【精品课件】3.3.2简单线性规划问题

三、例题 例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
M点是两条直线的交点天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元。
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型 钢板类型
A规格 2 1
5x＋3y 15 y x＋1 x－5y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋ y 1 y －1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
线性约束条件
转化 转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
图 解 法
最优解
四个步骤：
寻找平行线组的 最大（小）纵截距
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 X张 第二种钢板 y张
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所 用钢板张数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
zmax 2 3 3 11
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条 件。 把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为 它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
的直线 l 2
2 1 B • • 注意：直线取最大截距 时，等价于 1 z 2 -1 O 1 取得最大值，则z取 得最小值 l 0 l -1 22 39 2 z min 1 2 5 5 同理，当直线取最小截距时，z有最大值
A
x-4y+3=0
3x+5y-25=0 2
3
4
5
6
7
x
zmax 5 2 2 1
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
4 N（2，3） 3
4
0
x 8 1 y x4 2
1 z y x 3 3
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。 容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3
y
故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o
练习：
1.如图所示，已知 ΔABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B( 1, 2) , C (1, 0), 点 P(x, y) 在 ΔABC 内部及边界运动， 请你探究并讨论以下问题： ① z x y ②
{
打网格线法
15
B(3,9)
C(4,8)
目标函数t = x+y
9
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
x 78
2x+y=15
18
27
作出一组平行直线t = x+y， 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解 ，
x+2y=18 x+3y=27
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
4.若实数x,y满足 x 4 y 3 求z=x-2y的最大值、最小 3 x 5 y 25 值
1 1 y x z 6 2 2 把z看成参数，同样是一组平行
x 1y 分析：目标函数变形为
x=1
线，且平行线与可行域有交点。 5 • 22 最大截距为过C (1, ) C• 4 5 的直线 l1 3 l 最小截距为过A(5,2) 1
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
0.105x＋0.10 y 0.075 7 x 7 y 5 0.07x＋0.14 y 0.06 7 x 14 y 6 0.14x 0.07 y 0.06 14x 7 y 6 x 0 x 0 y 0 y 0
2.解：作出平面区域
y
A o C x
5 x＋ 3 y 15 y x＋ 1 x－ 5 y 3
z＝3x＋5y
B
作出直线3x＋5y ＝z 的 图像，可知直线经过A点时， 求得A（1.5，2.5）， B（－2，－1），则 Z取最大值；直线经过B点 Zmax=17，Zmin=－11。 时，Z取最小值。
z 28 是直线在y轴上
5/7
M
3/7
如图可见，当直线 z＝28x＋21y 经过可 行域上的点M时，截距 最小，即z最小。
o
3/7
5/7
6/7 x
7 x 7 y 5 14x 7 y 6 x 得M点的坐标为： y
所以zmin＝28x＋21y＝16
C
5
2.作出下列不 等式组的所表 示的平面区域
x-4y+3=0
A
B
O
1 5 x=1
x
3x+5y-25=0
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
问题1：x 有无最大（小）值？ 问题2：y 有无最大（小）值？ 问题3：2x+y 有无最大（小）值？
【引例】： 某工厂用A、B两种配 件生产甲、乙两种产 品，每生产一件甲产 品使用4个A配件并耗 时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件并 耗时2h，该厂每天最 多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件， 按每天工作8h计算， 该厂所有可能的日生 产安排是什么？
当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最大值,即可得z的最大值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值. y
x 2y 8 4 4 x 16 3 M（4，2） x 8 4 4 y 12 1 y x4 0 x 0 2 2 z y 0 y x 3 3 Zmax 4 2 2 3 14
目标函数为：z＝28x＋21y
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z， 那么
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
随z变化的一组平行直 6/7 y 线系
4 z 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y x 3 28 4 它表示斜率为 3
的截距，当截距最 小时，z的值最小。
在____处有最大值___， A 6 在____处有最小值___； BC 1 在____处有最大值___， C 1 在____处有最小值___； B -3
y
A (2 , 4)
z xy
B
(1, 2)
0
C (1, 0)
x
2、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件： y x x＋ y 1 y －1 3、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
2
M ( 4 ,2 )
2
4
6
8
2 z z y 2 x 3 y x 3 3
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述二元一次不等式组且为非负整 数时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图）
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N
y
15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y，
10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8