11，到()24，的一段弧. （2）从()11，到()24，的直线段.5. 验证曲线积分与路径无关，并计算其值：()()()()dy y x x −++⎰d y x 3210，，第12章1. 判断级数的敛散性： （1）∑∞=121n n（2）∑∞=++1)2(1n n n n（3）∑∞=1!2n nn（4）∑∞=+−1232n1n n n2. 判断交错级数的绝对收敛还是条件收敛： （1）()nn n 1111∑∞=−−（2）()nn n 41111∑∞=−−（3）()∑∞=+−1121n nn（4）()()∑∞=+−121n n n n3. 求级数的和. （1）()n n n3111∑∞=− （2）()nn n2511∑∞=−（3）()∑∞=+111n n n 4.求级数()∑∞=−125n n n nx 的收敛域.5.求级数∑∞=123n nnn x的收敛半径和收敛域.。

考研高数2试题及答案模拟试题：考研高等数学（二）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 设函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x + 5在点（2，12）处的切线斜率为（）A. -3B. 0C. 3D. 64. 设数列{an}是等差数列，且a3 + a7 + a11 = 27，a4 + a8 > 0，a10 < 0，则此等差数列的公差d为（）A. -1B. 1D. 25. 函数f(x) = ln(x^2 - 4x + 3)的值域是（）A. (-∞, 0)B. RC. (0, +∞)D. [0, +∞)6. 设函数F(x) = ∫(0, x) f(t) dt，则F(x)是f(x)的一个（）A. 原函数B. 导数C. 定积分D. 微分7. 曲线y^2 = 4x与直线x = 2y联立后，它们的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 无穷多8. 已知某工厂生产函数为Q = K^(1/3)L^(2/3)，其中K是资本，L是劳动。

若劳动增加20%，资本不变，则产量增加（）A. 少于20%B. 20%C. 多于20%D. 40%9. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=1) = λ。

则λ的值为（）A. 1C. 3D. 410. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的通解是（）A. y = e^(t) + e^(2t)B. y = e^(t) + e^(-t)C. y = e^(t) + e^(3t)D. y = e^(t) + e^(t/2)答案：1. C2. A3. B4. A5. D6. A7. C8. A9. B10. B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 2]上的最大值为M，则M = ____。

《高等数学(二)》题库及答案一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。

2．设22(,)sin ,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3的定义域为 。

4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是 。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。

10．函数z =的定义域为 。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。

15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。

16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。

17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。

18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。

19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。

高数二复习题目一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 4C. 5D. 62. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在点(2, 5)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 函数f(x) = ln(x)的原函数是：A. x^2B. x^3C. e^xD. xln(x) - x + C4. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x^2f(x)dx的值是：A. 0B. 1C. 2D. 45. 微分方程dy/dx + 2y = x^2的解是：A. y = x^2 - x + CB. y = x^2 + x + CC. y = x^2 - 2x + CD. y = x^2 + 2x + C...二、填空题（每空2分，共20分）6. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。

7. 曲线y = x^2 - 4x + 4在x轴上的截距是 _______。

8. 函数y = e^x的n阶导数是 _______。

9. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f''(x) = _______。

10. 微分方程dy/dx - y = e^x的通解是 _______。

...三、简答题（每题10分，共30分）11. 请证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫(a, b) f(x)dx 存在，则f(x)在[a, b]上必有界。

12. 请解释什么是泰勒级数，并给出e^x的泰勒级数展开式。

13. 解释什么是线性微分方程，并给出一个例子。

...四、计算题（每题15分，共30分）14. 计算定积分∫(0, π/2) sin(x)cos(x)dx。

15. 解下列微分方程：dy/dx + y = x^2，且y(0) = 1。

南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站《高等数学二》课程复习题库一、填空题1、2231lim2x x x x x →∞++=- （ ） A. 32- B. 23- C. 23 D. 322、设0sin 5lim 3x xx→= （ ）A ． 0 B. 53 C. 35D. ∞3、极限0tan lim x xx→等于 （ ）A.0B. 1C.不存在D.∞ 4、()xx x 21021lim+→ = ( )A.0B.∞C.e D.2e5、0sin lim(1)x xx→-= （ ） A.1 B. ∞ C. e D.06、=∞→xx x 1sinlim ( ) A ．∞ B ．不存在 C ．1 D ．07、=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．218、若432lim23=-+-→x kx x x ，则k = ( )．A ．3B ．-3C ．1D ．-19、设)(x f 在0x 处可导,则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()(lim 000( )A.)(0x f '-B.)(0x f -'C.)(0x f 'D.)(20x f '10、若3)(0-='x f ,则=--+→hh x f h x f h )3()(lim 000( )A.3-B.6-C.9-D.12-11、设()ln 1y x =+,则='y ( )A.11x + B.1x x + C.211x + D.11x -12、设函数sin cos y x x =-则当6x π=时，y '=（ ）A.2B.12 C.122+D.132- 13、若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -214、设x x f 1cos )(=,则=⎪⎭⎫⎝⎛'π2f ( )A.42πB.42π-C.2π D.2π-15、设x x y ln 2=,则=''y ( )A.x ln 2B.1ln 2+xC.2ln 2+xD.3ln 2+x16、若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 17. 设x x f cos ln )(=，则)(x f ''=（ ）．A. x 2secB. x cotC. x 2sec -D. -x tan 18、已知x x x y ln sin =则=dx dy（ ） A.xxx x sin ln cos +B.xxx x x x sin ln cos ln sin ++ C.x x x x ln cos ln sin +D.x x x x x x sin ln cos ln sin ++19、已知11-+=x x y ，则dy =（ ） A.22(1)xdx x -B.2(1)xdx x -C.22(1)dx x --D.211dx x -20、设x xe y sin =,则=dy ( )A.sin (1cos )xe x x dx + B.sin (1cos )xe x x dx -C.sin (cos )xex x dx -D.sin (1cos )xex dx -+21、设函数2sin 1y x =+,则=dy ( )A.2sin xdxB. 2cos xdxC.2sin cos x xdxD. 2sin cos x xdx -22、方程x y xe =所确定的曲线)(x y y =在)0,0(点处的切线斜率为( )A.1-B.1C.21D.21-23、⎰=______sin 2xdx xA.sin x x x c -+211244；B.cos x x c -+211248； C.cos sin x x x c -+； D.cos x x c ++211248．24、若22()x f x dx x e c =+⎰,则()f x =( ).A. 22x xeB. 222x x eC. 2x xeD. 22(1)x xe x + 25、2x xe dx -=⎰( ).A. x e c -+B.212x e c -+C.212x e c --+ D. 2x e c --+26、2x e dx ⎰=( )A. 2x e c +B. 212x e c +C. 2x eD. 212x e27、设2()f x dx x c =+⎰，则()f x =（ ）A. 2xB. 2xC. 2x c +D. 2x c + 28、()=+⎰dx x 1cos （ ）A.c x x ++sinB.c x x ++-sinC.c x x ++cosD.c x x ++-cos 29、=⎰-dx x 115 （ ）A.2-B.1-C.0D.130、21()()d 0x x x f x f x x e x -≥⎧==⎨<⎩⎰，若　则，（ ）113333e e e e---+-+　A. B ．　C ． D ．31、若⎰+1d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．2132、若20sin cos x xdx π=⎰ ( )A. 0B. 2C. 12D. 1 33、10x e dx -=⎰ （ ）A. 1e -B. 11e --C. 1e --D. 11e -- 34、()1213xx dx --=⎰（ ）A . 0 B. 1 C . 12 D . 2335、设23z x y x =+-，则zx∂=∂（ ） A. 21x + B. 21xy + C. 21x + D. 2xy36.设e sin xz x y =，则22zx∂∂=（ ）A.e (2)sin x x y +B. e (1)sin x x y +C. e sin x x yD. e sin x y37.设3233z x y x y =-，则2zx y∂∂∂= （ ）A. 22318x xy -B. 366xy y -C. 218x y -D. 3229x x y -38.设函数()2sin z xy =，则22zx∂=∂（ ）42.cos()A y xy 42.cos()B y xy -42.sin()C y xy 42.sin()D y xy -39.设xyz e =，则2zx y∂=∂∂（ ） ().1xy A xy e + ().1xy B x y e + ().1xy C y x e + .xy D xye40、设函数23z x y =，则22zy∂∂=（ ）A.6yB.3xyC.23x yD.26x y41、设()sin z x y =+，则2zx y∂∂∂=（ ）A. ()cos x y +B. -()cos x y +C. ()sin x y +D. -()sin x y + 42、设二元函数23cos 1z x y =+，则=∂∂yz（ ） A.y x sin 2 B.y x sin 2- C.y x sin 32 D.y x sin 32- 43、曲线e x y x =-在点（ ）处的切线斜率等于0 A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) 44、．下列等式中正确的是（ ）．A. 3323e d d(e )x x x x = B. 211d d()x x x-=C. 1ln d d()x xx = D. x =45、下列定积分中，其值为零的是（ ）A ．⎰-22sin xdx x B ．⎰2cos xdx xC ．⎰-+22)(dx x e x D ．⎰-+22)sin (dx x x46、当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小量的是( ).A 22x x + .B 2sin x .C sin x x + .D 2sin x x + 47、下列极限中正确的是( ).A sin lim1x x x →∞= .B 01lim sin 1x x x →= .C 0sin 2lim 2x xx→= .D 10lim 2x x →=∞48、若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5 P （AUB ）＝0.8,则P （B ）等于（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.149、已知事件A 与B 为互斥事件，则P （AB ）=（ ）A. P （A ）+ P （B ）B. P （A ）—P （B ） C .P （A ）+ P （B ）—P （A ）P （B ） D. P （A ）P （B ） 50、若随机事件A 与B 相互独立，且P （A ）＝0.5 P （B ）＝0.4,则P （AB ）等于（ ）A ． 0.3 B. 0.4 C. 0.2 D .0.1二、填空题1、0sin 2lim x xx→=2、1lim 13xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭3、x x x x x --+∞→33313lim =4、xx x x x --+∞→44513lim =5、341331lim x x x x x →-+--= 6、22132lim 1x x x x →-+-=7、xxx 33sinlim 0→= 8、 若22sin sin lim 0=→xmxx ，则=m9、极限221lim 1x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ .10、121sin x x dx -=⎰ .11、='⎰x x d )(sin ． 12、=⎰dx xxe 1ln 13、()=+⎰-dx x x 22cos ππ14、=⎰dx x115、0912(21)x dx -+=⎰ .16、⎰=+_________12dx e x 。

高等数学（第二学期）复习参考题一、填空1．将xOz 坐标面上的抛物线25z x =绕x 轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程为_________2.将xOz 坐标，面上的抛物线22z y =绕z 轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程_________3．用对称式及参数形式表示曲线 4.曲线 参数方程为_________曲线22(2)0z x y ax ⎧⎪=⎨+-=⎪⎩_________5．()()xyxy yx 42lim 0,0,+-→= _________6.11lim (1)xx y xy→∞→+= 7．=→x xy y x )sin(lim)0,2(),(7．设y x y x f 2),(=，则 =)2,1(df _________8．函数 z=xye 在点（2，1）处的全微分为dz= 9．设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz10．设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad 11．设332),,(z xyz y x z y x f ++=，则 =)1,1,1(grad f12．函数2101013yz xe P P Q =在点（，）处沿从点（，）到点（，）的方向导数为 13．⎰⎰-101xydy edx = _________14．交换积分顺序 ⎰⎰=12),(xxdy y x f dx ___________ 15．改换下列二次积分的积分次序()dx y x f dy yy⎰⎰1, =16．设积分区域D 是以原点为圆心，半径为R 的圆域.则102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩221(1)236x y x z ⎧+=⎨+=⎩()2220________.1limcos x y R De x y R π+→+=⎰⎰17．L: (1,0) 到（0，1）的线段，⎰+Lds y x )( = _________18．L 是从 (1,1) 到（2，3）的线段，⎰-++Ldy y x dx y x )()( =___________ 19．L 为抛物线2x y =从)1,1(到)4,2(的一段，则⎰Lds y =20．()⎰=-+-4,3)2,1(2232__________)36()6(dy xy y x dx y xy21. 当常数k 2________,L kxydx x dy =+⎰时曲线积分与路径无关.22．已知正项级数∑∞=11sin n n ，判断它的敛散性，则该级数23．将函数(1)ln(1)y x x =-+的幂级数展开式为 24．2()x f x e dx -=⎰的幂级数展开式为将函数2143y x x =++展为(1)x -的幂级数是25．级数1n ∞=————.26．已知正项级数∑∞=+1)12(n nn n ，判断它的敛散性，则该级数 27.将函数2()31()f x x x ππ=+-≤<展成傅里叶级数为 28.将函数cos ,(0/2)()0,(/2)x x f x x πππ≤<⎧=⎨≤≤⎩展成正弦级数为和余弦级数为二、选择题1．已知两点(4,0,5)C 和(7,1,3)D 则与CD 方向相同的单位向量e =( ) A2)-; B (3,1,2)-; C (3,1,2)--;D 3,1,2)-- . 2．设向量(3,4,6)a =--,(2,3,1)b =--,则a b ⨯=A . (14,9,1); B. (14,9,1)-; C. (14,9,1)-; D. 以上都不对.3．设有命题(1) 函数),(y x f 在点),(00y x 处可微，则),(y x f 在),(00y x 处连续；(2) 函数),(y x f 在点),(00y x 处存在关于x 与y 的偏导数，则),(y x f 在),(00y x 处连续； (3) 函数),(y x f 在点),(00y x 处存在关于x 与y 的偏导数，则),(y x f 在),(00y x 处可微； 则以上命题正确的是 ( )A (1)B (2)C (3)D 以上都不对.4．设函数),(y x f 在点),(00y x 处偏导数存在，则),(y x f 在),(00y x 处（ ） A 有极限 B 连续 C 可微 D 以上都不成立 5．由方程sin 02yy x --=所确定的隐函数)(x f y =的导数为 ( ) A21cos y -; B y cos 22- ; C 22sin y - ; D 12sin y-6. 设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( ) A ),(0y x f 在0x x =处的导数等于零. B ),(0y x f 在0x x =处的导数大于零. C ),(0y x f 在0x x =处的导数小于零. D ),(0y x f 在0x x =处的导数不存在. 7．设()(),,0z z x y F x az y bz =--=是由方程 所确定的隐函数.其中(),,,F u v u v a b 是变量的可微函数，为常数.则必有( ).A.1z z ab x y ∂∂-=∂∂ B. 1z z b a x y ∂∂-=∂∂ C. 1z z a b x y ∂∂+=∂∂ D. 1z zb a x y∂∂+=∂∂ 8．函数2yz xe =在点(1,0)处沿从点(1,0)到点(2,1)-的方向导数为 ( ) A22 B 22- C 0 D 1 9．设),(y x f 连续，且,d d ),(),(y x y x f xy y x f D⎰⎰+= 其中D 是由1,,02===x x y y 所围区域，则),(y x f 等于 ( )A xy ;B xy 2;C 81+xy ; D 1+xy . 10． 设,d )cos(,d )cos(,d cos 2223222221σσσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=DDDy x I y x I y x I 其中]1|),{(22≤+=y x y x D ，则 ( )A 123I I I >>B 321I I I >>C 312I I I >>D 213I I I >> 11. 设 ,d )sin(,d )sin(,d sin 2223222221σσσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=DDDy x I y x I y x I 其中]1|),{(22≤+=y x y x D ，则 ( )A 123I I I >>B 321I I I >>C 312I I I >>D 213I I I >>12. 累次积分r r r r f d )sin ,cos (d cos 020⎰⎰θπθθθ可以写成 ( )A x y x f y y y d ),(d 210⎰⎰- Bx y x f y y d ),(d 21010⎰⎰- Cy y x f x d ),(d 110⎰⎰ Dy y x f x x x d ),(d 210⎰⎰-13. 设()()()()1,2ttyf x F t dy f x dx F '=⎰⎰为连续函数，则=( )A ．2()2fB ．()2fC ． ()2f -D ． 014．设L 从点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭沿曲线22y x =到点(2,2)的弧段，则曲线积分222L x x dx dy y y -⎰ 的值等于( )A 3;-B 0;C 1;D 2. 15．设L 是椭圆t a x cos =，t b y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+Lxdy ydx 等于 ( )A 0B π2C ab πD 2ab π 16．设∑是上半球面()0,02222>≥=++R z Rz y x ，则关于面积的曲面积分()()222222sin 2x y z y x y z dS ∑⎡⎤++++-⎣⎦⎰⎰为 ( ) A 22sin 2R R π B 22sin 4R R π C 22sin R R π D 22sin 3R R π 17． 下列无穷级数中绝对收敛的是（ ）A ∑∞=+-12)1(n nn n B∑∞=-11)1(n nn C ∑∞=-121)1(n nn D ∑∞=-1)1(n nn18．下列无穷级数中绝对收敛的是 ( ) A∑∞=-⋅-1123)1(n n nn ; B ∑∞=-⋅-111)1(n n n; C∑∞=-⋅-1511)1(n n n; D ∑∞=--121)1(n n 19．设无穷级数∑∞=-131n pn收敛， 则（ ）A p>1B p<3C p>2D p<220. 下列各选项正确的是 ( ) A 若∑∞=12i nu和∑∞=12i nv都收敛，则21)(n i nv u+∑∞=收敛.B 若∑∞=1i n n v u收敛，则∑∞=12i n u 和∑∞=12i n v 都收敛.C 若正项级数∑∞=1i n u 发散，则nu n 1≥. D 若级数∑∞=1i nu收敛，且n n v u ≥，则级数∑∞=1i nv也收敛.三、计算下列各题1. ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222222y x y x y x yx z 在（0，0）的一阶偏导数.2. 设二元函数x y x x y xf z ln )1(-+⎪⎭⎫⎝⎛=的解,求22y z ∂∂.3. 设二元函数z = z ( x , y ) 是 04222=-++z z y x 的解,求yx z ∂∂∂2.4．设ϕψϕψϕsin ,sin cos ,cos cos ===z y x ，求22xz∂∂.5．求12-=tx 1+=t y 3t z =在P(0,2,1)处切线和法平面方程.6. 求曲面632222=++z y x在P(1,1,1)处切平面及法线方程.7. 求曲面 422--=y x z 在点 ），，（411- 处的切平面及法线方程. 8．求曲线22333y x x y y x -=+在点)1,1(0P 处的切线方程和法线方程． 9．计算2Dx dxdy y ⎰⎰，其中Ｄ是由两条抛物线2y x =，1y x=及直线2x =所围成的闭区域．10. 利用二重积分求球体2222R z y x ≤++的体积.11. 计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22 22:y x z +=Ω 与 z = 1 所围区域.12.⎰+Ln ds y x )(22 ，L: 222ay x =+的圆周.13．⎰-+-cx x dy m y e dx my y e )cos ()sin ( c 为 A ( a, 0 ) 至 O( 0 , 0 ) 圆)0(22>=+a ax y x 的上半圆周.14. 验证：22yx ydxxdy +-在右半平面是某个函数的全微分，并求此函数． 15．计算曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.16．计算曲面积分⎰⎰∑+S y x d )(22，其中∑为锥面22y x z +=及平面1=z 所围成区域的整个边界曲面. 17. 计算曲面积分⎰⎰∑y x z d d ，其中∑是球体2222R z y x=++的上半部分的外侧 .18.求曲线积分()()2322,Lxxy dx y xy dy -+-⎰其中L 是四个顶点分别为(0,0) (2,0)(2,2)和（0,2）的正方形区域的正向边界.19.求级数∑∞=+012)3(ln n n n的和.20．级数()()111cos 0nn a a n ∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数的敛散性（包括条件，绝对收敛）.五、应用题1. 在椭圆4422=+y x上求一点，使其到632=+y x 的距离最短，并求此最短距离.2. 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积？3．要造一个容积为V 的形状为长方体的无盖水池，应如何选择水池的长、宽、高，方可使它的表面积最小.4. 求函数3322(,)339f x y xy x y x =-++-的极值.5. 求由曲面2222262z x y z x y =+=--及所围立体的体积. 6. 设函数()[)0,f t +∞在上连续，且满足方程()24t f t eπ=+2224x y t f dxdy +≤⎰⎰求()f t7.计算()221DI x yf x y dxdy ⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰，其中D 是由3,1,1y x y x ===-所围成. 8.计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域的整个边界的外侧.9. 求幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间与和函数.10. 求11n n nx∞-=∑的收敛区间与和函数．11.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径与收敛域 . 12. 求幂级数()1n ∞=∑2n+1nx -1的收敛半径和收敛域。

高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。

2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。

3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。

4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。

5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。

6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。

8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。

9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。

10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。

11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。

13、设lny =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。