理想变压器电压与匝数关系的理论推导

理想变压器电压与匝数关系的理论推导
刘
燕
（扬州大学附属中学　江苏扬州　２２５００９
）（收稿日期：２０１９－０３－０５
）摘
要：变压器是一种改变交流电压的设备，不仅在生产生活中有广泛的应用，在高考的考纲中也对其原理和
结论的掌握提出了较高的能力要求，实际教学中发现学生对本节的掌握存在较多漏洞，反思教学亦发现教材、教学中的一些误区．本文希望通过课堂教学的反思、教材的研读、教学内容的拓展等方面进一步完善“变压器”一节的课堂教学．
关键词：变压器　原理　理论推导
１　引言
变压器是一种改变交流电压的设备，在实际的生活、生产中均有广泛的应用．近年来，该考点也一直以Ⅱ级要求出现在《江苏省普通高中学业水平测
试（选修科目）说明》［１］的考点４８，Ⅱ级要求的含义
是指较高要求：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用．
实际教学中学生是否能够达到上述要求呢？以２０１６—２０１７学年度扬州市高三物理第一学期期末调研检测试题的第一题为例：某理想变压器（图１）的原副线圈匝数比为１∶２，原线圈接在１．５Ｖ的干电池上，则副线圈两端电压为（ ）
Ａ．３Ｖ Ｂ．１．５Ｖ Ｃ．０．７５Ｖ Ｄ．
０
图１　题图
这道题是单选题的第一题，可见出卷者对本题的难度定位，而测试结果却出人意料：整个大市的得分率仅为２８．３２％．同样的问题再次出现在２０１８年５月，笔者学校自主命题的高三物理阶段性测试（八）单选题２，仅将原线圈的输入改为在匀强磁场中匀速运动的导体棒，同样全年级的得分率仍较低，仅为
３６．５４％．
很明显，学生对于变压器的理解更多的还是局限在结论：原副线圈两端的电压与匝数成正比，而对其实际的工作原理却一知半解．笔者不禁反思，连续两届学生存在这样的问题，说明我们新授课的教学环节是需要调整与改进的．２　回归课本试图寻找突破
比较人教版［２］与教科版［３］
两版教材，笔者发现
两版教材虽引入方式不同，但均以“工作原理（互感现象）—实验探究—结论”为主线进行设计，关于变压器工作原理的理论分析均以一句话带过，“理论和实验都表明……”，如图２所示
．
图２　两版本教材的引入
此后，人教版教材中并未出现其他的补充或说
—
６３—作者简介：刘燕（１９８４－　）
，女，中教一级，主要研究方向为高中物理教学．
明，而教科版教材则在本节的“发展空间”中补充介绍了电压与匝数关系的理论探究，如图３所示．笔者自己的教学、多次教研听课、网上课程的浏览也均是
以这样的理论分析作为电压与匝数成正比的理论依据
．
图３　教科版“发展空间”
这样的论证是否合理呢？文献［
４］，对该问题作了详尽的分析．虽然文章的结论的确是Ｕ２＝ｎ２
ΔΦΔｔ，电压与匝数成正比，但ΔΦ
Δ
ｔ与交流电的频率ｆ无关，即并不简单的是原线圈产生磁场，副线圈因磁通量的变化而产生感应电动势的“互感现象”，因此教材中关于变压器原理的理论推导还是有值得商榷之处的．
那么理想变压器工作时电压与匝数成正比的真正原因究竟是什么呢？３　追根溯源回归真理本质
变压器的原理如图４所示．在闭合的铁芯上，分别饶有两组线圈，一组线圈与电源相接，称为原线圈或初级线圈；另一组与负载相接，称为副线圈或次级线圈．当原线圈中通有交流电时，原线圈中电流产生的磁场导致副线圈的磁通量变化，使副线圈中产生互感电动势，从而在副线圈两端产生交变的电压；当副线圈中有电流时，副线圈中的电流产生的磁场对原线圈的磁通量亦有影响，因而在原线圈中亦会产
生互感电动势［４］
．
图４　变压器原理
３．１　关于理想变压器的完整定义
教科版教材中将理想变压器定义为“忽略漏磁（认为原、副线圈电流产生磁场的磁感线都集中在铁芯内），忽略原副线圈的电阻及变压器本身其他一切能量损耗的理想情况”，那么变压器的损耗主要有哪些呢？第一，假设磁场全部集中在铁芯中，通过线圈每一匝所圈围面积的磁通量都相等，亦即忽略漏磁．第二，认为铁芯的μｒ很大，但铁芯是用一种软磁性材料制成的，这种材料的磁滞回线非常狭窄，基本上与磁化曲线重合．因此，在磁化过程中，铁芯的磁滞损耗非常小，也认为铁芯中的涡电流非常小，即忽略铁芯引起的损耗．在电工学中，铁芯的损耗称为铁损耗．第三，假设铁芯的Ｂ－Ｈ仍成正比关系，
即铁芯的—
７３—
工作状态在远离磁化饱和的区域．第四，线圈的自感系数很大（因为μｒ很大），但电阻很小，因而可以忽略导线的损耗．在电工学中，把线圈导线的损耗称为铜损耗．满足上述各条件的变压器称为理想变压器．
这些内容虽然无需在课堂上为学生一一解释，但是作为教者还是有必要了解的．
３．２　理想变压器电压与匝数关系的理论推导
若原副线圈中电流的标定方向如图４所示，取回路绕行方向与电流方向一致，则变压器的电路方程为
Ｕ～
ＡＢ＝Ｕ～
１＝ｊ
Ｌ１ωＩ～
１＋ｊＭωＩ～
２（１）Ｕ～
ＣＤ＝Ｕ～
２＝Ｉ～
２Ｚ～
２＝－ｊＬ２ωＩ～
２－ｊＭωＩ～
１（２
）其中，Ｚ１和Ｚ２是两个独立的复阻抗，Ｌ１和Ｌ２是两个线圈的自感系数，Ｍ是他们的互感系数．
则原副线圈两端的复电压之比为
Ｕ～
１
Ｕ～２＝－ｊ
Ｌ１ωＩ～
１＋ｊＭωＩ～
２ｊ
Ｌ２ωＩ～２＋ｊＭωＩ～１＝－Ｌ１Ｉ～
１＋ＭＩ～
２Ｌ２Ｉ～２＋ＭＩ～
１（３
）在无漏磁的条件下，Ｍ和Ｌ与线圈的匝数之间存在一定的联系．若原副线圈中的电流产生的磁场对每一匝线圈的磁通分别为Φ１和Φ２，则磁通匝链数
Ψ２１＝Ｎ２Φ１＝ＭＩ１ Ψ１１＝Ｎ１Φ１＝Ｌ１Ｉ１
其中，Ψ２１是Ｌ２的磁场对Ｌ１的磁通匝链数，Ψ１１是Ｌ１的磁场对Ｌ１的磁通匝链数．
相比较得
ＭＬ１＝
Ｎ２
Ｎ１
（４
）同理可得
ＭＬ２＝Ｎ１
Ｎ２
（５
）于是有
Ｌ１Ｌ２＝Ｎ１
Ｎ２
（）
２
代入式（３
）得Ｕ～
１Ｕ～
２
＝－
Ｉ～
１＋
Ｎ２Ｎ１Ｉ～
２Ｎ２Ｎ１
（）
２Ｉ～
２＋Ｎ２Ｎ１
Ｉ～
１
＝－Ｎ１
Ｎ２（６
）即输入电压与输出电压之比等于原副线圈的匝数比，但输入电压与输出电压的相位相反，这就是理想变压器的电压变比公式．３．３　空载时的电压比
当副线圈未接负载时，及空载时为何也会有电压输出呢？副线圈开路时，即Ｚ２→∞，则Ｉ２＝０，式（１）和式（２
）变为Ｕ～
ＡＢ＝Ｕ～
１＝ｊＬ１ωＩ～
１Ｕ～
ＣＤ＝Ｕ～
２＝－ｊ
ＭωＩ～
１此时
Ｕ～１
Ｕ～
２＝－ｊ
Ｌ１ωＩ～
１ｊ
ＭωＩ～１＝－Ｌ１Ｍ＝－Ｎ１Ｎ２
满足理想变压器的电压变比公式．
当然，空载电流实际上是相当小的．４　合理取舍尊重教育规律
关于理想变压器电压与匝数正比关系的理论推导是非常复杂的，笔者认为在高中物理的课堂上没有必要、也没有时间将推导过程详细介绍给学生，在这一点上人教版教材的处理相对是合理的．但在实验结论给出之前，一定要强调变压器的工作原理，以电磁感应为基础，即感应电流产生的条件必须是闭合回路的磁通量发生变化，突出“变化”的思想！这不仅是应试的需要，更是高考物理能力考查的要求．
当然，我们可以通过其他渠道将这些物理规律的本质介绍给学有余力的学生，如校本课程、物理竞赛培训等，真正践行物理学科的“判天地之美，析万物之理”
！参考文献
１　江苏省普通高中学业水平测试（
选修科目）说明．南京：江苏凤凰教育出版社，２０１６～２０１８．７
２　普通高中课程标准实验教科书《
物理选修３－２》．北京：人民教育出版社，２００４．４４～４７
３　普通高中课程标准实验教科书《物理选修３－２》．
北京：教育科学出版社，２００５．４７～５１
４　魏明逊，
赵坚．变压器教学中一个值得澄清的问题．中学物理教学参考，２００８（５）：２９
５　贾起民，
郑永令，陈暨耀．电磁学．北京：高等教育出版社，１９８５．５００～５０５
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