普遍定理综合应用

理论力学常见问题及解答第11单元：动量矩定理及普遍定理综合应用1.直线运动的质点，对一点有动量矩吗？解答：如果该点不在直线上，则运动质点对该点有动量矩。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：直线运动，质点，动量矩2.动量矩一定对定点定义吗？解答：不一定，可对任意点定义动量矩。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：动量矩，定点，任意点3.质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩有何关系？解答：相等。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：质点系，绝对动量矩，相对动量矩，关系4.质点系对定点与对质心动量矩的关系如何？这种关系反映了何种原理？解答：质点系对定点的动量矩（“绝对”动量矩），等于质点系随质心平动时的动量矩（动量对定点的矩，“牵连”动量矩）与质点系相对质心（随质心平动的动系）动量矩（“相对”动量矩）之和，用公式表示：CC C O L v M r L '+⨯= 。

这种关系反映了运动合成（分解）在动量矩定理表达中的应用（类似于动能的表达——柯尼希定理）。

数学中的一些普遍原理我们知道：数学是研究现实世界中数量关系及空间形式的一门学科，现在数学的分支繁多，大体上是研究广泛意义下代数结构和几何结构及其相互联系上的某种量上的表现形式。

举一个简单例子，如概率论与投资和博弈关系联系十分紧密，而概率论的研究方法就是把一个随机事件放在概率空间去研究，概率空间是由样本空间、随机事件及概率度量所构成的。

我们经常要考虑某个随机事件发生可能性大小，在数学上就给予它一个量化，而度量它发生可能性数字表示，实质上就是我们要定义的概率，所以“概率”就是度量某个概率空间中某个随机事件发生可能性大小的指标，在投资与博弈中，我们会经常遇到此类问题，如在常见的轮盘赌博中，我们就经常根据历史数据或当时的情况，考虑某些点数出现可能性大小进行估计。

在投资中，我们要估计投资项目或股票能否有多大回报，这些都要用概率思想去思考，尽管数学分支庞大，但思想是相近的，就如常人讲的“隔行如隔山，但隔行不不隔理”，经典的自然法则，在一定条件下，是永恒不变的法则。

数学为我们提供了一些思考这些法则的思想与方法。

历史上，牛顿发明了万有引力定理。

但要一般地证明：“任意”两个物体之间一定存在引力，就需要用数学的方法才能实现，著名经济学家凯恩斯，在一生中大部分时间都在研究概率论，并一直寻找战胜未来经济波动的概率方法。

投资家巴菲特在其著作时，也用概率的思想来制定投资策略。

下面我们将介绍数学中一些普遍的原理，来帮助我们进行投资和博弈思考。

数学中的一些原理是从自然界和人类的实践中总结出来的，它的一些经典结果是千锤百炼的，当然，也是有条件的，我们大部分人学习的数学都是“线性数学”，从广泛背景看，这些古典原理都是“理想化”模型，因此，从数学上思考投资与博弈时，一定要在掌握基本原理时，抛弃“理想”假设条件，综合运用数学方法“全面”思考面对问题。

数学思考是一条主线，但要求我们抛弃一些传统，教条思想缚束，“灵活”应对现实中问题，就如凯恩斯所说：“关键不在于接受新思想，而在于摆脱传统旧思想”，“宁要模糊的正确，不要精确的错误”，很多人只会用数学计算，而不会用数学进行“思考”。

普遍逼近定理
普遍逼近定理是数学分析中的一个重要结果。

它描述了在某些条件下，通过简单函数的线性组合可以逼近任意连续函数。

具体来说，普遍逼近定理指出，在一定条件下，对于任意连续函数f(x)，存在一个函数序列{phi_n(x)}，使得通过它们的线性组合Σa_n*phi_n(x)可以无限逼近f(x)。

也就是说，对于给定的ε>0，存在足够大的N，使得对于所有n>N，有|f(x) -
Σa_n*phi_n(x)| < ε。

这个定理的条件一般要求函数序列{phi_n(x)}满足一些特定的性质，例如线性无关、正交等。

常见的函数序列包括傅里叶级数、勒贝格多项式等。

普遍逼近定理在数学分析、信号处理、图像处理等领域被广泛应用。

它提供了一种途径，通过使用简单函数的线性组合，可以近似表示复杂的连续函数，从而简化计算和处理的复杂度。

工程力学习题答案第一章 静力学基础知识思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √习题一1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A 点的约束反力方向。

解：（a ）杆AB 在A 、B 、C 三处受力作用。

由于力p 和B R的作用线交于点O 。

如图（a ）所示，根据三力平衡汇交定理， 可以判断支座A 点的约束反力必沿 通过A 、O 两点的连线。

（b ）同上。

由于力p 和B R的作用线交于O 点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A 点的约束反力方向如 下图（b ）所示。

2．不计杆重，画出下列各图中AB解：（a ）取杆AB 为研究对象，杆除受力p外，在B 处受绳索作用的拉力B T ，在A和E 两处还受光滑接触面约束。

约束力A N 和E N的方向分别沿其接触表面的公法线，并指向杆。

其中力E N与杆垂直，力A N通过半圆槽的圆心O 。

AB 杆受力图见下图（a ）。

(b)由于不计杆重，曲杆BC 只在两端受铰销B 和C 对它作用的约束力B N 和C N，故曲杆BC 是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B 、C 两点的连线，且B N =两点受到约束反力A N 和B N，以及力偶m 的作用而平衡。

根据力偶的性质，A N 和B N(d)由于不计杆重，杆AB 在A 、C 两处受绳索作用的拉力A T 和C T ，在B 点受到支座反力B N 。

A T 和C T 相交于O 点，根据三力平衡汇交定理，可以判断B N必沿通过B、O两点的连线。

见图(d).第二章力系的简化与平衡思考题：1. √;2. ×;3. ×;4. ×;5. √;6. ×;7. ×;8. ×;9. √.1． 平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm ，求此力系向O 点简化的结果，并确定其合力位置。

理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法2009-121 求解静⼒平衡问题的基本⽅法（平⾯问题为重点）（1）选取研究对象，进⾏受⼒分析，并画受⼒图。

⼀般针对所求，先对整体进⾏初步的受⼒分析，若所求未知量⼩于或等于独⽴平衡⽅程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程的个数，则必须取分离体进⾏受⼒分析。

可以采取整体＋分离体的解决⽅案，也可采取分离体＋分离体的解决⽅案；另外，若所求的未知量有系统内⼒，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内⼒；画受⼒图注意将各⼒画在原始的作⽤点处，分布⼒原样画出，待列⽅程计算时，再作简化处理。

再有，注意⼆⼒杆的判别，及摩擦⼒⽅向的判定。

（2）列平衡⽅程求解。

⾸先根据受⼒图，判断是何种⼒系的平衡问题。

再针对所求⽤尽可能少的平衡⽅程得出所求。

（3）结果校核——利⽤多余的平衡⽅程校核所得的结果。

对⽤符号表⽰的结果，可采⽤量纲分析的⽅法进⾏校核。

2 求解运动学问题的基本⽅法（以平⾯运动为重点）⾸先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平⾯运动问题。

判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。

⽽刚体平⾯运动理论⽤来分析同⼀平⾯运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。

此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却⽆相对滑动。

另外，注意点的合成运动与刚体平⾯运动的综合问题。

2．1 点的运动学问题——注意在⼀般位置建⽴点的运动⽅程；2．2 点的合成运动问题（1）⾸先是机构中各构件的运动分析；（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。

注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。

同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科⽒加速度；（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度⽮量图或加速度⽮量图。

注意速度合成的平⾏四边形关系；（4）利⽤速度或加速度合成定理进⾏求解。

硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：基础力学考试科目代码：[815]一、考试要求：闭卷、笔试，需携带计算器。

二、考试内容：（1）理论力学静力学：静力学公理和物体的受力分析，平面汇交力系的合成与平衡，平面力对点之矩，平面任意力系的简化、平衡方程、平面物体系的平衡；空间汇交力系、空间力对点及轴的矩、空间力偶、空间任意力系的简化、平衡方程，重心；滑动摩擦、摩擦角和自锁、考虑摩擦的平衡问题。

运动学：点的运动学中的矢量法、直角坐标法、自然法，刚体的平行移动、定轴转动、转动刚体内各点的速度和加速度，以矢量表示的角加速度，以矢积表示点的速度和加速度；相对运动、牵连运动、绝对运动、点的速度合成定理、点的加速度合成定理。

刚体平面运动中求各点速度的基点法、瞬心法，求加速度的基点法，运动学的综合应用。

动力学：质点动力学基本方程及运动微分方程、动量定理、质心运动定理；质点系的动量矩定理、刚体绕定轴的转动微分方程、刚体对轴的转动惯量、质点系相对于质心的动量矩定理、刚体平面运动的微分方程；力的功、质点系的动能、动能定理、功率、功率方程、机械效率、势力场、势能、机械能守恒定律、普遍定理的综合应用；惯性力、质点和质点系的达朗贝尔原理、刚体惯性力系的简化、绕定轴转动刚体的轴承动约束力；虚位移、虚功、虚位移原理；动力学普遍方程；第二类拉格朗日方程。

（2）材料力学1）截面法求内力：包括内力分析方法、内力方程、内力图；2）应力、应变状态分析（重点在平面应力状态、平面应变状态，三向应力状态作一般掌握）：包括解析法、应力（应变）莫尔圆、应力与应变之间的关系（胡克定律）；3）杆件在拉（压）、剪、扭、弯变形时的应力与变形计算以及组合变形时的应力计算：包括基本变形杆件横截面上应力计算及变形计算公式、组合变形杆件横截面上应力分析计算4）杆件在拉（压）、剪、扭、弯以及组合变形时的强度与刚度计算：包括。

一、命题范围《工程力学》课程内容包括：《理论力学》和《材料力学》两门课程的基本内容。

《理论力学》课程的基本内容如下：力对点的矩矢，力对轴的矩，合力矩定理。

主矢，主矩，力的平移，空间力系的简化。

力系的平衡方程及其应用，简单多刚体系统的平衡。

滑动摩擦，考虑摩擦的平衡问题。

速度合成定理及其应用，加速度合成定理及其应用。

平面图形上各点的速度分析，平面图形上各点的加速度分析。

质点系动量定理，质心运动定理。

质点系的动量矩定理，质点系相对质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程。

动能定理，机械能守恒定律，动力学普遍定理的综合应用。

质点系的达朗贝尔原理及其应用，惯性力系的简化，刚体的动约束力分析。

达朗贝尔-拉格朗日原理及其应用，拉格朗日方程及其应用。

单自由度线性系统的自由振动，单自由度线性系统的受迫振动。

《材料力学》课程的基本内容如下：内力（包括：轴力、扭矩、剪力和弯矩）方程，内力图，内力微分关系。

线弹性材料的物性关系，杆件横截面上的拉压正应力，平面弯曲正应力，拉压弯曲组合变形时杆件横截面上的正应力。

圆轴扭转切应力，非圆截面杆扭转切应力，弯曲中心的概念。

平面应力状态的应力坐标变换，应力圆，主应力，主方向，面内最大切应力，三向应力状态特例分析。

广义胡克定律，应变比能，体积改变比能，形状改变比能。

杆件拉压变形以及圆轴扭转变形的计算，用积分法和叠加法计算梁的位移，简单的超静定问题。

细长压杆的临界载荷。

屈服准则，断裂准则，设计准则的应用。

拉压杆的强度设计，连接件的假定计算，梁的弯扭组合变形，梁的强度和刚度设计，轴的强度和刚度设计，压杆的稳定性设计。

卡氏第二定理，用卡氏第二定理解超静定问题。

动载荷的惯性力问题和冲击应力。

应变电测的基本原理及其应用。

二、考试重点1．平面力系的平衡方程及其应用，考虑摩擦的平衡问题。

2．速度和加速度合成定理及其应用，平面图形上点的速度和加速度分析。

3．动力学普遍定理的综合应用，质点系的达朗贝尔原理及其应用。

普遍定理综合应用举例动量定理普遍定理动量矩定理动能定理质心运动定理 分析质点系受力与质心运动的关系定轴转动刚体 的转动微分方程 相对于定 点和定轴相对于质心和质心轴描述质点系整体运动 如：平面运动刚体的运动微分方程积分形式求速度 或角速度 微分形式功率方程求加速度 或角加速度动量和动量矩动能矢量，有大小方向非负的标量，与方向无关内力不能使之改变外力能使之改变内力可以改变动能约束力是外力时对之有影响理想约束不影响当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点O 或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩守恒在保守系统中，机械能守恒动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化研究机械运动与其他运动形式有能量转化的问题普遍定理综合应用举例均质圆轮半径为 r ，质量为m ，受到轻微扰动后，在半径为R 的 圆弧上往复滚动。

设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:轮心Ｃ的运动微分方程.例1例题：利用平面运动刚体 运动微分方程求解功率方程求解普遍定理综合应用举例d d s P mg v mg t τ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭d d s m g t τ=⋅d sin d smg tθ=-222113224C C CT mv J mv ω=+=解: ()d sin d sm g tθ=-d d T P t=d 3d 2sin 4d d C C v s m v mg t t θ⋅=-()032d d 22=-+r R gst s 22d d ts C v θrR s θ-=分析圆轮，受力如图所示。

ωr v C =2Cmr J 21=普遍定理综合应用举例例2物块和两均质轮的质量皆为m ,轮半径皆为R。

滚轮上缘绕一刚度系数为k的无重水平弹簧，轮与地面间无滑动。

现于弹簧的原长处自由释放物块。

求:重物下降h 时,v，a 及滚轮与地面的摩擦力。

可用动能定理求摩擦力可用相对质心的动量矩定理普遍定理综合应用举例1=T 解: 22222222111113222222T mv mR m mR mv ωυω⎛⎫=+⋅++= ⎪⎝⎭()222221khmgh h k mgh W -=-=∑12T T W -=∑（a ）22322mgh kh mv -=()223mg kh h v m -=将式（a ）对t 求导得 khg a 4-=动能定理，分析系统。